馬文雅　肖羽　吳星

摘? 要：線性代數(shù)是高校理、工、農(nóng)、醫(yī)、經(jīng)、管等學(xué)科的基礎(chǔ)必修課程，在信號(hào)處理、信息與通信技術(shù)、數(shù)據(jù)科學(xué)等領(lǐng)域都有許多重要應(yīng)用，又是矩陣論、隨機(jī)矩陣以及數(shù)值計(jì)算等后續(xù)課程的基礎(chǔ)，搭建了相關(guān)高階課程必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和邏輯推理的橋梁。鑒于線性代數(shù)本身的重要性和教師在教學(xué)中面臨的相關(guān)問題，本文根據(jù)線性代數(shù)本身的特點(diǎn)和在學(xué)校實(shí)施的情況，對(duì)線性代數(shù)課程的混合式課堂教學(xué)問題進(jìn)行了研究與探討。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù); 混合式;課堂教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642.1? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1673-7164（2021）43-0055-03

線性代數(shù)內(nèi)容涉及行列式、矩陣、向量及其線性相（無）關(guān)性、線性方程組、特征值與特征向量、相似對(duì)角化、二次型等較為典型和抽象的概念[1-3]，概念多、性質(zhì)雜、知識(shí)點(diǎn)縱橫交錯(cuò)，內(nèi)容具有高度的抽象性和邏輯性等特點(diǎn)，滿堂的煩瑣推導(dǎo)與現(xiàn)實(shí)的時(shí)空限制導(dǎo)致該課程并不能很好地發(fā)揮課堂效果，故傳統(tǒng)教學(xué)面臨較大壓力。

新技術(shù)帶來了新的課堂教學(xué)模式，線上線下混合式教學(xué)能充分利用現(xiàn)代化教學(xué)平臺(tái)，更好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，克服傳統(tǒng)課堂教學(xué)中時(shí)空的限制，更符合時(shí)代特點(diǎn)。河南農(nóng)業(yè)大學(xué)實(shí)施線性代數(shù)課程的混合式教學(xué)已有一年多時(shí)間，經(jīng)過前期的建設(shè)準(zhǔn)備，借鑒其他高校的先進(jìn)做法，在落實(shí)線上線下混合式教學(xué)的過程中，進(jìn)行了不斷的嘗試、思考和總結(jié)，結(jié)合實(shí)際學(xué)情特點(diǎn)和立德樹人的目標(biāo)對(duì)學(xué)校線性代數(shù)課程的課程內(nèi)容、模式和考核方式以及學(xué)習(xí)效果等進(jìn)行了探索和反饋，更好地優(yōu)化升級(jí)課程，本研究將就此進(jìn)行相關(guān)探討。

一、傳統(tǒng)線性代數(shù)課程特點(diǎn)及內(nèi)容優(yōu)化方案

線性代數(shù)中包含了行列式、矩陣、線性方程組、N維向量（空間）、相似矩陣、二次型等內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)龐雜。傳統(tǒng)課堂單純地講解各知識(shí)點(diǎn)和做練習(xí)，到了課程后段，學(xué)生的興趣消磨得厲害，有的甚至干脆放棄，這警示教師要著力改進(jìn)教學(xué)方法，整合教學(xué)內(nèi)容以適應(yīng)新局面，重新引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。但在沒有全新的技術(shù)和平臺(tái)等手段之前，教師只能通過完善PPT的方式對(duì)教學(xué)方法改善，途徑比較單一，應(yīng)更多地在優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容方面下功夫。

通過對(duì)學(xué)生情況的前期調(diào)查發(fā)現(xiàn)，初學(xué)者通常不太習(xí)慣抽象思考，譬如在學(xué)習(xí)行列式等抽象概念時(shí)理解不到位，容易走彎路，影響到對(duì)后續(xù)的矩陣以及線性方程組解法的學(xué)習(xí)。其實(shí)這些知識(shí)點(diǎn)具有較高的實(shí)用價(jià)值，若能對(duì)此類問題有明確思考，比如讓學(xué)生根據(jù)數(shù)形結(jié)合原理對(duì)向量和行列式的三階形式相應(yīng)的三維空間對(duì)象舉例，使學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容首先有一個(gè)直觀的理解，他們可能更愿意繼續(xù)高維空間的深入學(xué)習(xí);比如在物理背景下學(xué)習(xí)矩陣與應(yīng)力的關(guān)系、張量矩陣與主應(yīng)力、剪切應(yīng)力等的對(duì)應(yīng);當(dāng)然，矩陣表達(dá)更是在物流分配問題當(dāng)中廣泛存在，這些作為教學(xué)和實(shí)際的結(jié)合點(diǎn)，對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣具有較好的作用，也是優(yōu)化課程內(nèi)容的重要方式，教師可以此為契機(jī)，對(duì)其背后重點(diǎn)知識(shí)闡述清楚，做到詳略得當(dāng)。

僅僅這樣還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，教師還要把優(yōu)化后的內(nèi)容和高效的授課形式結(jié)合起來，以更好地發(fā)揮課程改革的效用，這就需要借助線上和線下混合式的教學(xué)模式。

二、混合式教學(xué)大致框架模式

混合式教學(xué)是以建構(gòu)主義理論為基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心，在主動(dòng)建構(gòu)過程中讓學(xué)生完成知識(shí)與能力的習(xí)得，且以信息技術(shù)的運(yùn)用為標(biāo)志，將線上與線下學(xué)習(xí)融合的教學(xué)方式。

線性代數(shù)是河南及河南農(nóng)業(yè)大學(xué)的精品課程，在國內(nèi)爆發(fā)新冠肺炎疫情的初期，為應(yīng)對(duì)突發(fā)教學(xué)情況河南農(nóng)業(yè)大學(xué)較早開展了線上教學(xué)，并發(fā)展到目前的線上線下混合式教學(xué)，見圖1。學(xué)校從布置錄課任務(wù)準(zhǔn)備腳本等開始，逐步按照相應(yīng)模塊進(jìn)行了校內(nèi)資源的建設(shè)。

教師通過前期緊張準(zhǔn)備并上線相關(guān)課程，依托校內(nèi)SPOC線上資源為主線，以一些網(wǎng)絡(luò)課程譬如MOOC教學(xué)資源、公開課等相關(guān)教學(xué)資源為輔助，在課前統(tǒng)一發(fā)布預(yù)習(xí)的內(nèi)容，并在微信群或QQ群中上傳經(jīng)選擇的補(bǔ)充資料以及布置適當(dāng)?shù)娜蝿?wù)，發(fā)現(xiàn)這些對(duì)提高課前準(zhǔn)備和課上討論的效率都有很好的促進(jìn)作用。一方面，學(xué)生可以通過在線學(xué)習(xí)，掌握課程中相對(duì)容易的內(nèi)容，并對(duì)一些難點(diǎn)進(jìn)行初步思考和歸結(jié)，哪里不懂還可以回放琢磨;另一方面，教師在課堂上可以更集中地解決重難點(diǎn)，通過輔助場(chǎng)景創(chuàng)設(shè)、進(jìn)行小組討論、隨堂測(cè)試等方法，對(duì)有爭議的問題引導(dǎo)學(xué)生思考、深入探究其中奧妙。這一環(huán)節(jié)借由信息化手段的輔助，較大程度上調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，促使學(xué)生更主動(dòng)地參與到課堂活動(dòng)中，真正成為學(xué)習(xí)的主體。當(dāng)然，有了前期的鋪墊基礎(chǔ)，這個(gè)環(huán)節(jié)也留給教師更多時(shí)間引導(dǎo)課堂的討論去向，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生聚焦和反思，更好地體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用。

為了鞏固課堂學(xué)習(xí)效果，還需要進(jìn)行必要的練習(xí)和拓展。通過QQ群作業(yè)、超星學(xué)習(xí)通、SPOC平臺(tái)或App等發(fā)布習(xí)題，根據(jù)實(shí)際學(xué)習(xí)情況設(shè)定提交時(shí)間，通過互評(píng)的方式促進(jìn)學(xué)生間的討論交流，同時(shí)可以選擇碎片時(shí)間批改作業(yè)，后臺(tái)記錄也可納入最終成績的參考。此外，線上平臺(tái)能夠很大程度地將課后問題集中到討論區(qū)，課題組成員只要做好時(shí)間分配就能及時(shí)解答學(xué)生問題，保證討論區(qū)的互動(dòng)交流，這對(duì)學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)也是一種鼓勵(lì)和激發(fā)，能夠形成一種良性循環(huán)。

三、基于混合式教學(xué)的立體化資源升級(jí)

在繼續(xù)實(shí)踐線上線下混合式教學(xué)的過程中，除了想辦法激勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，把學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行更好地掌握之外，學(xué)校還陸續(xù)在教材建設(shè)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和課程思政等方面打造了立體化的輔助和配套資源。

首先，形成與線上資源配套的自編教材和輔導(dǎo)書[4-5]，從內(nèi)容和結(jié)構(gòu)上更適應(yīng)學(xué)情和學(xué)校特點(diǎn)。學(xué)校具體地把教材上每個(gè)知識(shí)點(diǎn)做成了微知識(shí)單元，附上相應(yīng)的二維碼，學(xué)生可以通過掃描二維碼隨時(shí)隨地進(jìn)行學(xué)習(xí)。學(xué)院接下來采購了Maple T.A.平臺(tái)，它擁有龐大的試題庫資源，并對(duì)題目劃分了層次，通過把題目中參數(shù)設(shè)置為隨機(jī)生成，學(xué)生看到的題目互不相同，有效杜絕了抄作業(yè)的問題，而且可以專門就同一題型反復(fù)練習(xí)。經(jīng)過系統(tǒng)的自動(dòng)批改，教師可在后臺(tái)查看學(xué)生的學(xué)習(xí)和答題情況，掌握學(xué)生參與測(cè)試的情況和學(xué)習(xí)中的薄弱環(huán)節(jié)，從而有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生開展輔導(dǎo)和答疑，為過程化教學(xué)提供依據(jù)，大大減輕了教師批改作業(yè)的壓力，讓教師能夠有更多時(shí)間投入對(duì)學(xué)生的關(guān)注、提升教學(xué)科研水平上。

其次，通過提升教學(xué)科研水平，傳遞給學(xué)科最新的發(fā)展理念。學(xué)樣本著立足于應(yīng)用案例滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法和工具的思路，在統(tǒng)計(jì)學(xué)和熱門的數(shù)據(jù)科學(xué)中，介紹矩陣的乘積、特征向量等相關(guān)內(nèi)容在數(shù)據(jù)的相關(guān)性和數(shù)據(jù)降維方面的應(yīng)用，從深度學(xué)習(xí)到寬度學(xué)習(xí)中相關(guān)工具、線性變換在強(qiáng)化學(xué)習(xí)中的重要作用，以及在實(shí)際問題中采用軟件計(jì)算解決大規(guī)模線性方程組問題的效用，這些都大大激發(fā)了學(xué)生的興趣，使其順著這個(gè)興趣鉆研下去，為學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)建模等各類競賽活動(dòng)的開展有很好的促進(jìn)和推動(dòng)作用。

基于過程化學(xué)習(xí)原則，考核方面，學(xué)校采用“在線學(xué)習(xí)+作業(yè)情況+實(shí)踐+測(cè)驗(yàn)+考試”的評(píng)價(jià)模式，并逐漸加強(qiáng)對(duì)平時(shí)學(xué)習(xí)，包括線上學(xué)習(xí)和線下參與課堂活動(dòng)及實(shí)踐活動(dòng)的比例，降低最后考試成績比重的綜合評(píng)價(jià)傾向，通過師生間的雙向反饋，漸漸營造學(xué)生把功夫用在平時(shí)、對(duì)問題進(jìn)行主動(dòng)探究的濃厚學(xué)習(xí)氛圍。

最后，課程后續(xù)還著重加入了思政元素，一方面從數(shù)學(xué)史中提煉出思政元素，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);另一方面從實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)、社會(huì)熱點(diǎn)以及高科技的應(yīng)用中提煉思政元素，增強(qiáng)學(xué)生的使命感和責(zé)任感[6]。課程本身并沒有局限于知識(shí)內(nèi)容的講授，還包含教書育人、以德樹人的社會(huì)責(zé)任感和塑造學(xué)生正確價(jià)值觀的使命感，能夠培養(yǎng)具有歷史擔(dān)當(dāng)、滿足社會(huì)發(fā)展需求的高素質(zhì)型人才，這也使得課程變得更加飽滿。

四、結(jié)語

從實(shí)際效果來看，通過精選教材內(nèi)容，選擇合適的場(chǎng)景案例，結(jié)合先進(jìn)教學(xué)手段，線性代數(shù)混合式教學(xué)的效果明顯，學(xué)生對(duì)課程的評(píng)價(jià)比較高，整體學(xué)習(xí)興趣和成績也有明顯的提高。新模式能夠更好地促進(jìn)理論知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，在引入新理念與課程內(nèi)容結(jié)合應(yīng)用的基礎(chǔ)上，開放實(shí)驗(yàn)室和軟件求解的操作等，提高了學(xué)生的知識(shí)轉(zhuǎn)化能力以及解決實(shí)際問題能力，提高了學(xué)生的創(chuàng)新思維和拓展能力，考核方式的轉(zhuǎn)變也促進(jìn)了學(xué)生動(dòng)手能力的提高，后期學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模競賽的熱情顯著增加。社會(huì)熱點(diǎn)問題的討論、課程思政的開展有助于學(xué)生樹立正確的人生觀、價(jià)值觀和社會(huì)主義榮辱觀，提高學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感和為社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)事業(yè)的奉獻(xiàn)精神。河南大學(xué)將繼續(xù)在已有教學(xué)資源的基礎(chǔ)上，更新和完善課程形式和內(nèi)容，注重知識(shí)的延伸和拓展，優(yōu)化線上線下過程評(píng)價(jià)和結(jié)果的測(cè)評(píng)方法，挖掘思政素材，不斷進(jìn)行實(shí)踐探索，推廣采用線上線下混合式教學(xué)模式，幫助學(xué)生更好更快地成長、發(fā)展和成才。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李尚志. 線性代數(shù)：數(shù)學(xué)專業(yè)[M]. 北京：高等教育出版社，2006.

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 線性代數(shù)：第6版[M]. 北京：高等教育出版社，2019.

[3] Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right，2nd ed[M]. New York：Springer-Verlag，1997.

[4] 曹殿立，馬巧云. 線性代數(shù)：第2版[M]. 北京：中國農(nóng)業(yè)出版社，2020.

[5] 曹殿立，張建林. 線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)：第2版[M]. 北京：中國農(nóng)業(yè)出版社，2020.

[6] 曹殿立，蘇克勤，曹潔. 融合思政教育的線性代數(shù)在線課程教材建設(shè)研究[J]. 科教文匯，2020（06）：49-50.

（責(zé)任編輯：汪旦旦）

基金項(xiàng)目：本文系2020年河南省首批本科高校課程思政樣板課程“線性代數(shù)”[項(xiàng)目編號(hào)：教高（2020）531-24];2017年度河南省高等教育教學(xué)改革與實(shí)踐項(xiàng)目“線性代數(shù)在線開放課程教材的研究與建設(shè)”[項(xiàng)目編號(hào)：教高（2017）1039-2017SJGLX244];2018年度中華農(nóng)業(yè)科教基金教材建設(shè)研究項(xiàng)目“融合思政教育的線性代數(shù)在線開放課程教材建設(shè)研究”（項(xiàng)目編號(hào)：NKJ201802008）的研究成果。

作者簡介：馬文雅（1982—），女，博士，河南農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與管理科學(xué)學(xué)院副教授，研究方向：偏微分方程;肖羽（1982—），女，博士，河南農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與管理科學(xué)學(xué)院講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué);吳星（1989—），女，博士，河南農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與管理科學(xué)學(xué)院講師，研究方向：偏微分方程。