劉燕

（福州華僑中學(xué)，福建 福州 350004）

“直觀想象與其他數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)密不可分.”［1］然而，“高中生對于直觀想象的總體情況有待提高”［2-3］“幾何與代數(shù)部分掌握最差”［4］，而且“教師從哪些方面培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，怎樣聯(lián)系不是很清楚”［3］.“點到直線的距離公式”是中學(xué)解析幾何教學(xué)中最重要的公式，不僅如此，這節(jié)課的教學(xué)極具思想性和挑戰(zhàn)性，特別能夠體現(xiàn)教師對教材的理解水平和挖掘深度，特別能夠體現(xiàn)教師對教材的處理與駕馭能力，特別能夠體現(xiàn)教師對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實施效果，是各種教學(xué)技能競賽關(guān)注焦點和熱點，自然也是每個高中數(shù)學(xué)教師必須面對的挑戰(zhàn).因此有必要對其教學(xué)過程進(jìn)行深刻的反思和積極的探索，厘清知識之間內(nèi)在的、本質(zhì)的聯(lián)系，從整個中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系的高度對教材進(jìn)行二次開發(fā)，體現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)從“形”到“法”、從“新”到“化”的培養(yǎng)過程.

一、理解學(xué)情重設(shè)計

課堂教學(xué)是師生雙向的互動過程，學(xué)生是主體，教師是主導(dǎo)，從知識學(xué)習(xí)的角度分析，這節(jié)課學(xué)習(xí)是在學(xué)生已經(jīng)掌握“兩點間距離公式”“兩條直線的交點坐標(biāo)”“直線方程”、兩條直線的位置關(guān)系與方程系數(shù)關(guān)系等基本的解析幾何知識的基礎(chǔ)之上，要求學(xué)生具有一定的運用“平面向量”等數(shù)學(xué)工具解決問題的能力.這就需要教師在教學(xué)上下足功夫，精準(zhǔn)定位，為“能夠通過圖形直觀認(rèn)識數(shù)學(xué)問題、能夠通過直觀想象提出數(shù)學(xué)問題、能夠通過想象對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行直觀表達(dá)”［5］的直觀想象素養(yǎng)三個水平的培養(yǎng)做好頂層設(shè)計；精心設(shè)計教學(xué)進(jìn)程，關(guān)鍵是教師如何有效地引導(dǎo)和實施教學(xué)過程，在教學(xué)過程中滲透直觀想象素養(yǎng)“形、法、新、化”的培養(yǎng)路徑，最終真正實現(xiàn)“授之以漁”！

二、理解教材重本質(zhì)

理解教材，最重要的是要理解點到直線的距離公式在解析幾何中的地位，“距離”和“角”是幾何學(xué)中最重要測度概念，其中“兩點間距離”最為重要，解析幾何中學(xué)生首先學(xué)習(xí)的是：

（一）坐標(biāo)平面內(nèi)兩點間距離公式，

由于兩點確定一條直線，所以這個“距離”分為下面兩種情況：

1.當(dāng)這兩個已知點所在直線p1p2與y 軸平行時(x1=x2)；直線p1p2的斜率不存在；

（2）當(dāng)這兩個已知點所在直線p1p2與y 軸不平行時(x1≠x2)；直線p1p2的斜率為k，

由此可見，坐標(biāo)平面內(nèi)兩點間距離公式本質(zhì)上是直線上兩點間距離公式，特別地，當(dāng)兩點是直線與曲線的交點時，即為高考中多次考查的“弦長公式”！通過以上對兩點間距離公式的分類變形的重要意義在于二維空間的距離公式變?yōu)橐痪S空間的距離！這種降低維度的方法和分類的方法是用數(shù)學(xué)分析問題、解決問題的重要方法，也是學(xué)生需要逐漸掌握的重要方法.

（二）點到直線的距離公式：d=……（**）

“點到直線的距離”就是過已知點作已知直線的垂線，求已知點到垂足的垂線段的長度，所以，點到直線的距離本質(zhì)上還是兩點之間的距離，這就決定了公式的推導(dǎo)必須以兩點間距離公式為基礎(chǔ)！點到直線的距離的重要意義在于其表示兩種不同類圖形點與直線之間的距離！是對幾何學(xué)起支撐作用的，能夠承前啟后的核心知識.教師對教材的思考和分析，是教師教學(xué)的起點，更是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的起點.

（三）平行線間的距離——就是其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離

通過以上對兩點間距離公式的分析，坐標(biāo)平面內(nèi)兩點間距離可以分成“三種距離”，同樣的，坐標(biāo)空間中也有“三種距離”，有點到平面的距離、與平面平行的直線到平面的距離、平行平面之間的距離，其中最重要的是點到平面的距離，因為后兩種距離都可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離！這些思考是教師必須清楚的，也是教師理解和掌握教材的基礎(chǔ).這種從兩點間距離到點到直線間的距離，再到平行線間的距離的思維方式，是一維到二維，再到三維的類比、遷移、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，是教師站在中學(xué)數(shù)學(xué)全局的高度思考數(shù)學(xué)知識導(dǎo)圖的必然結(jié)果，是點到直線距離公式的本質(zhì)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的必然要求.

（四）解析幾何的要求——解析法

“點到直線的距離公式推導(dǎo)”需要學(xué)生學(xué)到的知識，除了公式推導(dǎo)本身，更重要的是要認(rèn)識到，從數(shù)學(xué)知識體系上把握解析幾何的教學(xué)要求，解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題，它在代數(shù)和幾何之間架起了一座溝通的橋梁，解析法是解析幾何的基本方法，完美地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想.一方面，要學(xué)會將幾何問題代數(shù)化，如“點到直線的距離”問題可以轉(zhuǎn)化為解方程組的問題，通過解決代數(shù)問題，分析代數(shù)運算結(jié)果的幾何意義，來解決幾何問題；另一方面，在解決幾何問題的過程中，要充分認(rèn)識數(shù)學(xué)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，精確地用代數(shù)語言來描述幾何圖形，如用代數(shù)中的“數(shù)對”來表示幾何圖形中的“點”，用代數(shù)中的“聯(lián)立方程組的解”來表示幾何圖形中的“交點”，用代數(shù)中的“方程”來表示幾何圖形中的“曲線”等，正確地用解析法體現(xiàn)“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一.

“通過幾何圖形建立直觀，通過代數(shù)公式表達(dá)規(guī)律.”［6］從中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系的角度，距離問題涉及點到點、點到線、點到面的距離和線到線、線到面的距離以及平行平面、異面直線間的距離等，而本節(jié)課需要充分理解點到點、點到線、點到面之間距離的本質(zhì)，更需要教師注重學(xué)生對幾何圖形的掌握，使學(xué)生在圖形語言、符號語言和文字語言之間自由切換，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的無縫對接，實現(xiàn)類比轉(zhuǎn)化的思維提升，實現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)“形、法、新、化”的逐步滲透，培養(yǎng)學(xué)生通過圖形認(rèn)識數(shù)學(xué)問題、提出數(shù)學(xué)問題和表達(dá)數(shù)學(xué)問題，達(dá)到培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)三個水平的要求.

三、理解教學(xué)重方法

中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系中，計算距離可以用綜合幾何方法，也可以用解析幾何方法，還可以用向量方法［5］.因此，在點到直線距離公式推導(dǎo)的教學(xué)實施過程中，每個細(xì)節(jié)都值得教師們深思熟慮.

（一）開門見山，直擊目標(biāo)，立足“形”

課題的引入一般有兩種模式：其一是許多教師通常選擇具有一個點和一條直線的“客觀背景”，求點到直線上的點的最短距離為引例，筆者認(rèn)為大可不必，關(guān)于點到直線的距離本質(zhì)上就是點到直線上的點的最短距離，應(yīng)該是初中學(xué)習(xí)“點到直線的距離”概念時就必須讓學(xué)生透徹理解的，而不是本節(jié)的任務(wù)；其二是有教師主張給出具體的已知點的坐標(biāo)和已知具體直線的方程，然后先讓學(xué)生思考并解決問題，進(jìn)而進(jìn)行所謂的“特殊到一般”數(shù)學(xué)思想的滲透，這種數(shù)字到字母的特殊到一般的灌輸是對“特殊到一般”思想的淺層次的認(rèn)識，不但不能真正啟迪思維，反而降低課堂效率.如果教師僅僅考慮一節(jié)課的教學(xué)，只是解決“點到直線的距離公式推導(dǎo)”，那么本節(jié)課的重點和難點的要求就有所降低.因此，需要教師站在中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系來思考本節(jié)課的意義，那么本節(jié)課就顯得難度大、任務(wù)重，必須以問題為導(dǎo)向，集中精力突出重點，突破難點，因此建議引入“開門見山”，直擊目標(biāo)！

求已知點[(x0，y0)到直線Ax+By+C=0 的距離

好的開始是成功的一半，這種直奔主題的方式，配合點到直線的圖形，為本節(jié)課重點關(guān)注直觀想象素養(yǎng)的第一個要點“形”確定了主基調(diào).

（二）聚焦“交點”，突破難點，注重“法”

根據(jù)點到直線的距離的定義——過已知點作已知直線的垂線，已知點到垂足的垂線段的長度.學(xué)生很自然會想到建立垂線方程聯(lián)立方程組，進(jìn)而求出交點坐標(biāo)，然后運用“兩點間距離公式”，這種思考很直觀，充分體現(xiàn)了解析幾何中數(shù)形結(jié)合的方法，但是也有兩方面的困難，一是直線是否有斜率要分類討論，二是解全是字母系數(shù)的二元一次方程組，求交點坐標(biāo)，對目前的學(xué)生而言，有相當(dāng)大的難度，于是人教版教材“另辟蹊徑”，但是在教學(xué)中教師明顯發(fā)現(xiàn)，學(xué)生覺得有些突兀，欲進(jìn)無方、欲罷不能、進(jìn)退維谷，這就是難點！因此，教學(xué)中，教師既不能照抄教材，也不能脫離教材，應(yīng)對教材進(jìn)行二次開發(fā)，尋求突破難點的方法，這就是直面問題，而不是回避問題.

可以讓學(xué)生理解直線的方向向量和法向量的概念，與直線平行的非零向量即為直線的方向向量，與直線方向向量垂直的向量叫做直線的法向量，因此直線的方向向量和法向量都有無數(shù)個，一條直線的所有的方向向量都共線，一條直線的所有的法向量都共線；很容易找到直線的一個方向向量和一個法向量，只需在直線Ax+By+C=0 上任意取兩個已知點p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，則是直線的方向向量，

這種利用“平面向量”解決問題的方法無需討論直線的斜率是否存在，因為任意直線都有方向向量和法向量！從而，很好地避免了“是否有斜率需要討論的問題”.同時能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中注意到，在解決解析幾何問題時，向量也是一個重要的工具.核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是潤物細(xì)無聲的滲透，通過向量圖形和代數(shù)方程組實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題，正是直觀想象素養(yǎng)的第二個要點“法”，從“形”到“法”，是直觀想象水平二的要求.數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”正是對這一要點的形象描述.

（三）不求交點，有效轉(zhuǎn)化，展現(xiàn)“新”

方法一：（構(gòu)造法——向量法）由于直線的法向量有無數(shù)個，因此容易求出一個單位法向量→a=，和一個平行于y 軸的斜向量（如圖1）點到直線的距離就是斜向量在單位法向量上投影的長度，也就是斜向量與單位法向量數(shù)量積的絕對值，即d=

圖1

方法二：（構(gòu)造法——等積法）

在前面得到的“點到直線的距離公式”中，當(dāng)B=直線與y 軸平行，此時a=;

當(dāng)A=0，B≠0 ?直線與x軸平行，此時;

當(dāng)AB≠0 時，由于“兩點間距離”既可以看作是向量的模長，也可以看作是直角三角形斜邊的長，因此也可以把點到直線的距離看作是直角三角形的高，于是過點P 分別作坐標(biāo)軸的平行線交直線與R，S（如圖2）.

圖2

這個方法體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想，即把一般的距離問題轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)軸平行或垂直的距離問題［7］.不難查到，很多學(xué)者就“點到直線的距離公式推導(dǎo)”進(jìn)行了很好的研究，這些研究為充分理解“點到直線的距離公式推導(dǎo)”的多樣性，提供了有力的學(xué)術(shù)支撐.這就為直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)過程的第三要點“新”提供了平臺，這些新方法、新思路，為學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)打開了新的想象空間，產(chǎn)生新的思維突破，也是直觀想象水平三的核心要點.

（四）啟迪智慧，煉化思維，成于“化”

通過劃歸與轉(zhuǎn)化，直擊“交點”，不僅有效突破難點，更重要的意義在于揭示了運用“向量法”直接求解距離的一般方法，給學(xué)生提供更加廣闊的思考空間，可以提出更加積極和有深度的“探究問題”讓學(xué)生去分析，去思考，去感悟，去猜想！

通過構(gòu)造斜向量在法向量上的投影，從而得到點到直線的距離為高，構(gòu)造三角形的意義在于激發(fā)學(xué)生的想象力——在坐標(biāo)系空間內(nèi)，求點到平面距離是構(gòu)造平面向量的斜向量在法向量上的投影，進(jìn)一步求得距離；或者在一般空間內(nèi)構(gòu)造等體積三棱錐，進(jìn)而求得距離！因此，在鞏固新知識時并不是簡單的機械重復(fù)，會提出下面的問題：

1.求點到直線的距離——牢記公式；

2.求平行線間的距離——獲得結(jié)論：d=；

3.探究與思考：——喚醒悟性（只是給學(xué)生提供思考的空間激發(fā)其數(shù)學(xué)想象力）；

4.你能猜出空間兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)距離公式嗎？

5.已知空間一點P(x0，y0，z0)和平面方程Ax+By+Cz+D=0.

請你猜想出這個平面的一個法向量的坐標(biāo)是什么嗎？

你能猜想點P 到平面的距離公式是什么嗎？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生一定會猜想到平面的一個法向量的坐標(biāo)是=(A，B，C)，

6.已知如圖3，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn) 分別是棱AA1，DD1的中點，求點C1到平面EFC的距離.

圖3

教師通過這些問題的引導(dǎo)，讓學(xué)生通過自主觀察、自主思考、自主討論、自主表達(dá)、自主動手、自主得出結(jié)論，這些親身體驗、感受和理解知識產(chǎn)生和思維發(fā)展的過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，而且二維圖形、三維圖形與距離公式之間的不斷切換，為培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)提供了有效的途徑，這種類比的思想是直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)過程中的第四個要點“化”，“化”幾何圖形的有形為代數(shù)的無形，“化”代數(shù)的無形為幾何圖形的有形，正是這種滲透于教學(xué)過程中的數(shù)學(xué)思想、方法，才是學(xué)生可以帶走的終身受益的核心素養(yǎng).

教無定法，學(xué)無止境，既要以人為本，也要以本為本.點到直線距離公式推導(dǎo)的教學(xué)中滲透著“特殊到一般”“劃歸與轉(zhuǎn)化”“數(shù)形結(jié)合”等重要數(shù)學(xué)思想，充分挖掘教材的知識內(nèi)涵，厘清本質(zhì)聯(lián)系，在知識的關(guān)鍵節(jié)點上肯下功夫，積極思考，不斷探索“形、法、新、化”直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑，不斷創(chuàng)新，真正做到讓學(xué)生“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”［5］.