楊希

2020年高考數(shù)學(xué)浙江卷依然延續(xù)了以往的命題風(fēng)格，試題靈活，結(jié)構(gòu)合理，思維含量高，有很好的信度與區(qū)分度，有利于高校選拔優(yōu)秀人才，有利于中學(xué)新課標(biāo)的改革與推進(jìn)。整份試卷結(jié)構(gòu)與題型分布保持穩(wěn)定，嚴(yán)格遵循新課程標(biāo)準(zhǔn)與要求，聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科的主干內(nèi)容，凸顯對數(shù)學(xué)能力和核心素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的基本要求，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)等。

一、題型分布和變化綜述

2020年高考數(shù)學(xué)浙江卷所對應(yīng)的題型、考點及相應(yīng)的難度剖析如表1所示：

從表1中可以看出2020年高考數(shù)學(xué)浙江卷與往年的變化情況：

（1）選擇題與填空題的整體難度較往年有所下降；今年選擇題的最后一題考查的是集合的新定義問題，也是浙江卷第一次將集合題作為選擇題的最后一題，考查邏輯推理能力；填空題的最后一題還是以平面向量來合理設(shè)置。這兩類題型考查的范圍囊括高中數(shù)學(xué)絕大部分的書本知識，以基礎(chǔ)知識為主，二級結(jié)論為輔，除各自的最后一題外，都是搶分的主要對象。

（2）解答題延續(xù)了浙江卷的傳統(tǒng)，分別考查三角函數(shù)或解三角形、立體幾何與空間向量、數(shù)列、圓錐曲線和函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等主干知識。同時高考解答題的整體難度有所上升，而且各不同試題的難度比較平均，相差不大，都需要嚴(yán)密的思考、大量的運算、合理的邏輯推理等。

評析：根據(jù)條件中的模的不等式，兩邊平方處理，進(jìn)而得以確定e1·e2的取值范圍，利用平面向量的數(shù)量積運算及模的公式，利用夾角公式加以轉(zhuǎn)化，并轉(zhuǎn)化為涉及e1·e2的關(guān)系式，利用反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)確定相應(yīng)的最值問題即可。平方法是破解此類問題時最常見的思維方式之一，也為問題的進(jìn)一步深入與拓展指明了方向。

二、重視基礎(chǔ)，突出主干

2020年高考數(shù)學(xué)浙江卷重視考查基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法，同時穩(wěn)固考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、數(shù)列、立體幾何與空間向量、解析幾何等幾大類高中數(shù)學(xué)的主干知識。其中第4、9、22題這三道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題，從函數(shù)圖像、數(shù)形結(jié)合、代數(shù)運算與推理等多角度進(jìn)行考查；第13、18題這兩道三角函數(shù)與解三角形題，注重通性通法，關(guān)注對數(shù)學(xué)概念與公式的理解與掌握；第7、20題這兩道數(shù)列題，是關(guān)于基本數(shù)列類型的應(yīng)用，突出數(shù)列中的函數(shù)思想與核心問題；第8、15、21題這三道解析幾何題，涉及雙曲線、直線與圓、橢圓與拋物線等相應(yīng)的解析幾何的基礎(chǔ)知識，數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，強(qiáng)調(diào)邏輯推理與代數(shù)運算等能力要求；第5、14、19題這三道立體幾何與空間向量題，涉及三視圖、空間幾何體的表面積與體積、空間位置關(guān)系及空間角的求解等，知識覆蓋面較廣，能力要求高。

評析：根據(jù)條件分別確定兩圓圓心的坐標(biāo)與半徑，結(jié)合直線與兩圓均相切可知兩圓的圓心到直線的距離均等于半徑，由此建立相應(yīng)的方程組，利用條件中參數(shù)的取值限制求解相應(yīng)的方程組，從而確定參數(shù)值。這也是解析幾何中破解此類問題最常見的方法，為問題的進(jìn)一步變式與拓展提供了條件。

三、延續(xù)特色，堅持創(chuàng)新

2020年高考數(shù)學(xué)浙江卷延續(xù)了具有“浙江特色”的命題與考查風(fēng)格，這也是浙江卷區(qū)別于其他試卷的一個重要特征。

（1）填空題繼續(xù)采用多空設(shè)問的形式，第12、13、15、16題均是兩空設(shè)置。

（2）試卷關(guān)注創(chuàng)新，靈活設(shè)問，不用通過復(fù)雜計算來區(qū)分學(xué)生，而是有意為思維具有深度、廣度的考生留下一扇可以跳躍的、隱藏在題目背后的特殊通道。其中第9題可以從三次函數(shù)圖像的特征分析不等式問題；第10題以集合與元素為背景，推陳出新，從元素的角度定義了兩個集合之間的聯(lián)系，學(xué)生需要讀懂題目的內(nèi)在含義，很好地考查學(xué)生臨場應(yīng)變的能力及邏輯推理能力；第17題把不等式與平面向量合理結(jié)合；第22題不變的是需要適當(dāng)放縮，變化的是難度有所降低，以及需要考生具有較高的邏輯推理能力、分析問題與解決問題的能力等。

由此可以排除選項B。

故選擇答案：A。

評析：根據(jù)題目條件，分別直接設(shè)出集合S有3個元素和4個元素的不同情況，通過條件中的創(chuàng)新定義確定集合，又反過來確定相應(yīng)的比值滿足集合S，進(jìn)而對元素進(jìn)行合理排序，根據(jù)集合元素的個數(shù)的確定性找出對應(yīng)的元素，建立相應(yīng)的關(guān)系式，從而確定滿足條件的集合，利用集合運算得到∪并確定對應(yīng)的元素個數(shù)，從而得以合理排除。抓住創(chuàng)新定義，從定義發(fā)出，直接推理，嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)，只是推理過程較為繁雜。

四、教學(xué)指導(dǎo)，學(xué)習(xí)啟示

（一）浙江高考的語文、英語、數(shù)學(xué)試卷從2023年開始不再自主命題，回歸改用全國卷。對浙江自主命題的數(shù)學(xué)教學(xué)來說，試題對考生數(shù)學(xué)語言的閱讀、理解、轉(zhuǎn)化、表達(dá)等能力提出了較高的要求，盲目的題海戰(zhàn)術(shù)不能讓考生考出理想的成績，教學(xué)過程中，還是要緊緊抓住數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，從基礎(chǔ)入手，不斷深入，扎實提升。

（二）2020年高考數(shù)學(xué)浙江卷的一大特點就是：背景公平、熟悉，入口寬、易上手，注重分層設(shè)計，不超綱、不打擦邊球等，考慮到所有不同層次學(xué)生的實際情況，由淺入深，分層考查，可以很好地區(qū)分出不同能力層次的學(xué)生，有利于高校合理選拔人才，從而在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的科學(xué)評價上做出了一些有益的探索。比如，第9題是不等式問題，題干設(shè)計簡潔，設(shè)問方式非常靈活，關(guān)注考生對不等式的性質(zhì)與求解的掌握情況。而在實際破解時，可以通過基本的分類討論求解，也可以通過數(shù)形結(jié)合、必要性探路等手段簡化問題，給不同層次的考生提供了各自的發(fā)揮空間與余地。

（三）2020年高考數(shù)學(xué)浙江卷考查的內(nèi)容都是高中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識和常規(guī)方法，區(qū)別只是理解能力、邏輯推理能力及代數(shù)運算能力的差別，進(jìn)一步拓展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，為不同層次的學(xué)生提供具有區(qū)分度的展示平臺，充分反映不同學(xué)習(xí)層次學(xué)生的真實水平，讓不同的學(xué)生都有學(xué)習(xí)成就感與機(jī)遇。比如，第20、21、22題這三道解答題中的第（I）問分別是求解等比數(shù)列的公比與數(shù)列的通項、拋物線的焦點坐標(biāo)、證明函數(shù)有唯一零點等比較基本與常見的問題，這樣的設(shè)計降低了起點，容易上手，為對這三道題第（II）問的深入研究提供了思路與方法。

（四）對新高二的學(xué)生來說，在不松懈高一數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，對函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、平面向量、不等式這五塊內(nèi)容的基礎(chǔ)知識、二級結(jié)論、解題模型等，要進(jìn)一步掌握與提升，這些內(nèi)容在高考中的分值占比非常高，要隨時回顧隨時鞏固，溫故而知新。對新高三的學(xué)生來說，奮戰(zhàn)2022年高考過程中，一定要把基礎(chǔ)知識再從頭鞏固，知識面要廣、覆蓋面要大，不斷總結(jié)題型及對應(yīng)的解題技巧，掌握數(shù)學(xué)思想方法。