魏東升

(江西省瑞金第一中學(xué) 342500)

有時我們會有這樣的感慨，有些我們一直以為很熟悉的事物，隨著對其了解的深入，卻發(fā)現(xiàn)它們已經(jīng)越來越陌生了.比如從小到大陪伴著我們成長的圓，可謂是我們接觸的最多的圖形之一了.但隨著學(xué)習(xí)的深入，當(dāng)其以阿氏圓、蒙日圓等隱形圓的身份出現(xiàn)在試題中時，不少人卻陌生了.本文通過運(yùn)用阿氏圓的一個幾何性質(zhì)解題的幾個視角，讓大家感受到阿氏圓解題的美妙.

以下例舉該結(jié)論妙解相關(guān)問題的三個視角：

例1(2019年全國Ⅱ卷理科第15題改編)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b=2，a=2c,則S△ABC的最大值為____.

評析本題的通法是運(yùn)用解三角形的相關(guān)知識建立關(guān)于面積的函數(shù)解析式，其解題思路看似不遜色于妙解，但卻是建立在較大的數(shù)學(xué)運(yùn)算量這一基礎(chǔ)上的.

他們雖然分手了，但是許元生還是會在如蕓上晚班的時候，等著她一起下班，跟在她身后，偷偷送她回家?？此狭藰?，窗口的燈亮了，他才走。

例2 (2015年湖北卷理科第14題)如圖2，圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的上方)，且|AB|=2.

(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為____；

(2)過點(diǎn)A任作一條直線與圓O:x2+y2=1相交于M,N兩點(diǎn)，下列三個結(jié)論：

評析此題的妙解可謂是把阿氏圓解題的優(yōu)勢體現(xiàn)地淋漓盡致！通法實(shí)際上是在不知道阿氏圓這一幾何背景下的純代數(shù)運(yùn)算，屬于典型的“小題大做”，這樣處理實(shí)在是有點(diǎn)得不償失，雖然是一道填空題的壓軸題！

例3 (江西省贛州市2021年期中聯(lián)考理科第15題)已知a,b,c是平面內(nèi)三個單位向量，a·b=0，則|a+2c|+|2a+b-c|的最小值為____.

評析通解的思路是向量問題代數(shù)化，很好地體現(xiàn)了“向量數(shù)與形融為一體”這一顯著特點(diǎn)，但較之基于阿氏圓背景的妙解1運(yùn)算量偏大.妙解2很好地運(yùn)用了向量的幾何性質(zhì)，其解法可謂“大道至簡”，是神來之筆！

本文主要探究了阿氏圓中的一個幾何性質(zhì)在不同數(shù)學(xué)知識板塊中的應(yīng)用，給我們在解決這類問題帶來了啟發(fā).像這樣利用蒙日圓和阿氏圓等知識進(jìn)行專題教學(xué)，對同學(xué)們解題素養(yǎng)的提升是很有幫助的.需要指出的是，在專題學(xué)習(xí)時同學(xué)們不可陷入解題的思維定式，應(yīng)該讓新方法完善和充實(shí)我們的解題系統(tǒng).如在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)阿氏圓好用便只從阿氏圓的角度思考和解決問題，掉入用“新知識”覆蓋“舊知識”的陷阱，以致“邯鄲學(xué)步”，其實(shí)很多在我們看來不起眼的“舊知識”往往能給我們帶來驚喜,這一點(diǎn)例3的妙解2就做了很好的詮釋.