四川大學(xué)附屬中學(xué)(成都市第十二中學(xué))(610061) 馮小輝 羅文力

數(shù)學(xué)中的問題是靈魂,數(shù)學(xué)問題教學(xué)中的核心問題往往具有結(jié)構(gòu)不良的特點(diǎn):一是問題可能已為教材、教師所知,但沒有很明確的答案和解決辦法(有時教師在設(shè)計(jì)之初可能都不是很清楚,需要反復(fù)推敲、研究,甚至測試);二是問題的解決方式、途徑、程序和策略等不具體,答案一般不唯一,呈現(xiàn)多樣性,較開放性(數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的核心問題一般不是全開放的);三是問題體現(xiàn)較綜合性[1].從目前我校的問題教學(xué)的研究和公開課的教研來看,我們的問題教學(xué)是以“核心問題”[2]來調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)活動,進(jìn)行“核心問題”的解決,并要能促使學(xué)生內(nèi)部問題情境的生成.學(xué)校研究的核心問題教學(xué)是指一節(jié)課中用于新知識學(xué)習(xí)之前的、以客觀世界為材料且整合了教科書重點(diǎn)內(nèi)容與拓展內(nèi)容的、適應(yīng)學(xué)生身心活動且對身心活動有具體要求的、能促進(jìn)學(xué)生深度體驗(yàn)特別是關(guān)聯(lián)體驗(yàn)的中心問題或者中心任務(wù).即核心問題是“能促進(jìn)學(xué)生深度體驗(yàn)特別是關(guān)聯(lián)體驗(yàn)的”問題.因此數(shù)學(xué)核心問題教學(xué)法是問題教學(xué)法的延續(xù)和創(chuàng)新,其核心問題的設(shè)計(jì)及核心問題引導(dǎo)探究可遵循如下的策略:

1 生活化處理教材,用核心問題激發(fā)學(xué)生興趣,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)

新課程標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)教材在問題的設(shè)置上有較好的體現(xiàn),教師應(yīng)具有創(chuàng)新行為,必須在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平能動處理教材內(nèi)容,對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行生活化處理,要敢于對教材進(jìn)行重新加工,通過增補(bǔ)、刪減、調(diào)換重新聚合出核心問題,這樣設(shè)計(jì)的問題與學(xué)生日常生活和學(xué)習(xí)密切相關(guān),能激起學(xué)生的興趣,調(diào)動學(xué)生積極思維,通過對問題的探究和解決,鍛煉思維的敏捷性、靈活性和創(chuàng)造性,通過反思、歸納生成新的知識和方法,提高運(yùn)用知識解決問題的能力.

如“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”(下稱“橢圓”)中的核心問題定為“描述橢圓”.

設(shè)計(jì)分析:本節(jié)課是圓錐曲線的第一節(jié)課,學(xué)生通過對圓的學(xué)習(xí)和研究,對如何研究平面曲線有了一定的緘默知識.對橢圓的認(rèn)識源于生活中的經(jīng)驗(yàn),學(xué)生能從日常生活中橢圓形的物體中抽象出橢圓圖形,對橢圓的對稱性及圓扁程度等有了初步的認(rèn)識.并能依據(jù)這種初步的認(rèn)識,描繪出橢圓的草圖,且能夠從圖形上區(qū)別出橢圓與圓,但對橢圓的本質(zhì)特征尚不知曉,不會用數(shù)學(xué)的眼光去認(rèn)識橢圓,不能用精確的數(shù)學(xué)語言描述橢圓.因此,這一核心問題的設(shè)計(jì)是教師合理利用教材,生活化處理的一個例子,使問題源于學(xué)生實(shí)際和教材,又能激發(fā)學(xué)生的興趣,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián).

引導(dǎo)探究:本課在探究和解決核心問題時,采用了逐層遞進(jìn)的方法,首先從學(xué)生觀看生活中的橢圓圖片入手,圍繞如何“描述橢圓”的核心問題展開.整個過程分成三個板塊,第一版塊是:畫圖形——規(guī)范刻畫圖形.這個板塊又分成三步,首先,讓學(xué)生畫心目中的橢圓,并談?wù)剬E圓的初步認(rèn)識,這樣使學(xué)生的一些緘默知識得到部分呈現(xiàn).其次,教師提供適當(dāng)?shù)墓ぞ?規(guī)范作圖形——形象化認(rèn)識橢圓,根據(jù)學(xué)生自己畫出的橢圓,找出橢圓上的點(diǎn)具有的幾何性質(zhì).視學(xué)生回答的具體情況,最后是讓學(xué)生三畫橢圓,修正、完善前面得出的結(jié)論,并且找出各種情況下的幾何圖形.第二板塊:下定義——定性述說橢圓.根據(jù)以上得出結(jié)論,用規(guī)范、簡潔的文字語言來述說橢圓,同時使學(xué)生的緘默知識得到糾正和豐富.第三板塊:求方程——定量表示橢圓.根據(jù)以上得出的橢圓定義,讓學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,定量表示橢圓.從而達(dá)到了從不同角度,多種層次解決描述橢圓的問題,最后反思解決核心問題的過程,歸納總結(jié)生成高中數(shù)學(xué)解析幾何研究曲線方程的認(rèn)知程序,操作方法、思維模式,同時也提高了解決問題的能力.

2 深刻挖掘教材,提升核心問題的綜合性,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識與方法的關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求,教學(xué)目標(biāo)不應(yīng)停留在“教過”或“教懂”、“教會”的層面上,而要實(shí)現(xiàn)“會學(xué)”、“會用”的第二次飛躍,才是教學(xué)的最終目的.因此,在深刻挖掘教材的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)解決角度、方法都很都的核心問題,提升核心問題的綜合性,設(shè)計(jì)一些類比、開放、綜合性問題,發(fā)散和拓寬學(xué)生思維,通過設(shè)疑、釋疑、對比、類比進(jìn)行獨(dú)立思考或合作討論交流等尋找問題解決的辦法,呈現(xiàn)不同的解決辦法、方式和結(jié)果,在不同的解決層次的交鋒碰撞下,歸納和掌握新的知識和方法,獲得不同的情感體驗(yàn),提高綜合能力[2].

如“組合”中核心問題設(shè)計(jì)為:“求借書、選班干部等問題的不同方法數(shù)?

設(shè)計(jì)分析:本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)了第一節(jié)“分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理”和第二節(jié)“排列”,對本章有了一定的認(rèn)識和理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,學(xué)生對如何學(xué)習(xí)和研究這類問題有了一些思路和方法,這為建構(gòu)組合的意義和探究組合問題提供了可能,但要讓學(xué)生在一個較好的核心問題的激發(fā)下,有較高的興趣和熱情解決一類新的組合問題,并類比排列探究和歸納出組合的概念及組合數(shù)公式,還需要一個好的核心問題來提升、引領(lǐng)和推進(jìn).因此,本課直接提出問題1.1、1.2、1.3、1.4 的借書和選班委的問題,既作為外部問題引出課題,又作為核心問題“求借書、選班干部等問題的不同方法數(shù)”問題組,一箭雙雕.該問題在一個“等問題”的提示下具有一般性和綜合性,明確指出學(xué)生需要探究和歸納問題的一般規(guī)律和方法.

引導(dǎo)探究:本課在核心問題的引導(dǎo)下,學(xué)生分四人小組活動,解答上述問題,可以出現(xiàn)不同層次.展示問題的解決思路、方法和部分結(jié)果,包括不能解決或未想完整的思維過程.在此基礎(chǔ)上師生一起建構(gòu)組合的意義,排列與組合的區(qū)別和聯(lián)系,組合數(shù)的定義記法等.這樣設(shè)計(jì)學(xué)生活動充分,同時又為探求組合數(shù)公式制造了懸念.這樣就給學(xué)生營造了一種懸而未決,又力圖解決的認(rèn)知沖突狀態(tài),促使學(xué)生內(nèi)部問題情境的生成.一定的思考、探究和建構(gòu)后,核心問題中“等問題”的表述可以進(jìn)一步促使學(xué)生的內(nèi)部問題情景的生成,繼續(xù)自主活動和小組討論,探究未解決好的問題1.2,并對問題1.2剛才的解決方法和思路進(jìn)行整理或修正,進(jìn)一步展示交流問題1.2 的解決思路和方法,尋求排列與組合的內(nèi)在聯(lián)系,進(jìn)而類比、概括、歸納出組合數(shù)公式.生成了新知識和新方法,并豐富了學(xué)生類比的思想方法,發(fā)展了用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題的習(xí)慣,促進(jìn)了分辨事物的綜合能力等.

3 創(chuàng)設(shè)最佳問題情境,引導(dǎo)學(xué)生參與體驗(yàn),促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)與境遇的關(guān)聯(lián)

核心問題的合理呈現(xiàn)、核心問題設(shè)計(jì)的最優(yōu)化與最佳教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè),可以將學(xué)生引入一種與問題相關(guān)的情境中,從而激發(fā)、調(diào)動學(xué)生的積極思維,營造良好的學(xué)生內(nèi)部問題情境,因此,教學(xué)中必須優(yōu)化問題的呈現(xiàn)方式與技巧,創(chuàng)設(shè)最佳的教學(xué)情境,引導(dǎo)學(xué)生有更多的機(jī)會主動參與到教學(xué)中去,多角度聯(lián)想、思考、探究、體驗(yàn),通過看、想、聽、說、做等活動方式,使學(xué)生學(xué)習(xí)過程行為化,創(chuàng)造出一種學(xué)生敢做、敢想、敢說、感興趣的開放型的課堂氛圍,從而提高運(yùn)用知識解決問題的能力并鍛煉學(xué)生的膽、才、學(xué)、識,語言組織能力、口頭表達(dá)能力,有效地實(shí)現(xiàn)較高的教學(xué)目標(biāo)[3].

如“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”(下稱“雙曲線”)中的核心問題定為是“怎樣像橢圓一樣探究雙曲線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程”.

設(shè)計(jì)分析:本節(jié)課是圓錐曲線的第二部分雙曲線的第一節(jié)課,是在學(xué)習(xí)橢圓的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究學(xué)習(xí)雙曲線的定義、方程和幾何性質(zhì),可以類比橢圓的學(xué)習(xí)方法和思維模式,但也有雙曲線的特點(diǎn)和難度.學(xué)生對如何研究平面曲線有了一定的緘默知識,但對生活中的雙曲線的現(xiàn)實(shí)模型和動態(tài)的雙曲線的軌跡的印象很少,僅僅對初中的反比例函數(shù)的圖象是雙曲線有一點(diǎn)記憶,很難說出雙曲線是什么樣的曲線,在這方面的緘默知識只是想象橢圓那樣研究和學(xué)習(xí)雙曲線,主動去探究雙曲線定義的產(chǎn)生、發(fā)展和歸納的過程,去推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

引導(dǎo)探究:本課在核心問題的引導(dǎo)解決時,教學(xué)設(shè)計(jì)為先讓學(xué)生聽一段難得的數(shù)學(xué)歌曲“悲傷雙曲線”,這首歌寫出和唱出了雙曲線為何悲傷? 與橢圓的不一樣,很好的營造良好的學(xué)習(xí)情景,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)欲望.不失時機(jī)最優(yōu)化的呈現(xiàn)核心問題,“怎樣像橢圓一樣探究雙曲線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程? ”然后展示和介紹由教師和學(xué)生共同收集的雙曲線圖片,喚醒學(xué)生的雙曲線現(xiàn)實(shí)模型的模糊記憶.然后,告訴學(xué)生雙曲線的一些歷史,雙曲線又稱“拉鏈拉出雙曲線”,讓學(xué)生試著用拉鏈拉雙曲線,學(xué)生可能感受到一點(diǎn)畫法,或者是亂畫一氣,幾乎是畫不出來的,由師生共同展示和完成拉鏈拉雙曲線的方法,但學(xué)生可能仍然無法得到雙曲線上的點(diǎn)所滿足的幾何條件,教師再通過計(jì)算機(jī)軟件幾何畫板模擬拉鏈拉動的過程,準(zhǔn)確形象直觀的展現(xiàn)雙曲線的畫法,并能仔細(xì)的觀察到雙曲線上的每一個點(diǎn)的軌跡特點(diǎn),這樣有利于學(xué)生深刻理解和領(lǐng)會雙曲線定義的產(chǎn)生發(fā)展過程,從而歸納出雙曲線的幾何條件和標(biāo)準(zhǔn)定義.接下來,學(xué)生類比橢圓的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、探究方法和研究程序,能較好的推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.同時設(shè)計(jì)的另一個重點(diǎn)放在類比橢圓與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征和類比反比例函數(shù)圖像與雙曲線圖像特征,既有利于舊知識的回憶鞏固,又能把新知識有比較,印象更深刻,學(xué)生從相互的聯(lián)系與區(qū)別中認(rèn)識到事物的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化.

4 培養(yǎng)“問題意識”,提高解決問題的能力,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)與問題意識的關(guān)聯(lián)

“問題意識”是指一個人面對認(rèn)知對象時產(chǎn)生的一種環(huán)境、困惑、探究的心理意識.問題是思維的結(jié)果,又是思維的動力,更是創(chuàng)新的萌芽,敢不敢于提問,善不善于提問,在很大程度上決定一個人是否具有創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造才能.敢于提出問題、善于提出問題是培養(yǎng)善于分析問題和解決問題能力的前提.可以讓學(xué)生“無中生有”、“有中生異”、“拾級而上”等,讓學(xué)生產(chǎn)生提問的興趣,進(jìn)而提高問題的質(zhì)量,然后培養(yǎng)學(xué)生“類比提問”、“探源提問”、“聚合提問”引導(dǎo)學(xué)生由此及彼、觸類旁通、追根究底、發(fā)散思維等[5].根據(jù)核心問題的特點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生“問題意識”的目的在于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究問題的能力,并在教師的引導(dǎo)下找到解決問題的途徑,掌握解決問題的方法,形成解決問題的能力.

如“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”(下稱“拋物線”)中的核心問題定為“探求平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程”.

設(shè)計(jì)分析:本課是在學(xué)習(xí)了圓、橢圓和雙曲線的基礎(chǔ)上探求拋物線的方程,學(xué)生對怎樣研究圓錐曲線已經(jīng)有較多的知識、方法及程序等,特別是橢圓和雙曲線的第一和第二定義的學(xué)習(xí)和研究,學(xué)生對“坐標(biāo)法”研究圓錐曲線的軌跡方程有較為深刻的認(rèn)識,易類比提出問題“對平面內(nèi)到一個定點(diǎn)的距離F與到一條定直線l的距離的比為1 的點(diǎn)的軌跡是什么? ”,但對拋物線的認(rèn)識還是感性的,沒能上升到理性的高度去認(rèn)識,沒有深入地研究拋物線的幾何性質(zhì),對“探求平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程”這一問題不存在程序上的障礙,認(rèn)識圓錐曲線的本質(zhì),是圖形的幾何性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)方程的內(nèi)在關(guān)系,對如何尋求一個易于研究拋物線的幾何性質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)方程,卻是多數(shù)學(xué)生感到棘手的問題.

引導(dǎo)探究:拋物線這一課,鑒于它是圓錐曲線的最后一種類型,如果再沿用橢圓和雙曲線的教學(xué)模式,就沒有什么新意,學(xué)生會產(chǎn)生認(rèn)知疲倦感,也不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,學(xué)生的認(rèn)知水平和研究問題的能力隨著前面兩種圓錐曲線的學(xué)習(xí)明顯有較大的提高.因此,在學(xué)生對到一個定點(diǎn)F的距離和定直線l的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)0＜e ＜1時是橢圓,當(dāng)e ＞1 時是雙曲線,學(xué)生自然會產(chǎn)生疑問:當(dāng)e= 1 時軌跡是什么呢? 它的方程又是什么形式呢? 探求方程的過程又是怎樣的? 能不能象描述橢圓和雙曲線那樣的過程進(jìn)行描述? 這一連串的問題學(xué)生自己能夠感知甚至主動提出.于是設(shè)計(jì)時采用欲擒故縱的方式,先讓學(xué)生帶著自己的問題探求平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程,由于學(xué)生建立的坐標(biāo)系不同,得到的曲線的方程也有區(qū)別,學(xué)生頓時產(chǎn)生了疑惑,迫切想找到這種區(qū)別的根本原因所在,從而學(xué)生可以建構(gòu)出拋物線的定義,教師可以引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)美學(xué)的角度去分析如何建立坐標(biāo)系能使曲線更對稱、方程更簡單,調(diào)動學(xué)生更主動地去領(lǐng)悟方法,總結(jié)歸納出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

在日常的數(shù)學(xué)核心問題教學(xué)中,應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn),針對不同類型、不同專題和不同章節(jié)內(nèi)容,采用不同的核心問題設(shè)計(jì)及引探策略,盡可能的發(fā)揮核心問題的引領(lǐng)、促進(jìn)和推動課堂教學(xué)的重要作用,充分調(diào)動學(xué)生的主動性積極性,自覺參與學(xué)習(xí)探究、交流反思等活動中去,發(fā)展學(xué)生的思維能力,提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的綜合能力.