□呂港麗 郜舒竹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確提出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感……“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。”[1]在對數(shù)感的定義中多次提到數(shù)量、數(shù)量關(guān)系，但對“量”并沒有明確的界定。在數(shù)學(xué)中常將量分為離散量與連續(xù)量，而在歷史中量還可以分為廣延量與強(qiáng)度量，如速度就是一個強(qiáng)度量，速度概念在小學(xué)數(shù)學(xué)中處于難學(xué)難教的境況，而這與強(qiáng)度量所具有的獨(dú)特性有很大關(guān)系。在我國的數(shù)學(xué)教育研究中，很少涉及廣延量與強(qiáng)度量，因此有必要對國外相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行梳理，厘清“強(qiáng)度量”的意義及其認(rèn)知規(guī)律的已有研究，以期為進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ)。

一、“強(qiáng)度量”的歷史源流

古希臘哲學(xué)家亞里士多德（Aristotle）在他的《范疇篇》中，將質(zhì)與量看作是不同的范疇，二者之間有著本質(zhì)性的區(qū)別。量（quantity）表示的是物質(zhì)的“多少（multitude）”與“大?。╩agnitude）”，可以通過同一類型的較小的量相加得到，如長度、面積等；而質(zhì)（quality）表示的是物質(zhì)的屬性，不具有可加的性質(zhì)，但有強(qiáng)度（intensity）的不同，如顏色、溫度等。到了中世紀(jì)，質(zhì)的強(qiáng)度變化問題在自然哲學(xué)中引起了極大的爭論，并為牛津計(jì)算者提出質(zhì)的量化奠定了哲學(xué)基礎(chǔ)，而后來世人對強(qiáng)度量（intensive quantity）與廣延量（extensive quantity）的區(qū)分也是從此衍變而來的[2]。

18世紀(jì)，德國古典哲學(xué)創(chuàng)始人伊曼努爾·康德（Immanuel Kant）通過部分與整體的關(guān)系來定義和區(qū)分廣延量與強(qiáng)度量?？档聦V延量定義為“部分的表征使整體的表征成為可能”的量，即當(dāng)我們理解一個廣延量時，也理解它的部分與整體的關(guān)系，例如一個確定的空間區(qū)域，如果不理解空間的各部分，是無法理解空間的。相比之下，在理解一個強(qiáng)度量時，只把它理解為一個整體，不直接表示它的部分或整體結(jié)構(gòu)，例如，不理解光的不同強(qiáng)度，只理解光的總強(qiáng)度[3]。

19世紀(jì)，英國哲學(xué)家羅素（Russell）在《論數(shù)與量的關(guān)系》一文中，根據(jù)量的變化與原始量是否為一個同類的量，將量分為廣延量與強(qiáng)度量，并給出兩種類型的量的特征。當(dāng)一個量的變化與原始量是一個同類的量時，這個量是一個廣延量，如長度的變化就是長度本身，廣延量可以加或減，并且可以被分割成可計(jì)算的部分。而當(dāng)一個量的變化與原始量不是一個同類的量時，這個量就是一個強(qiáng)度量，如溫度。強(qiáng)度量不可分，并且不能用數(shù)（number）來度量，必須通過感覺來比較判斷，當(dāng)發(fā)現(xiàn)感覺的變化實(shí)際上與某種廣延量的變化有關(guān)時，可以用廣延量的相對大小來衡量強(qiáng)度量的大小[4]。

20世紀(jì)，瑞士著名教育心理學(xué)家讓·皮亞杰（Jean Piaget）在《兒童的數(shù)字概念》一書中解釋了廣延量和強(qiáng)度量之間的差異。他將廣延量定義為“任何易于實(shí)際相加的量級（magnitude）的名稱，例如質(zhì)量或容量，由兩個物體組成的一個物體的質(zhì)量是兩個原始物體質(zhì)量的總和”，在廣延量情況下，整體等于部分之和。他將強(qiáng)度量定義為“任何不受實(shí)際相加影響的量級的名稱，例如溫度，15°和25°的水混合在一起不會產(chǎn)生40°的水”，在強(qiáng)度量情況下，整體不等于各部分的總和[5]。

因此，現(xiàn)在所說的廣延量相當(dāng)于亞里士多德所說的“量”的范疇，具有可加性，而強(qiáng)度量相當(dāng)于“質(zhì)”的范疇，不可以直接相加減，但有強(qiáng)度的變化。最初人們對強(qiáng)度量的認(rèn)識是基于感官層面的，通過具身的體驗(yàn)來感知，如感知光的強(qiáng)弱、溫度的高低，到后來，人們對強(qiáng)度量的認(rèn)識逐漸發(fā)展到抽象層面，利用與強(qiáng)度量相關(guān)的廣延量的大小來衡量，漸漸開始用數(shù)學(xué)化的方式更加清晰地定義強(qiáng)度量。

現(xiàn)代學(xué)者對強(qiáng)度量和廣延量的研究是以比例（proportion）研究為基礎(chǔ)的，在物理學(xué)中，強(qiáng)度量指一個系統(tǒng)（system）的比例保持不變的屬性，它不依賴于系統(tǒng)的大小或系統(tǒng)中物質(zhì)的數(shù)量（amount），如一個系統(tǒng)的溫度與它各部分的溫度是一樣的。根據(jù)物理學(xué)的形式主義，將強(qiáng)度量定義為兩個廣延量的商，密度、壓力和溫度是強(qiáng)度量，而質(zhì)量、重量是廣延量[6]。起初對比例的研究大多是在廣延量背景下進(jìn)行的，關(guān)于比例概念最有影響力的研究是皮亞杰和因霍爾德（Piaget and Inhelder）設(shè)計(jì)的“鰻魚應(yīng)該喂多少”的實(shí)驗(yàn)，這個實(shí)驗(yàn)不是關(guān)于強(qiáng)度量的，但它為研究強(qiáng)度量推理奠定了基礎(chǔ)。參考皮亞杰對比例推理的研究，諾埃爾（Noelting）確定了三個強(qiáng)度量背景下的比例推理水平（參見表1）[7]。

表1諾埃爾的比例推理水平

皮亞杰（Piaget）和施瓦茨（Schwartz）強(qiáng)調(diào)了廣延量和強(qiáng)度量之間的根本區(qū)別，認(rèn)為廣延量依賴于加法組合，強(qiáng)度量來源于比例關(guān)系。例如，兩飲料均為50毫升，都含有20%的橙汁和80%的水，將兩種飲料混合在一起將產(chǎn)生一種100毫升的飲料，由于體積取決于加法組合，它是一個廣延量；而混合飲料的濃度將保持20%的橙汁和80%的水，由于濃度來源于成分之間的比例關(guān)系，并保持恒定，它是一個強(qiáng)度量。

努內(nèi)斯（Nunes）等人通過比較日常生活中可以探索的廣延量和強(qiáng)度量來描述二者之間的差異。他指出強(qiáng)度量是通過兩個變量之間的關(guān)系來衡量的，味道是一個強(qiáng)度量，檸檬汁的甜度可以用糖量和檸檬汁量之間的關(guān)系來描述。而廣延量是由數(shù)（number）度量的，該數(shù)表示度量單位（unit）可以度量該量的次數(shù)，彩帶是2.5厘米長，表示度量單位厘米，可以度量彩帶兩次半。度量操作反映了廣延量是以與其相同類型的單位度量的，長度以長度單位度量，體積以體積單位度量。相比之下，強(qiáng)度量涉及三個量，就檸檬汁的味道而言，有兩個廣延量——糖的數(shù)量和檸檬汁的數(shù)量，以及強(qiáng)度量味道本身，并且兩個廣延量和強(qiáng)度量之間的關(guān)系是不同的，制作檸檬汁時，用的糖越多，味道越甜，但用的檸檬汁越多，味道越不甜，因此，糖的量與甜度成正比，檸檬汁的量與甜度成反比。這表明，為了理解強(qiáng)度量，兒童需要理解量之間既有正比關(guān)系，也有反比關(guān)系。

綜上所述，人類對量的認(rèn)識經(jīng)歷了漫長的歷程，從最初亞里士多德提出質(zhì)與量的范疇，到后來衍變?yōu)閺?qiáng)度量與廣延量，而對廣延量與強(qiáng)度量的認(rèn)識和區(qū)分是幾個世紀(jì)以來的重大課題。從康德首次通過對部分與整體關(guān)系的感知來定義和區(qū)分強(qiáng)度量與廣延量，到后來，人們開始利用比例關(guān)系來描述強(qiáng)度量。廣延量與強(qiáng)度量可以從部分與整體的關(guān)系以及度量的角度來理解，廣延量表示可以由與其相同類型的度量單位直接度量的量，如長度、面積、體積、重量等，在廣延量的情況下，整體等于部分之和；而強(qiáng)度量是由兩個廣延量之間的比例關(guān)系來衡量的，如溫度、濃度、速度、壓強(qiáng)等，在強(qiáng)度量的情況下，整體不等于各部分的總和。

二、“強(qiáng)度量”的認(rèn)知發(fā)展階段及認(rèn)知困難

皮亞杰以及諾埃爾等人的研究表明，比例推理是在青少年時期才逐漸發(fā)展起來的，在這之前不考慮比例的加法比較。西格勒（Siegler）在研究概念內(nèi)部以及概念之間的發(fā)展順序時指出，兒童強(qiáng)度量概念的發(fā)展可以劃分為三個階段（參見表2）[8]。

表2西格勒的兒童強(qiáng)度量概念發(fā)展階段

主導(dǎo)維度是指兒童在進(jìn)行強(qiáng)度量推理時首先依賴的維度，但“主導(dǎo)”與“從屬”的地位并非保持不變，不同的刺激可能會導(dǎo)致二者發(fā)生轉(zhuǎn)變，并且在不同的強(qiáng)度量問題中，也有所差異。皮亞杰、努內(nèi)斯等人的研究表明，對于大多數(shù)強(qiáng)度量問題，與強(qiáng)度量成正比的變量是主導(dǎo)維度。例如，“哪杯飲料更甜”，兒童在做判斷時，會認(rèn)為“糖更多的飲料更甜”，在這里與甜度成正比的糖量是主導(dǎo)維度；而在速度問題中，“哪個行程更快”，兒童在做判斷時，會認(rèn)為“時間越短的越快”，在這里與速度成反比的時間就成為主導(dǎo)維度。

兒童強(qiáng)度量概念的建構(gòu)并不是一蹴而就的，而是經(jīng)歷了從專注一個維度過渡到在有限情況下考慮兩個維度，再到綜合考慮兩個維度的過程，體現(xiàn)了兒童關(guān)系思維的不斷發(fā)展，也反映了兒童建構(gòu)完善的強(qiáng)度量概念并不容易。那么兒童在理解強(qiáng)度量概念以及在解決強(qiáng)度量問題時，有著怎樣的認(rèn)知困難呢？

（一）難以理解反比關(guān)系

由于強(qiáng)度量來源于比例關(guān)系，必然涉及與其成反比關(guān)系的量，而多位研究者發(fā)現(xiàn)，兒童在理解反比關(guān)系上存在困難。

科亞（Correa）在研究幼兒除法概念的發(fā)展時，通過分配糖果的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)兒童很難想到商和除數(shù)之間的反比關(guān)系[9]，之后，科爾尼拉基（Kornilaki）在對離散量和連續(xù)量除法的研究中，同樣驗(yàn)證了兒童在理解商和除數(shù)之間的反比關(guān)系上存在困難[10]。

霍韋（Howe）等人通過一項(xiàng)研究對影響強(qiáng)度量推理的因素進(jìn)行了檢驗(yàn)，該研究測試了963名7～12歲的蘇格蘭兒童，以比較問題和缺失值問題的形式解決42個強(qiáng)度量問題。其中在比較問題中，研究者發(fā)現(xiàn)對于大多數(shù)項(xiàng)目，操縱與強(qiáng)度量成正比例的變量比操縱成反比例的變量的問題容易，而有時，操縱反比例變量很容易處理，例如，判斷哪一個行程更快，反比例變量（時間）比正比例變量（距離）容易。而導(dǎo)致兒童理解反比關(guān)系存在困難的原因除了認(rèn)知方面的因素以外，還主要來源于語言的使用。一是術(shù)語的選擇，例如，對兩杯檸檬汁進(jìn)行提問，當(dāng)問題是“哪杯飲料更甜”時，正比例變量是糖量，而當(dāng)問題是“哪杯飲料更酸”時，正比例變量就變成了檸檬汁的數(shù)量；二是日常的單位化，例如，每單位重量的不同價(jià)格比每單位價(jià)格的不同重量更為常見（香蕉5元/千克比香蕉0.2千克/元常見），從而使價(jià)格更加顯著。這些例子表明對于大多數(shù)強(qiáng)度量，日常的語言習(xí)慣傾向于使正比例變量顯著，反比例變量不顯著。

因此，理解反比關(guān)系的困難會阻礙學(xué)生理解強(qiáng)度量，而導(dǎo)致學(xué)生難以理解反比關(guān)系的原因，一方面是認(rèn)知因素，隨著年齡的增長，學(xué)生逐漸能夠克服困難，另一方面是語言因素，教師可以有意識地讓學(xué)生理解和區(qū)分不同語境下不同量之間的正比和反比關(guān)系。

（二）難以理解不同量之間的關(guān)系

努內(nèi)斯（Nunes）通過控制廣延量和強(qiáng)度量問題的正比和反比關(guān)系，研究兒童對強(qiáng)度量的理解障礙。研究發(fā)現(xiàn)，兒童理解反比關(guān)系存在困難并不能完全解釋兒童對強(qiáng)度量問題的認(rèn)知困難，在強(qiáng)度量問題和廣延量問題中，兒童都會在理解反比關(guān)系上存在困難，但在強(qiáng)度量問題背景下推理反比關(guān)系比在廣延量背景下推理反比關(guān)系更加困難。因此，相比于廣延量問題，強(qiáng)度量問題還存在其他的認(rèn)知困難：兒童必須認(rèn)識到不同的量之間的關(guān)系，例如在“哪種飲料會更酸”問題中，兒童會將反比關(guān)系看作是正比關(guān)系，而在關(guān)于成本和速度的問題中，他們會傾向于忽略其中一個量。

皮亞杰、諾埃爾以及西格勒等人的研究表明，兒童在建構(gòu)強(qiáng)度量概念的過程中經(jīng)歷了從單一維度主導(dǎo)到綜合考慮兩個維度的轉(zhuǎn)變，而在這個過程中，一開始兒童無法同時考慮三個量之間的關(guān)系。

（三）難以理解強(qiáng)度量的不可加性

如前所述，廣延量具有可加性，而強(qiáng)度量是不可以直接相加的，埃里克森（Erickson）在測驗(yàn)兒童對熱量與溫度的認(rèn)識時發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)兒童把熱量歸因于一種加減性質(zhì)，即物體的溫度可以通過加減物體的熱量來改變[11]。類似的，學(xué)生可能不會將單價(jià)看成是一個強(qiáng)度量，“香蕉的單價(jià)是5元/千克，3千克香蕉多少元？”學(xué)生會將5元/千克看成是第1千克與5元相聯(lián)系，第2千克、第3千克也與5元相聯(lián)系，而3千克的香蕉的總價(jià)格就是3個5元的總和[12]。學(xué)生在解決速度問題的過程中也會出現(xiàn)將速度直接相加，將平均速度看作是速度和的平均數(shù)的情況。這些都反映出學(xué)生沒有理解強(qiáng)度量的不可加性，而傾向于將廣延量推理的加法思維延伸到強(qiáng)度量問題的推理上。

（四）難以從直觀感知層面過渡到反思抽象層面

皮亞杰在研究兒童的速度概念時指出，運(yùn)動和速度不是被理解，而是引起長時間的反應(yīng)，首先是感覺—運(yùn)動（sensori-motor），然后是直覺（intuitive），最后是操作（operational），即從直覺規(guī)則逐漸過渡到邏輯操作。研究發(fā)現(xiàn)，5至6歲的兒童，根據(jù)停止點(diǎn)的順序來直觀判斷速度大小，兒童對速度最早的直覺是超越，依據(jù)可以看見的超車來判斷哪個小車運(yùn)動得更快，到了9至11歲，兒童開始理解時間、距離、速度三者之間的比例關(guān)系，并且能在符號層面進(jìn)行運(yùn)算操作[13]。

亞伯拉罕（Abrahamson）指出學(xué)生學(xué)習(xí)強(qiáng)度量知識時認(rèn)知困難的一個重要原因是從直觀感知過渡到反思抽象。學(xué)生帶著對強(qiáng)度量的直觀理解進(jìn)入課堂，而這些理解是基于感覺的、整體的、不清晰的理解，主要表現(xiàn)在日?；顒雍涂谡Z表達(dá)中，如陡峭的山、車輛的速度、事件的可能性等，這些感覺可以幫助學(xué)生去學(xué)習(xí)強(qiáng)度量，但同時也會帶來阻礙。在學(xué)習(xí)強(qiáng)度量知識過程中，學(xué)生需要從抽象的符號層面來看待和討論這些量，以數(shù)學(xué)分析的形式來完成對強(qiáng)度量整體感覺的反思[14]。

三、“強(qiáng)度量”的教學(xué)

在我國現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，廣延量和強(qiáng)度量的知識滲透在多個年級中，廣延量主要分布在“常見的量”中，如長度、面積、重量等，而強(qiáng)度量的學(xué)習(xí)主要體現(xiàn)在“數(shù)量關(guān)系”中，如單價(jià)、速度等。強(qiáng)度量作為由兩個廣延量的乘法比較而產(chǎn)生的新量，對學(xué)生來說，在理解上存在很多困難。在強(qiáng)度量的教學(xué)中，如果僅僅關(guān)注對計(jì)算公式的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，如“速度=路程÷時間”，將速度看作是運(yùn)算的結(jié)果，而忽視了對不同量之間的關(guān)系的理解，可能會導(dǎo)致學(xué)生對知識本質(zhì)的認(rèn)識并不深刻，在解決相關(guān)問題時也會出現(xiàn)各種錯誤。因此，教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)采取相應(yīng)的策略，促進(jìn)學(xué)生對強(qiáng)度量知識的深度理解。

（一）關(guān)注認(rèn)知發(fā)展，培養(yǎng)關(guān)系思維

兒童強(qiáng)度量概念的發(fā)展經(jīng)歷了從單一維度主導(dǎo)到綜合考慮多維度的過程，從最初中心化的直覺規(guī)則，逐漸走向一種關(guān)聯(lián)，最終成功構(gòu)建不同量之間的比例關(guān)系。教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知軌跡及可能會出現(xiàn)的認(rèn)知困難，從而合理設(shè)置教學(xué)任務(wù)，明確教學(xué)重難點(diǎn)。例如，初次學(xué)習(xí)速度概念時，可以設(shè)置玩具小車運(yùn)動的多種情境（起始點(diǎn)相同，運(yùn)動的路程不同；運(yùn)動的路程相同，時間不同；運(yùn)動的時間相同，路程不同），讓學(xué)生在不同情況下去判斷哪輛小車運(yùn)動得快，哪輛小車運(yùn)動得慢。逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)路程、時間與速度之間的關(guān)系。通過設(shè)置正反問題（同一情境的快與慢），讓學(xué)生在不同語境下理解正比、反比關(guān)系，幫助學(xué)生克服困難，促進(jìn)學(xué)生關(guān)系思維的發(fā)展。

（二）強(qiáng)調(diào)定量推理，培養(yǎng)量感

推理（reasoning）是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，也是數(shù)學(xué)的基本思維方式。湯普森（Thompson）提出了兩種類型的推理：定量推理（quantitative reasoning）和數(shù)值推理（numerical reasoning）。定量推理是對量的推理，而不依賴于特定的數(shù)值，這種推理涉及定量運(yùn)算（quantitative operations）。定量運(yùn)算與對情境的理解有關(guān)，是一種心理操作，例如，將兩個量進(jìn)行加法比較會產(chǎn)生差異，將兩個量進(jìn)行乘法比較會得到一個比或比率，定量運(yùn)算創(chuàng)造了一個結(jié)構(gòu)——創(chuàng)造的新量與原始量之間的關(guān)系，而數(shù)值推理用于評估一個量的大小。定量推理的發(fā)展十分重要，因?yàn)樗菍φ鎸?shí)情況進(jìn)行數(shù)學(xué)化和理解量之間建立關(guān)系的基礎(chǔ)，這些關(guān)系有助于問題的解決和概念的理解，是一般化（generalization）和代數(shù)思維（algebraic thinking）的基礎(chǔ)[15]。因此，在強(qiáng)度量知識的教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注學(xué)生對量的推理，而不應(yīng)僅局限于數(shù)值的運(yùn)算，從量的角度理解情境中不同量之間的關(guān)系，從而培養(yǎng)學(xué)生的量感。

（三）注重具身體驗(yàn)，培養(yǎng)抽象能力

人類對強(qiáng)度量的認(rèn)識最初是通過感覺來比較判斷的，在進(jìn)入課堂學(xué)習(xí)之前，學(xué)生也已經(jīng)對強(qiáng)度量有了直觀的理解。而在課堂上，學(xué)生需要對這些已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思，建構(gòu)清晰完整的強(qiáng)度量概念。根據(jù)皮亞杰的研究，兒童對速度的認(rèn)知是從可視的“超車”的動作現(xiàn)象開始的，隨后逐漸走向一種關(guān)聯(lián)，開始理解距離、時間與速度的關(guān)系，最后將速度進(jìn)行量化，測量距離和時間，并對距離和時間進(jìn)行定量運(yùn)算，建立比率關(guān)系，構(gòu)建精確的速度公式。因此，強(qiáng)度量的教學(xué)可以從現(xiàn)象開始，例如通過真實(shí)的運(yùn)動情境來學(xué)習(xí)速度，讓學(xué)生首先能夠具身體驗(yàn)到強(qiáng)度量所喚起的感覺，然后再開始學(xué)習(xí)如何用兩個廣延量的比來分析和描述這種現(xiàn)象，從抽象的符號層面反思自己的整體感覺，從而讓學(xué)生經(jīng)歷從質(zhì)性理解到定量推理的過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。

總之，關(guān)于強(qiáng)度量的課程與教學(xué)研究，在我國應(yīng)當(dāng)說處于起步階段。關(guān)于強(qiáng)度量在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的分布規(guī)律，不同學(xué)段學(xué)生對于相關(guān)強(qiáng)度量的認(rèn)知規(guī)律，以及對于強(qiáng)度量的課程設(shè)計(jì)與教學(xué)，都將成為進(jìn)一步研究的問題。