□朱希萍

“問題解決”能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)著力培養(yǎng)的關(guān)鍵能力之一。教師要引導(dǎo)學(xué)生在問題解決的過程中，以問題為目標(biāo)導(dǎo)向，在閱讀、觀察、比較、分析、解決的過程中，提升應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中與“問題解決”相關(guān)的內(nèi)容可以分成兩大類：良構(gòu)型的問題與非良構(gòu)型的問題。良構(gòu)型的問題，條件是明了的，問題是給定的，答案是確定的。學(xué)生在解決這類結(jié)構(gòu)清晰的問題時(shí)往往有明確的數(shù)量關(guān)系和清晰的解題思路為指引。非良構(gòu)型的問題，常常需要學(xué)生在給定的問題情境中自主發(fā)現(xiàn)和自主選擇信息，并在此基礎(chǔ)上綜合運(yùn)用相關(guān)知識解決問題。

教師在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)良構(gòu)型問題與非良構(gòu)型問題時(shí)，會采用不同的方式，體現(xiàn)出不同的特征。本文主要談?wù)劷Y(jié)構(gòu)化視域下對良構(gòu)型問題解決的復(fù)習(xí)如何進(jìn)行。

一、建題型之結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)良構(gòu)型問題的解決按照解題所需的步驟多少劃分，可以分為基本應(yīng)用題、兩步應(yīng)用題與多步復(fù)合應(yīng)用題三類。

張?zhí)煨⒗蠋熢凇缎滤季S數(shù)學(xué)》一書中，將基本應(yīng)用題分為了11類，其分類方法得到廣泛認(rèn)同?；緫?yīng)用題進(jìn)行“組合”后，拓展為兩步計(jì)算應(yīng)用題。進(jìn)而，在“和”結(jié)構(gòu)的兩步計(jì)算應(yīng)用題的基礎(chǔ)上又可以引出求“兩積之和”與“兩商之和”的應(yīng)用題，在“差”結(jié)構(gòu)的兩步計(jì)算應(yīng)用題的基礎(chǔ)上再引出“兩積之差”與“兩商之差”的應(yīng)用題?！吧滔嗟取薄胺e相等”的題型結(jié)構(gòu)還可以進(jìn)一步擴(kuò)展到兩步的歸一應(yīng)用題和歸總應(yīng)用題。

教學(xué)中，教師要基于應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)，注重?cái)?shù)量復(fù)合關(guān)系的凝聚與擴(kuò)變。

（一）擴(kuò)縮變換

改變基本應(yīng)用題中的一個(gè)條件，或者補(bǔ)充一個(gè)條件，使之成為需要更多步驟解決的應(yīng)用題，這種改編形式稱為“擴(kuò)題”變換，反之則稱為“縮題”變換。

如：媽媽買了5千克帶魚，每千克30元，買黃魚又花去120元，一共花了多少錢？如果將此題中“買黃魚又花去120元”變換為“黃魚每千克40元，買了3千克”，其他條件和問題均不改變，就把兩步計(jì)算的問題擴(kuò)展成了求“兩積之和”的三步計(jì)算的問題。如果買帶魚和黃魚的千克數(shù)相同，就變成形如“（a+b）×c=e”的求“兩積之和”的另一種應(yīng)用題結(jié)構(gòu)模型。

（二）可逆變換

可逆變換指的是基本結(jié)構(gòu)相同，其正向表達(dá)的題目與逆向表達(dá)的題目之間發(fā)生了變化。比如在“ab+cd=e”這一題型結(jié)構(gòu)中，如果“e”作為問題出現(xiàn)便是正向題；如果把“e”變成已知條件，a、b、c、d中的某一項(xiàng)作為問題出現(xiàn)，那么就成了逆向結(jié)構(gòu)的問題。如對前文中的題目進(jìn)行逆向變換，可得問題：媽媽買了5千克帶魚和3千克黃魚共花了270元。其中帶魚每千克30元，求黃魚每千克多少元？

在“ab+cd=e”結(jié)構(gòu)中，一道正向題往往可以編出四道逆向題。復(fù)習(xí)梳理時(shí)，教師可以通過互逆改編，幫助學(xué)生厘清“一正四逆”這些題目間的聯(lián)系。

（三）情節(jié)變換

情節(jié)變換指的是相同的解題方法應(yīng)用在不同的問題情境中，體現(xiàn)了相同數(shù)量關(guān)系的不同應(yīng)用之處，也體現(xiàn)了不同問題情境中數(shù)學(xué)知識間的本質(zhì)一致性。采用情節(jié)變換的方式復(fù)習(xí)應(yīng)用題，可以把工程問題、行程問題等各類應(yīng)用題凝結(jié)到同一模型結(jié)構(gòu)中，便于學(xué)生厘清知識本質(zhì)，在頭腦中將知識進(jìn)行結(jié)構(gòu)化儲存。

二、建算理之結(jié)構(gòu)

在問題解決的復(fù)習(xí)階段，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生基于意義理解進(jìn)行學(xué)習(xí)，注重引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)量關(guān)系間的溝通聯(lián)系。通過抓住“數(shù)量關(guān)系”引導(dǎo)學(xué)生從“解一題”上升到“解一類”，學(xué)會用“以不變應(yīng)萬變”的聯(lián)系策略解決問題。

復(fù)習(xí)過程中，教師要努力基于運(yùn)算意義對這些解題思路進(jìn)行聯(lián)通梳理，使學(xué)生理解各種題型都是基于同一數(shù)量關(guān)系的不同表征形式，同一數(shù)量關(guān)系在不同領(lǐng)域運(yùn)用時(shí)表達(dá)相同的意義。

（一）整數(shù)應(yīng)用題與分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題之間的聯(lián)通

（二）算術(shù)解法與方程解法之間的聯(lián)通

在良構(gòu)型問題的解決中，學(xué)生對逆向題的理解常常會遇到困難，用方程解決逆向題能讓題目變得簡單。但學(xué)生習(xí)慣于用算術(shù)法解題，在他們頭腦中，算術(shù)法與方程法常呈現(xiàn)為各自獨(dú)立的狀態(tài)，所以復(fù)習(xí)時(shí)有必要引導(dǎo)學(xué)生將兩者進(jìn)行溝通，使他們明白用方程解決的逆向題與用算術(shù)解決的順向題，其實(shí)是同一數(shù)量關(guān)系的不同表征。

（三）分?jǐn)?shù)應(yīng)用題與其他應(yīng)用題之間的溝通

解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)生問題解決學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)所在，教學(xué)時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題與其他應(yīng)用題之間的溝通。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題與比例應(yīng)用題、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、倍數(shù)應(yīng)用題等問題常常有相似的結(jié)構(gòu)，有相同的解題思路與方法。在問題解決復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)讓學(xué)生在自主對比、自主分析的基礎(chǔ)上，從不同問題表象中找出相似的結(jié)構(gòu)特征，真正理解解題原理的一致性，達(dá)到算理結(jié)構(gòu)化的目的。

三、塑策略之結(jié)構(gòu)

學(xué)生在理解了題目結(jié)構(gòu)之后就要著手選擇解題策略。學(xué)生只有在有豐富策略儲備的基礎(chǔ)上，才能在遇到問題時(shí)自主選擇適當(dāng)?shù)慕忸}策略。

（一）一般解題策略的培養(yǎng)

一般解題策略指的是解決大多數(shù)問題的通用策略，它區(qū)別于解特殊類型題時(shí)的個(gè)別技能技巧，是一種具有廣泛遷移性的思考方式。

波利亞提出的解題四步驟：情境理解,明確問題—表征問題，分析數(shù)量關(guān)系—選擇解決問題的策略并嘗試解決—檢驗(yàn)與回顧，在培養(yǎng)學(xué)生一般解題策略方面具有重要的借鑒意義。

（二）基本解題策略

問題解決的基本策略指的是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的解決問題的基本措施。大約有如下幾種：①分析法、綜合法、分析綜合法。分析法——從問題聯(lián)想需要的條件；綜合法——從已知條件聯(lián)想到問題；分析綜合法——從條件和問題聯(lián)想到中間問題。②輔助方法。大致有圖示法、列表法與模擬演示等。③特殊方法。包括假設(shè)法、倒推法等。這些解題策略往往能使題目中隱藏的數(shù)量關(guān)系明朗化，將復(fù)雜問題簡單化，能幫助學(xué)生找到解題的思路。

值得注意的是，學(xué)生需要在學(xué)習(xí)過程中有意識地逐步積累解題策略，并經(jīng)常運(yùn)用不同策略解決問題，這樣才能在合適的時(shí)機(jī)找到合適的策略。

四、提能力之結(jié)構(gòu)

問題解決復(fù)習(xí)時(shí)，教師還要注重將題目用多樣化的形式呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分層次梳理。讓學(xué)生自主編題和進(jìn)行題組訓(xùn)練是分層梳理的好形式。

（一）編題訓(xùn)練

在問題解決復(fù)習(xí)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行編題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生掌握應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)類型，還可以加深學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的理解，提高其解題能力。

1.根據(jù)情境編題

根據(jù)情境編題，是指根據(jù)主題圖或具體活動等給定的情境進(jìn)行編題。學(xué)生在編題過程中可以進(jìn)一步厘清數(shù)量之間的關(guān)系。

2.根據(jù)關(guān)系編題

根據(jù)關(guān)系編題，是指根據(jù)給定的抽象數(shù)量關(guān)系編題。如根據(jù)“平均每天燒煤量=總煤量÷天數(shù)”編題，學(xué)生既可以編求每天燒煤量的題，也可以編求天數(shù)或求總煤量的題。這樣的編題活動有利于學(xué)生厘清三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。

3.根據(jù)算式編題

如果說上面兩種形式的編題是正向的思維訓(xùn)練，那么根據(jù)算式編題就是逆向的聯(lián)想訓(xùn)練。根據(jù)呈現(xiàn)的算式想象問題情境，有助于提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

（二）題組訓(xùn)練

所謂題組，就是指由知識聯(lián)系密切的、題目形式相近的、思維方法相似的或解題方法類同的題目構(gòu)成一組題，具有一定的對比性、層次性和整體性。題組訓(xùn)練應(yīng)用于復(fù)習(xí)課教學(xué)，對學(xué)生鞏固所學(xué)的知識、糾正解題思維的偏差、辨析容易混淆的方法以及構(gòu)建知識的框架等都有獨(dú)特的作用。

（三）分階段分層落實(shí)

應(yīng)用題的復(fù)習(xí)教學(xué)按照“打好基礎(chǔ)，訓(xùn)練思維，掌握結(jié)構(gòu)，生長智慧”的指導(dǎo)思想，可以劃分為三個(gè)階段組織系列訓(xùn)練。

第一階段，主要是復(fù)習(xí)整數(shù)基本應(yīng)用題和兩步應(yīng)用題，又各分為初期、中期、后期三個(gè)教學(xué)層次。每一個(gè)層次圍繞一個(gè)中心進(jìn)行教學(xué)，目的是幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)。

第二階段，主要是復(fù)習(xí)整數(shù)和小數(shù)多步應(yīng)用題，使學(xué)生掌握復(fù)合關(guān)系的基本結(jié)構(gòu)與基本變換，進(jìn)行解題基本思想方法的訓(xùn)練。

第三階段，主要是復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題和比例應(yīng)用題。這是應(yīng)用題復(fù)習(xí)的提高階段。這里的提高，首先表現(xiàn)在從具體到抽象的提高，如從整數(shù)、小數(shù)應(yīng)用題中具體的數(shù)量關(guān)系，提高到分?jǐn)?shù)、比例應(yīng)用題中抽象的數(shù)量關(guān)系；其次表現(xiàn)在從分散到綜合的提高，如在比例應(yīng)用題的教學(xué)中溝通各類應(yīng)用題之間的相互聯(lián)系，通過用比例的思想解決問題，打通問題解決策略的脈絡(luò)，等等。

總之，良構(gòu)型問題解決的復(fù)習(xí)課，要以運(yùn)算意義為主線，以多樣化問題解決策略為手段，以多形式多層次展開訓(xùn)練為保障，達(dá)到提升學(xué)生問題解決能力的目的。