□吳海燕
布魯納認(rèn)為,學(xué)習(xí)就是能把一個人學(xué)得的編碼系統(tǒng)應(yīng)用到新的學(xué)習(xí)上,正遷移就是一種適當(dāng)?shù)木幋a系統(tǒng)被應(yīng)用到一系列新事件的學(xué)習(xí)上;負(fù)遷移是一個人錯誤地把編碼系統(tǒng)應(yīng)用到新的學(xué)習(xí)上[1]。課堂教學(xué)中,正遷移一般會獲得教師的關(guān)注和認(rèn)可,對結(jié)論和其背后的“為什么是”都能得到較全面而清楚的詮釋。如首都師范大學(xué)郜舒竹教授在《“平行四邊形面積”之難》一文中談到,通?!捌叫兴倪呅蚊娣e”的教學(xué),是將平行四邊形通過剪拼,轉(zhuǎn)化為長方形,進(jìn)而運(yùn)用長方形面積公式推導(dǎo)出平行四邊形面積公式[2]。在剪拼的學(xué)習(xí)活動的支持下,學(xué)生不但知道了平行四邊形面積等于長乘高,而且在可視圖形的支撐下明晰了事實、理解了道理。但對于負(fù)遷移往往是草草收場,表現(xiàn)得重視不夠,探究不足。在一般情況下,負(fù)遷移的結(jié)論是伴隨著正遷移結(jié)論得到肯定的同時而被否定的。在負(fù)遷移結(jié)論被否定的同時,負(fù)遷移的話題也就隨之結(jié)束了,對其背后的“為什么不是”基本不會再進(jìn)行討論與探究。缺失的“為什么不是”是否有探究的意義呢?這個問題背后又蘊(yùn)含著怎樣的深刻意義?
學(xué)生受到原有認(rèn)知和經(jīng)驗的影響,生發(fā)“錯誤猜想”和“不當(dāng)推理”現(xiàn)象在學(xué)習(xí)中時有發(fā)生,“不是”就成為課堂中常有的一個真實的存在。就如在“平行四邊形面積”教學(xué)中,學(xué)生依托長、正方形面積的學(xué)習(xí)經(jīng)驗,在研究平行四邊形面積伊始,呈現(xiàn)出平行四邊形面積等于兩鄰邊相乘的猜想。郜舒竹教授在《“平行四邊形面積”之難》一文中清晰地陳述了學(xué)生形成這一猜想的緣由,即是由平行四邊形與長方形的相似之處及學(xué)生的原有經(jīng)驗和知識所致。此“錯誤猜想”就是布魯納所說的負(fù)遷移,是學(xué)生在自己的原有經(jīng)驗和認(rèn)知基礎(chǔ)上的一個真實“生成”?!吧伞笔嵌磐R學(xué)習(xí)觀的核心觀點之一。“生成”強(qiáng)調(diào)的是一種從無到有的過程,是一種自然的生長過程。杜威認(rèn)為知識的學(xué)習(xí)不是機(jī)械地接受人類的認(rèn)識結(jié)果,簡單地將外在的知識置于頭腦之中,而是充分調(diào)動頭腦中已有的經(jīng)驗,通過對已有經(jīng)驗的重組或改造,對所接收到的信息進(jìn)行主動解釋,生成個人的意義或自己的理解[3]。學(xué)習(xí)中,類似這樣“不是”的生成還有許多。如在“角的初步認(rèn)識”有關(guān)角的大小比較的學(xué)習(xí)中,教師呈現(xiàn)出兩個邊長短不同(射線畫出的部分不同)但大小相同的角,請學(xué)生判斷角的大小,大多數(shù)學(xué)生會判斷畫出的邊比較長的角比較大;在學(xué)習(xí)小數(shù)加減法計算時,學(xué)生會把小數(shù)的末尾對齊列豎式;在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法計算時,學(xué)生會用分子加分子,分母加分母,等等。
雖然這些“不是”形成的緣由各不相同,但都是學(xué)生在自己原有經(jīng)驗基礎(chǔ)上自覺、自主、自動的思維的外化,是學(xué)生經(jīng)過復(fù)雜思維活動的真實產(chǎn)物。遇到新的問題時,學(xué)生要在頭腦中把新問題與原有的知識相關(guān)聯(lián),在對比異同的基礎(chǔ)上進(jìn)行遷移,做出推理和判斷,然后得出了如上這些“不是”的結(jié)論。在學(xué)生進(jìn)行比較、推理和判斷的過程中,出現(xiàn)了一些學(xué)生并不自知的bug,但都是學(xué)生學(xué)習(xí)中鮮活的“生成”。愛因斯坦說:“提出一個問題往往比解決一個問題更重要,因為解決問題也許僅僅是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募寄芏?而提出新的問題,新的可能性,從新的角度去看待舊的問題,卻需要有創(chuàng)造性的想象力,而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。”由此我們知道問題的發(fā)現(xiàn)和提出是如此的重要。但真問題的發(fā)現(xiàn)和提出是需要土壤的,發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的種子是需要被呵護(hù)的。當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)不同猜想時,就是問題生發(fā)之時,因此猜想中的“不是”就是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的種子,它需要教師小心呵護(hù)用心對待。在“不是”的猜想中隱藏著認(rèn)知上的缺陷和漏洞,它有待改造或改組,這樣學(xué)習(xí)才真正發(fā)生。因此,學(xué)習(xí)中,學(xué)生生發(fā)的“不是”恰是學(xué)生認(rèn)知之樹成長的“種子”,它需要被教師看到,需要被關(guān)注、被尊重、被培養(yǎng)。
科學(xué)猜想與假設(shè)是科學(xué)研究中的重要環(huán)節(jié),科學(xué)猜想與假說是通向真理的橋梁。大科學(xué)家牛頓有句名言:“沒有大膽的猜想,就不可能有偉大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明。”猜想的結(jié)論必然有“是”或“不是”兩種情況,隨之也必然生發(fā)“為什么是”和“為什么不是”這樣的問題。關(guān)于“是”“不是”“為什么是”這三個問題,在一般情況下都會引起教師重視,學(xué)生會得到明確的結(jié)論和清晰的論證。如在“平行四邊形面積計算”的學(xué)習(xí)中,學(xué)生通過教具、學(xué)具的支持,在割補(bǔ)、數(shù)格等具體活動的支撐下,獲悉平行四邊形面積等于底乘高的事實,明確平行四邊形面積等于底乘高的緣由,等同就知道了平行四邊形面積不等于鄰邊相乘。但“為什么不是”這個問題就被教師所忽視,表現(xiàn)為教學(xué)中的忽略。就如郜舒竹教授在《“平行四邊形面積”之難》一文中的建議:在學(xué)習(xí)中要補(bǔ)充學(xué)習(xí)活動,通過學(xué)習(xí)活動使學(xué)生認(rèn)識到平行四邊形的形狀和大小與圖形各邊的長度不具備確定的因果關(guān)系,使學(xué)生清楚知道平行四邊形面積不等于兩鄰邊相乘之乘積。
那“為什么不是”這個問題會被忽視呢?實際上,這是因為師生的思維不在一個層面上。對于“是”“為什么是”“不是”“為什么不是”這幾個問題的處理,教師是以不相容選言推理作為活動設(shè)計的基礎(chǔ)的。不相容選言命題的邏輯是:該命題所有選言只有且只有一個為真,其余的都為假。因此,以某個不相容選言命題為前提,如果能斷定某個支為真,則能推出其他支為假[4]。那么,在平行四邊形面積的教學(xué)中,就出現(xiàn)了平行四邊形面積等于兩鄰邊相乘或等于底乘高兩個選言支。通過操作、數(shù)格等活動說明了平行四邊形面積等于底乘高這個選言支是正確的。按照推理邏輯,也就說明另一選言支兩鄰邊相乘是錯誤的。所以,當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生說清楚了“為什么是”,伴隨著就說明了“為什么不是”,故學(xué)習(xí)活動也就停止了。
那學(xué)生遇到這幾個問題又是怎樣思考的呢?一個問題出現(xiàn)兩個不同的結(jié)論,實際上可以看成是兩個猜想、兩種假設(shè)。那么這兩個結(jié)論是否正確呢?需要論證每一個假設(shè),才能獲得清晰的認(rèn)知。即每一種都做出實實在在的論證,清楚知道:是,它為什么是;不是,它為什么不是。還以“平行四邊形面積”為例,是的理由在操作實踐中已然清晰,但不是的理由也要說得明白才行。也就是如郜舒竹教授建議的,需補(bǔ)充不是的緣由,通過邊的固定和面積的變化認(rèn)識到平行四邊形的面積與兩條鄰邊的乘積沒關(guān)系。如上兩種處理方法最大的差別在于一個是以教師的原有認(rèn)識為基礎(chǔ)的設(shè)計,一個是以學(xué)生的原有認(rèn)知為主體的設(shè)計。因為教師在開展探究活動之前就清楚地知道了結(jié)論,所以當(dāng)課堂上出現(xiàn)不同的結(jié)論時,教師清楚地知道只有一個結(jié)論是正確的,所以教師采用了不相容選言推理為設(shè)計的基礎(chǔ)。實際上這里無論是出現(xiàn)兩個選言支還是多個選言支,只要設(shè)計從已知結(jié)果的角度采取不相容選言推理的方式,都會呈現(xiàn)舍去探究“為什么不是”的環(huán)節(jié)。但是,如果站在學(xué)生的視角去思考,面對研究假設(shè),就需要去論證每一種假設(shè),才可確定研究的結(jié)論。因此,對待“為什么不是”問題,反映出的是以誰為課堂主體的問題,反映出的是怎樣探究的問題,積累的是研究假設(shè)的活動經(jīng)驗。因此,當(dāng)我們從學(xué)生角度選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄌ幚韺W(xué)生的問題時,就是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究精神、奠基科學(xué)研究經(jīng)驗的過程,使學(xué)生掌握科學(xué)研究之方法。
以此為例,在其他雷同課例中呈現(xiàn)出“不是”的結(jié)論,教師也要以學(xué)生為主體,以科學(xué)方法為支撐,設(shè)計并補(bǔ)充適宜的學(xué)習(xí)活動,幫助學(xué)生真實理解“為什么不是”。如,角的大小為什么跟邊的長短無關(guān);小數(shù)加減法為什么不說末尾對齊;分?jǐn)?shù)加減法為什么不能分母直接相加減;等等。
數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確認(rèn)識和理解是建構(gòu)數(shù)學(xué)大廈的基石,它是數(shù)學(xué)判斷、推理、生發(fā)的根基。因此,深刻領(lǐng)悟概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一件大事。當(dāng)學(xué)生在新知識的認(rèn)識和理解中出現(xiàn)了遷移,無論“是”或者“不是”其背后都指向?qū)﹃P(guān)系的認(rèn)識與理解。以平行四邊形面積的計算為例,學(xué)生生成兩種猜測。其一,平行四邊形面積是兩鄰邊之乘積,指向的是平行四邊形面積與兩鄰邊長短之關(guān)系;其二,平行四邊形面積等于底乘高,指向的是平行四邊形面積與底和高之關(guān)系。當(dāng)我們聚焦于數(shù)學(xué)事實、關(guān)注結(jié)果的時候,實際上就在不經(jīng)意間忽視了一個最重要的問題,那就是按照思維的順序,要知道平行四邊形面積的計算方法。首先要找到影響面積大小的相關(guān)聯(lián)的量,這就回到了數(shù)學(xué)的最根本價值上。在《馬克思主義哲學(xué)全書》中,對數(shù)學(xué)是這樣定義的:“數(shù)學(xué)是一門研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。”[5]研究數(shù)量關(guān)系的第一步就是要找到數(shù)量間是否存在著關(guān)系,有怎樣的關(guān)系,從而實現(xiàn)對數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識和理解。因此,在對平行四邊形面積計算方法的探究中,學(xué)生研究的實際上是兩個問題。第一個問題,平行四邊形的面積與誰有關(guān)系?第二個問題,有什么關(guān)系?因此,對于“為什么不是鄰邊相乘”的研究,是探究平行四邊形面積與兩鄰邊長短是否存在確定關(guān)系的過程,是積累認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系經(jīng)驗的過程,是觸碰數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的過程。在探究數(shù)學(xué)事實的過程中認(rèn)識數(shù)學(xué)事實,重要的是深化對關(guān)系的理解,積累探究的經(jīng)驗,獲得數(shù)學(xué)研究的科學(xué)方法。
探究“為什么不是”的學(xué)習(xí)活動,不僅可以清楚知道平行四邊形面積與鄰邊存在不確定的關(guān)系,也進(jìn)一步清晰了長和寬與長方形面積、邊長與正方形面積的確定關(guān)系,深化了圖形特征的認(rèn)識。在對比辨析中深層次理解圖形的同與不同,深入認(rèn)識平行四邊形易變形的特征。一個“為什么不是”的研究其意義深遠(yuǎn),它觸碰到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。美國數(shù)學(xué)教授柯普闌認(rèn)為,數(shù)學(xué)是一種對關(guān)系的學(xué)習(xí),教師應(yīng)鼓勵兒童發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系,不要只顧灌輸知識而扼殺了他們獨(dú)立思考的機(jī)會和發(fā)現(xiàn)的樂趣。
雷同的對“為什么不是”的挖掘,都可以引領(lǐng)學(xué)生叩擊數(shù)學(xué)本質(zhì)之大門。如角的大小比較中,為什么角的大小與邊的長短沒有關(guān)系;被2、5整除的數(shù)的特征為什么只看個位上的數(shù)就可以判斷,而被3整除的數(shù)的特征不能只看個位上的數(shù)來確定;小數(shù)加減法為什么不能末尾對齊直接加減;等等。
在不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容中,我們看到學(xué)生思維上產(chǎn)生的相通的問題,而這些相通問題都指向了對數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的探索。因此,教師要認(rèn)真對待教學(xué)中“為什么不是”的問題,關(guān)注學(xué)生的真問題,給學(xué)生提供發(fā)現(xiàn)真理的機(jī)會,讓他們真實地去探究以獲得真知。