□陽海林章勤瓊王圣昌

面積是幾何學(xué)基本度量之一。對(duì)于面積的學(xué)習(xí)，是學(xué)生空間形式認(rèn)識(shí)發(fā)展上的一次飛躍。[1]面積概念的理解一直是教學(xué)中的難點(diǎn)。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生更關(guān)注“面”在哪里，而忽略對(duì)“面”的大小的描述；容易受經(jīng)驗(yàn)的影響，一看到求面積，首先想到的是用尺子去度量長(zhǎng)度，而不是找一個(gè)單位面去覆蓋它。這主要是因?yàn)閷W(xué)生缺乏對(duì)面積度量、面積概念的深刻理解。

一、面積的定義和大小描述

面積是幾何學(xué)基本度量（測(cè)量或計(jì)量）之一，厘清度量的內(nèi)涵，對(duì)于面積的教學(xué)有重要啟示。

（一）度量的含義

關(guān)于度量，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此都有研究。史寧中認(rèn)為，度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)進(jìn)而認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的工具。度量的本質(zhì)在于表現(xiàn)事物某些指標(biāo)的順序。所有度量中的量，最后一定要通過數(shù)進(jìn)行表達(dá)，而且都是在1度量單位的基礎(chǔ)上進(jìn)行描述。度量單位的形成大致可以分為以下兩類：一類是通過抽象得到的，是人思維的結(jié)果；另一類是借助工具得到的，是人實(shí)踐的結(jié)果[2]。

西方學(xué)者指出，從技術(shù)上來說，測(cè)量（measurement）是一個(gè)數(shù)，用以表明測(cè)量物體的屬性，以及測(cè)量給定單位的相同屬性之間的比較。我們一般用小單位進(jìn)行實(shí)測(cè)，決定被測(cè)量物體和測(cè)量單位之間的數(shù)字關(guān)系。對(duì)學(xué)校課程中測(cè)量的屬性而言，我們可以說測(cè)量的意思是屬性被相同屬性的測(cè)量單位“填滿”。為了測(cè)量某物體，必須完成三個(gè)步驟：（1）決定測(cè)量的屬性；（2）選擇該屬性的單位；（3）比較這些單位，通過填滿、覆蓋、相匹配或者其他方法，測(cè)量物體的屬性。

可見，國(guó)內(nèi)外關(guān)于度量的研究都認(rèn)為，度量在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用中有重要的意義和價(jià)值，且特別關(guān)注借助度量工具度量物體的屬性，并用一個(gè)數(shù)去描述度量對(duì)象的大小。與國(guó)內(nèi)研究不同的是，國(guó)外更加關(guān)注借助工具得到的度量，本文也是談?wù)勍ㄟ^工具得到的度量。

（二）面積的含義

面積（area）是計(jì)量中的基本概念之一，空間在兩個(gè)不同方向上同時(shí)延展的可能性及程度在人腦中的反映，形成了面積的概念。平面圖形的大小，是從這個(gè)平面圖形占有空間的范圍大小的比較中產(chǎn)生的，因此表示平面圖形大小的數(shù)量也是在比較中產(chǎn)生的。[3]張奠宙認(rèn)為，面積是幾何度量領(lǐng)域的概念，其具有“數(shù)”的基本屬性，即找到一個(gè)合適的數(shù)對(duì)其數(shù)學(xué)屬性進(jìn)行描述。[4]244

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及的線、面、體，它們都是平直的，這些概念的特點(diǎn)是看得見、說不清的。這是因?yàn)樵诿枋龅倪^程中無法借用其他相關(guān)概念，而小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及的概念基本都是這樣的，這就為小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了難度。為了使這部分的教學(xué)更加生動(dòng)，可以把幾何概念的理解與計(jì)數(shù)有機(jī)地結(jié)合起來。[5]

北師大版教材三年級(jí)下冊(cè)用描述性的語言直接告知學(xué)生“物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”?？梢姡處熢谝龑?dǎo)學(xué)生理解面積含義時(shí)，舉例說明物體的表面是什么、封閉圖形是什么，并不能使學(xué)生真正理解面積的含義。

因此，在小學(xué)階段引導(dǎo)學(xué)生理解面積的含義，需要從度量的本質(zhì)出發(fā)，設(shè)計(jì)圖形面比較的活動(dòng)，并在比較的活動(dòng)中產(chǎn)生用“數(shù)”表述的需要，找到一個(gè)合適的數(shù)去描述面的大小。

（三）如何描述面的大小

學(xué)生對(duì)面積大小的理解，需要從定性認(rèn)識(shí)上升到定量認(rèn)識(shí)，即能用數(shù)描述面積的大小。度量一個(gè)圖形或物體表面的面積，通常使用一個(gè)邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)的正方形作為面積單位，以面積單位去度量，所得的量數(shù)，就是該圖形或物體表面的面積。一旦面積單位選定之后，表示一個(gè)圖形或物體表面的面積數(shù)就完全確定了。開展比較活動(dòng)是描述面大小的基礎(chǔ)，在比較面大小任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生無法直接比較面大小，于是就自發(fā)地想到用小正方形作為標(biāo)準(zhǔn)單位去度量，從而得到面的大小。

因此，描述面的大小分為不同的層次：第一，首先需要引導(dǎo)學(xué)生理解面的屬性，即知道面在哪里，感知面是有大小的；第二，能夠選擇不同的方法比較面的大小，比如重疊比較，這些都屬于直接比較；第三，在不能直接比較的情形下，就需要運(yùn)用間接比較，即選擇一個(gè)合適的工具來度量，將待測(cè)面跟標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較，看包含了多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量，通過數(shù)來表述面的大小。

二、理解面積概念的教學(xué)

“面積的認(rèn)識(shí)”是人教版三年級(jí)下冊(cè)第五單元的內(nèi)容，面積概念是貫穿整個(gè)單元的核心內(nèi)容。劉加霞指出，生活中有6種常用的感官量：長(zhǎng)度、質(zhì)量、容積、角度、面積、體積，學(xué)生對(duì)于它們的學(xué)習(xí)以及理解，通常會(huì)經(jīng)歷下以下5個(gè)階段。階段1：量的初步認(rèn)識(shí)；階段2：量的間接比較；階段3：認(rèn)識(shí)國(guó)際通用單位并能夠用其描述大小；階段4：國(guó)際通用單位體系的認(rèn)識(shí)與換算；階段5：利用公式求量的大小。[6]

在人教版教材中，對(duì)面積認(rèn)識(shí)的直觀感知涉及兩步：首先是認(rèn)識(shí)“面”，然后是比較“面”的大小。面積大小的比較，教材編排了比較兩個(gè)長(zhǎng)方形面積大小的活動(dòng)，學(xué)生在通過重疊不能比較出大小時(shí)，試圖尋找新的工具進(jìn)行比較。分析教材編排意圖，可以發(fā)現(xiàn)，其注重學(xué)生對(duì)面積概念的真正理解，以及引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)度量的意義。

然而，考慮到學(xué)生用面積單位進(jìn)行測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)比較少，教材使用直接提示，即“可以選用一種圖形作單位來進(jìn)行測(cè)量”來替代學(xué)生思考，讓學(xué)生錯(cuò)失了一次自主選擇測(cè)量工具對(duì)二維事物進(jìn)行度量的契機(jī)，從而使得學(xué)生難以真正體會(huì)到面積度量的意義。學(xué)生雖然有用尺子度量長(zhǎng)度的經(jīng)驗(yàn)，但是面對(duì)二維的面，他們很難把這種經(jīng)驗(yàn)遷移運(yùn)用。而且，學(xué)生已經(jīng)學(xué)了周長(zhǎng)，片面地認(rèn)為“周長(zhǎng)長(zhǎng)的圖形，面積也大”，導(dǎo)致學(xué)生始終認(rèn)為可以用尺子去測(cè)量面積的大小。顯然，這樣的經(jīng)驗(yàn)，是不利于學(xué)生進(jìn)行面積的度量的。

因此，對(duì)于理解面積含義的教學(xué)，需要從以下幾個(gè)層面進(jìn)行：第一，初步認(rèn)識(shí)面積的屬性，包括知道面在哪里；第二，會(huì)用觀察、重疊、剪拼等直接比較的方法來比較兩個(gè)圖形的大小，感受比較面的大小需要同時(shí)從“長(zhǎng)”與“寬”兩個(gè)維度進(jìn)行考慮；第三，在直接比較下無法確定兩個(gè)圖形的大小時(shí)，產(chǎn)生描述圖形大小的需求，并能想到用一種新的工具來度量圖形的大小，即用小正方形作為度量單位來度量。學(xué)生只有完整經(jīng)歷度量面積的過程，想辦法去度量面積，自主選擇工具去度量，對(duì)于他們理解面積的含義、滲透度量的意識(shí)才是有效的。

三、兩點(diǎn)教學(xué)建議

（一）關(guān)注如何描述大小，對(duì)面積的理解走向深入

為了更好地滲透度量的意識(shí)，幫助學(xué)生深刻理解面積的含義，面積的教學(xué)可以從以下3個(gè)層面展開。

1.感知“面”在哪里

為了幫助學(xué)生感知“面”在哪里，教師需注意以下兩點(diǎn)：一是結(jié)合學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)；二是設(shè)計(jì)多種感官活動(dòng)，幫助學(xué)生積累感性經(jīng)驗(yàn)。比如引導(dǎo)學(xué)生通過“看一看、說一說、指一指”等活動(dòng)準(zhǔn)確指出“面”所在的區(qū)域；在“涂一涂”“說一說”的活動(dòng)中，可以讓學(xué)生找出哪些圖形是有面或有面積的，對(duì)“面”有全面的認(rèn)識(shí)；還可以通過交流活動(dòng)讓學(xué)生明確只要是封閉圖形（包括規(guī)則、不規(guī)則的），且面的大小是確定的，都是有面積的。

2.比較面的大小

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要有問題和任務(wù)驅(qū)動(dòng)。學(xué)習(xí)測(cè)量，首先要解決“為什么測(cè)量”這一問題。[4]257面積教學(xué)，需要注重設(shè)計(jì)有層次的比較圖形大小的活動(dòng)，讓學(xué)生掌握直接比較面的大小的方法。在面積的教學(xué)中，教師可設(shè)計(jì)給圖形大小排序的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體的情境，靈活選擇合適的方法進(jìn)行比較，體現(xiàn)比較的層次。比如有些圖形是能通過直接觀察比較的，有些圖形是需要通過重疊的方法比較的，還有些圖形是需要通過重疊一次后把多余部分剪下來再次重疊比較的。

3.描述面的大小

為了讓學(xué)生在比較活動(dòng)中感悟“面積”的本質(zhì)含義，還需要設(shè)計(jì)通過“直接比較”難以獲得比較結(jié)果的圖形，借助非標(biāo)準(zhǔn)單位（中間量）進(jìn)行比較，即在比較a、b的大小時(shí)，借助任意的一個(gè)c作為中間量進(jìn)行比較。比如教師在教學(xué)中設(shè)計(jì)了比較兩個(gè)“L”形圖形的大小，學(xué)生發(fā)現(xiàn)無法直接進(jìn)行比較時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換比較的策略“想辦法描述面的大小”，學(xué)生很自然地想到鋪的方式，用小正方形把這兩個(gè)圖形鋪滿，數(shù)出小正方形的數(shù)量，就可以知道這兩個(gè)圖形究竟有多大。

基于以上三個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)，設(shè)計(jì)豐富的、有層次的操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生深入感知面在哪里；學(xué)會(huì)直觀地比較面的大?。恢鸩竭^渡到用非標(biāo)準(zhǔn)單位度量，間接描述面的大小。

（二）加強(qiáng)操作經(jīng)驗(yàn)積累，感悟度量的本質(zhì)

關(guān)于度量的教學(xué)，包含了三個(gè)方面的內(nèi)容：認(rèn)識(shí)、描述、用公式計(jì)算?？梢詮娜齻€(gè)角度來考慮：第一，認(rèn)識(shí)它、知道它在哪里；第二，正確描述它的大小，即用非標(biāo)準(zhǔn)單位和標(biāo)準(zhǔn)單位來表達(dá)它；第三，在計(jì)算的時(shí)候，能夠理解為什么這樣計(jì)算。在教學(xué)中需要突出以下兩點(diǎn)：一是要加強(qiáng)學(xué)生自主操作、探索的機(jī)會(huì)；二是理解度量的本質(zhì)。

1.積累操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

對(duì)于度量教學(xué)三個(gè)方面的內(nèi)容，需要學(xué)生在具體的操作過程中去感悟、探索和優(yōu)化。明確量的屬性，學(xué)生需要通過觀察、操作、表達(dá)等活動(dòng)去感受；描述量的大小，學(xué)生需要在比較量的操作活動(dòng)中由“直接比較”過渡到“間接比較”，進(jìn)而“生發(fā)”出描述量大??；用公式計(jì)算時(shí)，同樣要經(jīng)歷不斷操作和優(yōu)化的過程。比如面積的計(jì)算，首先是全鋪，然后只鋪一邊，再到測(cè)量長(zhǎng)度，最后幫助學(xué)生從格子的數(shù)量過渡到“線段長(zhǎng)度的乘積”。

2.理解度量的本質(zhì)

數(shù)本質(zhì)上是一種度量，數(shù)的本質(zhì)是大小關(guān)系，需要在比較的活動(dòng)中去感悟度量對(duì)象的大小關(guān)系，進(jìn)而選擇度量單位去準(zhǔn)確描述量的大小。在教學(xué)中，首先，要明確度量的屬性是什么。例如，面積度量的屬性是指面的大小，而表示平面圖形大小的數(shù)量也是在比較中產(chǎn)生的。其次，在比較大小任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下，實(shí)現(xiàn)比較方法的優(yōu)化，由“直接比較”過渡到“間接比較”，即選擇合適的非標(biāo)準(zhǔn)單位去比較，進(jìn)而掌握用標(biāo)準(zhǔn)單位度量的方法。最后，讓學(xué)生感受到，在度量單位確定后，依據(jù)度量的方法就可以度量大小，用數(shù)來描述大小。