廣東省廣州市黃埔區(qū)開(kāi)元學(xué)校(510000) 洪藝瑜

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017 版》明確指出:數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思想品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值的綜合體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與應(yīng)用中逐步形成和發(fā)展的.“在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與應(yīng)用中逐步形成和發(fā)展”強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑和數(shù)學(xué)的過(guò)程性.數(shù)學(xué)過(guò)程性教學(xué)需要教師在課堂上創(chuàng)設(shè)具有創(chuàng)新意義且適合學(xué)生身心發(fā)展的系列化數(shù)學(xué)活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型,運(yùn)用邏輯推理和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程,啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng),學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)化”地思考問(wèn)題,提高數(shù)學(xué)修養(yǎng),用數(shù)學(xué)的眼光看世界.可見(jiàn),數(shù)學(xué)過(guò)程性教學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)生長(zhǎng)的土壤.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升,需要在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)課堂中落實(shí)過(guò)程性教學(xué).如何踐行數(shù)學(xué)過(guò)程性教學(xué),以提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)呢? 筆者以人教版《數(shù)學(xué)》(必修3)第2 章第3 節(jié)“兩個(gè)變量的線性相關(guān)”一課的教學(xué)實(shí)踐為例,談一些反思.

2 課堂實(shí)錄

2.1 創(chuàng)設(shè)情境,引入課題

小閱讀:“回歸”這個(gè)詞是由英國(guó)著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家Francils Galton 提出.1889年,他在研究祖先與后代身高之間的關(guān)系時(shí)發(fā)現(xiàn),身材較高的父母,他們的孩子也較高,但這些孩子的平均身高并沒(méi)有他們父母的平均身高高;身材較矮的父母,他們的孩子也較矮,但這些孩子的平均身高卻比他們父母的平均身高高.Galton 把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢(shì)稱為“回歸現(xiàn)象”.后來(lái)人們把由一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的變化的方法稱為回歸方法.

引例(2011年廣東高考)某數(shù)學(xué)老師身高176cm,他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm 和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān),該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高為_(kāi)___cm.

教師:如何解決這個(gè)問(wèn)題? 通過(guò)今天的課題——“兩個(gè)變量的線性相關(guān)”的學(xué)習(xí),理解什么叫做線性回歸分析,相信同學(xué)們很快找到解決方法.

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)教材中的旁注小閱讀和一道高考題創(chuàng)設(shè)情境,提出問(wèn)題,激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和好奇心,使學(xué)生能迅速地進(jìn)入課堂學(xué)習(xí)狀態(tài).

2.2 動(dòng)手操作,探究新知

探究:在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中,研究人員得到一組樣本數(shù)據(jù):

教師:(問(wèn)題1)根據(jù)上述數(shù)據(jù),人體脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系?

學(xué)生1:從表中大體看出,隨著年齡的增加,人體脂肪的百分比也在增加.

教師:(問(wèn)題2)這兩個(gè)變量之間是函數(shù)關(guān)系嗎?

學(xué)生2:不是函數(shù)關(guān)系.如50 歲時(shí),脂肪含量不一定是28.2.因?yàn)閷?duì)于某個(gè)人來(lái)說(shuō),他體內(nèi)脂肪含量不一定隨著年齡增長(zhǎng)而增長(zhǎng).這些數(shù)據(jù)只是對(duì)這個(gè)年齡人群抽樣的數(shù)據(jù),具有隨機(jī)性.

教師:(問(wèn)題3)有什么辦法可以幫助我們直觀地看出年齡和脂肪含量的關(guān)系呢?

學(xué)生3:畫散點(diǎn)圖.觀察年齡和脂肪含量的變化趨勢(shì).

教師:同學(xué)們的想法很好.在直角坐標(biāo)系中畫圖,觀察樣本點(diǎn)的分布情況,可以幫助我們發(fā)現(xiàn)該用什么數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫這兩個(gè)變量之間的關(guān)系.請(qǐng)同學(xué)們分小組合作,利用表中的樣本點(diǎn)畫出相應(yīng)的散點(diǎn)圖.

師生活動(dòng):教師先引導(dǎo)學(xué)生明確散點(diǎn)圖的作法,利用表中樣本點(diǎn)的數(shù)據(jù)作出相應(yīng)的散點(diǎn)圖,觀察散點(diǎn)的分布,回答問(wèn)題.

教師:(問(wèn)題4)根據(jù)散點(diǎn)圖,我們可以發(fā)現(xiàn)年齡和脂肪含量具有怎樣的相關(guān)關(guān)系呢?

學(xué)生4:正相關(guān)關(guān)系,因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)散布在左下方到右上方的區(qū)域.

教師:還有哪些特點(diǎn)呢?

學(xué)生5:這些散點(diǎn)還大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近.

構(gòu)建新知:回歸直線.

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)一個(gè)個(gè)的問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)前面的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的回顧,引起學(xué)生的思考,主動(dòng)構(gòu)建新知,同時(shí)也是為下面探究線性回歸模型做鋪墊.

2.3 合作交流,構(gòu)建模型

教師:(問(wèn)題5)用哪條直線來(lái)刻畫年齡與脂肪含量之間的關(guān)系比較適合呢?

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)問(wèn)題設(shè)疑,激發(fā)學(xué)生的探究熱情,引發(fā)學(xué)生從直觀感受到精確描述的需要,由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2.3.1 探究活動(dòng):如何找出回歸直線

活動(dòng):請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手畫一下,畫出回歸直線.

圖1

學(xué)生小組討論后,有以下方案:

方案一:盡可能多的點(diǎn)落在直線上.(怎樣才算盡可能多? 操作性不強(qiáng)! )

方案二:使直線上下方的點(diǎn)一樣多.(費(fèi)時(shí)費(fèi)力且精確度差)

方案三:畫多條直線,算斜率與截距的平均值.(耗時(shí)費(fèi)力)

方案四:各點(diǎn)到這條直線的距離和最小.

教師:(問(wèn)題6)同學(xué)們認(rèn)為哪種方案畫的回歸直線恰當(dāng)?如何評(píng)價(jià)這些直線的“優(yōu)劣”? 理由是什么?

師生活動(dòng):給足夠的時(shí)間讓學(xué)生們進(jìn)行討論、交流,各小組互相辯論、質(zhì)疑.最后學(xué)生們一致認(rèn)為第四種方案好,因?yàn)樗械狞c(diǎn)離這條直線最近.

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)遞進(jìn)式的問(wèn)題鏈,引導(dǎo)通過(guò)學(xué)生自己操作、觀察、討論、質(zhì)疑、猜想,經(jīng)歷由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí),提高學(xué)生的建模能力.

教師:(問(wèn)題7)“從整體看,各點(diǎn)與此直線的距離最小.”以此標(biāo)準(zhǔn)定量出來(lái)的直線只有一條,即最優(yōu)的回歸直線.如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述“從整體上看,各點(diǎn)與此直線的距離最小”呢?

學(xué)生6:計(jì)算各個(gè)樣本點(diǎn)到直線的距離之和最小就可以啦.

教師:很好,同學(xué)們想到點(diǎn)子上了! 可目前直線沒(méi)有確定,怎么辦?

經(jīng)學(xué)生思考討論歸納出:先設(shè)出回歸直線方程,再用點(diǎn)到直線的距離表示出各點(diǎn)到直線的距離.

設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的分析,將幾何問(wèn)題代數(shù)化,為下一步探究作好準(zhǔn)備,經(jīng)歷“幾何直觀”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)表達(dá)”的過(guò)程,提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的素養(yǎng).

2.3.2 利用最小二乘法推導(dǎo)回歸系數(shù)公式

推導(dǎo):兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù):(x1,y1),(x2,y2),··· ,(xn,yn).當(dāng)自變量x取xi(i=1,2,··· ,n)時(shí),可以得到=bxi+a,點(diǎn)(xi,yi)到直線的距離:di=

圖2

教師:(問(wèn)題8)這個(gè)式子既有絕對(duì)值又有根號(hào),不方便計(jì)算.而我們的目的是由(xi,yi)算出a,b的取值.有沒(méi)別的方法也能體現(xiàn)“從整體上看,各點(diǎn)與此直線的距離和最小”? 如圖,點(diǎn)A到直線的距離AC,可否用AB近似替換?

學(xué)生7:可以.回歸直線一旦確定,∠ABC為定值,di=AB·sin ∠ABC,所以di可用替換.

替代上式.

問(wèn)題:當(dāng)b,a取什么值時(shí),關(guān)于b,a的二元二次函數(shù)Q取到最小值? 有興趣的同學(xué)課后自己查閱相關(guān)資料.當(dāng)b,a的值由下面公式給出時(shí),Q最小.

使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫“最小二乘法”.

設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生分析、討論如何刻畫樣本點(diǎn)與回歸直線的接近程度,從而經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理的重要過(guò)程,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).同時(shí)也注意了課堂上的適當(dāng)留白,激發(fā)學(xué)生課后深入探索的熱情,給學(xué)生探究拓展的空間.

2.3.3 回歸直線的應(yīng)用意義

教師:37 歲的人,體內(nèi)脂肪含量一定是20.8825%嗎?

學(xué)生:不.只能說(shuō)明他體內(nèi)的脂肪含量在20.90%附近的可能性比較大.

教師:回歸方程求出后,變量間的相關(guān)關(guān)系并沒(méi)有轉(zhuǎn)變?yōu)榇_定關(guān)系,我們只是用函數(shù)關(guān)系來(lái)表示不確定的相關(guān)關(guān)系.

問(wèn)題:借助EXCEL 計(jì)算,利用回歸方程算出的脂肪含量與表1 收集的數(shù)據(jù)不同,為什么?

表1 年齡和人體脂肪百分比

學(xué)生:根據(jù)回歸直線得出的結(jié)果只是一個(gè)估計(jì)值.

教師:其實(shí)表中的數(shù)據(jù)是抽樣出來(lái)的,具有隨機(jī)性,由這些數(shù)據(jù)確定的也就具有隨機(jī)性了,所以根據(jù)年齡預(yù)測(cè)的人體脂肪含量只是一個(gè)估計(jì)值.其實(shí),假若換一種抽取樣本的方法,也會(huì)得到不同的樣本數(shù)據(jù),得到的回歸方程也可能不同.為了區(qū)別確定值,我們都給它們“蓋帽”,記為為什么x不記為?x?

學(xué)生:x是確定值,真實(shí)值.

設(shè)計(jì)意圖:幫助學(xué)生深入理解線性回歸方程的真正意義與作用,明確只是的一個(gè)估計(jì)值.讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué),感受數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.通過(guò)利用EXCEL,鼓勵(lì)學(xué)生使用計(jì)算機(jī)工具,提高學(xué)生分析數(shù)據(jù)的能力和課堂效率.

2.4 應(yīng)用公式,深化理解

例某數(shù)學(xué)老師身高176 cm,他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm、170 cm 和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān),該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高為多少?

解析:依題意,父親與兒子的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)可列表如下:

父親的身高(x) 173 170 176兒子的身高(y) 170 176 182

設(shè)計(jì)意圖:在教學(xué)中以具體問(wèn)題為載體,提高學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)分析的能力,分析數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系,運(yùn)用回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè),經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過(guò)程,體驗(yàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值.

2.5 課堂小結(jié),反饋同化

問(wèn)題:請(qǐng)同學(xué)們回顧一下我們?cè)鯓忧蟪龌貧w直線方程?事件、樣本數(shù)據(jù)與回歸直線三者之間有怎樣的關(guān)系?

設(shè)計(jì)意圖:培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣,進(jìn)一步理清線性回歸模型的含義,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.

3 幾點(diǎn)體會(huì)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成的.課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主渠道,過(guò)程性教學(xué)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的有效途徑.

3.1 踐行數(shù)學(xué)過(guò)程性教學(xué),需培養(yǎng)學(xué)生的主體意識(shí)

在過(guò)程性教學(xué)中,教師作為整個(gè)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)者、組織者和引導(dǎo)者,設(shè)計(jì)和提供豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境,通過(guò)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思維,獨(dú)立思考,引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的主體意識(shí),獲得解決問(wèn)題的方法、形成分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力而達(dá)成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.如在本課例組織學(xué)生小組合作,發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性,自主探究尋找回歸直線,在找出回歸直線后,小組間相互辯論,質(zhì)疑,表達(dá)自己的意見(jiàn),完善結(jié)論.通過(guò)這樣的教學(xué)活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)思考,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,培養(yǎng)學(xué)生利用歸納、分析、猜測(cè)、推理、總結(jié)等方法以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.2 踐行數(shù)學(xué)過(guò)程性教學(xué),重視數(shù)學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)

在數(shù)學(xué)課堂的過(guò)程性教學(xué)中,數(shù)學(xué)問(wèn)題是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索活動(dòng)和引發(fā)學(xué)生思考的導(dǎo)向,通過(guò)問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生的探索熱情,學(xué)生主動(dòng)探究,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律,認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì),從而在數(shù)學(xué)活動(dòng)中構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí).比如本節(jié)課,通過(guò)設(shè)計(jì)的問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生觀察散點(diǎn)圖,從直觀上判斷兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系,提升了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng);再通過(guò)問(wèn)題“用哪條直線來(lái)刻畫年齡與脂肪含量之間的關(guān)系比較適合呢? ”引導(dǎo)學(xué)生尋找回歸直線,經(jīng)歷由“形”向數(shù)的精確描述過(guò)程,體驗(yàn)由不確定性到確定性的過(guò)程,由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí),培養(yǎng)了學(xué)生的理性思維,提升了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)的載體,在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要預(yù)設(shè),避免發(fā)問(wèn)無(wú)效的問(wèn)題.因此,要充分注重問(wèn)題的層次性、創(chuàng)新性、探究性.設(shè)置情境問(wèn)題可以從生活、生產(chǎn)等社會(huì)熱點(diǎn)中創(chuàng)設(shè),這是創(chuàng)新性,或利用數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化創(chuàng)設(shè)問(wèn)題,滲透數(shù)學(xué)文化,提升學(xué)生數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的同時(shí),讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)家在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)遇到的困難,理解數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的需要,有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).對(duì)于知識(shí)構(gòu)建環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)要遵循學(xué)生的認(rèn)知水平,在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū),問(wèn)題要精煉準(zhǔn)確,確保每個(gè)學(xué)生都能參與問(wèn)題思考.數(shù)學(xué)問(wèn)題要有層次性和辨析性,扣緊課堂核心內(nèi)容,能夠使學(xué)生聯(lián)系自身已有的知識(shí)去探索,能從模仿過(guò)渡到自主提問(wèn),構(gòu)建新知識(shí)的能力提升.

3.3 踐行數(shù)學(xué)過(guò)程性教學(xué),需充分利用現(xiàn)代化技術(shù)

過(guò)程性教學(xué)的課堂,需要花更多的精力和時(shí)間在探索性和創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中,可以利用計(jì)算機(jī)解決繁雜的運(yùn)算或思維含量低的作圖過(guò)程.比如本課,若在有信息技術(shù)條件的學(xué)校,可以利用讓學(xué)生計(jì)算機(jī)運(yùn)算和作圖,提高課堂效率,留更多時(shí)間給學(xué)生獨(dú)立思考,自主探究,合作交流.借助信息技術(shù),可以將抽象知識(shí)形象化,靜態(tài)內(nèi)容動(dòng)態(tài)化,構(gòu)建出更加高效生動(dòng)的數(shù)學(xué)課堂.

若長(zhǎng)期踐行數(shù)學(xué)過(guò)程性教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈,逐漸形成數(shù)學(xué)的思維方式,數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)便水到渠成地落實(shí)了.