王 鵬，楊紹普，劉永強，趙義偉，王翠艷

1) 石家莊鐵道大學省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室，石家莊 050043 2) 石家莊鐵道大學交通運輸學院，石家莊 050043 3) 石家莊鐵道大學機械工程學院，石家莊 050043

磁流變彈性體(Magnetorheological elastomers,MRE)是一種新型的磁敏智能材料，由彈性體基體、磁性粒子和添加劑組成，具有良好的磁流變效應(yīng). 與磁流變液相比，MRE具有穩(wěn)定性好、響應(yīng)快、無沉降、無泄漏等特點，在調(diào)諧阻尼器、節(jié)點襯套、變剛度懸架等領(lǐng)域具有良好的應(yīng)用前景[1-2].長期以來，許多學者都致力于MRE的研究，對其制備、性能測試和性能改善進行了系統(tǒng)的研究[3-4].

目前，磁流變彈性力學特性的研究主要從微觀和宏觀兩個方面進行. 微觀本構(gòu)模型是基于磁偶極子理論提出的，主要是為了解釋磁流變效應(yīng)產(chǎn)生的機理，以及磁致模量與各因素之間的關(guān)系.微觀本構(gòu)模型有磁偶極子模型[5]、鏈狀模型[6]、柱模型[7]、網(wǎng)格模型[8]等. 基于磁偶極子理論的微觀模型解釋了磁流變效應(yīng)產(chǎn)生的原因，但不能全面描述MRE在磁場中的力學行為. 此外，基于磁偶極子理論的物理模型結(jié)構(gòu)往往過于復(fù)雜，不便于工程應(yīng)用.

為使磁流變彈性體應(yīng)用于工程實際，還需要可以描述其宏觀力學行為的模型. 宏觀力學模型應(yīng)綜合考慮外加磁場、激勵幅值以及加載頻率等對MRE力學性能的影響[9]. 黏彈性參數(shù)模型廣泛用于MRE力學特性的預(yù)測. Li等[10]提出了四參數(shù)線性黏彈性模型預(yù)測MRE的力學特性. 該模型可以反映激勵頻率對磁流變彈性體力學性能的影響，但對于MRE非線性滯回特性的描述不夠準確. 一些學者認為大應(yīng)變下MRE滯回曲線的平行四邊形特征是由彈性基體與磁性顆粒之間發(fā)生摩擦引起的，故采用庫倫摩擦模型描述此種現(xiàn)象[11].Chen在黏彈性參數(shù)模型基礎(chǔ)上提出了帶庫倫摩擦的線性黏彈性模型[12]. Blom將彈性模型和邊界面模型結(jié)合，提出了一種新的磁敏(Magneto-sensitive，MS)橡膠非線性本構(gòu)模型[13]. 由于庫倫摩擦元件的存在使得上述模型的滯回曲線具備了平行四邊形的特征，但不能準確地反映加載過程中切線模量漸變特性.

與整數(shù)階黏彈性模型相比，分數(shù)階模型的優(yōu)勢在于能以更少的參數(shù)和更高的精度來描述MRE的頻率依賴性和磁致黏彈性[14-15]. 此外，黏彈性材料的力學特性與加載過程密切相關(guān)，而分數(shù)導數(shù)具有時間記憶功能，更適合描述有歷史依賴過程的物理現(xiàn)象[16]. Xu依據(jù)基體黏彈性和磁致黏彈性，采用分數(shù)階導數(shù)形式，提出了磁致黏彈性參數(shù)模型[17]. Wang建立了分數(shù)階的非線性本構(gòu)模型. 研究表明，分數(shù)階導數(shù)單元可以實現(xiàn)更少的參數(shù)和更高的精度來描述頻率相關(guān)性[18]. 孔凡采用諧波平衡法研究了簡諧激勵下滯回分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng). 結(jié)果表明，分數(shù)階數(shù)和穩(wěn)態(tài)位移幅值的關(guān)系依賴于系統(tǒng)，分數(shù)階導數(shù)模型能以較少的參數(shù)模擬力-位移關(guān)系的頻率依賴性[19]. Wang等[20]鑒于MRE的剪切模量對磁場強度、加載幅值和頻率的敏感性，建立了含分數(shù)階微分單元的黏彈性模型. 結(jié)果表明上述分數(shù)階黏彈性模型能夠準確表征磁流變彈性體的頻率依賴性和磁致黏彈性.

Bouc-Wen模型已廣泛用于描述場相關(guān)的非線性滯回系統(tǒng)和其他復(fù)雜動態(tài)特性. Dominguez等[21]把磁流變阻尼器的勵磁電流作為變量引入到Bouc-Wen模型，使得模型能夠考慮不同電流強度對磁流變阻尼器力學特性的影響. Yang[22]首次采用Bouc-Wen模型用于模擬MRE隔振器的力學特性. 研究表明，Bouc-Wen模型能有效模擬MRE非線性黏彈區(qū)的滯回特性，但不能準確反映滯回曲線對頻率的依賴性. 許多學者不斷對Bouc-Wen模型進行修正，趙義偉等[23]針對Bouc-Wen模型在非識別激勵工況下模擬的阻尼力與實際阻尼力誤差較大問題，提出了一種描述減振器滯回特性的改進模型. Xu等[24]在Bouc-Wen模型基礎(chǔ)上，同時考慮磁流變液溫升效應(yīng)和慣性效應(yīng)，提出了帶質(zhì)量元素的溫度唯象模型. Wang等[25]考慮了MRE的非線性、頻率依賴性，提出了基于Bouc-Wen的MRE非線性本構(gòu)模型. 上述Bouc-Wen模型能夠模擬MRE的應(yīng)力應(yīng)變的非線性特性，但由于Bouc-Wen滯回算子在正弦荷載作用下的滯回曲線與加載頻率無關(guān)，Bouc-Wen模型僅由彈簧和阻尼元件構(gòu)成的Kelvin模型不能準確地表征MRE的磁致黏彈性和頻率依賴性. 因此需要對Bouc-Wen模型進一步改進.

綜上可知，上述模型在描述磁流變彈性體的力學行為時既具有一定的獨特性，又表現(xiàn)出某些局限性. Bouc-Wen模型通用性好，能夠很好地模擬大應(yīng)變荷載下的非線性滯回特征，但不能準確預(yù)測MRE的磁致黏彈性和頻率依賴性. 而分數(shù)階導數(shù)模型卻能以更少的參數(shù)和更高的精度來描述這一特性. 此外，分數(shù)階導數(shù)具有記憶性功能，更適合描述MRE的黏彈性在加載過程中表現(xiàn)出的歷史依賴性. 為了準確表征大范圍應(yīng)變幅值、激勵頻率和磁場下MRE的力學行為. 本文在Bouc-Wen模型的基礎(chǔ)上，將黏彈性分數(shù)階導引入到MRE的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系中，提出一種描述磁流變彈性體滯回特性的分數(shù)階導數(shù)改進Bouc-Wen模型. 通過對剪切模式下測得的應(yīng)力應(yīng)變實驗數(shù)據(jù)進行擬合，實現(xiàn)了模型參數(shù)的識別，驗證了模型的有效性.

1 MRE力學特性實驗分析

1.1 制備及性能試驗

選用天然橡膠(Natural rubber, NR)、羰基鐵粉(Carbonyl iron particles, CIP)和添加劑作為原材料，通過塑練、混煉、硫化等工藝制備了不同CIP質(zhì)量分數(shù)(60%、80%)的各向同性和各向異性MRE，分別標記為CIP80%各向同性、CIP80%各向異性、CIP60%各向同性、CIP60%各向異性. CIP由江蘇天一超細金屬粉末有限公司購買，平均粒徑5.5 μm，使用的添加劑主要有硬脂酸(Stearic Acid, SA)、氧化鋅 (ZnO)、促進劑 (CZ)、防老劑 (RD)、防老劑(4010NA)、古馬隆樹脂 (Coumarone resin)、硫磺(S)，天然橡膠和添加劑均由衡水中鐵建工程橡膠有限責任公司提供. MRE的成分配比如表1所示.所用的設(shè)備有：CF-2L型密煉機(東莞市昶豐機械科技有限公司生產(chǎn))、RL-6型開煉機(佰弘機械有限公司生產(chǎn))、M-2000-AN型硫化儀(高鐵檢測儀器有限公司生產(chǎn))、XLB-25型平板硫化機(邢臺維斯特機械有限公司生產(chǎn))等，MRE制備流程如圖1所示.

表1 MRE的成分配比Table 1 Composition of MRE g

圖1 MRE制備實驗流程Fig.1 Experimental process of MRE preparation

通過掃描電子顯微鏡(Scanning electron microscope, SEM)觀察MRE的截面形貌，觀察前對樣品進行表面噴金處理. 圖2為MRE的截面形貌圖，圖中所示呈分散相的白色球形顆粒為CIP，連續(xù)相的黑色部分為天然橡膠基體.

由圖2可知，MRE 4種樣品的CIP顆粒表面被天然橡膠包裹且浸潤性良好，顆粒與橡膠基體之間存在一些橋接結(jié)構(gòu)，說明顆粒與基體的界面結(jié)合能力比較強. 各向同性MRE的CIP隨機均勻分布在橡膠基體中，而各向異性MRE的基體中有許多直線狀溝壑，CIP沿著硫化時施加的取向磁場的方向形成鏈狀結(jié)構(gòu)，與各向同性MRE的截面形貌明顯不同.

圖2 MRE 的截面形貌. （a）CIP60% 各向同性；（b）CIP80% 各向同性；（c）CIP60% 各向異性；（d）CIP80% 各向異性Fig.2 Cross section of MRE: (a) CIP60% isotropic; (b) CIP80% isotropic; (c) CIP60% anisotropic; (d) CIP80% anisotropy

采用奧地利安東帕公司生產(chǎn)的旋轉(zhuǎn)流變儀(Physica MCR 301)對MRE進行動態(tài)性能試驗. 圖3為旋轉(zhuǎn)流變儀、試件及測試示意圖，其中試件為直徑20 mm，厚度1 mm的MRE圓片. 測試時，首先將試件放置于下平臺的中心，隨后上部轉(zhuǎn)子向下運動直至與試件上表面接觸，并施加法向力(3 N)使試件與上下極板緊密貼合，防止試件發(fā)生滑動.旋轉(zhuǎn)流變儀通過改變線圈電流實現(xiàn)在平行板系統(tǒng)上施加不同的磁場，上部轉(zhuǎn)子按照設(shè)定程序施加平行于試件的旋轉(zhuǎn)剪切應(yīng)變激勵，并由內(nèi)部精密傳感器測定試件反饋的應(yīng)力，經(jīng)過儀器控制軟件計算得到所需結(jié)果. 在振蕩剪切測試模式下，每個正弦應(yīng)變加載周期內(nèi)軟件可記錄257個應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)點，根據(jù)這些數(shù)據(jù)點可繪制每個正弦應(yīng)變加載周期內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變曲線.

圖3 （a，b）旋轉(zhuǎn)流變儀；（c）MRE 試件；（d）測試示意圖Fig.3 (a, b) Rotary rheometer; (c) MRE specimen; (d) schematic of the measuring system

選用振蕩剪切模式，在不同應(yīng)變幅值、頻率和磁場下對MRE的動態(tài)黏彈性進行掃描測試. 另外，對MRE加載正弦應(yīng)變激勵，測試其在不同應(yīng)變幅值、頻率和磁場下的應(yīng)力響應(yīng).

1.2 MRE力學特性分析

佩恩效應(yīng)是MRE重要力學特性之一，表現(xiàn)為儲能模量隨著應(yīng)變幅值的增加而急劇下降[3]. 圖4為磁感應(yīng)強度234 mT，頻率1 Hz時，MRE的儲能模量和損耗模量隨應(yīng)變幅值的變化曲線.

由圖4可知，MRE的儲能模量變化趨勢相同，在一個較小的應(yīng)變范圍內(nèi)保持不變，該應(yīng)變范圍稱為MRE的線性黏彈區(qū)[4]；當應(yīng)變幅值繼續(xù)增大，儲能模量快速減小，呈現(xiàn)明顯的佩恩效應(yīng). 隨著應(yīng)變幅值的增大，CIP80%的MRE損耗模量先保持不變后不斷減小，而CIP60%的MRE損耗模量先小幅增加隨后減小. 另外，CIP80%的MRE的儲能模量開始出現(xiàn)下降時對應(yīng)的應(yīng)變幅值明顯小于CIP60%的MRE，說明CIP80%的MRE的線性黏彈區(qū)較小，原因是羰基鐵粉含量增加會降低橡膠基體的交聯(lián)密度，使基體分子鏈穩(wěn)定性變?nèi)酰嗤瑧?yīng)變下使儲能模量更小.

圖4 MRE的儲能和損耗模量隨應(yīng)變幅值的變化曲線. （a）儲能模量；（b）損耗模量Fig.4 Storage modulus (a) and loss modulus (b) curves of MRE with strain amplitude

分析應(yīng)變頻率對MRE動態(tài)黏彈性的影響.圖5顯示了應(yīng)變幅值0.05%時，不同磁感應(yīng)強度B下，MRE的儲存模量和損耗模量隨應(yīng)變頻率的變化曲線.

由圖5可知，MRE的儲能模量和損耗模量隨著應(yīng)變頻率增加而增大，因為當頻率增加時，橡膠基體中分子鏈的應(yīng)變跟不上應(yīng)力的變化速度，這會造成分子鏈的糾纏，從而使CIP與基體間相互作用增強，使MRE的儲能模量與損耗模量變大，可見儲能模量和損耗模量都具有頻變特性. 同時，隨著磁感應(yīng)強度增大，儲能模量和損耗模量增加，反映了MRE的磁流變效應(yīng). 當頻率和磁場相同時，CIP80%各向異性的儲能模量和損耗模量最大，CIP60%各向同性的儲能模量和損耗模量最小.

圖5 MRE的儲能和損耗模量隨應(yīng)變頻率的變化曲線. （a）CIP80%各向同性；（b）CIP80%各向異性；（c）CIP60%各向同性；（d）CIP60%各向異性Fig.5 Storage and loss modulus curves of MRE with strain frequency: (a) CIP80% isotropic; (b) CIP80% anisotropic; (c) CIP60% isotropic; (d) CIP60%anisotropic

分析磁場對MRE動態(tài)黏彈性的影響. 圖6為應(yīng)變幅值0.05%，頻率1 Hz時，MRE的儲能模量和損耗模量隨磁感應(yīng)強度的變化曲線.

由圖6可知，MRE的儲能模量、損耗模量隨著磁感應(yīng)強度的增加而增大，磁流變效應(yīng)明顯. 磁感應(yīng)強度為0 mT (零場)時，4種樣品的儲能模量由高到低分別為：193、174、85和 50 kPa，損耗模量由高到低分別為：57、44、10和 6 kPa，說明 CIP質(zhì)量分數(shù)的增加使MRE零場模量增加，各向異性MRE零場模量高于各向同性，即CIP鏈狀結(jié)構(gòu)排列比其均勻分布具有更高的零場模量. 磁感應(yīng)強度545 mT時，儲能模量由高到低分別為：529、364、144和72 kPa，損耗模量由高到低分別為：182、113、20和10 kPa，其中CIP80%各向異性的最大儲能模量是零場儲能模量的2.7倍，最大損耗模量是零場損耗模量的3.2倍.

圖6 MRE儲能和損耗模量隨磁感應(yīng)強度的變化曲線. （a）儲能模量；（b）損耗模量Fig.6 Storage modulus (a) and loss modulus (b) of MRE with magnetic flux density

需要指出的是MRE的磁流變效應(yīng)隨著應(yīng)變幅值增加呈減小趨勢. 因此，當應(yīng)變幅值增加時制備的MRE的最大磁流變效應(yīng)會有所降低. 為使橡膠基MRE在大應(yīng)變工程應(yīng)用中具有良好的磁流變效應(yīng)，開展進一步提升橡膠基MRE磁流變效應(yīng)的研究仍是必要的.

2 MRE本構(gòu)模型

2.1 改進Bouc-Wen模型

Bouc-Wen滯回單元最早由Bouc和Wen提出，該模型采用非線性微分方程來描述磁滯特性，由兩條光滑的曲線組成，精度較高，具有很強的靈活性，是一種經(jīng)典的描述滯回曲線的模型. Yang等[22]首次將Bouc-Wen模型用于擬合MRE隔振器的力-位移關(guān)系，該模型由Bouc-Wen滯回單元、彈簧單元和黏滯阻尼單元并聯(lián)組成. 控制方程為：

式中，F(xiàn)為模型輸出力，分別為位移和速度，k、c分別為剛度和阻尼系數(shù)，參數(shù)z為中間變量，是z關(guān)于時間的一階導數(shù)，α介于0到1之間，表征模型的線性程度，A、n、β、γ是量綱一參數(shù)，共同決定了滯回曲線的形狀和大小.

分數(shù)階導數(shù)能很好地模擬系統(tǒng)響應(yīng)的黏彈特性，在黏彈性材料的建模中備受關(guān)注. 黏彈性材料的力學特性與時間相關(guān)，介于理想彈性體和理想黏性體之間，具有記憶性功能. 采用分數(shù)階導數(shù)能夠用較少的參數(shù)來準確地描述黏彈性材料的力學特性，并且適用于較寬的頻率范圍. 因此，將MRE復(fù)雜的形變恢復(fù)力用等效的黏彈性阻尼元件表示，把分數(shù)階導數(shù)引入到MRE的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系中，提出引入分數(shù)階導數(shù)黏滯特性的改進Bouc-Wen模型(如圖7). 模型的控制方程為：

圖7 改進Bouc-Wen模型Fig.7 Modified Bouc-Wen model

式中，p為分數(shù)階導數(shù)階次，其值介于0～1.為應(yīng)變x關(guān)于時間t的p階導數(shù)，其他參數(shù)含義同Bouc-Wen模型.

2.2 分數(shù)階導數(shù)項計算

分數(shù)階導數(shù)的定義有多種形式，本文采用Caputo型定義來描述：

式中， Γ (z)為Gamma函數(shù)，滿足：

設(shè)MRE性能試驗時施加的剪切應(yīng)變?yōu)椋?/p>

其中，xm為應(yīng)變幅值，ω為角頻率，φ為相位角.

根據(jù)文獻[26]對分數(shù)階導數(shù)項化簡，可得：

分數(shù)階導數(shù)的求解常用的算法有：近似解析法、數(shù)值解法、濾波器算法，本文采用Oustaloup濾波器算法進行近似計算[27-28]，基本思想是在選定的頻率段(ωb,ωh)內(nèi)做分數(shù)階算子sp的近似替換，ωb,ωh分別為濾波器擬合頻率段的上下限. 根據(jù)該思想構(gòu)造Oustaloup濾波器：

式中，N為濾波器的階次. 濾波器的零點和極點ωi分別為：

設(shè)x(t) 是濾波器的輸入信號，則輸出信號近似等于例如當分數(shù)階算子為s0.5，選定的頻率段范圍為 0.001～1000 rad·s-1，當 Oustaloup 濾波器階次分別取5、7和9時，得到的頻響曲線如圖8所示. 由圖8可知濾波器階次N=9時，該算法在選定的頻率段內(nèi)所得結(jié)果與真實值非常接近.

圖8 頻率響應(yīng)曲線. （a）幅頻；（b）相頻Fig.8 Frequency response curves: (a) amplitude-frequency; (b) phasefrequency

3 MRE模型驗證

3.1 參數(shù)識別算法

在諸多的優(yōu)化算法中，粒子群算法(Particle swarm optimization, PSO)具有較好的尋優(yōu)能力，尤其針對復(fù)雜的工程問題，能夠迅速找到近似解. 假設(shè)在D維的搜索空間中，有M個粒子構(gòu)成一個群體X，當前的迭代次數(shù)為λ，粒子i當前位置Xi，飛行速度Vi，粒子當前最優(yōu)位置qi，粒子群的當前最優(yōu)位置g. 每個粒子的位置就是一個潛在的解，代入目標函數(shù)L計算適應(yīng)值，根據(jù)適應(yīng)值的大小衡量解的優(yōu)劣. 第i個粒子最優(yōu)位置更新：

粒子群當前最優(yōu)位置由下式確定：

粒子在搜索空間中的速度更新公式：

粒子在搜索空間中的位置更新公式：

其中，i= [1,2,···,M]，j= [1,2,···,D]；η為慣性權(quán)重；d1和d2是加速常數(shù)；r1和r2是 (0, 1) 內(nèi)的隨機數(shù).設(shè)定粒子的速度區(qū)間(vmin,vmax)，位置范圍(xmin,xmax)，如果超出范圍則取邊界值.

粒子群優(yōu)化算法具有很好的優(yōu)化能力，但局部搜索性能較差，導致求解結(jié)果存在較大的偏差.而遺傳算法(Genetic algorithm, GA)具有出色的局部搜索能力，但優(yōu)化過程耗時且對種群初始化敏感. 本文將GA和PSO算法相結(jié)合[29]，各取所長，用于MRE力學模型的參數(shù)識別. 將Spencer提出的誤差計算公式作為參數(shù)識別的目標函數(shù)L[30]，公式如下：

根據(jù)改進Bouc-Wen模型的控制方程在Simulink軟件中搭建仿真模型，如圖9所示，圖中模塊表示積分，實現(xiàn)到z的積分運算.x0表示位移x的初值. MRE力學模型的參數(shù)識別過程即目標函數(shù)最小值的優(yōu)化過程，流程圖如圖10所示.

圖9 Simulink建立的改進Bouc-Wen模型Fig.9 Modified Bouc-Wen model in Simulink

圖10 基于GA-PSO算法的參數(shù)識別流程圖Fig.10 Parameter identification based on GA-PSO algorithm

3.2 不同工況下模型驗證

本節(jié)參數(shù)識別時選用的試驗數(shù)據(jù)均為CIP80%各向同性的MRE在正弦剪切應(yīng)變加載下得到的應(yīng)力應(yīng)變試驗數(shù)據(jù). 利用GA-PSO算法對MRE本構(gòu)模型的參數(shù)進行辨識，驗證模型的有效性，設(shè)置慣性權(quán)重η=1，加速常數(shù)d1=d2=3.5，粒子數(shù)M=36，迭代次數(shù)400，染色體編碼長度8，交叉概率0.7，變異概率0.3.

(1) 不同應(yīng)變幅值工況下的模型驗證.

當磁感應(yīng)強度為0 mT，應(yīng)變頻率為1 Hz時，選用不同應(yīng)變幅值工況的試驗數(shù)據(jù)(1.36%、2.51%、4.64%、8.57%、15.8%、29.3%)，對 Bouc-Wen模型和改進Bouc-Wen模型的參數(shù)進行識別，得到的仿真數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)對比如圖11所示.

圖11 不同幅值下的仿真與試驗數(shù)據(jù)對比. （a, b）Bouc-Wen 模型；（c, d） 改進 Bouc-Wen 模型Fig.11 Comparison of simulation and experimental data under different amplitudes: (a, b) Bouc-Wen model; (c, d) modified Bouc-Wen model

由圖11可知，Bouc-Wen模型在小應(yīng)變幅值時擬合效果較好，在大應(yīng)變幅值下能近似模擬試驗數(shù)據(jù)滯回曲線的平行四邊形特征. 但隨著應(yīng)變幅值增大，Bouc-Wen模型仿真數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)誤差逐漸增大，當應(yīng)變幅值為29.3%時，仿真和試驗滯回曲線存在明顯差異. 而改進Bouc-Wen模型在不同應(yīng)變幅值下的擬合效果較Bouc-Wen模型明顯提升，當應(yīng)變幅值小于15.8%時，仿真數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)得到的滯回曲線幾乎完全重合，即便當幅值為29.3%時，數(shù)據(jù)吻合度也較高，說明改進模型能夠準確地描述MRE的滯回特性.

(2) 不同頻率工況下的模型驗證.

當磁感應(yīng)強度為405 mT，應(yīng)變幅值為0.40%時，選用不同應(yīng)變頻率工況的試驗數(shù)據(jù)(0.5、1、3和 5 Hz)，對 Bouc-Wen模型和改進Bouc-Wen模型的參數(shù)進行識別，得到的仿真數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)對比如圖12所示.

圖12 不同頻率下的仿真與試驗數(shù)據(jù)對比. （a）Bouc-Wen模型；（b）改進Bouc-Wen模型Fig.12 Comparison of simulation and test data under different frequencies: (a) Bouc-Wen model; (b) modified Bouc-Wen model

由圖12可知，Bouc-Wen模型在應(yīng)變頻率0.5和1 Hz時擬合誤差較大，不能有效辨識滯回曲線隨頻率的變化規(guī)律. 對比可見，改進Bouc-Wen模型在不同應(yīng)變頻率下的仿真數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)的擬合效果均好于Bouc-Wen模型，在應(yīng)變頻率0.5和1 Hz時擬合精度明顯提高. 說明改進模型可以準確的反映應(yīng)變頻率對MRE力學性能的影響.

(3) 不同磁場工況下的模型驗證.

當應(yīng)變幅值為2.51%，應(yīng)變頻率為1 Hz時，選用不同磁場工況的試驗數(shù)據(jù)(115、234、405、456和545 mT，對應(yīng)的線圈電流依次為1、2、3、4和5 A)，對Bouc-Wen模型和改進Bouc-Wen模型的參數(shù)進行識別，得到的仿真數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)對比如圖13所示.

圖13 不同磁場下的仿真與試驗數(shù)據(jù)對比. （a）Bouc-Wen模型；（b）改進Bouc-Wen模型Fig.13 Comparison of simulation and test data under different magnetic flux densities: (a) Bouc-Wen model; (b) modified Bouc-Wen model

由圖13可知，改進Bouc-Wen模型在不同磁場工況下的仿真數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)具有較高的吻合度，仿真和試驗的滯回曲線幾乎重合，擬合精度較Bouc-Wen模型明顯提高. 說明改進模型可以準確反映磁場對MRE力學性能的影響.

本節(jié)各工況2種MRE模型的參數(shù)識別結(jié)果如表2、表3所示. 由表中數(shù)據(jù)可知，在磁感應(yīng)強度456 mT，應(yīng)變頻率1 Hz，幅值為2.51%的試驗工況下，Bouc-Wen模型的仿真數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)的吻合率為93.44%，為所有工況中最低；而此工況下改進Bouc-Wen模型的數(shù)據(jù)吻合率為99.41%，擬合精度提高了6%. 其他試驗工況下，改進Bouc-Wen模型的仿真數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)的吻合率均高于Bouc-Wen模型，說明改進后的模型擬合精度提高，可以更加準確地表征MRE的力學特性.

表2 Bouc-Wen模型識別結(jié)果及吻合率Table 2 Identified values and fitness values of the Bouc-Wen model

表3 改進Bouc-Wen模型識別結(jié)果及吻合率Table 3 Identified values and fitness values of the modified Bouc-Wen model

3.3 模型參數(shù)規(guī)律分析

由上面分析可知，表3中參數(shù)結(jié)果驗證了改進Bouc-Wen模型在模擬MRE力學特性的有效性. 識別結(jié)果為全局最優(yōu)解，具有擬合精度高，擬合效果好的優(yōu)勢. 根據(jù)表3可得模型參數(shù)隨著應(yīng)變幅值、磁感應(yīng)強度的變化趨勢，如圖14所示. 從圖中可以發(fā)現(xiàn)參數(shù)變化具有一定的隨機性.

圖14 各參數(shù)的變化趨勢. （a～h）不同應(yīng)變幅值下；（i～p）不同磁感應(yīng)強度下Fig.14 Change trends of parameters under different strain amplitudes (a-h) and under different magnetic flux densities (i-p)

為了探究模型參數(shù)在不同加載條件下的變化規(guī)律，對改進Bouc-Wen模型進一步分析.

當應(yīng)變頻率和磁場相同時，將應(yīng)變幅值1.36%工況得到的模型參數(shù)識別結(jié)果用于預(yù)測其他幅值2.51%、4.64%、8.57%、15.8%、29.3%的工況，發(fā)現(xiàn)模型仿真數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)存在較大擬合誤差；同樣將其他幅值工況得到的參數(shù)用于預(yù)測幅值1.36%工況時，仿真數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)吻合度較低，曲線存在較大擬合差異，說明改進Bouc-Wen模型的各參數(shù)與加載幅值存在耦合關(guān)系.

對圖13中不同磁感應(yīng)強度下的MRE滯回曲線進一步分析. 可以發(fā)現(xiàn)滯回曲線的形狀基本保持不變，可近似看做滯回曲線形狀不隨磁場改變而改變. 而滯回曲線的形狀由參數(shù)A、γ、β、n共同調(diào)控，所以可進一步假設(shè)參數(shù)A、γ、β、n受外加磁場影響較小，此處不再考慮其與磁場之間的耦合關(guān)系. 而磁場強度增加時，MRE的儲能模量和損耗模量明顯變大，說明表征彈性模量的參數(shù)k和表征黏性阻尼的參數(shù)c與磁場之間存在耦合關(guān)系.

由此可見改進模型參數(shù)能有效模擬MRE的力學特性，同時模型參數(shù)和應(yīng)變幅值、磁場大小之間存在部分耦合關(guān)系. 為使磁流變彈性體應(yīng)用于工程實際，利用MRE的磁流變效應(yīng)實現(xiàn)變剛度和變阻尼的半主動控制，在后期的工作中構(gòu)造函數(shù)關(guān)系來量化模型參數(shù)與影響因素之間的耦合關(guān)系，是一項很有意義的研究內(nèi)容.

4 結(jié)論

(1)各向同性與異性MRE截面形貌明顯不同.CIP與橡膠基體之間存在橋接結(jié)構(gòu)，各向同性MRE中CIP呈現(xiàn)隨機均勻分布，各向異性MRE中CIP沿磁場方向排列成鏈狀結(jié)構(gòu).

(2)各向同性與異性MRE動態(tài)黏彈性變化規(guī)律一致，受到幅值、頻率和磁場的影響. 儲能和損耗模量隨著應(yīng)變幅值(0～100%)增大先不變后減小，隨著頻率(0～100 Hz)增大而增大，隨著磁感應(yīng)強度(0～545 mT)增加而增加.

(3)提出了分數(shù)階導數(shù)的改進Bouc-Wen模型，該模型能夠準確表征MRE的力學特性，擬合精度較Bouc-Wen模型明顯提升，各工況的吻合率均高于98%，模型在較寬的應(yīng)變幅值、頻率、和磁場范圍內(nèi)是準確的.