王昕明

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院如東分院，江蘇 如東 226400）

1 引言

投石機(jī)主要是中、外古代的一種攻城射擊武器，它可把一塊巨石（或其他火器彈藥）直接投進(jìn)攻擊敵方城墻和城內(nèi)，造成毀滅性破壞.［1］圖1為古代投石機(jī)的試驗(yàn)實(shí)物和模型.近代投石機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果表明，投射臂長50英尺（約15m），平衡重錘為10t的投石機(jī)能將200—300磅（約90—140k g）的石塊或彈體拋射約300碼（約270m）的飛行距離.但是到了14世紀(jì)中期，有的古代拋石機(jī)竟然還能連續(xù)拋射將近1000磅（約450k g）重的石塊或彈體.［2］古代投石機(jī)結(jié)構(gòu)和種類雖然有很多，外形也不盡相同，但常見的古代投石機(jī)都配備有投射臂和平衡重錘，并通過其底座將所有的投射臂和平衡重錘都固定了起來，依靠將投射臂和平衡重錘的重力勢能直接轉(zhuǎn)化為所有投射物的重力動(dòng)能，從而將所有的投射物完全拋射出去.

從投石機(jī)的運(yùn)轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)來看，投石機(jī)的底座可以是固定的，也可以是可自由移動(dòng)的（如在底座上裝上車輪）；平衡重錘可以固定在投射臂上，也可以繞著投射臂的端點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng).投石機(jī)采用何種運(yùn)轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)可以將投射物投射的速度更快？如何計(jì)算投射物投射時(shí)的最大速度？投石機(jī)在投射時(shí)會(huì)在什么位置上將投射物投射出去？投石機(jī)如何操作才能使得投射距離最遠(yuǎn)？

圖1 投石機(jī)實(shí)物模型

針對以上問題，本文對投石機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化，引入簡化的投石機(jī)模型.為了理論分析和計(jì)算方便，本文又根據(jù)投石機(jī)的實(shí)物模型，合理地設(shè)定了投石機(jī)投射臂、平衡重錘、底座質(zhì)量、投石機(jī)投射臂和平衡重錘的尺度.同時(shí)，應(yīng)用本文引入的投石機(jī)模型，通過物理學(xué)理論分析，得出了投石機(jī)最佳的運(yùn)轉(zhuǎn)機(jī)制，計(jì)算出了投射物投射的最大速度，并從理論上得出了投石機(jī)怎樣操作才能投射最遠(yuǎn)距離的方法.

本文理論分析的結(jié)果對研究投石機(jī)在古代戰(zhàn)爭中的應(yīng)用具有一定的理論指導(dǎo)意義，更是提高了學(xué)生運(yùn)用物理學(xué)理論分析與解決實(shí)際問題的能力.

2 投石機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)機(jī)制研究

為了研究問題方便，引入以下假設(shè)數(shù)據(jù)，假設(shè)投射臂的質(zhì)量為m，臂長為2l，平衡重錘為一個(gè)圓盤，質(zhì)量為4m，半徑為l/2，底座的質(zhì)量為5m，投射臂可以繞著底座上轉(zhuǎn)軸C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖2所示.由于投射物的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于投石機(jī)投射臂和平衡重錘的質(zhì)量，因此，在實(shí)際分析中可以不考慮被投射物的質(zhì)量，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的摩擦力也不計(jì).

圖2 投石機(jī)的簡化模型

在實(shí)際使用時(shí)，投石機(jī)可以有以下3種裝設(shè)的方式.

① 底座固定在地面上，將平衡重錘的中心鎖緊固定在投射臂上，不能自由轉(zhuǎn)動(dòng)，即平衡重錘和投射臂一起運(yùn)動(dòng).

② 底座固定在地面上，將平衡重錘的中心和投射臂下端A點(diǎn)重合，平衡重錘可以繞著其中心自由轉(zhuǎn)動(dòng)，即平衡重錘和投射臂松開，沒有緊鎖在一起.

③ 底座在水平地面上自由滑動(dòng)且無摩擦，而平衡重錘的中心和投射臂下端A點(diǎn)重合，平衡重錘可以繞著其中心自由轉(zhuǎn)動(dòng)，即平衡重錘和投射臂松開，沒有緊鎖在一起.

從投石機(jī)的結(jié)構(gòu)可以看出，投石機(jī)要能夠?qū)⑼渡湮锿渡涑鋈?，首先要通過人工的方法，讓平衡重錘上升，依靠將平衡重錘的重力勢能轉(zhuǎn)化為投射物的動(dòng)能，從而將投射物投射出去.

在投石機(jī)實(shí)際發(fā)射時(shí)，投射物和平衡重錘都繞著底座上轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動(dòng)，因此，投射物并不會(huì)自動(dòng)離開投石機(jī)飛離出去.在圖2所示的投石機(jī)結(jié)構(gòu)中，只有當(dāng)平衡重錘落到最低點(diǎn)，而投射物上升到最高點(diǎn)時(shí)，由于平衡重錘的質(zhì)量遠(yuǎn)大于投射物的質(zhì)量，平衡重錘將在最低點(diǎn)振蕩，投射物也將在最高點(diǎn)振蕩，最終將投射物投射出去.因此，平衡重錘在最低點(diǎn)（或投射物在最高點(diǎn)）時(shí)的振蕩頻率大小，將會(huì)影響投射物能否能被投射出去以及投射的速度，當(dāng)然投射物投射的最大速度還與初始時(shí)平衡重錘所處位置、投射臂的長度等因素有關(guān).

2.1 投石機(jī)在第一種裝設(shè)方式之下的運(yùn)轉(zhuǎn)分析

在第1種裝設(shè)方式之下，可將平衡重錘和投射臂作為一個(gè)整體系統(tǒng)進(jìn)行分析.整體系統(tǒng)的動(dòng)能為Ek=Ek1+Ek2，其中，Ek1為平衡重錘的動(dòng)能，Ek2為投射臂的動(dòng)能，因?yàn)槎呔o鎖連接在一起，所以，平衡重錘和投射臂以同一轉(zhuǎn)速繞著轉(zhuǎn)軸C轉(zhuǎn)動(dòng).根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能關(guān)系式可得平衡重錘轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能［3］

投射臂相對于轉(zhuǎn)軸C的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為

取平衡系統(tǒng)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)速度到最低電平衡位置時(shí)重力勢能的值為0，根據(jù)質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)定理，［4］將重力平衡系統(tǒng)的重錘和投射臂作為一個(gè)固定的整體，其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)位置其重力勢能為

當(dāng)角度很小時(shí)，

系統(tǒng)的機(jī)械能可表示為

若不考慮摩擦阻力時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，對上式兩邊對時(shí)間求導(dǎo)可得［5］

此微分方程的解是典型的簡諧運(yùn)動(dòng)的偏微分方程，可解得到其振動(dòng)的角頻率為

根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的理論可知，要使得投射物能夠運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，并順利投射出去必須滿足：［1］，即在本文所設(shè)定的投石機(jī)參數(shù)的情況下，投射臂的長度至少在3m左右才能進(jìn)行發(fā)射，否則投射物在沒有達(dá)到發(fā)射高度之前就會(huì)從投石機(jī)上掉落下來，當(dāng)然在實(shí)際使用時(shí)，投射臂的長度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出此長度.

如果初始時(shí)兩個(gè)投射臂與系統(tǒng)的豎直位置形成夾角的值為θ0，取系統(tǒng)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)速度降到最低的位置時(shí)重力勢能的值為0，則投射臂初始時(shí)重力勢能的值為

根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)能公式，總的動(dòng)能為

當(dāng)平衡重錘落到最低點(diǎn)時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒原理可得Ek=Ep0，即

投射臂上B點(diǎn)的線速度為

由上式可知，在第1種裝設(shè)方式之下，投石機(jī)的投射物所能達(dá)到的最大速度與投射臂長度以及平衡重錘的初始位置有關(guān)，實(shí)際上還跟平衡重錘與投射臂的質(zhì)量比有關(guān)，質(zhì)量比越大，投射物所能達(dá)到的最大速度也就越大，當(dāng)然要使得投射物能夠順利投射出去，投射臂還必須達(dá)到一定的長度.

2.2 投石機(jī)在第2種裝設(shè)方式之下的運(yùn)轉(zhuǎn)分析

對于第2種裝設(shè)方式，由于平衡重錘的中心和投射臂下端A點(diǎn)重合，平衡重錘可以繞著其中心自由轉(zhuǎn)動(dòng)，平衡重錘的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為

投射臂相對于轉(zhuǎn)軸C的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為

其重力勢能為

當(dāng)角度很小時(shí)，

系統(tǒng)的機(jī)械能可表示為

若不考慮摩擦阻力，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，對上式兩邊對時(shí)間求導(dǎo)可得

同樣根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的理論可知，要使得投射物能夠運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，并順利投射出去必須滿足：即在本文所設(shè)定的投石機(jī)參數(shù)的情況下，投射臂的長度至少在2m左右才能進(jìn)行發(fā)射，否則投射物在沒有達(dá)到發(fā)射高度之前就會(huì)從投石機(jī)上掉落下來.

如果初始時(shí)兩個(gè)投射臂與系統(tǒng)的豎直位置形成夾角的值為θ0，取系統(tǒng)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)速度降到最低的位置時(shí)重力勢能的值為0，則投射臂初始時(shí)重力勢能的值為

根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)能公式，總的動(dòng)能為

當(dāng)平衡重錘落到最低點(diǎn)時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒原理可得Ek=Ep0，即

投射臂上B點(diǎn)的線速度為

同樣由上式可知，在第2種裝設(shè)方式之下，投石機(jī)的投射物所能達(dá)到的最大速度也與投射臂長度以及平衡重錘的初始位置有關(guān)，實(shí)際上也還跟平衡重錘與投射臂的質(zhì)量比有關(guān)，質(zhì)量比越大，投射物所能達(dá)到的最大速度也就越大，當(dāng)然要使得投射物能夠順利投射出去，投射臂也還必須達(dá)到一定的長度.

2.3 投石機(jī)在第3種裝設(shè)方式之下的運(yùn)轉(zhuǎn)分析

對于第3種裝設(shè)方式，由于底座在水平地面上自由滑動(dòng)且無摩擦，而平衡重錘的中心和投射臂下端A點(diǎn)重合，平衡重錘可以繞著其中心自由轉(zhuǎn)動(dòng)，所以當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)心x以水平速度vx運(yùn)動(dòng)時(shí)，由動(dòng)量守恒定律可得［6］

因此，平衡重錘和投射臂的質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能為

系統(tǒng)相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

底座的平動(dòng)動(dòng)能

總動(dòng)能則為

整個(gè)系統(tǒng)的機(jī)械能

在不考慮摩擦阻力時(shí)，機(jī)械能守恒，對上式對時(shí)間求導(dǎo)可得

同樣，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的理論可知，要使得投射物能夠運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，并順利投射出去必須滿足：由以上推導(dǎo)可看出，從理論上來說第3種裝設(shè)方式對投石機(jī)投射臂的長度沒有限制.

如果初始時(shí)兩個(gè)投射臂與系統(tǒng)的豎直位置形成夾角的值為θ0，取系統(tǒng)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)速度降到最低的位置時(shí)重力勢能的值為0，則投射臂初始時(shí)重力勢能的值為

根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)能公式，總的動(dòng)能為

當(dāng)平衡重錘落到最低點(diǎn)時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒原理可得Ek=Ep0，即

由于投射臂上的端點(diǎn)B相對于轉(zhuǎn)軸C有一個(gè)速度vB C=l ω.因?yàn)檗D(zhuǎn)軸C與系統(tǒng)質(zhì)心x以相同的水平速度運(yùn)動(dòng)，因此C相對于地面有一個(gè)向左的速度［7］因此，B點(diǎn)相對于地面的速度為

由前述內(nèi)容可知，應(yīng)用第3種裝設(shè)的方式，投石機(jī)可以將投射物投射得更快，在相同條件下也可將投射物投射得更遠(yuǎn).因此，從古代流傳下來的投石機(jī)的模型來看，投石機(jī)的平衡重錘都是可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的，投石機(jī)下面一般要裝上輪子，這就由投石機(jī)變?yōu)橥妒?，一方面便于移?dòng)，另一方面也減少了投石車與地面的摩擦，使得投射物被投射得更快、更遠(yuǎn).投石機(jī)的平衡重錘一般都要配制得比較重，而從上述理論分析可知，要使得投射物能投射得更快、更遠(yuǎn)，在保證投石機(jī)穩(wěn)定的前提下，底座的重量應(yīng)該是越輕越好.

3 投石機(jī)投射機(jī)制的研究

前述內(nèi)容從理論上證明了，如果在投石機(jī)的底座裝上輪子，并且與投射臂相連的平衡重錘可以繞著其中心自由轉(zhuǎn)動(dòng)，即平衡重錘和投射臂松開，沒有緊鎖在一起，應(yīng)用這種裝設(shè)方式，投石機(jī)可以將投射物投射得更快、更遠(yuǎn).同時(shí)得出了投射物投射的最大速度公式，由速度公式可知，投射物所能達(dá)到的最大速度與投射臂長度、平衡重錘的初始位置以及底座的質(zhì)量有關(guān)，實(shí)際上還跟平衡重錘與投射臂的質(zhì)量比有關(guān)，質(zhì)量比越大，投射物所能達(dá)到的最大速度也就越大.

但在前述內(nèi)容證明中，假設(shè)了平衡重錘到達(dá)最低位置，即投射物到達(dá)最高位置時(shí)，由于平衡重錘和投射物的振蕩，從而將投射物投射出去.而實(shí)際上當(dāng)平衡重錘到達(dá)最低位置，投射物到達(dá)最高位置時(shí)，投射物將被水平拋出，雖然這種情況下投射物被拋出的速度最大，但拋射高度和距離卻受到限制，如果以這種方式進(jìn)行投射，投石機(jī)必須放置在較高的位置或投石機(jī)的底座要做得很高.因此，在古代戰(zhàn)爭中，投石機(jī)往往被放置在高臺(tái)上或?qū)⒌鬃ǖ煤芨?，或?qū)⑼妒瘷C(jī)的投石臂做得較長，這樣才能使得投石機(jī)能擊中更高、更遠(yuǎn)的目標(biāo).

在投石機(jī)的結(jié)構(gòu)確定的情況下，要使得投石機(jī)能夠射中更高的目標(biāo)或更遠(yuǎn)的距離，那就要將投石機(jī)的發(fā)射由平射改為斜射，如何才能將投射物斜射出去？由圖1的投石機(jī)的實(shí)物圖可以看出，只要在投射臂上安裝攔截繩，就可以使得投石機(jī)將投射物斜射出去.如圖1所示，當(dāng)投射臂運(yùn)轉(zhuǎn)到一定位置時(shí)，攔截繩阻止投射臂繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)平衡重錘、投射臂以及被投射物將會(huì)在被攔截的位置進(jìn)行振蕩，從而將投射物投射出去.

根據(jù)物理學(xué)理論可知，當(dāng)投射臂與水平位置成45°角時(shí)，投射物被投射出去的距離是最遠(yuǎn)的，［8］因此，理論上來說投射臂與水平位置成45°角時(shí)投射的距離最遠(yuǎn).但實(shí)際上投射距離不僅與投射角有關(guān)，更與投射的初始速度有關(guān)，而在45°角位置上初始速度卻不是最大，因此，實(shí)際使用時(shí)應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況合理進(jìn)行調(diào)節(jié).當(dāng)然如果能使得平衡重錘盡可能的抬高，增加平衡重錘的初始重力勢能，同時(shí)又選擇合理的投射角，這樣就能提高投射高度和投射距離.還可以通過安裝攔截繩實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)投射角度，從而增加投射精度，提高使用效果.

根據(jù)前述理論證明和本節(jié)內(nèi)容的分析可知，要使得投石機(jī)能能夠擊中更高目標(biāo)和投射更遠(yuǎn)距離，同時(shí)又要能產(chǎn)生更快的投射速度，保證更準(zhǔn)確的投射精度，應(yīng)該采用以下方式.

① 在投石機(jī)的底座裝上輪子，并且與投射臂相連的平衡重錘可以繞著其中心自由轉(zhuǎn)動(dòng)，即平衡重錘和投射臂松開，沒有緊鎖在一起，應(yīng)用這種裝設(shè)方式，投石機(jī)可以將投射物投射得更快、更遠(yuǎn).

② 平衡重錘的重量應(yīng)該盡可能的大，在保證投石機(jī)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、安全的前提下，投射臂和底座重量越小越好.

③ 在保證投射臂安全牢靠的前提下，投射臂越長，效果越好.

④ 初始時(shí)應(yīng)該將平衡重錘盡可能抬高到較高的位置，增加平衡重錘的初始重力勢能.

⑤ 通過加裝攔截繩，使得投射物能夠斜拋出去，增加投射物投射的高度和距離，同時(shí)可以通過攔截繩實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)投射角度，從而增加投射精度，提高使用效果.