張志田，汪志雄，郄 凱，譚卜豪

（1.海南大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，海南 海口570228；2.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙410082；3.廣東省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院股份有限公司，廣東廣州510507）

引言

橋梁顫振穩(wěn)定一直是研究熱點(diǎn)，眾多學(xué)者采用線性理論對(duì)這一問題進(jìn)行了廣泛的研究［1-5］。線性理論表明，來流風(fēng)速超過顫振閾值后橋梁會(huì)出現(xiàn)振幅發(fā)散形式的動(dòng)力失穩(wěn)現(xiàn)象。然而，大振幅下的非線性氣彈效應(yīng)可能促使橋梁發(fā)生極限環(huán)振動(dòng)而不是發(fā)散振動(dòng)。極端天氣出現(xiàn)的概率逐年增加［6］，一些顫振穩(wěn)定性較低的橋梁有可能進(jìn)入顫振后狀態(tài)。如美國的原塔科馬橋在較低風(fēng)速下出現(xiàn)了大幅振動(dòng)并最終坍塌，而美國的金門大橋同樣經(jīng)歷了顫振卻得以幸存［7］。由此可知，不同氣動(dòng)外形有不同的后顫振性能。如果在設(shè)計(jì)階段就考慮橋梁的后顫振性能，并盡可能降低其后顫振幅值，則能提高其顫振失穩(wěn)后的幸存概率，增加其抗風(fēng)強(qiáng)健性。因此，研究橋梁的后顫振氣動(dòng)性能是必要的。

目前，研究顫振響應(yīng)特性最直接的方法是風(fēng)洞試驗(yàn)。朱樂東、高廣中發(fā)現(xiàn)了典型橋梁斷面存在不同尺度的軟顫振現(xiàn)象［8］。鄭史雄等研究了π型斷面的軟顫振特性［9］，并通過氣動(dòng)措施對(duì)軟顫振進(jìn)行抑制。Daito等研究的π型及H型斷面同樣出現(xiàn)了軟顫振現(xiàn)象［10］，且不同斷面的軟顫振特性差異較大。Amandolese等也通過微型風(fēng)洞研究了矩形平板斷面彎扭耦合顫振的幅值、頻率以及阻尼特性［11］；Zhang等通過風(fēng)洞試驗(yàn)對(duì)箱梁斷面的軟顫振性能進(jìn)行了研究，研究表明箱梁斷面為彎扭耦合顫振［12］。另外，實(shí)際橋梁和風(fēng)洞試驗(yàn)均存在幾何與阻尼非線性，從而使結(jié)構(gòu)進(jìn)入極限環(huán)狀態(tài)。吳長(zhǎng)青、張志田數(shù)值研究結(jié)果表明，考慮幾何非線性之后平板斷面也可進(jìn)入后顫振狀態(tài)［13］。以上文獻(xiàn)主要針對(duì)某一組動(dòng)力特性下橋梁斷面的后顫振性能進(jìn)行研究，然而同種斷面形式可用于不同跨徑的橋梁。不同跨徑橋梁的節(jié)段模型主要體現(xiàn)在扭彎頻率不同。目前缺少針對(duì)不同扭彎頻率比節(jié)段模型的后顫振研究。文獻(xiàn)［14］中對(duì)扭彎頻率比的應(yīng)用也只體現(xiàn)在顫振臨界風(fēng)速上。

π型主梁斷面在大跨徑橋梁中得到了廣泛應(yīng)用［15-16］。本文針對(duì)某一大跨徑斜拉橋的π型主梁斷面，采用彈性懸掛節(jié)段模型風(fēng)洞試驗(yàn)，研究了不同扭彎頻率比下的顫振閾值以及后顫振響應(yīng)特性，并分析了在后顫振狀態(tài)下的幅值、頻率、相位以及動(dòng)態(tài)頻率和阻尼隨時(shí)間演變的特性。

1 風(fēng)洞試驗(yàn)

1.1 試驗(yàn)設(shè)置

試驗(yàn)所采用的π型斷面如圖1所示。節(jié)段模型通過彈性懸掛裝置固定于風(fēng)洞中，如圖2所示。設(shè)置兩塊倒角橢圓形端板以減少端部三維風(fēng)場(chǎng)效應(yīng)。節(jié)段模型采用不銹鋼邊主梁以及6061T硬鋁橋面板作為框架保證整體剛度。橋面鋪裝層、橫梁以及欄桿附屬設(shè)施采用ABS板制作確保氣動(dòng)外形。模型的豎向剛度（Kv）由8根豎直彈簧提供；扭轉(zhuǎn)剛度（Kt）通過設(shè)彈簧懸掛點(diǎn)的順風(fēng)向距離來模擬。

圖1 模型標(biāo)準(zhǔn)斷面（單位：m）Fig.1 Standard model section（Unit：m）

圖2 節(jié)段模型風(fēng)洞試驗(yàn)懸掛Fig.2 The segment model mounted in wind tunnel

成橋狀態(tài)設(shè)計(jì)參數(shù)以及通過相似比（1∶50）換算的節(jié)段模型設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。從表1中可知節(jié)段模型的扭轉(zhuǎn)和豎彎頻率之比ft/fv=1.035，這種情況下可能發(fā)生彎扭耦合振動(dòng)。為進(jìn)一步研究ft/fv對(duì)后顫振耦合響應(yīng)特性的影響，在確保豎向頻率基本不變的前提下設(shè)置不同ft/fv的五種工況，分別為0.872，0.971，0.988，1.085以及1.245。試驗(yàn)采用兩個(gè)單點(diǎn)位移計(jì)進(jìn)行模型豎向和扭轉(zhuǎn)響應(yīng)測(cè)量，兩個(gè)位移計(jì)相距290 mm。位移采集頻率為200 Hz。每級(jí)風(fēng)速采集時(shí)間大約為60 s。改變風(fēng)速后隔2-3 min再次采集。所有工況的初始攻角為+3°，且來流條件為均勻流。測(cè)試過程中無任何初始激勵(lì)。

表1 實(shí)橋及節(jié)段模型設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.1 Design parameters of the prototype and segment model

ft和fv通過自由衰減振動(dòng)時(shí)程曲線做頻譜分析獲得，其質(zhì)量（m）和質(zhì)量矩（It）由下式計(jì)算：

式中m為懸掛系統(tǒng)等效質(zhì)量；Kv為彈性懸掛系統(tǒng)豎向剛度，具體為29309.6 N/m；fv為懸掛系統(tǒng)豎向固有頻率。It為懸掛系統(tǒng)等效質(zhì)量矩；Kt為彈性懸掛系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)剛度，其計(jì)算公式為；Kt=Kv×（xsc）2，xsc為彈簧懸掛點(diǎn)距模型剪心距離；ft為懸掛系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)固有頻率。

各個(gè)工況彈性懸掛模型參數(shù)如表2所示。

表2 不同扭彎頻率比的彈性懸掛模型參數(shù)Tab.2 Parameters of the elastically mounted model with different torsion-bend frequency ratios

1.2 彈性懸掛系統(tǒng)非線性特性

大振幅下彈性懸掛系統(tǒng)的阻尼和剛度會(huì)體現(xiàn)出非線性特性。為了進(jìn)一步研究彈性懸掛系統(tǒng)非線性阻尼對(duì)顫振后狀態(tài)的影響，采用零風(fēng)速下大振幅的自由衰減振動(dòng)識(shí)別系統(tǒng)的非線性阻尼，識(shí)別方法參考文獻(xiàn)［17］。這里僅給出ft/fv=0.872模型的自由衰減時(shí)程（如圖3所示）及對(duì)應(yīng)的阻尼和頻率隨幅值演變的結(jié)果，如圖4所示。從圖中可知，扭轉(zhuǎn)阻尼均有明顯的非線性特性，而豎向阻尼隨幅值變化較弱。根據(jù)作者目前的研究，豎向阻尼非線性特性較弱可能是彈簧剛度較大引起的。

圖3 自由衰減時(shí)程Fig.3 The free decay time histories

圖4 彈性懸掛系統(tǒng)的非線性特性（ft/fv=0.872）Fig.4 Nonlinear properties of the suspended elastic system with ft/fv=0.872

2 耦合顫振響應(yīng)特性

2.1 顫振響應(yīng)幅值

顫振幅值結(jié)果如圖5所示。從圖中可知，所有工況在顫振臨界風(fēng)速之后都進(jìn)入了極限環(huán)狀態(tài)，其振動(dòng)的形式為彎扭耦合顫振。由前面討論可知，系統(tǒng)具有阻尼、幾何以及氣動(dòng)非線性特性，這些都可能促進(jìn)極限環(huán)的形成。鑒于后顫振狀態(tài)下模型的豎向和扭轉(zhuǎn)均為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，采用如下形式描述極限環(huán)振動(dòng)

圖5 顫振極限環(huán)幅值Fig.5 The amplitude of LCO

式中Ai（i=h，α）為豎向或扭轉(zhuǎn)響應(yīng)位移；Ai_0（i=h，α）為豎向或扭轉(zhuǎn)響應(yīng)均值；Ai_amp（i=h，α）為豎向或扭轉(zhuǎn)響應(yīng)幅值；fi（i=h，α）為豎向或扭轉(zhuǎn)響應(yīng)主頻；φi（i=h，α）為豎向或扭轉(zhuǎn)響應(yīng)初相位；t為時(shí)間。

后顫振狀態(tài)下的豎向和扭轉(zhuǎn)幅值均隨風(fēng)速增大，但隨風(fēng)速演變的趨勢(shì)相差較大。當(dāng)來流風(fēng)速超過顫振臨界風(fēng)速后，ft/fv=0.872和ft/fv=1.245的豎彎和扭轉(zhuǎn)的幅值分別在U/（fαB）為3.99和4.71處有突變點(diǎn)，尤其是扭轉(zhuǎn)幅值，具有硬顫振特點(diǎn)（超過顫振臨界風(fēng)速之后幅值突然增大）。值得注意的是，兩種情況下扭彎頻率比不同所形成的無量綱顫振臨界風(fēng)速差異達(dá)到20%以上。對(duì)比圖中各工況的結(jié)果可知，扭彎頻率比不僅可以改變顫振的軟硬性質(zhì)，同時(shí)對(duì)顫振臨界風(fēng)速（如圖6所示）、扭轉(zhuǎn)與豎彎運(yùn)動(dòng)的耦合程度、后顫振極限環(huán)幅值（同一風(fēng)速下可達(dá)數(shù)倍以上的差距）、極限環(huán)幅值的演變路徑都有顯著的影響。

圖6 不同頻率比的顫振臨界風(fēng)速Fig.6 Critical wind speed for different frequency ratios

規(guī)范［14］計(jì)算的顫振臨界風(fēng)速與試驗(yàn)的相對(duì)誤差（Res）定義如下

在規(guī)范［14］中，顫振臨界風(fēng)速的計(jì)算源于理想平板的氣動(dòng)力理論，其表達(dá)示如下

式中Uco為平板顫振臨界風(fēng)速；B為主梁特征寬度；b為特征寬度的一半，b=B/2；μ為橋面單位長(zhǎng)度的質(zhì)量與空氣密度比，μ=m/（πρb2），其中ρ為空氣密度；r為慣性半徑為扭轉(zhuǎn)基頻。

式中ε為扭彎頻率比，ε=ft/fv；ωv=2πfv。

式中ωt=2πft；μˉ為空氣與橋面的密度比，μˉ=1/μ；

最終橋梁斷面的顫振臨界風(fēng)速通過斷面形狀系數(shù)和攻角效應(yīng)系數(shù)修正的如下所示式中ηs為形狀系數(shù)，取值為0.4；ηα為攻角修正系數(shù)，取值為0.85；Uco源于式（5），（6）及（7）。

基于式（5）和（6）計(jì)算的π型斷面的顫振臨界風(fēng)速如圖7所示。從圖中可知，基于公式（6）計(jì)算的顫振臨界風(fēng)速的結(jié)果比公式（5）更靠近試驗(yàn)值，基于公式（5）計(jì)算的顫振臨界風(fēng)速最大相對(duì)誤差達(dá)149.34%，其他工況的相對(duì)誤差如圖8所示。公式（5），（6）以及（7）都不能對(duì)ft/fv=1.035和ft/fv=1.085的顫振臨界風(fēng)速比ft/fv=0.971和ft/fv=0.988要低的情況做出合理的解釋，表明了目前規(guī)范［14］的不足。

圖7 規(guī)范計(jì)算的顫振臨界風(fēng)速Fig.7 Critical flutter wind speed calculated by specification

圖8 相對(duì)誤差Fig.8 Relative errors

為了進(jìn)一步研究豎向振動(dòng)的參與程度，定義了無量綱系數(shù)豎向相對(duì)扭轉(zhuǎn)幅值系數(shù)η，簡(jiǎn)稱豎扭幅值系數(shù)，其表達(dá)式如下

所有工況的η隨風(fēng)速演變規(guī)律如圖9所示。從圖中較容易得知ft/fv=0.872和ft/fv=1.245的η系數(shù)較小且隨風(fēng)速增長(zhǎng)緩慢，這說明了后顫振主要為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。ft/fv越接近1，η系數(shù)值越大，尤其是ft/fv=1.035和ft/fv=1.085，η系數(shù)隨風(fēng)速增長(zhǎng)速率相對(duì)于其他工況大，也就是說豎向振動(dòng)參與程度大。

圖9 系數(shù)η隨風(fēng)速演變圖Fig.9 η coefficients versus wind speed

2.2 顫振位移時(shí)程及頻率特性

2.2.1 顫振位移時(shí)程

圖10給出了ft/fv=0.872時(shí)六種風(fēng)速下的豎向和扭轉(zhuǎn)位移時(shí)程。從圖中可以得知，當(dāng)來流風(fēng)速為U=7.82 m/s，扭轉(zhuǎn)響應(yīng)已近接近單一頻率，但幅值沒有完全穩(wěn)定，而豎向響應(yīng)沒有明顯的規(guī)律可循。當(dāng)風(fēng)速超過顫振臨界風(fēng)速后，節(jié)段模型進(jìn)入極限環(huán)狀態(tài)，其豎向和扭轉(zhuǎn)響應(yīng)有一定程度耦合，但兩者存在相位差。

圖10 后顫振時(shí)程響應(yīng)（ft/fv=0.872）Fig.10 The time history of post-flutter for ft/fv=0.872

2.2.2 顫振頻率特性

耦合振動(dòng)頻率隨風(fēng)速的演變規(guī)律如圖11所示。從圖11中可知，所有工況的耦合頻率都隨風(fēng)速降低。ft/fv=0.872和ft/fv=1.245的模型頻率在整個(gè)后顫振風(fēng)速區(qū)間內(nèi)降低較為平穩(wěn)；ft/fv=0.971，ft/fv=0.988，ft/fv=1.035以及ft/fv=1.085的模型耦合頻率在風(fēng)速較低時(shí)靠近扭轉(zhuǎn)基頻。ft/fv=0.988和ft/fv=

圖11 后顫振耦合頻率隨風(fēng)速演變圖Fig.11 The evolutions of coupled frequency of post-flutter with wind speed

1.085的模型在高風(fēng)速區(qū)耦合頻率隨風(fēng)速降低的速率增大。ft/fv=0.971的模型耦合頻率在后顫振過程中有明顯的突變點(diǎn)。ft/fv=1.035的模型耦合頻率隨風(fēng)速演變有接近平穩(wěn)的趨勢(shì)，這可能是懸掛系統(tǒng)阻尼隨極限環(huán)幅值增大而增大引起的。ft/fv=1.245，ft/fv=1.085以及ft/fv=1.035的模型耦合主頻率在豎向和扭轉(zhuǎn)固有頻率之間；ft/fv=0.988，ft/fv=0.971以及ft/fv=0.872的模型耦合主頻率低于豎向和扭轉(zhuǎn)中的任何一個(gè)固有頻率，說明受氣動(dòng)負(fù)剛度的影響，系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)頻率始終是下降的。

豎向和扭轉(zhuǎn)響應(yīng)的頻譜特性更能直觀地體現(xiàn)耦合頻率成分，圖12中給出了ft/fv=0.872的模型六種不同風(fēng)速下豎向和扭轉(zhuǎn)響應(yīng)FFT的頻率成分，其橫坐標(biāo)分辨率大約為0.015 Hz。從圖中可以得知，當(dāng)來流風(fēng)速低于顫振臨界風(fēng)速時(shí)，豎向和扭轉(zhuǎn)響應(yīng)的頻率成分較多，其主要頻率也不相同，表明了豎向和扭轉(zhuǎn)還沒有進(jìn)入耦合模式。當(dāng)來流風(fēng)速超過顫振臨界風(fēng)速后，豎向和扭轉(zhuǎn)響應(yīng)的頻率基本相同。在風(fēng)速較低的情況下，倍頻成分不明顯；當(dāng)風(fēng)速高于11.7 m/s時(shí)，有輕微倍頻成分存在，但在整個(gè)頻率成分中所占比例很小，這和文獻(xiàn)［18］研究的扁平箱梁高次諧波分量顯著存在較大的差異。

圖12 后顫振頻率特性（ft/fv=0.872）Fig.12 Frequency properties of post-flutter for ft/fv=0.872

2.3 耦合特性

耦合振動(dòng)有兩種模式，一種如圖13（a）所示，旋轉(zhuǎn)中心靠前，另一種如圖13（b）所示，旋轉(zhuǎn)中心靠后。

圖13 耦合振動(dòng)模式示意圖Fig.13 Schematic diagram of coupled vibration patterns

耦合振動(dòng)的模式取決于扭轉(zhuǎn)和豎向振動(dòng)的相位差φα-φh。圖14給出了不同頻率比的模型在后顫振狀態(tài)下φα-φh隨風(fēng)速演變的規(guī)律，從圖中可知所有工況的φα-φh隨風(fēng)速增加。ft/fv=1.035和ft/fv=1.085的φα-φh隨風(fēng)速增長(zhǎng)最快，也是在六種工況中相位差發(fā)生正負(fù)號(hào)變化的兩種工況，且沒有明顯趨于 穩(wěn) 定 的 跡 象。ft/fv=0.872，ft/fv=0.971，ft/fv=0.988以及ft/fv=1.245的φα-φh隨風(fēng)速增加緩慢，且慢慢趨于穩(wěn)定的值。文獻(xiàn)［11］的研究結(jié)果表明耦合顫振時(shí)相位差φα-φh會(huì)趨于0。文獻(xiàn)［19］的研究結(jié)果也表明，對(duì)于耦合顫振，當(dāng)豎向與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的相位差為零時(shí)才能使得結(jié)構(gòu)從氣流中吸收的能量最大化。圖14顯示的結(jié)果顯然與文獻(xiàn)［11，19］的結(jié)論均有實(shí)質(zhì)性的差異，這種非零相位差的現(xiàn)象引發(fā)一個(gè)基本問題，即π型斷面顫振時(shí)自由度的耦合現(xiàn)象可能不是顫振的原因，而是分離流顫振后能量轉(zhuǎn)移的結(jié)果，這一問題仍有待深入研究。

2.4 顫振動(dòng)力響應(yīng)分析

為了更直觀地研究在整個(gè)顫振響應(yīng)過程中瞬態(tài)阻尼的變化趨勢(shì)，采用如下的阻尼計(jì)算公式［20］

式中ξi（i=h，α）為豎向或扭轉(zhuǎn)瞬態(tài)阻尼；fi（i=h，α）為豎向或扭轉(zhuǎn)瞬態(tài)頻率；Ai_amp（i=h，α）為豎向或扭轉(zhuǎn)瞬態(tài)幅值。

圖15給出了阻尼和頻率隨時(shí)間演變的規(guī)律。從圖中可以得知，ft/fv=0.872和ft/fv=1.035模型振動(dòng)的阻尼以及頻率隨時(shí)間的演變存在較大的差異。ft/fv=0.872模型的扭轉(zhuǎn)頻率隨時(shí)間基本平穩(wěn)減小，而ft/fv=1.035模型的頻率演變存在較大的波動(dòng)，需經(jīng)過較長(zhǎng)的時(shí)間才趨于穩(wěn)定。這兩者的豎向和扭轉(zhuǎn)阻尼在顫振發(fā)展的過程中存在明顯的差異，這可能是引起后顫振極限環(huán)幅值差異大的原因。

圖15 扭轉(zhuǎn)頻率及氣動(dòng)阻尼隨時(shí)間演變圖Fig.15 The time history of frequencies and damping ratios

3 結(jié)論

1）扭彎頻率比對(duì)π型斷面的顫振基本特性有實(shí)質(zhì)性的影響，包括臨界風(fēng)速、極限環(huán)幅值、顫振幅值隨風(fēng)速的演變路徑、豎向與扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的耦合程度、兩耦合自由度之間的相位差，甚至“軟”、“硬”顫振性質(zhì)都受其影響。

2）將文獻(xiàn)［14］中提供的顫振閾值計(jì)算公式應(yīng)用到本文所研究的斷面時(shí)，最大誤差可達(dá)到149.34%，且不能解釋不同扭彎頻率比帶來的差異。

3）π型斷面的顫振發(fā)展過程中阻尼具有顯著的幅值依賴性；顫振發(fā)展過程中豎向和扭轉(zhuǎn)阻尼的演變對(duì)最終的顫振極限環(huán)幅值產(chǎn)生較大的影響。

4）耦合顫振特征之一是，自由度之間的耦合是顫振的必要條件。π型斷面的顫振試驗(yàn)現(xiàn)象表現(xiàn)為彎扭耦合形式，但該耦合是形成顫振的必要條件，還是分離流扭轉(zhuǎn)顫振激發(fā)后豎向振動(dòng)被動(dòng)參與，仍有待深入研究。