何浩祥，丁佳偉，閆維明

（北京工業(yè)大學(xué)工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100124）

引言

地震動(dòng)是復(fù)雜的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其隨機(jī)性主要來(lái)自于震源機(jī)制、傳播途徑和局部場(chǎng)地條件，且時(shí)域和頻域的非平穩(wěn)性都比較明顯。地震動(dòng)的基本特性可以通過(guò)振幅、頻譜和持時(shí)三要素來(lái)描述。該三要素從時(shí)域頻域兩方面刻畫(huà)了地震動(dòng)特征，是影響結(jié)構(gòu)響應(yīng)的主要因素。通常采用強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)來(lái)描述地震動(dòng)時(shí)域幅值的變化特征，常用的數(shù)學(xué)模型主要分為單峰函數(shù)型［1-2］和分段函數(shù)型［3］兩類(lèi)。單峰模型不適用于描述多峰型地震動(dòng)波形，分段連續(xù)模型對(duì)于描述沖擊型地震記錄不恰當(dāng)，并且在分界點(diǎn)處不光滑。由于不同地震動(dòng)持時(shí)和峰值出現(xiàn)時(shí)刻各不相同，直接對(duì)大量地震動(dòng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析難以獲得簡(jiǎn)潔直觀(guān)的模型，因此上述模型都是根據(jù)部分典型地震動(dòng)波形和觀(guān)察經(jīng)驗(yàn)確定的，并不直接具有明確的統(tǒng)計(jì)特征。如何確定具有統(tǒng)計(jì)意義的地震動(dòng)強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)模型具有重要的研究意義。此外，地震動(dòng)在頻域上也具有顯著的非平穩(wěn)特性，通常采用功率譜來(lái)描述其頻譜特性，以表征地震動(dòng)在不同頻率成分上的能量分布。常用的多種功率譜模型均以Kanai-Tajimi［4］譜為代表的過(guò)濾白噪聲型功率譜為基礎(chǔ)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整以抑制低頻或高頻成分［5-6］。但以上功率譜模型均為光滑的單峰曲線(xiàn)，與真實(shí)地震動(dòng)功率譜差別較大，對(duì)非平穩(wěn)的表征不夠充分和細(xì)致。綜上所述，傳統(tǒng)時(shí)域或頻域理論模型不能充分地反映地震動(dòng)時(shí)頻域的非平穩(wěn)性。

時(shí)頻分析是一種將時(shí)域信號(hào)映射到時(shí)頻空間描述和表達(dá)的方法，在信號(hào)局部或瞬態(tài)特征刻畫(huà)方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。由現(xiàn)代時(shí)頻分析方法獲取的時(shí)變功率譜能夠從時(shí)間、頻率和幅值三個(gè)方面來(lái)共同描述非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的時(shí)頻局部特性［7-9］。目前計(jì)算時(shí)變功率譜的方法主要有短時(shí)Fourier變換、WVD（Wigner-Ville Distribution）分解、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解以及小波變換和小波包變換等［10-11］。雖然時(shí)頻分析方法眾多，但大部分方法在處理地震動(dòng)信號(hào)時(shí)并不能充分滿(mǎn)足時(shí)域和頻域的邊緣條件，仍然不夠精確。文獻(xiàn)［12］通過(guò)對(duì)比分析確認(rèn)了具有合適基函數(shù)的小波包分解方法可準(zhǔn)確描述地震動(dòng)的時(shí)頻變化特征，是建立時(shí)變功率譜（演變譜）準(zhǔn)確而有效的工具。然而，目前尚缺乏反映各類(lèi)場(chǎng)地條件影響的具有統(tǒng)計(jì)意義的時(shí)變功率譜模型或精準(zhǔn)的經(jīng)驗(yàn)公式，這制約了時(shí)變功率譜在地震動(dòng)特性分析中的深度應(yīng)用。

此外，目前的結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析理論雖然通常根據(jù)演變譜理論進(jìn)行求解，但一般都進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理。采用的地震動(dòng)模型通常為均勻調(diào)制模型和傳統(tǒng)非均勻調(diào)制模型，前者沒(méi)有考慮頻域非平穩(wěn)性而后者對(duì)非頻域平穩(wěn)性的反映不精確、不充分，影響了結(jié)構(gòu)地震隨機(jī)振動(dòng)分析的精度。

有鑒于此，本文提出了基于能量持時(shí)的地震動(dòng)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)模型建立方法，獲得了不同場(chǎng)地類(lèi)型下的地震動(dòng)強(qiáng)度包絡(luò)統(tǒng)計(jì)模型。在此模型基礎(chǔ)上提出了多峰型功率譜模型和全非平穩(wěn)時(shí)變功率譜模型，并根據(jù)非平穩(wěn)信號(hào)的邊緣條件和能量非負(fù)性驗(yàn)證了其精確性，為建立精確的地震動(dòng)時(shí)變功率譜統(tǒng)一模型并進(jìn)行精確的結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)分析提供堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析算例結(jié)果表明：采用傳統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)分析方法的結(jié)果偏保守且不夠準(zhǔn)確，而基于精確時(shí)變功率譜（演變譜）計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)能夠準(zhǔn)確而細(xì)致地反映時(shí)頻兩域非平穩(wěn)性的影響，適宜在地震動(dòng)分析和結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中推廣。

1 基于能量持時(shí)的地震動(dòng)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)模型

地震動(dòng)在時(shí)域上呈明顯的強(qiáng)度非平穩(wěn)性，可采用隨時(shí)間變化的加速度強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)來(lái)描述振幅變化過(guò)程。目前強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)模型主要分為單峰型函數(shù)模型和多段式強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)模型［3］。前者的典型公式包括：

式中t為時(shí)間；I0，a，b和c均為特征參數(shù)。

在多段式強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)模型中，三段式模型最為常用，其表達(dá)式為

式中a，b，c均為模型參數(shù)，t1和t2分別為控制強(qiáng)震平穩(wěn)持續(xù)段的首末時(shí)刻。

傳統(tǒng)的強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)模型都是依據(jù)一定的典型地震記錄或經(jīng)驗(yàn)建立的，并未從波形統(tǒng)計(jì)特征方面進(jìn)行確切驗(yàn)證，具有一定的局限性，需要根據(jù)大量數(shù)據(jù)建立具有統(tǒng)計(jì)特征的強(qiáng)度包絡(luò)曲線(xiàn)。在獲取地震動(dòng)強(qiáng)度包絡(luò)統(tǒng)計(jì)值時(shí)，由于不同地震記錄下的峰值出現(xiàn)時(shí)刻和平穩(wěn)持時(shí)段均不同，如果直接將每條地震波的絕對(duì)值的最大值對(duì)齊，疊加后的總波形平穩(wěn)段將交叉混疊，并不具有真實(shí)性和代表性，也無(wú)法應(yīng)用傳統(tǒng)的強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)來(lái)表示。

實(shí)際上，強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)的定義中隱含著對(duì)累積能量及持時(shí)的規(guī)定，能量持時(shí)定義為地震動(dòng)加速度能量累積達(dá)到兩個(gè)不同閾值之間的時(shí)間差，其中能量累積過(guò)程由地震動(dòng)加速度平方的積分表示［13-15］。能量持時(shí)可按下式計(jì)算

式中H為Heaviside函數(shù)，Ab和Ae分別為第一個(gè)和第二個(gè)閾值，A（t）為歸一化的Arias強(qiáng)度，計(jì)算公式如下

式中a（τ）為地震動(dòng)加速度記錄，Td為地震動(dòng)總持續(xù)時(shí)間。

基于強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)模型實(shí)際上是對(duì)累積能量持時(shí)的表達(dá)這一觀(guān)點(diǎn)，本文提出基于能量持時(shí)的地震動(dòng)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)模型建立方法，可以將大量地震記錄的強(qiáng)震平穩(wěn)持時(shí)段集中匯集在一起并使強(qiáng)度模型具有統(tǒng)計(jì)特征。該方法的具體步驟為：（1）將各類(lèi)場(chǎng)地大量的地震記錄進(jìn)行歸一化處理；（2）通過(guò)公式（4）和（5）分別計(jì)算不同場(chǎng)地類(lèi)型下每條地震記錄累積能量的起始閾值點(diǎn)tb及終止閾值點(diǎn)te；（3）計(jì)算每條地震記錄起始與終止閾值點(diǎn)的中心時(shí)刻tm；（4）確定各類(lèi)場(chǎng)地中所有地震記錄中心時(shí)刻tm的最大值tmax，并以此為基準(zhǔn)將各條地震記錄的中心時(shí)刻tm與tmax對(duì)齊，視為同一時(shí)段發(fā)生的地震記錄；（5）由于各地震記錄的時(shí)程長(zhǎng)度不同，將地震記錄的起點(diǎn)時(shí)刻補(bǔ)零找齊，使地震記錄時(shí)程具有相同長(zhǎng)度，并構(gòu)成整體疊合記錄；（6）對(duì)上述疊合記錄取絕對(duì)值并歸一化，最終得到具有統(tǒng)計(jì)意義的等效波，之后可用擬合方法確定偏差最小的強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)。上述方法的特點(diǎn)在于：可將地震動(dòng)的主要能量（強(qiáng)震平穩(wěn)段）集中在有限時(shí)域范圍內(nèi)，為評(píng)價(jià)能量統(tǒng)計(jì)特征提供良好的基本條件；避免了不同地震記錄的持時(shí)不同造成的不便；能量對(duì)齊之后地震動(dòng)峰值仍然在適當(dāng)?shù)臅r(shí)域范圍內(nèi)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行峰值分析、平滑處理和建立強(qiáng)度包絡(luò)更有統(tǒng)計(jì)意義。

為了驗(yàn)證上述方法的有效性，針對(duì)四類(lèi)場(chǎng)地按照如下的要求從太平洋地震工程研究中心（PEER）數(shù)據(jù)庫(kù)中選波：1）所選地震震級(jí)應(yīng)大于3.5級(jí)；2）地震波的PGA大于0.05g小于0.8g；3）震中距大于10 km小于240 km；4）平均土層剪切波速符合規(guī)范的要求；5）一次地震發(fā)生最多采用2條不同地點(diǎn)的地震記錄；6）均采用水平向的記錄。分別選取了世界范圍內(nèi)的100條典型的地震記錄進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析并建立強(qiáng)度包絡(luò)模型。分析結(jié)果證明5%到75%的累積能量持時(shí)段包含了地震的強(qiáng)震的主體［13］，是震動(dòng)最強(qiáng)和破壞力最強(qiáng)的部分，因此通過(guò)式（4）和（5）計(jì)算每條地震記錄的5%和75%的能量閾值。以Ⅱ類(lèi)場(chǎng)地和Ⅳ類(lèi)場(chǎng)地的統(tǒng)計(jì)結(jié)果為例，如圖1所示?？梢钥闯?，按照本文方法獲得的基于能量持時(shí)的地震動(dòng)時(shí)程曲線(xiàn)既保留了每條地震記錄的變化趨勢(shì)，又保證了總體的模型特征，細(xì)致而全面地表征了不同場(chǎng)地條件下的地震波強(qiáng)度演變特征。該方法克服了最大峰值對(duì)齊方法帶來(lái)的波形多峰和交錯(cuò)現(xiàn)象。同時(shí)，相關(guān)結(jié)果表明基于能量持時(shí)的地震動(dòng)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)波形確實(shí)呈現(xiàn)出與傳統(tǒng)強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)模型一致的變化趨勢(shì)。分別采用單峰型函數(shù)模型和三段式函數(shù)模型對(duì)四類(lèi)場(chǎng)地的統(tǒng)計(jì)地震記錄進(jìn)行擬合，并計(jì)算擬合誤差，結(jié)果如表1所示?？梢?jiàn)誤差均很小，采用兩種模型均具有較高的精度，因而傳統(tǒng)模型確實(shí)具有良好的普適性。根據(jù)本文方法獲得的強(qiáng)度時(shí)程曲線(xiàn)和相關(guān)包絡(luò)函數(shù)模型準(zhǔn)確有效，并具有統(tǒng)計(jì)意義，可以為今后的地震動(dòng)時(shí)頻域非平穩(wěn)性分析和結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析提供良好的數(shù)據(jù)支持。

圖1 典型場(chǎng)地地震記錄強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)模型Fig.1 Envelope function model of seismic record intensity for typical sites

表1 各模型與四類(lèi)場(chǎng)地地震記錄的相對(duì)誤差/%Tab.1 Relative error between each model and four types of site seismic records/%

2 多峰功率譜統(tǒng)計(jì)模型

大量地震動(dòng)特性研究表明：地震動(dòng)的強(qiáng)度非平穩(wěn)性及其對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的影響固然重要，但地震動(dòng)的頻域非平穩(wěn)性更加復(fù)雜，對(duì)結(jié)構(gòu)隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)的影響也更深遠(yuǎn)?；谏衔挠山y(tǒng)計(jì)分析得到的基于能量持時(shí)的強(qiáng)度時(shí)程曲線(xiàn)，本文將開(kāi)展多峰功率譜統(tǒng)計(jì)模型的研究。

地震動(dòng)的功率譜在頻域上都是復(fù)雜多變的，具有強(qiáng)烈的非平穩(wěn)性。長(zhǎng)期以來(lái)，為了分析方便，研究者通常使用以Kanai-Tajimi功率譜及其修正譜為代表的過(guò)濾白噪聲模型來(lái)描述地震動(dòng)功率譜，這些譜模型均呈現(xiàn)平滑單峰形狀，不足以精確表征真實(shí)功率譜多峰現(xiàn)象和非平穩(wěn)性，導(dǎo)致地震動(dòng)的非平穩(wěn)特性過(guò)度簡(jiǎn)化且以功率譜模型為基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析的精度不足。為了解決上述問(wèn)題，本文采用多峰功率譜函數(shù)［16］作為頻域的表達(dá)，如下式所示

式中S（ω）為多峰功率譜函數(shù)，ω為地震動(dòng)圓頻率分量，n為等效土層數(shù)，ωgj和ζgj分別為第j個(gè)土層的固有頻率和阻尼比，S0為白噪聲激勵(lì)的功率譜密度。上述模型采用Yamada等［17］提出的由多個(gè)二階線(xiàn)性濾波器響應(yīng)之和組成的表達(dá)式，反映了地震動(dòng)通過(guò)場(chǎng)地內(nèi)多個(gè)土層的效果，可以精細(xì)模擬多峰現(xiàn)象及復(fù)雜變化特征，比其他功率譜模型具有更高的精度和準(zhǔn)確性，是建立時(shí)變功率譜模型的關(guān)鍵。對(duì)上文基于能量持時(shí)的地震動(dòng)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)模型建立方法得到的各類(lèi)場(chǎng)地100條地震波分別取均值，最終得到各類(lèi)場(chǎng)地的典型歸一化地震波。根據(jù)各類(lèi)場(chǎng)地代表性歸一化地震記錄的真實(shí)功率譜確定多峰平滑功率譜的參數(shù)，Ⅰ類(lèi)至Ⅳ類(lèi)場(chǎng)地的等效土層數(shù)量n依次為18，12，14和16。通過(guò)最小平方和誤差的多元函數(shù)的目標(biāo)優(yōu)化方法可識(shí)別功率譜函數(shù)模型中的ωgj，ζgj和S0等參數(shù)。

為了驗(yàn)證多峰功率譜函數(shù)模型的精度，首先計(jì)算得到各類(lèi)場(chǎng)地的傳統(tǒng)功率譜的譜值，并以此作為真實(shí)值，分別采用Kanai-Tajimi譜、Clough-Penzien譜和歐進(jìn)萍譜對(duì)各類(lèi)場(chǎng)地的結(jié)果進(jìn)行基于滿(mǎn)足最小平方和差的參數(shù)擬合，得到相應(yīng)的等效功率譜，并與多峰功率譜進(jìn)行對(duì)比，其中Ⅱ類(lèi)場(chǎng)地的對(duì)比結(jié)果如圖2所示。各功率譜與真實(shí)功率譜的相對(duì)誤差和確定系數(shù)（R-square）如表2所示。

表2 各功率譜與真實(shí)功率譜的相對(duì)誤差及確定系數(shù)Tab.2 Relative errors and R-square of power spectrum and real power spectrum

圖2 不同功率譜精度比較Fig.2 Accuracy comparison of different power spectra

從以上結(jié)果可以看出：傳統(tǒng)的單峰功率譜與真實(shí)值之間存在較明顯差異，僅能粗略地表征頻域能量分布的基本趨勢(shì)，并不能精確展現(xiàn)頻域能量的非平穩(wěn)性及多峰特征。此外，Kanai-Tajimi譜和歐進(jìn)萍譜沒(méi)有抑制低頻能量的分布，這與實(shí)際不符，雖然Clough-Penzien譜在低頻處的表征較為合理，但總體上仍偏大于真實(shí)功率譜。多峰功率譜與真實(shí)功率譜十分接近，全面細(xì)致地反映了地震動(dòng)非平穩(wěn)特征，且自動(dòng)避免了單峰譜在低頻和高頻精度上的缺陷。因此，本文提出的多峰功率譜統(tǒng)計(jì)模型具有較高的精度，更適合在復(fù)雜地震動(dòng)分析中使用。

3 時(shí)變功率譜（演變譜）的要求及特性

地震動(dòng)在時(shí)域和頻域均具有強(qiáng)非平穩(wěn)性，因此研究地震動(dòng)的時(shí)頻全非平穩(wěn)性更加全面，也更能反映地震動(dòng)同時(shí)在時(shí)頻兩域的演變過(guò)程及其對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。利用上文由統(tǒng)計(jì)分析得到的基于能量持時(shí)的強(qiáng)度時(shí)程曲線(xiàn)，下文將開(kāi)展時(shí)變功率譜（演變譜）的統(tǒng)計(jì)模型研究。

針對(duì)類(lèi)似地震動(dòng)這樣的強(qiáng)非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程Y（t），Priestley［18］在Wiener拓廣的廣義Fourier積分的基礎(chǔ)上提出了演變譜模型，其意義在于描述演變隨機(jī)過(guò)程在某一時(shí)刻鄰近的“瞬間”平均能量在頻域上的分布，從而可以用通常的“頻率”與“能量”概念來(lái)描繪非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜特性。演變譜可以表示為

式中G（ω）為一個(gè)正交增量過(guò)程，A（t，ω）為t與ω的確定性的調(diào)制函數(shù)。根據(jù)正交增量的性質(zhì)，Y（t）的協(xié)方差函數(shù)可以表示為

當(dāng)t1=t2時(shí)，可得Y（t）的方差為

故定義非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程Y（t）的演變譜密度SY（t，ω）如下

式中SX（ω）為零均值的平穩(wěn)白噪聲隨機(jī)過(guò)程X（t）的功率譜，可表示為

式中S0為常數(shù)。若設(shè)S0=1，則非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程Y（t）的演變譜密度SY（t，ω）可以簡(jiǎn)化為

由上述分析可知：對(duì)大量地震動(dòng)進(jìn)行分析，準(zhǔn)確獲取每一記錄的時(shí)變功率譜（演變譜），并由此尋求和建立與實(shí)際地震動(dòng)時(shí)頻分布統(tǒng)計(jì)特征一致的非平穩(wěn)地震動(dòng)模型具有十分重要的理論和工程意義。為了確保相關(guān)演變譜密度函數(shù)的準(zhǔn)確性，除了要滿(mǎn)足上述條件外，還應(yīng)通過(guò)信號(hào)能量守恒要求及邊緣條件來(lái)校核。Cohen［5］根據(jù)Parseval定理定義了非平穩(wěn)信號(hào)Y（t）時(shí)域和頻域的邊緣條件，表達(dá)式如下

式中SY（t，ω）為非平穩(wěn)信號(hào)Y（t）的時(shí)變功率譜，也即演變譜。SFT（ω）為信號(hào)的Fourier變換幅值譜。從上式可以看出：信號(hào)某一特定時(shí)間的所有頻率能量分布之和等于其瞬時(shí)能量；信號(hào)的某一特定頻率的能量分布在全部時(shí)間上的總和等于能量密度頻譜。精確的時(shí)變功率譜（演變譜）要滿(mǎn)足上述的邊緣條件。隨著時(shí)頻分析研究的進(jìn)展，研究者提出了關(guān)于時(shí)頻分布的其他的要求，如時(shí)頻分布必須是實(shí)的，時(shí)頻分布關(guān)于時(shí)間t和f的積分應(yīng)該與非平穩(wěn)信號(hào)的總能量E相等，即如下式

從上述的時(shí)頻分布的要求可以看出，邊緣分布的特性和非負(fù)性一起保證時(shí)頻分布準(zhǔn)確反映信號(hào)的譜能量、瞬時(shí)功率和總能量。邊緣條件要求可以保證信號(hào)的總能量（如平均時(shí)間、平均頻率、時(shí)寬和帶寬）正確給定。非負(fù)性則可以進(jìn)一步保證分布的期望是切合實(shí)際的物理解釋。非負(fù)性和正確的邊緣分布特性在一起可以保證時(shí)頻分布的強(qiáng)有限支撐性。

國(guó)內(nèi)外研究者相繼建立了不同的地震動(dòng)時(shí)變功率譜（演變譜）特性描述方法和模型。Okaya等［19］將平穩(wěn)和瞬態(tài)波譜估計(jì)的多重濾波技術(shù)拓展到演變譜估計(jì)，但由于模型識(shí)別參數(shù)過(guò)程復(fù)雜，且精細(xì)程度與阻尼比經(jīng)驗(yàn)取值有關(guān)，限制了其廣泛應(yīng)用。Nakayam等［20］利用窄帶和低通濾波，直接生成復(fù)調(diào)制函數(shù)從而建立演變譜，但精度有限。Conte等［16］提出了全非平穩(wěn)時(shí)變功率譜函數(shù)模型，其假設(shè)地震加速度為一個(gè)由多個(gè)均勻調(diào)制過(guò)程疊加而成的Sigma振子過(guò)程，時(shí)變功率譜為各過(guò)程的功率譜密度函數(shù)的疊加，具有多峰性。該方法在假定地震記錄為平穩(wěn)高斯過(guò)程的疊加存在較大的問(wèn)題，且模型并不完全滿(mǎn)足時(shí)頻域邊緣條件。林家浩等［21］、梁建文等［22］、胡燦陽(yáng)等［23］和劉章軍等［24］曾分別提出由強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)和功率譜函數(shù)相乘而形成的時(shí)變功率譜模型，但其調(diào)節(jié)能力和多峰性有限，并不能充分反映時(shí)頻域復(fù)雜的時(shí)變特征，同時(shí)也不滿(mǎn)足邊緣條件，在研究和工程應(yīng)用方面存在不足。在進(jìn)行結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析時(shí)，以上模型所得的結(jié)構(gòu)響應(yīng)與真實(shí)結(jié)構(gòu)的結(jié)果也存在較大差異。何浩祥等［12］提出采用時(shí)域和頻域歸一化邊緣值的誤差標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)量化和評(píng)判時(shí)變功率譜的精度，并對(duì)短時(shí)傅里葉變換、WVD變換、小波變換和小波包變換等時(shí)頻分析方法的精度進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明離散Meyer小波函數(shù)的小波包變換具有較好的精度，且滿(mǎn)足邊緣條件及非負(fù)性要求，可用來(lái)獲得地震動(dòng)時(shí)變功率譜。然而，上述研究是針對(duì)具體地震動(dòng)進(jìn)行的，并沒(méi)有根據(jù)大量地震動(dòng)的分析結(jié)果建立具有統(tǒng)計(jì)意義的時(shí)變功率譜模型。為了進(jìn)一步研究地震動(dòng)的時(shí)變功率譜的基本規(guī)律和通用模型，本文對(duì)基于能量持時(shí)的地震動(dòng)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)模型建立方法得到的各類(lèi)場(chǎng)地典型波進(jìn)行小波包分解，從而獲得相應(yīng)的時(shí)變功率譜，小波包基函數(shù)為9層離散Meyer小波函數(shù)，結(jié)果如圖3所示。通過(guò)驗(yàn)算證明上述的時(shí)頻譜嚴(yán)格滿(mǎn)足邊緣條件。與地震動(dòng)時(shí)域能量時(shí)程或傳統(tǒng)功率譜相比，真實(shí)時(shí)變功率譜的相對(duì)誤差如表3所示。由表可見(jiàn)其誤差非常小，可認(rèn)為相關(guān)時(shí)變功率譜能夠從時(shí)間、頻率和幅值3個(gè)方面準(zhǔn)確而全面地描述非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的時(shí)頻特性。

表3 時(shí)變功率譜模型相對(duì)誤差/%Tab.3 Relative error of time-varying power spectrum model/%

圖3 不同場(chǎng)地下的地震動(dòng)真實(shí)時(shí)變功率譜（演變譜）Fig.3 Actual time-varying power spectra（evolution spectra）of ground motions in different fields

經(jīng)過(guò)對(duì)地震動(dòng)真實(shí)時(shí)變功率譜的深度擬合分析，選用類(lèi)似式（1）的適用性強(qiáng)的時(shí)域強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)和式（6）的多峰功率譜，本文提出如下時(shí)變功率譜等效函數(shù)模型

式中a1，a2，b1，b2，c1和c2均為模型的擬合參數(shù)。四類(lèi)場(chǎng)地具有不同的土層模擬值，四類(lèi)不同場(chǎng)地的時(shí)變功率譜結(jié)果如圖4所示。

從圖3的結(jié)果可以看出：地震動(dòng)時(shí)頻功率譜是十分復(fù)雜多變的，時(shí)頻分布具有強(qiáng)烈的突變性和隨機(jī)性。隨著場(chǎng)地類(lèi)型的提高，地震動(dòng)高頻分量所占比例逐漸增長(zhǎng)。結(jié)合圖4的結(jié)果來(lái)看，本文提出的時(shí)變功率譜等效模型保留了真實(shí)時(shí)變功率譜的主體特征，剔除了部分噪聲并可較精確地表現(xiàn)多峰現(xiàn)象和時(shí)頻域的非平穩(wěn)基本特性。

圖4 不同場(chǎng)地下的地震動(dòng)時(shí)變功率譜等效模型Fig.4 Equivalent model of time-varying power spectrum of ground motion in different fields

僅僅依靠時(shí)變功率譜本身并不能校核其精確性，為了驗(yàn)證該時(shí)變功率譜等效模型的精度，需要檢驗(yàn)其是否滿(mǎn)足邊緣條件及非負(fù)性。利用式（13），將真實(shí)時(shí)變功率譜的時(shí)域或頻域投影與時(shí)變功率譜等效模型的時(shí)域或頻域投影作對(duì)比并進(jìn)行誤差分析，Ⅰ類(lèi)至Ⅳ類(lèi)場(chǎng)地的對(duì)比結(jié)果如圖5所示。此外，與地震動(dòng)時(shí)域能量時(shí)程或傳統(tǒng)功率譜相比，等效時(shí)變功率譜的相對(duì)誤差如表3所示。通過(guò)對(duì)比分析，可以認(rèn)為等效模型誤差在允許的范圍內(nèi)，因此本文提出的時(shí)變功率譜等效模型可以較精確地表征地震記錄在時(shí)頻兩域的非平穩(wěn)性，且符合時(shí)頻分解的邊緣條件特征及非負(fù)性，故等效模型具有工程應(yīng)用價(jià)值。

圖5 不同場(chǎng)地的時(shí)變功率譜時(shí)頻域邊緣值對(duì)比Fig.5 Comparison of time-varying power spectrum marginal values in time-frequency domain at different sites

應(yīng)用本文提出時(shí)變功率譜函數(shù)模型，根據(jù)式（12）可以推得時(shí)變調(diào)制函數(shù)A（ω，t）的函數(shù)表達(dá)式如下

其中演變功率譜的強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)參數(shù)如表4所示。

表4 時(shí)變功率譜模型強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)參數(shù)取值Tab.4 Parameter values of intensity modulation function of time-varying power spectrum model

綜上所述，本文提出的時(shí)變調(diào)制函數(shù)具有良好的精度和適應(yīng)性，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)變功率譜的曲面的精細(xì)調(diào)節(jié)和多峰模擬，從而更加細(xì)致地刻畫(huà)真實(shí)的時(shí)變功率譜，適合在研究和工程應(yīng)用中推廣。

4 基于演變譜的結(jié)構(gòu)全非平穩(wěn)動(dòng)力分析

應(yīng)用地震動(dòng)時(shí)頻功率譜（演變譜）模型可以在隨機(jī)微分方程均方解的意義下求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí)變過(guò)程及其概率特征［25-26］。設(shè)結(jié)構(gòu)受時(shí)頻域全非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)引起的響應(yīng)y（t）表示為

則任意兩個(gè)響應(yīng)量的互相關(guān)函數(shù)為

利用正交增量的性質(zhì)和函數(shù)積分的性質(zhì)得到：

若使t1=t2=t，式（19）右端的被積函數(shù)就是y1（t）與y2（t）的互功率譜函數(shù)，即

使t1=t2=t，雙非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)引起的響應(yīng)y（t）的方差為

假設(shè)外部激勵(lì)的自譜密度為Sxx（ω），由此可以構(gòu)造一個(gè)虛擬的確定性的外部激勵(lì)

此激勵(lì)在t時(shí)刻產(chǎn)生的響應(yīng)為

若令y1=y2=y，可以得到任意響應(yīng)的自功率譜函數(shù)計(jì)算式如下

5 算例分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的時(shí)變功率譜函數(shù)模型在結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析中的有效性，對(duì)一個(gè)七層的二維剪切模型框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)分析。每層結(jié)構(gòu)層高為3 m，每層均重5.42×108kg，結(jié)構(gòu)阻尼比為5%，基本周期為0.42 s。為了便于比較各種非平穩(wěn)模型和計(jì)算方法的區(qū)別，將Ⅱ類(lèi)場(chǎng)地的典型地震波作為水平向地震動(dòng)輸入，按照前述方法計(jì)算結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)。本文計(jì)算所用到的功率譜函數(shù)模型如圖2所示，比較當(dāng)采用真實(shí)功率譜（按傳統(tǒng)方法計(jì)算得到的功率譜）、時(shí)變功率譜、等效時(shí)變功率譜、歐進(jìn)萍功率譜、Clough-Penzien功率譜及Kanai-Tajimi譜的情況下，分別在非平穩(wěn)強(qiáng)度包絡(luò)曲線(xiàn)（原始地震動(dòng)時(shí)域包絡(luò)）與光滑強(qiáng)度包絡(luò)曲線(xiàn)（對(duì)原始時(shí)域包絡(luò)進(jìn)行單峰函數(shù)擬合）下進(jìn)行結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)分析?？紤]全非平穩(wěn)時(shí)頻譜情況下，功率譜為時(shí)變功率譜或等效時(shí)變功率譜，其結(jié)構(gòu)位移標(biāo)準(zhǔn)差按式（22）計(jì)算，其中一層和七層的位移標(biāo)準(zhǔn)差曲線(xiàn)如圖6和7所示。當(dāng)功率譜為真實(shí)功率譜、歐進(jìn)萍功率譜、Clough-Penzien功率譜及Kanai-Tajimi譜時(shí)，可采用一般的演變譜簡(jiǎn)化計(jì)算方法，即式（20）中的A（ω，t）被簡(jiǎn)化為時(shí)域強(qiáng)度包絡(luò)曲線(xiàn)g（t），相應(yīng)結(jié)果如圖6和7所示。

圖6 非平穩(wěn)強(qiáng)度曲線(xiàn)包絡(luò)底層與頂層部位移標(biāo)準(zhǔn)差比較Fig.6 Comparison of standard deviations between enveloped bottom and top layers of non-stationary strength curve

從以上結(jié)果可以明顯的看出：根據(jù)時(shí)變功率譜和等效時(shí)變功率譜計(jì)算的結(jié)構(gòu)響應(yīng)與根據(jù)真實(shí)功率譜計(jì)算的結(jié)構(gòu)非常接近，均可視為精準(zhǔn)結(jié)果，可根據(jù)研究需求合理選用?；趥鹘y(tǒng)過(guò)濾白噪聲單峰模型功率譜的結(jié)構(gòu)響應(yīng)顯著大于全非平穩(wěn)條件下的結(jié)果，其原因在于單峰型光滑功率譜的譜值均大于真實(shí)功率譜，沒(méi)有真實(shí)細(xì)致刻畫(huà)功率譜的變化特征。此外，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)與功率譜和強(qiáng)度包絡(luò)形狀密切相關(guān)，功率譜的幅值和形狀直接影響結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的幅值，而強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)形式直接影響結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)曲線(xiàn)的變化趨勢(shì)。因此，在結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析時(shí)，若對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的幅值（極值）精準(zhǔn)度要求較高，需要選擇更精確的多峰功率譜模型；若對(duì)響應(yīng)時(shí)程的變化趨勢(shì)精準(zhǔn)度要求較高，需要著重選擇變化細(xì)致的強(qiáng)度包絡(luò)模型。

為了進(jìn)一步的對(duì)比不同方法的差異，建立層數(shù)分別從1到25的25個(gè)二維剪切型鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)并進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)分析，假定各結(jié)構(gòu)的無(wú)阻尼基本周期為0.06n（n為相應(yīng)總層數(shù)），阻尼比均為5%。提取基于各方法的所有結(jié)構(gòu)頂層位移標(biāo)準(zhǔn)差最大值，與真實(shí)功率譜的計(jì)算結(jié)果相對(duì)比如圖8所示。

圖8 具有不同周期的結(jié)構(gòu)響應(yīng)精度比較Fig.8 Comparisons of structural response accuracy with different periods

可以看出：對(duì)于不同的周期結(jié)構(gòu)，時(shí)變功率譜與傳統(tǒng)功率譜的計(jì)算結(jié)果均十分相近，可視為精確結(jié)果。等效時(shí)變功率譜的結(jié)果一般有±10%之內(nèi)的偏差，是可以接受的。而基于傳統(tǒng)單峰功率譜的結(jié)果均遠(yuǎn)大于真實(shí)功率譜的結(jié)果，最大偏差在60%以上。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和分析中，可認(rèn)為根據(jù)以上單峰譜計(jì)算的結(jié)構(gòu)響應(yīng)是不精確或偏于保守的，不宜在此基礎(chǔ)上再考慮安全系數(shù)。

綜上所述，本文提出的時(shí)變功率譜函數(shù)模型及其等效模型，不僅滿(mǎn)足時(shí)頻譜的邊緣條件要求，并且更加真實(shí)、準(zhǔn)確、細(xì)致地對(duì)地震動(dòng)全非平穩(wěn)性進(jìn)行了描述。經(jīng)過(guò)在結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析中與基于傳統(tǒng)單峰功率譜的演變譜計(jì)算方法相比較，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文的時(shí)變功率譜函數(shù)模型的精確，且可以在工程實(shí)踐中推廣。

圖7 光滑強(qiáng)度曲線(xiàn)包絡(luò)下底層與頂層部位移標(biāo)準(zhǔn)差比較Fig.7 Comparison of standard deviation of bottom and top displacement with smooth strength curve

6 結(jié)論

傳統(tǒng)的地震動(dòng)時(shí)域強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)均為經(jīng)驗(yàn)函數(shù)，缺乏足夠的統(tǒng)計(jì)意義。本文提出了基于能量持時(shí)的地震動(dòng)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)模型建立方法，該方法保留了各條地震記錄的變化趨勢(shì)、主體特征和樣本特性。經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，該方法適用于各類(lèi)場(chǎng)地的大量地震記錄的分析，為研究地震動(dòng)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)特性提供了基礎(chǔ)。針對(duì)傳統(tǒng)單峰模型功率譜偏于簡(jiǎn)化和保守導(dǎo)致精度不足的局限，多峰功率譜可以細(xì)致表征有效頻率范圍內(nèi)功率譜幅值的變化趨勢(shì)，適用于對(duì)地震分析精度要求較高的地震動(dòng)研究及大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。鑒于傳統(tǒng)時(shí)頻分析得到的時(shí)變功率譜缺乏精確的統(tǒng)計(jì)模型和解析表達(dá)式，本文基于多峰功率譜模型建立了時(shí)變功率譜統(tǒng)計(jì)模型及其等效模型，在時(shí)域和頻域方面均滿(mǎn)足能量的非負(fù)性及邊緣條件的性質(zhì)，且精度較高。經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的地震動(dòng)特性分析和結(jié)構(gòu)隨機(jī)動(dòng)力分析驗(yàn)證，認(rèn)為基于歐進(jìn)萍譜、Clough-Penzien譜及Kanai-Tajimi譜的地震動(dòng)特性和結(jié)構(gòu)響應(yīng)與采用真實(shí)功率譜的結(jié)果差距明顯，而時(shí)變功率譜統(tǒng)計(jì)模型及其等效模型均具有足夠的精度，可為今后的地震動(dòng)特性研究和結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析提供更好的技術(shù)支持。