高天賜，李子涵，袁泉，曾文驅(qū)，李其龍，何慶

(1.西南交通大學(xué) 高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031；2.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，四川 成都 610031；3.廣州地鐵設(shè)計(jì)研究院股份有限公司，廣東 廣州 510010；4.中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430063）

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，高速鐵路網(wǎng)已逐步遍及全國(guó)大部分地區(qū)，為了進(jìn)一步提升當(dāng)前路網(wǎng)的運(yùn)輸效率，充分滿足不同層次的客流需求，高速鐵路開行普速列車已成為解決上述問(wèn)題的重要方案。然而，由于高速列車和普速列車的通過(guò)速度以及動(dòng)力學(xué)性能的不同，二者通過(guò)相同曲線半徑時(shí)，其動(dòng)力響應(yīng)也會(huì)隨之產(chǎn)生較大差異，同時(shí)超高的不合理設(shè)置也會(huì)嚴(yán)重影響二者的運(yùn)行平穩(wěn)性[1]，難以同時(shí)兼顧高速列車和普速列車對(duì)旅客舒適性的要求。因此，需要合理研究高速兼顧普速線路曲線超高的設(shè)計(jì)，為高速鐵路兼顧普速客車上線提供技術(shù)參考。一般情況下，鐵路新線曲線超高設(shè)計(jì)時(shí)，為了兼顧低速列車的通行，通常采用線路最高設(shè)計(jì)速度Vmax的0.8倍來(lái)計(jì)算外軌超高，其計(jì)算公式如下：

式中：R為列車通過(guò)的曲線半徑。這種方法雖然簡(jiǎn)單，但極易造成線路通車以后各曲線出現(xiàn)欠超高和過(guò)超高的情況。

針對(duì)鐵路曲線超高優(yōu)化設(shè)計(jì)的問(wèn)題，不少學(xué)者展開了相關(guān)研究[2-11]。其中，涂文靖[2]給出了曲線超高檢算中實(shí)設(shè)過(guò)超高、欠超高、超高順坡率等主要指標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，并通過(guò)實(shí)車檢測(cè)驗(yàn)證了優(yōu)化方法的合理性；胡江民[3]以鄭焦鐵路開行普速客車曲線超高設(shè)計(jì)為例，對(duì)不同速度組合下的曲線超高進(jìn)行計(jì)算，分析了超高的設(shè)置原則，并檢算了相應(yīng)的舒適度；張齊坤等[4]通過(guò)回歸分析方法，建立曲線超高與旅客舒適度之間的聯(lián)系，探究了曲線超高對(duì)旅客乘坐舒適度的影響規(guī)律，并提出了超高參數(shù)的取值建議；樓少俊等[5]從輪軌接觸關(guān)系的角度進(jìn)行分析，提出設(shè)置曲線大欠超高和小過(guò)超高的觀點(diǎn)，并將其進(jìn)行量化，方便現(xiàn)場(chǎng)操作；POWELL[6]根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)，分析了不同運(yùn)營(yíng)速度超高設(shè)置與輪軌力的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)曲線超高對(duì)輪軌橫向力以及輪軌磨耗存在較大影響；龍建兵等[7]根據(jù)城市軌道交通不同曲線工況，提出單一速度模式采用平均速度法，多種速度模型采用優(yōu)化的接近高速法來(lái)選擇超高的限值；孔凡兵[8]基于規(guī)范對(duì)地鐵超高的規(guī)定，探討了運(yùn)行速度在120 km/h條件下，曲線最大超高值設(shè)定為150 mm的必要性；劉磊等[9—10]對(duì)350 km/h以及400 km/h高速鐵路平面線形進(jìn)行研究，并提出了合理的曲線半徑和相應(yīng)的曲線超高設(shè)計(jì)值；GAILIEN?等[11]針對(duì)雙軌式軌道的運(yùn)行舒適性展開分析，提出了雙軌式軌道曲線外軌超高設(shè)計(jì)的理論計(jì)算方法。綜合上述文獻(xiàn)調(diào)研不難發(fā)現(xiàn)，目前關(guān)于高速兼顧普速線路曲線超高值設(shè)計(jì)的研究相對(duì)較少，并且現(xiàn)有的研究方法大多以理論計(jì)算和實(shí)車檢測(cè)為主，缺乏相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算和多目標(biāo)優(yōu)化理論的分析。鑒于此，本文基于多剛體動(dòng)力學(xué)理論[12-15]，建立車輛—軌道耦合動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型，結(jié)合模糊多準(zhǔn)則優(yōu)選理論[16-18]，以高速及普速列車運(yùn)行舒適性Sperling指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)，以通過(guò)相應(yīng)曲線半徑的過(guò)超高和欠超高作為約束條件，構(gòu)建基于模糊層次分析法的高速兼顧普速線路曲線超高的多準(zhǔn)則優(yōu)選模型，為高速鐵路兼顧普速客車上線提供參考依據(jù)。

1 模型介紹

1.1 車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型

為了探究不同曲線超高對(duì)列車舒適性的影響，本文利用UM多體動(dòng)力學(xué)軟件建立關(guān)于高速列車和普速列車的車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型(圖1)，車輛模型主要由車體、轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)以及軸箱等多個(gè)剛體組成，其中輪對(duì)與轉(zhuǎn)向架通過(guò)一系懸掛相連接，轉(zhuǎn)向架與車體通過(guò)二系懸掛相連接且二者之間設(shè)置了抗蛇形減振器與抗側(cè)滾扭桿裝置，進(jìn)一步防止轉(zhuǎn)向架出現(xiàn)蛇形失穩(wěn)。此外，在輪軌耦合接觸部分，采用Hertz非線性彈性接觸理論計(jì)算輪軌法向力，進(jìn)一步以Hertz接觸理論為基礎(chǔ)，采用Kalker簡(jiǎn)化理論及其數(shù)值算法FASTSIM計(jì)算輪軌的切向蠕滑力及蠕滑力矩。由于本文重點(diǎn)分析曲線超高對(duì)列車運(yùn)行舒適性的影響，因此未考慮軌道結(jié)構(gòu)以及下部基礎(chǔ)的影響。

圖1 車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Vehicle-track coupling dynamic model

1.2 Sperling指標(biāo)

列車通過(guò)曲線時(shí)欠超高和過(guò)超高主要由旅客的橫向舒適度控制[2,4]，為了更加深入準(zhǔn)確地對(duì)列車的運(yùn)行舒適性進(jìn)行評(píng)價(jià)，僅考慮車體振動(dòng)加速度的大小是不夠的，還要考慮列車振動(dòng)的頻率，而Sperling指標(biāo)[19]就是根據(jù)列車車體的振動(dòng)頻率來(lái)對(duì)列車的舒適性進(jìn)行評(píng)價(jià)，因此本文選擇高速列車和普速列車的Sperling指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)曲線的超高值，同時(shí)將安全性指標(biāo)(包絡(luò)輪軌力、輪重減載、脫軌系數(shù)等)作為限制，防止在設(shè)計(jì)超高值影響列車行車安全。Sperling指標(biāo)的計(jì)算公式[20]如下：

式中：A為車體振動(dòng)加速度，g；f為振動(dòng)頻率，Hz；F(f)為頻率修正系數(shù)。

由于列車的速度和頻率都在隨時(shí)間變化，因此，評(píng)定時(shí)要將加速度的波形按照頻率進(jìn)行分組，根據(jù)每組的頻率和加速度來(lái)計(jì)算該組的平穩(wěn)性指標(biāo)Wi，總體的平穩(wěn)性指標(biāo)計(jì)算如下：

式中：N為加速度波形的分組總數(shù)。Sperling指標(biāo)越大，表明列車運(yùn)行的舒適性和平穩(wěn)性越差。

1.3 模糊多準(zhǔn)則優(yōu)選理論

設(shè)有n個(gè)目標(biāo)函數(shù)g1(x)，g2(x)，…，gn(x)在x∈S時(shí)存在最優(yōu)解，S為可行域。在本研究中，目標(biāo)函數(shù)有2個(gè)，分別為高速列車和普速列車通過(guò)曲線時(shí)的舒適性Sperling指標(biāo)，即g1(x)=-Sperling 1，g2(x)=-Sperling 2，S在本研究中為超高的取值范圍。根據(jù)極大極小的決策原則，多準(zhǔn)則優(yōu)選問(wèn)題可按照如下表述：

其中：θ為gi(x)在限制條件內(nèi)的最小值(由于Sperling指標(biāo)越小，列車舒適性越好，因此在本研究中，θ可表示為Sperling指標(biāo)的倒數(shù))。在進(jìn)行模糊多準(zhǔn)則優(yōu)選時(shí)，通常將容許度和期望值構(gòu)成的目標(biāo)隸屬度函數(shù)δi(x)作為模糊優(yōu)化目標(biāo)。δi(x)為決策的滿意度，其值越大，表明所需優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)值越接近于最優(yōu)解。因此，可將上述優(yōu)化問(wèn)題重新表述為：

設(shè)xi(1≤i≤n)使函數(shù)值gi(x)達(dá)到最優(yōu)解，則各目標(biāo)的期望值g*i為：

在計(jì)算某目標(biāo)容許度時(shí)，將其余子目標(biāo)理想最優(yōu)解在該目標(biāo)中對(duì)應(yīng)函數(shù)值的最小值作為容許度極限值[21]：

在計(jì)算隸屬度函數(shù)時(shí)，采用線性結(jié)構(gòu)，則各目標(biāo)的隸屬度函數(shù)可表示為：

在模糊優(yōu)化中，希望目標(biāo)函數(shù)值大于或等于目標(biāo)的期望值，且能容許在(gi,min,g*i)范圍內(nèi)小于g*i。

同時(shí)，本文引入模糊層次分析法，可通過(guò)兩兩對(duì)比來(lái)判斷多子目標(biāo)函數(shù)的關(guān)鍵程度。對(duì)比結(jié)果可被分為5個(gè)不同等級(jí)，并用三角模糊數(shù)來(lái)進(jìn)行量化分析，按照重要程度設(shè)定約束條件。此外，考慮到超高優(yōu)化過(guò)程中存在過(guò)超高h(yuǎn)[g]以及欠超高h(yuǎn)[q]的約束，則多準(zhǔn)則優(yōu)選模型可表達(dá)如下：

式中：h′和h″分別為高速列車以及普速列車通過(guò)曲線時(shí)的均衡超高。aij和bij分別表示第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)與第j個(gè)目標(biāo)函數(shù)重要程度的對(duì)比結(jié)果，即普速列車和高速列車運(yùn)行舒適性重要程度的對(duì)比，二者的取值原則如下：

1)第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)與第j個(gè)目標(biāo)函數(shù)同等重要：aij=1,bij= 3；

2)第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)比第j個(gè)目標(biāo)函數(shù)稍微重要：aij=1,bij= 5；

3)第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)比第j個(gè)目標(biāo)函數(shù)明顯重要：aij=3,bij= 7；

4)第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)比第j個(gè)目標(biāo)函數(shù)強(qiáng)烈重要：aij=5,bij= 9；

5)第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)比第j個(gè)目標(biāo)函數(shù)極端重要：aij=7,bij=9。

2 最優(yōu)超高值的具體確定步驟

針對(duì)高速鐵路兼顧普速客車上線的曲線超高設(shè)置，本文將模糊多準(zhǔn)則優(yōu)選理論與車輛—軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論相結(jié)合，其計(jì)算流程如圖2所示。

圖2 多目標(biāo)優(yōu)化模型計(jì)算流程Fig.2 Calculation process of multi-objective optimization model

1)分別以高速列車和普速列車的Sperling指標(biāo)最低作為優(yōu)化目標(biāo)，以高速列車的欠超高h(yuǎn)[q]允許值和普速列車的過(guò)超高允許值h[g]為關(guān)鍵約束條件；

2)建立車輛—軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型，分別計(jì)算高速列車和普速列車通過(guò)不同曲線外軌超高(h,h為5 mm的整數(shù)倍)時(shí)的Sperling指標(biāo)；

3)根據(jù)步驟2的計(jì)算結(jié)果，得到高速列車和普速列車各自對(duì)應(yīng)的最優(yōu)超高值(H*i,i=1,2)及其目標(biāo)函數(shù)值(gi(H*i),i=1,2)，并根據(jù)式(6)～(7)確定高速列車和普速列車的期望理想解和容許度；

4)基于線性結(jié)構(gòu)計(jì)算各目標(biāo)的隸屬度函數(shù)δi(h)；

5)對(duì)比各目標(biāo)的重要程度，根據(jù)模糊層次分析法確定各目標(biāo)的比例標(biāo)度(aij,bij)；

6)根據(jù)式(9)及步驟1中引入的關(guān)于超高允許值的關(guān)鍵約束條件建立多準(zhǔn)則優(yōu)選模型；

7)遍歷搜索所建立的模糊多準(zhǔn)則優(yōu)選模型的可行解，得到最優(yōu)的超高設(shè)計(jì)值H*。

3 計(jì)算實(shí)例分析

以半徑6 000 m的曲線作為計(jì)算實(shí)例，基于動(dòng)力學(xué)仿真分析，將通過(guò)該曲線的高速列車(250 km/h)和普速列車(160 km/h)的橫向舒適度Sperling指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)曲線外軌超高進(jìn)行設(shè)計(jì)。圖2(a)～2(b)分別為高速列車和普速列車通過(guò)半徑為6 000 m曲線時(shí)Sperling指標(biāo)的仿真結(jié)果，由圖可知，高速列車和普速列車分別在超高為125 mm和55 mm的情況下，橫向Sperling指標(biāo)得到最優(yōu)解(最小值)，同時(shí)，二者的均衡超高分別為122.9 mm，50.34 mm，其動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果相近。此外，不難發(fā)現(xiàn)高速列車和普速列車所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)超高值存在較大的差異，從直觀上難以選擇合適的超高值，使其能夠同時(shí)滿足2種類型列車對(duì)舒適度的需求。

圖3 高速列車與普速列車Sperling指標(biāo)計(jì)算結(jié)果Fig.3 Results of Sperling index for high speed train and ordinary speed train

因此，本文基于模糊多目標(biāo)優(yōu)化理論，以二者的舒適性Sperling指標(biāo)的最小值作為優(yōu)化目標(biāo)，定義目標(biāo)函數(shù)g1(h)=-Sperling 1,g2(h)=-Sperling 2，其中h為曲線外軌超高值，Sperling 1為高速列車的舒適性指標(biāo)，Sperling 2為普速列車的舒適性指標(biāo)。各目標(biāo)函數(shù)的期望值與容許度極限值如表1所示。

表1 各目標(biāo)最優(yōu)解函數(shù)值Table 1 Optimal value of each objective function

由式(8)建立高速列車舒適性的目標(biāo)隸屬函數(shù)：

普速列車舒適性的目標(biāo)隸屬函數(shù)：

由于本文的研究對(duì)象為高速兼顧普速線路，因此高速列車的舒適性相比于普速列車稍微重要，并且最終得到的超高最優(yōu)解必須滿足規(guī)范中過(guò)超高和欠超高的允許限值[22-23]，則曲線外軌超高值的模糊多目標(biāo)優(yōu)化模型可表示為：

式中：h′和h″分別為高速列車以及普速列車通過(guò)曲線時(shí)的均衡超高，本案例中二者分別為122.9 mm和50.34 mm；h[q]為高速列車欠超高允許值，為40 mm；h[g]為普速列車過(guò)超高允許值，為70 mm。

最終，通過(guò)編程遍歷搜索可行解可得到最優(yōu)超高值：h=85 mm，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的高速列車和普速列車Sperling指標(biāo)分別為1.78和1.23，θ為0.83，欠超高和過(guò)超高值分別為37.9 mm和34.7 mm，滿足規(guī)范要求。同時(shí)，在最優(yōu)超高值下的各項(xiàng)安全性指標(biāo)均未超限，不會(huì)影響行車安全。此外，按照傳統(tǒng)超高的設(shè)計(jì)方法(式(1))，得到的超高值為80 mm，其所對(duì)應(yīng)的欠超高值和過(guò)超高值分別為42.9 mm和29.7 mm，可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)的欠超高值已經(jīng)出現(xiàn)超限的情況。因此，相比于傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，本文的超高設(shè)計(jì)方法更加合理。

表2進(jìn)一步地，計(jì)算了不同曲線半徑下高速兼顧普速線路的曲線超高最優(yōu)值，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)曲線半徑為4 000 m時(shí)，高速列車的欠超高值和普速列車的過(guò)超高值均接近到限值。因此，當(dāng)曲線半徑小于4 000 m，無(wú)論曲線外軌超高如何設(shè)置，高速列車的欠超高值和普速列車的過(guò)超高值均無(wú)法滿足規(guī)定的要求，進(jìn)而可知高速(250 km/h)兼顧普速(160 km/h)鐵路的最小半徑應(yīng)設(shè)置為4 000 m。

表2 不同曲線半徑最優(yōu)超高值計(jì)算結(jié)果Table 2 Results of optimal superelevation with different curve radius

4 結(jié)論

1)基于車輛—軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論計(jì)算高速及普速列車的動(dòng)力響應(yīng)，采用模糊多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)高速列車和普速列車的運(yùn)行舒適性Sperling指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，以通過(guò)相應(yīng)曲線半徑的過(guò)超高和欠超高作為約束條件，建立基于模糊層次分析法的高速兼顧普速線路曲線超高的多準(zhǔn)則優(yōu)選模型。

2)本文采用的方法能夠同時(shí)兼顧高速列車和普速列車的舒適性，并滿足規(guī)范中關(guān)于過(guò)超高和欠超高的允許限值，可為高速鐵路兼顧普速客車上線提供技術(shù)參考。