盧功臣，祝荃芃，周林林

(1.陜西省水利電力勘測設計研究院，陜西 咸陽 712000； 2.江西師范高等?？茖W校，江西 鷹潭 335000；3.遼寧工程技術大學 土木工程學院，遼寧 阜新 123000)

1 研究背景

巖石流變主要包括蠕變、松弛和彈性后效等現(xiàn)象[1]。蠕變是指材料在應力恒定的情況下，變形隨著時間緩慢累積的現(xiàn)象，因其與工程巖體緊密關聯(lián)而引起學術界廣泛關注[2]。其中加速蠕變階段在巖石蠕變中最為關鍵，如何有效預測加速蠕變行為是流變力學中的核心內(nèi)容[3]。

現(xiàn)國內(nèi)外關于巖石蠕變行為(尤其是加速蠕變)預測已有較多成果，宋飛[4]提出一個與時間和應力相關的可描述巖石加速蠕變階段的非線性SP元件；Shibata等[5]通過研究蠕變應變率與流變參數(shù)之間的關系，建立可較好描述凝灰?guī)r蠕變行為的本構(gòu)模型；Sterpi等[6]構(gòu)建同時考慮黏彈性和黏塑性蠕變的損傷模型；宋勇軍等[7]基于硬化和損傷效應建立巖石蠕變損傷模型；周宏偉等[8]引入分數(shù)階微積分，建立可較好描述巖鹽加速蠕變階段的流變本構(gòu)模型；張瀧[9]在Rice內(nèi)變量熱力學框架，通過給定比余能推導出巖石黏彈塑性蠕變本構(gòu)模型；Ping等[10]改進傳統(tǒng)Burgers模型并與連續(xù)損傷理論結(jié)合，引入非線性元件，建立適用于高應力區(qū)巖石的蠕變損傷模型。

目前對巖石加速蠕變階段的判別和模擬還存在一定爭議，多數(shù)模型都是在傳統(tǒng)元件模型的基礎上添加非線性元件，來描述巖石加速蠕變，雖然部分模型改進后能反映加速蠕變量值變化，但從蠕變機制而言無法合理解釋。實際上，巖石蠕變過程中與外界能量不斷交換，巖石材料能量耗散導致?lián)p傷劣化效應增強，以能量的角度能從某種意義上較好地反映巖石蠕變機制。謝和平等[11]系統(tǒng)分析了巖石變形破壞中的能量耗散；Sih[12]通過應變能理論解釋了微裂紋擴展引起宏觀應力應變過程；張萍等[13]探討了頁巖變形破壞過程中應變能的積聚和耗散，為巖石變形破壞過程中能量耗散分析提供有益參考。由此，本文基于能量耗散理論，結(jié)合蠕變速率特征，以耗散率值作為蠕變?nèi)A段的控制閾值，對蠕變階段臨界分段，建立一個能夠較為全面地反映巖石蠕變機制的非線性蠕變本構(gòu)模型，并驗證所建模型的合理性和適用性。

2 巖石三維蠕變模型

2.1 基礎模型及黏塑形模型的選擇

大量研究表明[1,4,7,10]，巖石蠕變?nèi)^程中包含明顯的黏彈塑性行為。傳統(tǒng)的元件模型如Maxwell模型、Kelvin模型、Bingham模型、Burgers模型等均由彈簧和牛頓體通過不同的串并聯(lián)方式組合而成，無法描述巖石在加速蠕變階段中的黏塑性變形。Cvisc模型(圖1)在Burgers模型的基礎上，串聯(lián)了一個黏塑性體，其模型結(jié)構(gòu)為H- N -H|N- N|S(H是彈性體，N是牛頓體，S是黏塑性體。“-”表示串聯(lián)，“|”表示并聯(lián))。從模型組成上分析，包含彈性體、牛頓體和阻尼元件，具備一定的反映巖石彈性-黏性-黏彈性-黏塑性蠕變行為的能力。Cvisc模型的蠕變方程為

(1)

圖1 Cvisc模型Fig.1 Cvisc model

式中：σ為蠕變應力；E1為瞬時彈性模量；E2為黏彈性模量；η1、η2和η3分別為模型第1、2、3部分的黏滯系數(shù)；ε為模型總應變；t為時間；σL為長期強度。

由于Cvisc模型中黏塑性階段的應變率為常數(shù)，難以反映應力水平超過長期強度后巖石的加速蠕變，本文以Cvisc模型為基礎模型進行改進。Perzyna黏彈塑性理論[14]被證明能較好地體現(xiàn)材料黏塑性行為的非線性特征，故本文用Perzyna黏彈塑模型[9]代替Cvisc模型第3部分中的黏塑性體，其黏塑性應變率方程為

(2)

式中：εvp為黏塑性應變，上標圓點為對時間t的導數(shù)；η為黏滯系數(shù)；{m}為黏塑性流動方向；“〈〉”是Macauley括號，括號內(nèi)為分段函數(shù)；“{}”是表示向量的一種形式；φ(F)為屈服函數(shù)F的任意函數(shù)，可表示為[14-15]

(3)

式中：n為試驗常數(shù)；σ0為初始屈服強度[7]。

2.2 基于能耗理論和蠕變速率的臨界分段

巖石材料在外界應力場作用下發(fā)生變形的過程中，巖石不斷從外界吸收能量，內(nèi)部能量不斷耗散。流變力學理論認為材料內(nèi)部因素是決定蠕變力學行為的主要因素[1]，能量耗散理論[15]認為材料力學性能改變與內(nèi)能變化有關，現(xiàn)目前大多數(shù)學者[1,4,10]僅通過研究巖石外部變量的變化規(guī)律來建立本構(gòu)關系，雖然擬合效果較好但缺乏說服依據(jù)。實質(zhì)上巖石蠕變變形過程中的能量耗散主要源于材料內(nèi)部內(nèi)能變化，耗散能不斷地累積導致巖石損傷劣化效應增強，故而通過能耗理論結(jié)合蠕變速率，以“內(nèi)外結(jié)合”的方式來反映巖石材料蠕變行為。為了進一步區(qū)分蠕變變形三階段，采用耗散率值[16]來定義蠕變變形三階段的控制閾值，示意圖如圖2所示。

圖2 蠕變臨界分段示意圖Fig.2 Critical segmentsof creep

由圖2可知，衰減、穩(wěn)定、加速蠕變階段耗散率控制閾值為γ1和γ2，其臨界下限值分別為γ1*和γ2*。當耗散率超過γ1時，巖石從衰減蠕變階段進入穩(wěn)定蠕變階段，當耗散率超過γ2時，巖石從穩(wěn)定蠕變階段進入加速蠕變階段。

由能耗理論可知，耗散率是關于應力和不可逆應變率的函數(shù)，耗散率值γ表示為

(4)

假設在F的約束下有

(5)

式中λ為比例常數(shù)。

當γ≤γ1時，巖石處于衰減蠕變階段，假設該階段中蠕變變形包括可逆和不可逆的過程。當γ1<γ<γ2時，巖石處于穩(wěn)定蠕變階段，假設在該過程中(γ>γ1)蠕變變形不可逆，巖石從衰減蠕變階段到穩(wěn)定蠕變階段在耗散率臨界點經(jīng)歷初始屈服，結(jié)合式(3)、式(5)將φ(F)重新定義為

(6)

式中λ1為衰減和穩(wěn)定蠕變階段之間耗散率臨界點的比例常數(shù)。

取衰減和穩(wěn)定蠕變階段之間耗散率臨界點應變量值為εγ1，結(jié)合式(4)則有

(7)

由此可得臨界下限值γ1*為

(8)

而{m}在一維應力狀態(tài)下，其流動方向與塑形流動方向一致，故取{m}=1，于是將式(4)表示為

(9)

聯(lián)立式(2)、式(6)—式(9)得到巖石在穩(wěn)定蠕變階段的黏塑性蠕變應變率模型，即

式中ηA為應變率模型中影響穩(wěn)定蠕變階段的黏滯系數(shù)。

ε(t)=a+blnt+ct+dtp。

(11)

式中a、b、c、d和p均為材料參數(shù)，在巖石未進入加速蠕變階段時，p=0。

取p=0，對式(11)求導得到可用于穩(wěn)定蠕變階段的應變率，即

(12)

將式(12)代入式(10)可得

(13)

式(13)即為改進后的巖石穩(wěn)定蠕變階段黏塑性蠕變模型。

一般認為，巖石外界荷載超過長期強度時，巖石進入加速蠕變階段[1,7,10]。在本文蠕變階段劃分中，當γ≥γ2時，巖石進入加速蠕變階段，該階段的耗散率確定方法與穩(wěn)定蠕變階段一致，參考式(8)可得穩(wěn)定、加速蠕變兩階段之間的耗散率臨界下限值為

(14)

對式(11)求導得到可用于加速蠕變階段的應變率，即

(15)

參考式(10)的求解方法可得

(16)

式中：ηB為應變率模型中影響加速蠕變階段的黏滯系數(shù)；λ2為穩(wěn)定和加速蠕變階段之間臨界處的比例常數(shù)。

再將式(15)代入式(16)得

(17)

式(17)即為改進后的巖石加速蠕變階段黏塑性蠕變應變率模型。

根據(jù)耗散能定義，耗散率值之間有如下關系，即

(18)

式(18)即為本文巖石蠕變?nèi)A段臨界分段的耗散率值關系。

2.3 基于能耗理論的巖石蠕變模型

在Cvisc模型的基礎上，將改進后巖石穩(wěn)定、加速蠕變階段的黏塑性蠕變應變率模型應用到Cvisc模型中可得：

(19)

(20)

γ≥γ2*。

(21)

式(19)—式(21)即為基于能耗理論的巖石一維蠕變本構(gòu)模型，通常取試驗常數(shù)n=1[18]。當γ≤γ1時，該模型用于描述衰減蠕變階段，所建蠕變模型退化為Cvisc模型中H-N-H|N結(jié)構(gòu)；當γ1<γ<γ2時，該模型可用于描述穩(wěn)定蠕變階段，所建模型為該階段黏塑性應變率模型與H-N-H|N結(jié)構(gòu)的串聯(lián)連接；當γ≥γ2時，該模型用可于描述加速蠕變階段，所建模型為穩(wěn)定、加速蠕變階段黏塑性應變率模型與H-N-H|N結(jié)構(gòu)的結(jié)合。

實際上在巖體工程中，巖石通常處于三向受力的狀態(tài)，現(xiàn)室內(nèi)壓縮蠕變試驗多為三軸試驗，由此建立巖石三維應力狀態(tài)下的蠕變模型十分必要。

假設巖石為各向同性體，根據(jù)廣義Hooke定律，三維應力狀態(tài)下的本構(gòu)關系為

(22)

式中：σm為球應力張量；Sij為偏應力張量；K為體積模量；G為剪切模量;εm為體積應變張量;eij為偏應變張量。分解巖石內(nèi)部的應力張量，于是有

σij=Sij+δijσm。

(23)

式中：σij為應力張量；δij為單位張量。

屈服函數(shù)可以取如下形式[19]，即

(24)

式中J2為應力偏量第二不變量。

在常規(guī)三軸壓縮蠕變試驗中，σ2=σ3，則有

(25)

一般認為，在三維應力下，巖石體積蠕變近乎為0，本文三維蠕變方程中不考慮體積蠕變，由此結(jié)合式(22)—式(23)和式(25)將式(19)—式(21)推廣為三維應力狀態(tài)，即：

(26)

(27)

γ≥γ2*。

(28)

將式(24)代入式(26)—式(28)即可得到本文所建基于能耗理論的巖石三維蠕變本構(gòu)模型的軸向蠕變方程。

3 巖石蠕變試驗

3.1 試驗儀器及試樣制備

蠕變試驗采用RLW-2000型三軸流變試驗系統(tǒng)(圖3)。該系統(tǒng)由軸向加載系統(tǒng)、圍壓加載系統(tǒng)、孔壓加載系統(tǒng)、伺服系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、數(shù)據(jù)采集和自動繪圖系統(tǒng)等部分組成。軸向加載系統(tǒng)和圍壓加載系統(tǒng)的控制部分采用全數(shù)字伺服控制器(EDC)，設備最大加載圍壓70 MPa，最大軸向荷載2 000 kN。巖樣取自某水電工程高邊坡滑帶附近，制備成Φ50 mm×100 mm的圓柱樣，砂巖巖樣的典型破壞照片如圖4所示。

圖3 巖石三軸流變試驗系統(tǒng)Fig.3 Triaxial rheological test system for rock

圖4 典型破壞照片F(xiàn)ig.4 Typical damage photos

3.2 試驗結(jié)果

蠕變試驗采用逐級增量加載的方式，圍壓σ3設置為5 MPa，在三軸流變試驗系統(tǒng)采集的數(shù)據(jù)中擇取關鍵數(shù)據(jù)，通過玻爾茲曼[2,20]線性疊加處理得到分別加載蠕變曲線，將軸向應力荷載σ1標識于曲線上，如圖5所示。

圖5 分別加載蠕變曲線Fig.5 Creep curves under separate loading

由圖5可看出，巖石在加載瞬間表現(xiàn)有瞬時彈性變形，接著進入衰減蠕變階段，該階段歷時較短，蠕變速率逐漸降低，然后進入蠕變速率基本保持恒定的穩(wěn)定蠕變階段，當達到破壞應力水平時，巖石進入加速蠕變階段，隨即巖石屈服破壞。

引用張春陽等[21]的蠕變速率求解方法，其計算式為

(29)

式中：Δti為蠕變時間；n為蠕變試驗數(shù)據(jù)個數(shù)。

通過式(29)的方法繪制蠕變速率曲線，如圖6所示。

圖6 蠕變速率曲線Fig.6 Curves of creep rate

由圖6可知，曲線從左到右3個區(qū)域分別對應衰減、穩(wěn)定和加速蠕變階段，從曲線外側(cè)到內(nèi)側(cè)，對應加載等級從第1級到第4級逐步提升，初始、穩(wěn)態(tài)蠕變速率逐漸增大。

4 模型驗證及參數(shù)求取

4.1 模型臨界分段參數(shù)確定

通過最小二乘法用式(12)、式(15)對圖6中蠕變速率點進行擬合，如圖7所示。表1為擬合參數(shù)。

圖7 蠕變速率擬合曲線Fig.7 Fitted curves of creep rate

表1 擬合參數(shù)Table 1 Fitting parameters

由圖7和表1可知，式(12)和式(15)對蠕變速率點的擬合效果較好，平均R2達到0.967，通過數(shù)據(jù)擬合的方法確定了模型參數(shù)b、c、d和p。

表2 臨界點參數(shù)Table 2 Parameters of thresholds

4.2 模型驗證及參數(shù)求解

圖8 等時應力-應變曲線Fig.8 Isochronousstress-strain curves

其余參數(shù)通過一般非線性最小二乘法擬合求解。為了對比預測效果，通過式(22)—式(25)的方法推廣Cvisc模型到三維情形，根據(jù)室內(nèi)砂巖蠕變試驗數(shù)據(jù)驗證本文所建模型和三維Cvisc模型，試驗值與預測值對比曲線如圖9所示，模型參數(shù)如表3所列。

圖9 砂巖蠕變試驗值與預測值對比曲線Fig.9 Comparison of sandstone creep betweentest and model prediction

表3 模型參數(shù)Table 3 Model parameters

由圖9可看出，本文所建模型具有較強的預測能力，平均R2達到0.994 7，三維Cvisc模型平均R2為0.937 5。兩模型在衰減、穩(wěn)定蠕變階段的辨識能力無顯著差異，而在加速蠕變階段中，本文所建模型具有明顯的優(yōu)越性。

為了驗證本文基于能耗理論的巖石三維蠕變本構(gòu)模型及臨界分段方法描述巖石蠕變行為的適用性，引用相關文獻中泥巖[20]和凍結(jié)軟巖[22]的蠕變試驗數(shù)據(jù)，通過本文模型和三維Cvisc模型進行辨識，預測結(jié)果如圖10所示。模型臨界分段參數(shù)、σL和σ0根據(jù)蠕變試驗結(jié)果處理而得，限于篇幅，這里不再列出，其余模型參數(shù)值如表3所列。

圖10 泥巖、凍結(jié)軟巖蠕變試驗值與預測值對比曲線Fig.10 Comparison of creep of mudstone and frozensoft rock between test and model prediction

結(jié)合圖9、圖10可看出，本文所建模型對砂巖、泥巖和凍結(jié)軟巖蠕變數(shù)據(jù)擬合效果較好，平均R2分別達到0.987 9和0.990 2，能識別不同曲線形態(tài)的加速蠕變階段，克服了傳統(tǒng)元件模型難以反映加速蠕變階段的困難，而傳統(tǒng)三維Cvisc模型的平均R2分別僅有0.937 1和0.926 6。由此充分體現(xiàn)本文所建模型的優(yōu)越性，證明本文基于能耗理論的巖石三維蠕變本構(gòu)模型的合理性和適用性。

5 結(jié) 論

(1)本文基于能量耗散理論，結(jié)合蠕變速率特征，對巖石蠕變的衰減、穩(wěn)定和加速蠕變階段進行臨界分段，以耗散率值作為蠕變階段的控制閾值，由此得到巖石在穩(wěn)定和加速蠕變階段的黏塑性蠕變應變率模型。

(2)將改進后的黏塑性蠕變應變率模型應用到傳統(tǒng)Cvisc模型中，并將其拓展到三維應力狀態(tài)，得到新的基于能耗理論的巖石三維蠕變本構(gòu)模型。該模型可反映應力狀態(tài)對加速蠕變階段的影響，克服了傳統(tǒng)模型難以辨識加速蠕變階段的困難，為預測巖石加速蠕變提供一種有效途徑。

(3)依據(jù)砂巖蠕變試驗成果，確定臨界分段參數(shù)，其余模型參數(shù)通過一般的非線性最小二乘法擬合求解。引用相關文獻中泥巖和凍結(jié)軟巖蠕變試驗數(shù)據(jù)，通過本文所建模型對3種巖石進行蠕變行為預測模擬，驗證所建模型在描述巖石加速蠕變階段的優(yōu)越性，充分顯示出所建模型表征蠕變力學行為的合理性和適用性。