曾凡倍， 楊佳琦, 劉媛媛， 谷龍飛

(臨沂大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，276000，山東省臨沂市)

0 引 言

復(fù)變函數(shù)論主要研究復(fù)數(shù)域上的函數(shù)，以解析函數(shù)為研究對(duì)象. 隨著對(duì)復(fù)變函數(shù)研究的深入，人們愈來(lái)愈經(jīng)常地需要處理復(fù)雜的函數(shù)，廣義解析函數(shù)也在越來(lái)越多的方面有了應(yīng)用. 宋潔[1]討論了廣義解析函數(shù)的廣義Riemann-Hilbert問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的Riemann問(wèn)題，證明在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下，此邊值問(wèn)題可解. 李玉成[2]研究了多復(fù)變廣義解析函數(shù)的一個(gè)帶位移的非線性邊值問(wèn)題，證明了解的存在性并給出解的積分表達(dá)式. 王明華[3]給出了一種廣義解析函數(shù)Riemann邊值逆問(wèn)題的一般提法，對(duì)此問(wèn)題正則型情況的可解性進(jìn)行了深度討論，基于廣義解析函數(shù)邊值問(wèn)題的有關(guān)理論，得到了所研究問(wèn)題的可解條件及解的表達(dá)式.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[4]設(shè)G是復(fù)平面C上一開(kāi)集，其上任意一點(diǎn)記為z=x+iy，其中x,y?R. 引入柯西-黎曼算子

定義2[4]若函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，則把

(C.-R.)

稱為柯西-黎曼方程(簡(jiǎn)記為C.-R.方程)，是關(guān)于u及v的偏微分方程組.

定理1(柯西積分公式)[4]在區(qū)域D內(nèi)，如果f(z)處處解析，C為D內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單正向閉曲線，它的內(nèi)部完全含于D，ζ為C的內(nèi)部任意一點(diǎn)，則

就是解析函數(shù)的柯西積分公式.

柯西積分公式是一把開(kāi)啟了許多數(shù)學(xué)方法與定理的鑰匙，它定義了一種利用積分表達(dá)的解析函數(shù),可確定解析函數(shù)在解析區(qū)域內(nèi)邊界值與內(nèi)部值的關(guān)系.

2 柯西-黎曼算子的應(yīng)用

定理3(修正的Borel-Pompeiu公式)[6]設(shè)G?C是具有充分光滑的邊界區(qū)域 Γ，有C′邊界，即邊界為光滑曲線，u(z)∈C′(G)，則有

證明復(fù)格林公式為

令ε→0，根據(jù)格林公式，可得關(guān)于算子Dα的修正的Borel-Pompeiu公式為

根據(jù)上述修正的Borel-Pompeiu公式知，當(dāng)u(z)為廣義解析函數(shù)時(shí)，被積函數(shù)為零，即可推出廣義解析函數(shù)的廣義柯西積分公式.

這就是廣義解析函數(shù)的柯西積分表達(dá)公式，也是對(duì)廣義解析函數(shù)的施瓦茲型引理進(jìn)行證明時(shí)的一個(gè)重要工具. 參考解析函數(shù)的施瓦茲引理，給出廣義解析函數(shù)的施瓦茲型引理并進(jìn)行證明.

3 廣義解析函數(shù)的施瓦茲型引理

定理5(廣義解析函數(shù)的施瓦茲型引理) 如果函數(shù)f(z)在單位圓|z|<1內(nèi)廣義解析，并且滿足條件f(0)=0,|f(z)|≤1(|z|<1), 則在單位圓|z|<1內(nèi)恒有|f(z)|≤(1+c)|z|，其中c=e2|α||α|+1.

證明由定理4可得

(1)

由于ζ在以原點(diǎn)為圓心，半徑為0

由r的任意性，可令r→1，則有

取c=e2|α||α|+1(c為任一常數(shù))，則有

4 結(jié) 論

本文通過(guò)了解柯西-黎曼算子、C-R方程、柯西積分公式等基本定義定理，對(duì)柯西-黎曼算子進(jìn)行推廣，研究了廣義柯西-黎曼算子的零解，定義為廣義解析函數(shù). 在研究廣義的解析函數(shù)時(shí)，由修正的Borel-Pompeiu公式得出了廣義解析函數(shù)的柯西積分公式，進(jìn)一步利用此結(jié)果證明了廣義解析函數(shù)的施瓦茲型引理.