史靖希，謝 磊，何子述，程子揚(yáng)

(電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 成都 611731)

共形陣列是一種陣元非規(guī)則排列的陣列。與均勻陣列不同，共形陣列陣元的排布方式通常符合空氣動(dòng)力學(xué)，如機(jī)載共形陣列往往是按照飛機(jī)的機(jī)身或機(jī)翼的表面流形排布[1-2]。由于共形陣列可以方便地安裝在無人機(jī)、戰(zhàn)斗機(jī)等各種中小型空中平臺(tái)，相比于平面陣，其掃描范圍更大，空間利用率更好，幾乎不影響載機(jī)的啟動(dòng)性能，可以有效減小雷達(dá)散射截面積(radar cross section, RCS)，同時(shí)也能降低載機(jī)負(fù)荷，因此共形陣被廣泛應(yīng)用在現(xiàn)代雷達(dá)體系中[3]。與均勻線陣或面陣不同的是，由于陣列的不規(guī)則性，各個(gè)陣元的單元方向圖并不完全相同，在信號(hào)建模及處理時(shí)，不但需要考慮陣元間的空間位置關(guān)系，也需要考慮單元方向圖帶來的影響。學(xué)者們針對(duì)共形陣列做出了大量的研究，文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了一種基于聚酰亞胺薄膜的線性共形八元偶極子陣列天線，文獻(xiàn)[5]提出了一種自適應(yīng)寬帶波束形成算法，文獻(xiàn)[6]提出了一種基于接收信號(hào)累積量分析的共形陣列盲波束形成方法。

在共形陣中干擾抑制也是一個(gè)必須面對(duì)的問題，廣義旁瓣對(duì)消器(generalized sidelobe canceller,GSC)是一種有效的干擾抑制手段[7]，同樣也被應(yīng)用在共形陣信號(hào)處理中。廣義旁瓣對(duì)消器由高增益的主通道天線和低增益的輔助通道天線構(gòu)成。主通道天線保證目標(biāo)信號(hào)能夠無失真地通過，輔助通道天線用來對(duì)消主通道內(nèi)的干擾信號(hào)。為了避免在對(duì)消時(shí)對(duì)主通道內(nèi)的目標(biāo)產(chǎn)生不必要的抵消，輔助通道天線接收到的信號(hào)需要先通過阻塞矩陣進(jìn)行處理。在實(shí)際的相控陣?yán)走_(dá)系統(tǒng)中，選用部分天線作為輔助通道，以輸出誤差信號(hào)平均功率最小作為目標(biāo)來設(shè)計(jì)輔助通道的自適應(yīng)權(quán)值。

一個(gè)廣義旁瓣對(duì)消系統(tǒng)的性能取決于輔助天線的數(shù)目位置，只有選擇合適的天線作為輔助通道，才能提高干擾抑制的性能。文獻(xiàn)[8]在均勻平面陣列中，提出了一些輔助天線的配置方案，并分析了其對(duì)干擾抑制的影響，但并沒有提出一種通用的優(yōu)化方案。文獻(xiàn)[9]提出了基于遺傳算法的通道選擇方法，以主通道輸出功率最小為目標(biāo)函數(shù)，通過遺傳算法，選擇出干擾抑制效果較好的輔助通道。通道選擇在其他領(lǐng)域同樣有重要應(yīng)用，在空時(shí)自適應(yīng)處理中，文獻(xiàn)[10-11]利用基于貪婪算法的通道選擇方法實(shí)現(xiàn)降維處理，保證輸出性能的同時(shí)降低計(jì)算復(fù)雜度。通信處理中，文獻(xiàn)[12]在傳感器網(wǎng)絡(luò)中選擇合適的傳感器以達(dá)到最佳的定位精度。

本文給出一個(gè)固定共形陣列，采用廣義旁瓣對(duì)消結(jié)構(gòu)進(jìn)行干擾抑制，利用凸優(yōu)化的方法解決輔助通道選擇的問題。以最小化主通道輸出為目標(biāo)函數(shù)，引入通道選擇向量，同時(shí)優(yōu)化輔助通道權(quán)值與通道選擇向量。由于目標(biāo)函數(shù)被描述成一個(gè)0-1 規(guī)劃問題，無法直接解決，因此本文采用懲罰序列凸規(guī) 劃(sequential convex programming, SCP)算 法，并基于最大最小(majorization-minimization, MM)算法求解。最后通過仿真對(duì)比最優(yōu)通道法，驗(yàn)證了本文算法的優(yōu)越性。

1 信號(hào)模型

考慮如圖1 所示的機(jī)載共形陣列模型：以機(jī)翼與機(jī)身中軸線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)o，以機(jī)身中軸線機(jī)翼方向?yàn)閥軸，以水平垂直y軸為x軸，z軸垂直水平面即 xoy平面，建立空間直角坐標(biāo)系。

圖1 機(jī)翼共形陣列幾何結(jié)構(gòu)

假設(shè)信號(hào)入射方向?yàn)?(θ,φ)，即入射信號(hào)與+z軸的夾角為 φ，入射信號(hào)在 xoy平 面的投影與 +x軸夾角為θ，則入射信號(hào)單位方向矢量為：

假設(shè)陣列有N個(gè)陣元，安置在三維空間中任一曲面上的第n個(gè)陣元的坐標(biāo)為ln=[xn,yn,zn]T，其中n=1,2,···,N，( ·)T表示轉(zhuǎn)置操作。以空間原點(diǎn)為參考點(diǎn)，第n個(gè)陣元與空間原點(diǎn)間的空間相位差為：

式中，λ為信號(hào)波長(zhǎng)。

僅考慮空間相位差，陣列的空間導(dǎo)向矢量可以表示為：

根據(jù)共形陣幾何配置的非線性特性，規(guī)定陣元安裝指向?yàn)槠渌谔幥娴姆ň€方向，即陣元的波束主瓣方向。在所示的機(jī)翼共形陣中，由于每個(gè)陣元的單元方向圖各不相同，因此波束形成需要考慮單元方向圖增益。假設(shè)在 (θ,φ)方 向上的第n個(gè)陣元的單元方向圖響應(yīng)為gn(θ,φ)，所有陣元的單元方向圖響應(yīng)可以表示為：

相應(yīng)地，陣列的空間導(dǎo)向矢量改寫為：

式中，⊙為Hadamard 積。

假定有q個(gè)干擾，用xm表示主通道接收到的數(shù)據(jù)，從所有陣元中選擇K(K≥q)個(gè)作為輔助通道對(duì)干擾噪聲進(jìn)行對(duì)消，用xa表示輔助通道接收的數(shù)據(jù)。am,0為 主通道目標(biāo)導(dǎo)向矢量，am,i為主通道干擾導(dǎo)向矢量，nm為主通道噪聲。aa,0為輔助通道目標(biāo)導(dǎo)向矢量，aa,i為 輔助通道干擾導(dǎo)向矢量，na為輔助通道噪聲。則主通道和輔助通道接收到的信號(hào)可以分別表示為：

式中，αm,0和 αm,i是主通道接收的目標(biāo)信號(hào)和干擾信號(hào)的幅度；αa,0和 αa,i是輔助通道接收的目標(biāo)信號(hào)和干擾信號(hào)的幅度。噪聲為加性高斯白噪聲。

廣義旁瓣對(duì)消結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 廣義旁瓣對(duì)消器結(jié)構(gòu)

用e表示通過旁瓣對(duì)消后的剩余輸出信號(hào)：

式中，(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置操作；B為阻塞矩陣，阻塞輔助通道中的期望信號(hào)，從而避免信號(hào)自消。

引入通道選擇矩陣p，p是一個(gè)由0,1 構(gòu)成的大小為N×1維的向量，1 表示選擇該位置上的陣元作為輔助通道，0 表示不選用，則式(8)可以寫成：

式中，wm和wa分別為主通道和輔助通道的權(quán)值；wm采用靜態(tài)方向圖權(quán)值。

2 通道選擇算法

2.1 最優(yōu)通道選擇法

當(dāng)輔助通道位置已知時(shí)，輔助通道權(quán)值有閉合解：

參照文獻(xiàn)[11]中通道優(yōu)選的思路，從N個(gè)通道中選取K個(gè)通道，共進(jìn)行N?K次操作。在第n次操作時(shí)，從N?n+1個(gè) 通道中選擇N?n個(gè)通道，共有N?n+1個(gè)方式，比較每一個(gè)選取方式的輸出信號(hào)功率，選擇最小輸出信號(hào)功率對(duì)應(yīng)的那一組通道，保留這組N?n個(gè)通道作為尋優(yōu)結(jié)果，重復(fù)上述操作，直到最終剩余K個(gè)通道，即為所選的輔助通道。該方法運(yùn)算量小，是一種局部最優(yōu)方法，但并不能保證是全局最優(yōu)的結(jié)果，無法找到合適的輔助通道結(jié)果。因此本文從全局優(yōu)化的角度出發(fā)，提出基于SCP 的凸優(yōu)化方法。

2.2 基于SCP 的凸優(yōu)化方法

根據(jù)式(8)，把BHwa看作一個(gè)整體，令=BHwa，可以得到：

將剩余輸出信號(hào)功率作為目標(biāo)函數(shù)，通過最小化目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)優(yōu)化通道選擇矩陣p和輔助通道權(quán)值wa。優(yōu)化問題可寫成：

因此式(13)可以改寫成下式：

式(15)中若沒有第二個(gè)約束條件，已經(jīng)是一個(gè)凸問題，因此運(yùn)用SCP 算法來解決0-1 優(yōu)化問題。首先將離散的0-1 約束pi∈{0,1}松 弛為pi∈[0,1]，接著在目標(biāo)函數(shù)中添加一懲罰項(xiàng) γpT(1?p)，其中γ ≥0是懲罰系數(shù)。可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)懲罰系數(shù)足夠大時(shí)，必然可以使得pT(1?p)=0，以保證所有的pi更趨向于0 和1。

式(16)中的約束都是凸約束，但是目標(biāo)函數(shù)卻是非凸的，SCP 算法將凹函數(shù)pT(1?p)用其上界代替，假設(shè)第t次迭代已經(jīng)得到p(t)，則對(duì)于第t+1次迭代，根據(jù)最大最小MM 算法[13]，pT(1?p)的上界為：

因此，第t+1次迭代，可以用pT(1?p)的上界替代它，則可以得到：

由于優(yōu)化出的p并不完全是由0 和1 構(gòu)成，因此對(duì)于優(yōu)化結(jié)果，將大于1/2 的值認(rèn)為是1，其余位置設(shè)置為0，由此得到的p*作為最終的輔助通道選擇向量。

2.3 計(jì)算復(fù)雜度分析

本文所提算法用MATLAB 中的CVX 工具包進(jìn)行求解，從N個(gè)陣元中選擇K(K≥q)個(gè)作為輔助通道，計(jì)算復(fù)雜度約為O(N3.5)。而將所有通道選擇方法一一列舉出來進(jìn)行比較的窮舉法一共有=N!/(K!(N?K)!)種組合方式，每一次需要計(jì)算輸出結(jié)果進(jìn)行N次乘法，因此窮舉法的計(jì)算復(fù)雜度為：

當(dāng)所選的K和N較大時(shí)，窮舉法的計(jì)算量是遠(yuǎn)大于本文算法的。一般來說當(dāng)N>12，3

3 仿真結(jié)果

本節(jié)對(duì)提出的算法進(jìn)行數(shù)值仿真。針對(duì)所給出的共形陣列，對(duì)不同來向的干擾進(jìn)行抑制，對(duì)比了靜態(tài)方向圖、最優(yōu)通道選擇、窮舉法與本文算法。仿真展示的為方位維的歸一化方向圖。參數(shù)設(shè)置：陣元數(shù)N=50，波長(zhǎng)λ =0.667 m。假定目標(biāo)的來向?yàn)?θ0,φ0)=(180°,128°)，目標(biāo)的信號(hào)比為 SNR=0 dB，干擾的強(qiáng)度為I NR=40 dB，共形陣列的單元方向圖g(θ,φ)已知。

圖3 假定在 (θ1,φ1)=(128°,128°)處存在一個(gè)干擾，選用兩個(gè)輔助通道數(shù)對(duì)干擾進(jìn)行抑制，即K=2。能夠看出，當(dāng)只有一個(gè)干擾的時(shí)候，3 種方法均能做到很好的抑制。圖4、圖5 和圖6 展示的是在更多干擾的情況下，干擾抑制的效果。將干擾數(shù)目q分別增加為2、3、4 個(gè)，所在的角度分別為(θ2,φ2)=(242°,128°)，(θ3,φ3)=(150°,128°)，(θ4,φ4)=(230°,128°)，為了能夠有效地抑制，輔助通道數(shù)K分別增加為3、4、5 個(gè)?？煽闯霎?dāng)干擾數(shù)增加時(shí)，最優(yōu)通道選擇并不能形成足夠的凹口。而本文算法對(duì)比窮舉法，雖然沒有選中完全一致的輔助通道，但仍能在各個(gè)干擾處形成零陷，準(zhǔn)確抑制干擾，并與窮舉法有相當(dāng)?shù)男阅堋D7 展示的是當(dāng)干擾在主瓣內(nèi)時(shí)的情況，最優(yōu)通道法無法進(jìn)行干擾抑制，雖然本文算法和窮舉法仍能在干擾處形成零陷，但主瓣均有一定程度的畸變和偏移。

圖3 歸一化方向圖(q=1,K=2)

圖4 歸一化方向圖(q=2,K=3)

圖5 歸一化方向圖(q=3,K=4)

圖6 歸一化方向圖(q=4,K=5)

圖7 歸一化方向圖( q=2,K=3) (主瓣干擾)

4 結(jié)束語

針對(duì)共形陣下的干擾抑制問題，本文利用廣義旁瓣對(duì)消結(jié)構(gòu)，提出了基于序列凸規(guī)劃算法的輔助通道選擇方法。以誤差信號(hào)平均功率最小為目標(biāo)函數(shù)，利用最大最小算法構(gòu)造替代函數(shù)把問題轉(zhuǎn)化成凸問題。與窮舉法和最優(yōu)通道法對(duì)比，本文算法在多個(gè)干擾的情況下仍能有很好的抑制效果，相較于窮舉法，降低了大量計(jì)算量，尤其是在選擇較多輔助通道的情況下。