徐彥欽，崔國龍，余顯祥，葛萌萌，楊曉波

(電子科技大學信息與通信工程學院 成都 611731)

波達方向(direction of arrival, DOA)估計作為陣列信號處理中的一個研究方式，已經(jīng)被廣泛應用于雷達探測、無線通信、電子偵察等領域[1-3]。DOA估計的分辨率主要受限于陣列孔徑，天線陣元個數(shù)或陣元間距的增加可以有效增大陣列孔徑，提高DOA 估計的分辨率[4]，但同時也極大增加了天線陣列的物理尺寸、復雜性以及成本。

文獻[5-7]研究出虛擬天線陣列技術可以在不改變物理陣列的前提下形成虛擬孔徑，從而增大陣列孔徑，獲得更高的角度分辨率。文獻[8]通過聯(lián)合未經(jīng)調制的接收信號及經(jīng)過調頻、調幅和調相等處理的接收信號，形成虛擬陣列接收信號構造出較大的虛擬陣列孔徑。文獻[9]通過虛擬陣列變換，將實際物理陣列變換為陣列孔徑更大的虛擬陣列，提高了DOA 估計精度，但該方法性能受觀測區(qū)間影響。文獻[10-12]利用高階累積量的統(tǒng)計特性增加虛擬陣元實現(xiàn)陣列擴展，有效擴大了陣列孔徑，但該方法需要較多的快拍數(shù)，運算量大，且形成的虛擬孔徑大小有限。文獻[13-14]提出了一種基于Khatri-Rao (KR 積)的虛擬陣列構造方法，使得虛擬孔徑大小最多提升至實際物理陣列孔徑的兩倍。文獻[15-18]采用線性預測的方式進行虛擬陣元的外推，從而實現(xiàn)了DOA 估計的高分辨性，但其外推虛擬陣元個數(shù)有限，且受信噪比影響較大。文獻[19]通過合成孔徑(synthetic aperture radar, SAR)方式形成虛擬孔徑，在汽車雷達體制下實現(xiàn)了運動目標的超分辨DOA 估計，然而該方法模型較為簡單，無法滿足實際汽車運動場景。而多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)雷達作為一種典型的具備虛擬孔徑特征的雷達體制，其構建的虛擬孔徑的大小取決于發(fā)射陣元個數(shù)、接收的陣元個數(shù)以及陣元間距[20]。

為了形成更大的虛擬孔徑，本文提出了一種基于信號寬頻跳變相位補償?shù)奶摂M孔徑重構方法。首先建立寬頻跳變信號的接收信號模型；然后對各頻點的窄帶接收信號加入補償相位進行虛擬孔徑重構處理，從而形成遠大于實際物理孔徑的虛擬孔徑，其頻點個數(shù)越多，形成的虛擬孔徑越大；最后，采用單快拍的空間非均勻傅里葉變換實現(xiàn)高分辨DOA估計。

1 信號模型

假設由單個天線分時發(fā)射如圖1 所示的寬頻跳變信號，該信號有N個頻點，采用步進頻方式，則發(fā)射信號可表示為：

圖1 寬頻跳變信號示意圖

式中，s(t)為 第i個 頻點信號的復基帶包絡；f0為信號起始頻率；fN?1為 終止頻率；Δf為頻率步進間隔；fi=f0+iΔf為第i個 頻點；τ為各頻點信號持續(xù)時間；TP為 載頻間隔時長；r ect(t/τ)為矩形函數(shù)。

考慮由M個陣元組成的均勻接收線陣，其間距為d，假設從空間遠場觀察到有K個方向的寬頻跳變信號(k=1,2,···,K)入射到該陣列，且每個入射的寬頻跳變信號都由N個頻點的窄帶信號sk(t)ej2πfit(i=0,1,···,N?1) 組成，則N個頻點的陣列接收信號可表示為：

式中，[·]T表 示轉置操作；sk(t)為第k個寬頻跳變信號中的復基帶包絡；xi(t)為 頻點fi處的接收信號向量；vi(t)為M個陣元的高斯白噪聲矢量，滿足均值為零，方差為；θk為 第k個信號的入射角度；向量ai(θk)表示第k個信號在頻率點fi處的導向矢量，定義為：

式中，φi(θk)=2πdsin(θk)/λi為頻率fi處的空間相位；λi=c/fi為載波波長；c為光速。

2 基于虛擬孔徑的高分辨DOA 估計

2.1 虛擬孔徑重構原理

根據(jù)式(3)的導向矢量模型，可知空間相位φ與陣元間距d的變換關系為：φ=2πdsin(θk)/λ。根據(jù)此變換關系，若在接收信號中加入補償相位 φ，可得到平移間距：

式中，dmove為物理陣列與虛擬陣列之間的平移間距。

對N?1個頻點的接收信號分別加入不同的補償相位 φi，使得物理陣列在不同頻點處產生不同的陣列平移di,move，以此達到陣列擴展的目的，從而實現(xiàn)虛擬孔徑的重構。

假設在第n次采樣快拍中，對第k個寬頻跳變信號進行相位補償，其中第i個頻點信號的補償相位為 φi，如圖2 所示。

圖2 虛擬孔徑重構示意圖

最后對補償后的N個頻點信號進行重構排序。則第k個寬頻跳變信號在虛擬孔徑上的接收信號向量可表示為：

2.2 相位補償原理

圖3 相位補償?shù)奶摂M孔徑重構框圖

對第一個頻點信號的導向矢量a1(θk)分析可得，向量a1(θk)可 等效為復正弦信號的M次時域采樣序列，其信號頻率為f=dsin(θk)，采樣間隔為1 /λ1。因此，各頻點的導向矢量可等效為周期是T=1/f的復正弦信號的M次時域采樣序列，且第i個頻點的采樣間隔為1 /λi，如圖4 所示。其中，第i個頻點的導向矢量ai(θk)對 應的M個采樣值yi(n)表示為：

因此，第i個采樣序列可表示為：

將所有頻點的采樣序列yi(i=0,1,···,N?1)在時序上直接排列成一組間斷的非均勻采樣序列y=，同時定義y為虛擬導向矢量等效的采樣序列。其中，y的 實部采樣序列如圖4所示。

圖4 采樣序列 y的實部采樣時序圖

在上述采樣時序中，各頻點的采樣序列起始采樣值為1，且第M個采樣值為 e?j2πf(M?1)/λi。對序列yi的 起始采樣值加入補償相位值 φi，使其等于序列yi?1的 第M個采樣值。由于加入相位補償后，序列yi在 時序上進行平移，從而連續(xù)地拼接在序列yi?1之后，因此，加入N?1個補償相位后，各頻點的采樣序列能完全重構為連續(xù)的復正弦信號的采樣序列，如圖5 所示。

圖5 重構后虛擬導向矢量的實部采樣時序圖

以y0、y1為 例，對y1的采樣序列進行相位補償后，有：

可得到y(tǒng)2采 樣序列對應的補償相位φ1=2πf(M?1)/λ0=(M?1)φ0(θk)。此時，補償相位為第零個頻點信號在第1 個陣元與第M個陣元之間的空間相位差。

再對y2進行相位補償，即：

可得到y(tǒng)2對應的補償相位為：

同理，可推導出采樣序列yi的 補償相位 φi是第1 個陣元與第M個陣元之間的空間相位差，并依次相加：

通過比相單脈沖測角法[21]可得到陣元1 與陣元M之間的相位差 Δψi?1=(M?1)φi?1(θk)，然后對空間相位差依次相加，即可得到各個頻點信號的補償相位：φi=Δψ0+Δψ1+··· +Δψi?1。

為保證采樣序列重構的連續(xù)性，本文對后N?1個 采樣序列中的前M?1個采樣值進行相位補償，使其重構為復正弦信號的時域采樣序列yˉ，其采樣個數(shù)為N(M?1)。定義yˉ為等效的虛擬導向矢量：

綜上所述，通過對各頻點信號進行相位補償，使得物理孔徑重構為更大的虛擬孔徑，從而獲得更高的角度分辨，其孔徑大小主要取決于重構頻點個數(shù)N。虛擬孔徑重構算法的具體步驟如下：1)測量前N?1個 頻點信號在第1 個陣元與第M個陣元間的空間相位差；2)取各個頻點導向矢量前M?1個值進行排列，形成采樣序列；3)將測量得到的空間相位差作為補償相位 φi加入到采樣序列，使其重構為一條復正弦信號的非均勻采樣序列；4)得到虛擬導向矢量。

2.3 多目標相位補償性能分析

在單目標的相位補償原理中，可知補償相位與目標角度有關，本節(jié)對多目標的相位補償進行性能分析。假設陣列接收到來自 θ1、θ2方向的兩個入射信號，則式(2)中的第i個頻點的接收信號在第n次的采樣快拍模型可表示為：

同理，第i個頻點的補償相位 φi可表示為：

根據(jù)式(16)，可知 e?jφ1由兩個相位差疊加形成，因此，加 入補償相位 φ1后，可得到導向矢量如下：

式(18)中，前兩項分別為不同目標的導向矢量通過相位補償重構形成的虛擬導向矢量，而最后一項為多余的交叉項。在此交叉項中，由于補償相位中的角度與目標導向矢量的角度不匹配，因此會對DOA 估計性能以及其旁瓣形狀造成不同程度的影響。

3 仿真結果

本節(jié)主要通過仿真實驗分析評估所提方法的有效性及性能。設置陣元個數(shù)為M=16，其余參數(shù)如表1 所示。

表1 仿真參數(shù)表

3.1 單目標場景

假設單目標的入射角度為 θk=20°，信噪比設為 20 dB，采用相位補償?shù)姆椒▽Ω黝l點信號向量進行虛擬導向矢量的重構。圖6a 表示了第一個頻點a1(θk)的實部采樣序列，而圖6b 表示了前4 個頻點重構之后的虛擬導向矢量的實部采樣序列。

從圖6b 的仿真結果可知，對前4 個頻點導向矢量進行補償相位后，能有效地將采樣序列重構為一個更長的正弦信號的采樣序列，此序列為虛擬導向矢量的采樣序列。由于不同頻點序列采樣間隔不一致，所以該序列是一個非均勻的采樣序列。

圖6 重構前后導向矢量的實部采樣序列對比圖

接下來，對虛擬孔徑重構的接收信號進行空間非均勻傅里葉變換。圖7 表示了對虛擬導向矢量進行空間非均勻傅里葉變換的歸一化DOA 估計圖，其中虛線為物理孔徑的DOA 估計圖，實線為虛擬孔徑的DOA 估計圖。

圖7a 的虛擬孔徑使用了4 個頻點進行重構，然后使用虛擬孔徑進行DOA 估計，其中物理孔徑方向圖的主瓣寬度約為 6.8°，而虛擬孔徑DOA估計圖的主瓣寬度約為1 .8°，其角度分辨率大約提高了4 倍。圖7b 的虛擬孔徑重構了10 個頻點，其主瓣寬度能達到 0.7°，角度分辨率大約提高了9倍。因此，在單目標的場景下，通過虛擬孔徑的重構可有效地提高角度分辨率，其提升的倍數(shù)約為重構的頻點數(shù)。

圖7 空間非均勻傅里葉變換的DOA 估計對比圖

3.2 多目標場景性能分析

假設陣列接收到兩個信號，其入射角度分別為θ1=20°、θ2=25°，信噪比均為 20 dB，同樣使用單目標的相位補償方法對兩目標的各頻點導向矢量進行重構，從而構建虛擬孔徑。圖8 為重構了4 個頻點的導向矢量后的歸一化DOA 估計圖。

圖8 兩目標空間非均勻傅里葉變換的DOA 估計對比圖

由圖8 可知，實際的物理孔徑已無法有效區(qū)分兩個目標，而通過單目標的相位補償方法重構形成虛擬孔徑，可有效地分辨出角度相近的兩個目標，其DOA 估計的角度分別為1 8.8°、2 6.3°。但由于交叉項的影響，DOA 估計角度與實際目標角度存在1°左右的誤差。

若設置陣元個數(shù)為M=50，其目標角度分別為θ1=20°、θ2=21.5°。圖9 為重構了10 個頻點導向矢量的DOA 估計對比圖，從圖中可知，通過虛擬孔徑的重構，有效地實現(xiàn)了目標角度相差1 .5°的分辨，同時由交叉項帶來的誤差僅有 0.4°左右。所以，其角度分辨率也會受實際物理陣元個數(shù)的影響，物理陣元越多，由交叉項引起的多目標DOA估計誤差越小。

圖9 兩目標空間非均勻傅里葉變換的DOA 估計對比圖

4 結束語

本文針對陣列孔徑有限而導致DOA 估計角度分辨率較低的問題，通過利用虛擬孔徑重構的思想，提出了一種基于信號寬頻跳變的相位補償虛擬孔徑重構方法。通過對寬頻跳變信號的各個頻點進行相位補償，使物理陣列發(fā)生平移，然后進行虛擬孔徑重構，實現(xiàn)了虛擬陣列的擴展，從而達到了形成遠大于物理孔徑的虛擬孔徑的目的，有效地提高了DOA 估計的分辨率，且計算較為簡單。通過仿真實驗和數(shù)值分析，證明了該方法的有效性。