邢成云

(北鎮(zhèn)中學(xué)實驗初中部，山東 濱州 256609)

時下，單元整體化教學(xué)備受關(guān)注，這也是筆者從教以來的探索研究，目前已形成了基于課程統(tǒng)整之上的整體化教學(xué)主張[1]，其實這也是新的課程改革強調(diào)整體把握課程的大勢所趨.但理念愿景與現(xiàn)實行動之間往往有距離，因此理念如何真正落地才是關(guān)鍵.筆者在教學(xué)中主張對“章起始課”進行探索，較好地解決了這一問題.現(xiàn)以人教版初中《數(shù)學(xué)》第6章“實數(shù)”為例，展示章起始課的設(shè)計歷程，與諸位同仁共享.

1 通觀資源，整體規(guī)劃

1.1 對章前語、章頭圖的認識

兩段文字一個圖，文圖呼應(yīng).第一段文字通過創(chuàng)設(shè)科學(xué)情景，引出了一個數(shù)學(xué)問題，即如何知道二次冪求底數(shù)的模型，揭開了本章的核心問題；第二段文字通過單位正方形獲得對角線的長度問題，這個長度數(shù)值不是有理數(shù)，而是相克而生的一類數(shù)——無理數(shù)，由此數(shù)系擴展為實數(shù)，然后通過類比有理數(shù)引入實數(shù)在數(shù)軸上的表示及其運算，并用之解決實際問題.而章頭圖是火箭發(fā)射圖，呼應(yīng)了第一段文字的科學(xué)情境.總之，章前語、章頭圖共同把本章的核心內(nèi)容以及研究思路擺了出來，為章起始課的設(shè)計提供了統(tǒng)攝性材料.

1.2 立足課標(biāo)，解讀教材

課標(biāo)中對應(yīng)本章課程內(nèi)容：

1)了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根;

2)了解乘方與開方互為逆運算，會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會用立方運算求百以內(nèi)整數(shù)(對應(yīng)的負整數(shù))的立方根，會用計算器求平方根和立方根;

3)了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，能求實數(shù)的相反數(shù)與絕對值;

4)能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍(可參見文獻[2]中的例47，此處略);

5)了解近似數(shù)，在解決實際問題中，能用計算器進行近似計算，并會按問題的要求對結(jié)果取近似值；

6)了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式(根號下僅限于數(shù))加、減、乘、除運算法則，會用它們進行簡單的四則運算(可參見文獻[2]中的例48).

在無理式退出義務(wù)教育教材后，二次根式被劃進了實數(shù)大范圍，這一大范圍在現(xiàn)行的人教版教材中被分化為兩章：一是七年級下冊的“實數(shù)”；二是八年級下冊的“二次根式”.作為七年級下冊的“實數(shù)”，其學(xué)習(xí)目標(biāo)是前5條(見前文)，第6條是二次根式的學(xué)習(xí)目標(biāo).

以上內(nèi)容不僅是后面學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程以及解三角形等知識的基礎(chǔ)，也為高中數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)不等式、函數(shù)以及解析幾何等大部分知識做好“四基”的儲備.

1.3 育人價值分析

1.4 整體規(guī)劃單元學(xué)程

第一課時是章起始課.整體統(tǒng)攝，勾勒出本章的結(jié)構(gòu)圖(把教材的章前語、“閱讀與思考”融入).

第二課時是順承鞏固課.在章起始課的基礎(chǔ)上，進一步認識平方根、立方根以及算術(shù)平方根等概念及簡單運算(把教材“活動1”融入，布置為課后作業(yè)，實現(xiàn)動手與動腦的結(jié)合).

第三課時是深度探研課.在章起始課的基礎(chǔ)上，深化認識無理數(shù)、實數(shù)等概念，以有理數(shù)運算為基礎(chǔ)，同構(gòu)實數(shù)運算，感知數(shù)的發(fā)展歷程，形成對實數(shù)的深入認識.

第四課時是小結(jié)統(tǒng)合課.本節(jié)課是對本章的二次統(tǒng)整，立足教材小結(jié)，形成完善的知識結(jié)構(gòu)，從而提高學(xué)生整理知識、反思建構(gòu)的學(xué)習(xí)力(把教材活動2融入，布置為課后選作作業(yè)，給有興趣的學(xué)生以思維進階的機會).

第五課時是分層考查課.分A,B,C三層級設(shè)立評價題目，形成AB,BC兩個組合，由學(xué)生自選進行測試，其中A對應(yīng)教材的拓廣探索題，B對應(yīng)教材的綜合運用題，C對應(yīng)教材的復(fù)習(xí)鞏固題.B是保底評價題目，A,C兩組題等分值設(shè)計.

根據(jù)“單元—課時”設(shè)計，本節(jié)起始課即為單元設(shè)計中的第一課時.

2 立足起始，整體統(tǒng)攝

2.1 教學(xué)目標(biāo)

1)利用逆運算，獲得平方根的概念，進而認識其基本性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上獲得算術(shù)平方根，會用根號表示，并了解算術(shù)平方根的非負性，明晰算術(shù)平方根與平方根的種屬關(guān)系；

2)通過類比獲得立方根的概念及有關(guān)性質(zhì)；

4)通過漸成性板書勾勒出本章的知識概貌，形成整體研究路徑.

2.2 教學(xué)重難點

重點：平方根(算術(shù)平方根)的概念及單元統(tǒng)攝結(jié)構(gòu)的形成.

難點：平方根概念的獲得以及對無理數(shù)的初步認識.

2.3 教學(xué)過程設(shè)計

環(huán)節(jié)1起于拼圖.

問題1用兩張面積為1的正方形紙片，能否通過有限次的剪切、拼接，拼出無縫隙的新正方形，用圖示展示自己的拼法，并說明為什么能實現(xiàn)拼接.

教學(xué)說明事先安排學(xué)生課前先行嘗試，動手拼圖，課堂上用來展示與交流理由，以感知面積等于2的正方形邊長的客觀存在性.

學(xué)生展示兩類拼圖(如圖1和圖2所示)，引出關(guān)系式x2=2.

圖1 圖2

設(shè)計意圖面積、體積是平方根、立方根的依附載體，正方形的面積、立方體的體積是平方、立方的可感質(zhì)體，是數(shù)與形結(jié)合的有效介質(zhì)，這為學(xué)生拼圖的可行性奠定了基礎(chǔ)，讓平方的逆運算有了可感的元素.基于此，利用教材中第41頁的拼圖作為先行組織者，把核心問題揭示出來.

環(huán)節(jié)2成于互逆.

問題2章前語中第一段提出的問題以及環(huán)節(jié)1中的拼圖形成的關(guān)系可抽象為x2=m的形式，這里m是已知的，求x的取值.由此我們聯(lián)想到以前是怎么處理的？

教學(xué)說明通過一組填空喚起學(xué)生用逆運算研究的想法，然后引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)過的逆運算：

-3+(12)=9， -3×(-3)=9，

-3+( )=9， -3×( )=9.

加減互逆：a+b=c→a=c-b，b=c-a.

順勢出示(-3)2=9與( )2=9，在師生問答中提出問題3.

問題3加法與減法互為逆運算，乘法與除法也互為逆運算.那么“已知指數(shù)2與冪m，求底數(shù)x”是什么運算呢？它和平方運算有什么關(guān)系呢？

預(yù)設(shè)由此又會出現(xiàn)一種新的運算叫開平方運算，結(jié)果叫平方根或二次方根，它與平方運算是互逆關(guān)系.

設(shè)計說明利用逆運算(類比加減互逆、乘除互逆)，引出新的運算——開平方運算(其本質(zhì)就是求形式最簡單的一元二次方程的根，故稱之為二次方根或平方根).

問題4請同學(xué)們通過嘗試活動及對互逆的認識，試著給出二次方根的定義.

預(yù)設(shè)一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根，也稱為二次方根(板書概念).求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方.

為拓展數(shù)的開方運算為式的開方運算，根據(jù)學(xué)情，若學(xué)生整體水平較高，則可增加一組練習(xí)如下：

1)求方程x2=4中x的值；

2)請觀察下列方程，它們是怎樣由方程x2=4逐步轉(zhuǎn)化的：x2-4=0，(x-2)2-4=0，2(x-2)2-8=0；

設(shè)計說明本彈性環(huán)節(jié)既是拓展應(yīng)用，又為解方程做鋪墊.其中第1)小題是回歸定義求解，第2)小題是以第1)小題為基礎(chǔ)一步一步落實轉(zhuǎn)化的，在化歸中獲得解方程的基本思路，第3)小題是通過第2)小題獲得新發(fā)現(xiàn)并學(xué)以致用.

合作活動生生互助：一位學(xué)生給出一個數(shù)，另一位學(xué)生給出其平方根.

預(yù)設(shè)通過這樣的開放性活動，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：4,9,16等的平方根均有兩個，而2,5,6,7等的平方根沒法寫出來，-4,-16等的平方根又找不到，0的平方根只有一個……

至此提出問題5.

問題5學(xué)過的所有數(shù)是否都具有平方根呢？在求一個數(shù)的平方根的過程中會遇到哪些情況？

以上活動充分暴露了一個數(shù)的平方根的各類情況，通過追問和追問之下學(xué)生的探索，平方根的性質(zhì)已成型，教師可以與學(xué)生一起歸納出平方根的性質(zhì)(教師板書，學(xué)生默記)：

1)一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；

2)0有一個平方根，它是0本身；

3)負數(shù)沒有平方根.

問題6通過學(xué)生互助活動，已經(jīng)對平方根的性質(zhì)有了一定的認識.但在活動中，也遇到了像2,5,6,7,11等數(shù)的平方根感覺有但又說不出來的問題，怎么辦？

問題7關(guān)于平方根，我們研究了哪些內(nèi)容？請同學(xué)們多角度地談?wù)剬ζ椒礁恼J識？

預(yù)設(shè)從平方根的定義、性質(zhì)、與方程的關(guān)系、運算(逆運算)、符號、應(yīng)用等角度切入.

設(shè)計說明學(xué)生在七年級上冊已學(xué)習(xí)了加、減、乘、除、乘方運算，積累了加和減、乘和除相互間存在互逆關(guān)系的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.本環(huán)節(jié)基于學(xué)生的已有知識和已有經(jīng)驗，研究了平方的逆運算，即開平方，為后繼環(huán)節(jié)立方根的學(xué)習(xí)搭起了框架結(jié)構(gòu)，它在教學(xué)內(nèi)容上起著統(tǒng)攝統(tǒng)領(lǐng)、承上啟下的作用.

至此，思維啟動起來了，如果就此打住，就失去了思維進階的機會，由此，教師提出了問題8.

環(huán)節(jié)3發(fā)于類比.

問題8我們在學(xué)習(xí)數(shù)的平方后，還學(xué)習(xí)了立方以及乘方，體現(xiàn)了從特殊到一般的思想方法.類似地，在學(xué)完平方根后，還可以進一步研究什么？

預(yù)設(shè)研究立方的逆運算以及一般性的乘方的逆運算.如果一個數(shù)x的立方等于a，那么x叫a的什么？如果一個數(shù)x的四次方及n次方等于a，那么x叫a的什么？……由此引出立方根、四次方根及一般意義上的方根(n次方根).

相對應(yīng)，立方與開立方也互為逆運算，即乘方與開方互為逆運算.

設(shè)計說明通過類比，獲得開立方運算的結(jié)果稱為立方根，進而提出n次方根的概念，但限于學(xué)段認知，n次方根將在高中階段進一步學(xué)習(xí)，在此不展開，點到為止，只是為了實現(xiàn)從平方根到n次方根的貫通，體現(xiàn)前后一致性.初中階段僅研究偶次方根和奇次方根的兩個代表：平方根和立方根.這樣從特殊到一般的研究思路呈現(xiàn)出來，不但擴充了知識，更重要的是拓展了思維，這是基于素養(yǎng)、著眼發(fā)展的好舉措.

問題9根據(jù)剛才平方根的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，同學(xué)們認為可以如何研究立方根？請同學(xué)們設(shè)想立方根的學(xué)習(xí)思路.

預(yù)設(shè)類比平方根的學(xué)習(xí)，我們需要研究立方根的定義、開立方的定義、立方根的性質(zhì)、與方程的關(guān)系、立方根的符號表示、立方根的應(yīng)用等.

設(shè)計說明充分利用平方根教學(xué)過程所形成的大思路、大框架，引領(lǐng)出立方根的學(xué)習(xí)脈絡(luò)，并共同服務(wù)于大概念的教學(xué)——乘方與開方運算的互逆性.一個是教結(jié)構(gòu)，另一個是用結(jié)構(gòu)，它們邏輯連貫、一脈相承地彰顯出來，其遷移性能得以展現(xiàn)，這就是單元教學(xué)的價值所在.

問題10請同學(xué)們從不同的角度談?wù)剬α⒎礁睦斫庖约捌椒礁⒘⒎礁膮^(qū)別與聯(lián)系.

預(yù)設(shè)略.

設(shè)計說明對比平方根和立方根的異同點，概括二者的相同點是一種同化過程，而理清二者的區(qū)別卻是一種分化活動.分化的過程促進了學(xué)生對概念的理解，便于學(xué)生將新概念納入已有的認知結(jié)構(gòu)中，加深對新、舊知識的聯(lián)系，優(yōu)化知識在大腦中的儲存和提取.

環(huán)節(jié)4終于內(nèi)需.

預(yù)設(shè)討論后指導(dǎo)學(xué)生閱讀人教版七年級下冊教材第58頁的“閱讀與思考”，初步感知無理數(shù).或通過梳理數(shù)的發(fā)展歷程的思路(再現(xiàn)數(shù)的邏輯發(fā)展歷程：用微視頻展播)，然后對照這4個數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們不屬于前面學(xué)習(xí)的各類數(shù)，那么它們到底屬于哪類數(shù)呢？

由此，新的一類數(shù)出場的必要性突顯出來，這類數(shù)的價值性不用多言，順理成章，意義建構(gòu)，有理數(shù)、無理數(shù)攜手出場，實數(shù)的概念水到渠成.至此，本章的概貌基本形成.

環(huán)節(jié)5收于小結(jié).

基于漸進性板書，知識系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖水到渠成，通過完善板書終成概貌.

圖3

設(shè)計說明結(jié)構(gòu)圖不僅僅是知識的組合，更是建立了一種知識點之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，既可以展現(xiàn)學(xué)習(xí)的路徑，也能表達數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一般套路.這是對策略性知識的滲透，也是一種著眼于學(xué)生會學(xué)的行動.

3 教學(xué)反思

3.1 重構(gòu)中厘清脈絡(luò)

現(xiàn)行人教版教材的設(shè)計是把算術(shù)平方根設(shè)置為第一課時，然后才是平方根，隨后是立方根，最后是實數(shù)的學(xué)習(xí)，這個脈絡(luò)也體現(xiàn)了知識學(xué)習(xí)的基本路徑.但筆者認為，作為具有統(tǒng)領(lǐng)性的章起始課，需要把本章學(xué)習(xí)的脈絡(luò)厘清，讓學(xué)生能見到“森林”，讓知識之間的整體關(guān)聯(lián)更加密切.基于此，筆者對教材進行了解構(gòu)再統(tǒng)合，首先研究平方根，然后學(xué)習(xí)其中的特殊一族也是關(guān)鍵一族——算術(shù)平方根，如此，它們之間的一般與特殊的關(guān)系會愈加清晰，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)立方根將不成問題，就在這樣的研究過程中，不同于有理數(shù)的一類“數(shù)”登堂入室就水到渠成了.

3.2 互逆中見諸生長

平方與平方根、立方與立方根，相逆而生，代數(shù)中逆運算的構(gòu)建、幾何中逆命題的探索均是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的元認知性策略的踐行.追溯舊知尋源頭，邏輯發(fā)展即生長，是一種由內(nèi)(基于數(shù)學(xué)的內(nèi)部發(fā)展)而外的生成性學(xué)習(xí)，是對運算的自我完善，面對加、減、乘、除、乘方運算的發(fā)展，在加減互逆、乘除互逆已有現(xiàn)實經(jīng)驗的支持下，基于內(nèi)部自洽，自然留下一個思維缺口——乘方是否有逆運算的構(gòu)想.當(dāng)然這樣的思考也是基于前4種運算一致性的認識，是“大概念引領(lǐng)，大任務(wù)驅(qū)動”[3]，是整體觀統(tǒng)攝、整體中孕育一貫、完善運算的行動.有了這種從逆運算角度引入新運算而完備知識系統(tǒng)的全息認識，使得教學(xué)更加自然順暢，更加順乎其然，展現(xiàn)出數(shù)學(xué)的本色.

3.3 類比中一脈相承

當(dāng)平方根的學(xué)習(xí)落地后，類比平方根的研究思路自然獲得立方根的系列知識，這是基于一致性的落實，就是把平方根的研究思路(吳亞萍教授的“教結(jié)構(gòu)”)遷移到立方根的教學(xué)中來(用結(jié)構(gòu)).如此，不但是借了力，降低了學(xué)生的認知負荷，簡縮了探研時間，而且引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)會走向了會學(xué)，真正落實了“教為主導(dǎo)、學(xué)為主體”的基本原則，在這樣的一脈中加強了知識的邏輯連貫，章起始課的系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性、整體性躍然紙上.