徐 劍, 步一雋

(1．杭州第十四中學，浙江 杭州 310006；2．杭州第四中學，浙江 杭州 310018)

2021年是浙江省數學高考文理合卷的第5年，命題繼續(xù)秉承知識與能力并重的理念，以考生未來發(fā)展為本，聚焦考查數學的核心素養(yǎng)．堅持全面考查基礎知識、基本方法與技能，注重數學思想，突出數學本質；堅持以能力立意，強調對數學創(chuàng)新能力的考查，突出理性思維與數學探究．浙江省數學高考命題也繼續(xù)保持傳承與創(chuàng)新同行的風格，核心知識與關鍵能力反復考查，不斷推陳出新，持續(xù)引領中學數學教育[1]．

分析2017—2021年的浙江省數學高考卷，每年均有部分試題滲透著歸謬與反證思維，對學生逆向分析意識、邏輯推理能力進行考查，值得高三師生在復習備考中重視．

1 歸謬法與反證法

確定某個命題真?zhèn)蔚乃季S過程稱為論證，它分為證實與證偽兩類．根據在證明過程中是否使用原命題的否定，又可以劃分為：直接證明與間接證明．歸謬法：首先假設某命題成立，然后從假設出發(fā)經過正確的推理，最后得出矛盾、不符已知事實或荒謬結果，從而判定該命題不成立，是證偽的思維過程．反證法：假設原命題不成立(即假設原命題的否定成立)，然后從假設出發(fā)經過正確的推理，最后得出矛盾，說明假設錯誤，從而證明原命題成立，是證實的思維過程．反證法的依據是“排中律”，在論證結構上較歸謬法更復雜，在論證過程中也往往會使用到歸謬法．歸謬與反證二者既相似，但又有區(qū)別，是逆向思維的集中體現，應用廣泛．英國近代數學家哈代曾經這樣稱贊：“歸謬與反證是數學家最有力的武器，比起象棋開局時犧牲一子以取得優(yōu)勢的讓棋法，它還要高明．象棋對弈者不外犧牲一卒或頂多一子，數學家索性把全局拱手讓予對方！”

2 高考真題回顧

近5年的浙江省數學高考卷中，一部分試題滲透著歸謬與反證思維，下面舉例說明．

( )

A．0 B．1 C．2 D．3

(2021年浙江省數學高考試題第8題)

思路1一方面，根據假設得

(1)

另一方面，由基本不等式得

sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα

(2)

思路2一方面，根據假設得

(3)

另一方面，

sinαcosβ·sinβcosγ·sinγcosα

(4)

思路3一方面，

(5)

不妨設α<β<γ，則

cosα>cosβ>cosγ, sinα

另一方面，由排序不等式可得

sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα

≤ sinαcosγ+sinβcosβ+sinγcosα

(6)

評注本題的分析與推證過程都用了反證法．首先結合題意提出反論題，然后進行推理，得出矛盾，從而不難得出正確選項．學生若缺少逆向意識與反證思維，則往往只能停留在取特殊值試探的較淺思維層面，難以說清問題，這更凸顯了具備此類意識與思維的重要性．

例2已知a1，a2，a3，a4成等比數列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，則

( )

A．a1a3,a2

C．a1a4D．a1>a3,a2>a4

(2018年浙江省數學高考試題第10題)

分析首先，考慮對目標(選項)進行轉化，即

問題的關鍵是：判斷公比q可能落在(-∞,-1),(-1,0),(0,1),(1,+∞)這4個區(qū)間中的哪一個．

其次，對條件進行轉化，聯想到“切線不等式”，即

a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1，

整理得

a1q3≤-1,

從而

q<0,

排除區(qū)間(0,1),(1,+∞)．

若q<-1，則

a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)<0,

而

a1+a2+a3=a1(1+q+q2)>1，

于是

ln(a1+a2+a3)>0，

二者矛盾，從而排除(-∞,-1)．因此，-1

評注歸謬法在高考中應用廣泛，往往和分類討論思想結合在一起．首先確定問題的若干種可能性，然后逐一反駁排除，最后得出正確結果，這就是窮舉歸謬的思維．

例3已知a,b∈R，函數

若函數y=f(x)-ax-b恰有3個零點，則

( )

A．a<-1,b<0 B．a<-1,b>0

C．a>-1,b<0 D．a>-1,b>0

(2019年浙江省數學高考試題第9題)

分析設函數g(x)=f(x)-ax，h(x)=b，問題轉化為：若函數

與函數h(x)=b的圖像有3個交點，則判斷參數a，b的范圍．

當x<0時，函數g(x)=(1-a)x與函數h(x)=b的圖像交點最多只有一個．

若a+1<0，則g(x)在[0,+∞)上單調遞增，與函數h(x)=b的圖像最多只有一個交點．不符合要求，舍去．

若a+1>0，g(x)在[0,a+1)上單調遞減，在(a+1,+∞)上單調遞增，g(x)與函數h(x)=b的圖像最多可以有兩個交點．

結合兩段圖像，不難得出a>-1,b<0.故選C．

類似地，還有以下高考題：

例4已知a，b∈R且ab≠0，對于任意的x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0，則

( )

A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0

(2020年浙江省數學高考試題第9題)

評注這兩道題均考查含參零點與函數圖像之間的動態(tài)聯系，“奇穿偶回”的作圖技巧揭示了圖像變化趨勢的本質．2020年試題是2019年試題的傳承與創(chuàng)新，降低了問題轉化的難度，增加了分類討論的情況，但均體現了窮舉歸謬的思維方式．

例5已知數列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*)，證明：當n∈N*時，

1)0

2)，3)略．

(2017年浙江省數學高考試題第22題)

分析第1)小題的關鍵在于證明xn>0．當n=1時，x1=1．假設n=k時，xk>0，那么當n=k+1時，若xk+1≤0，則

xk=xk+1+ln(1+xk+1)≤0，

矛盾.故xk>0.

評注結合數學歸納法與反證法使得解答過程在邏輯形式與表達規(guī)范上更為出色．從文理合卷這5年試題的變化與發(fā)展上，可以看出高考對于歸謬與反證法的考查從方法層面向思維層面轉變．

3 教學啟示

歸謬與反證法在高等數學中的應用較初等數學更為普遍．從目前的情況看，在高中數學教學中對反證法的教學定位在“教方法”遠多于“教思維”．教師的課堂教學不僅要揭示知識的本質及知識之間的內在邏輯關系，還要努力研究如何從思維層面教會學生理解知識，讓學生能夠通過教師的教學語言與教學活動設計感悟到有思維特征的數學知識.

1)課標中，對于“間接證明”提出的內容和要求是：結合已經學過的教學案例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點[2]．在實際教學中，教師往往定位于向學生介紹一種間接證明的方法，大部分情況是給出了目標論題，強調反論題的正確形式，使學生了解并能模仿運用反論題，進行推理證明．這樣的教學，并沒有上升到分析與解決問題的思維層面．2021年的高考試題啟示我們：在教學中，把一個要求用反證法論證的題目改編為多角度的數學探究題，將問題換一個提法，更有利于學生思維方式的養(yǎng)成．

2)在立體幾何教學中，大量的性質與判定定理本身就是需要用反證法來證明的，但基于當前的教學要求，對于這些定理學生主要是通過直觀感知、接受，然后運用定理解決問題．這就錯失了強化反證思維的時機，在教學中適度穿插一些定理本身的證明，未嘗不是一件好事．對一些通過直觀判斷的問題(比如判斷空間兩條直線的異面位置關系)，多問一個“為什么”，更有利于培養(yǎng)學生的逆向思維．

3)教學中的四基，前三基耳熟能詳(即基礎知識、基本方法與技能、基本數學思想)，而第四基“基本活動經驗”在課堂上較為欠缺．波利亞關于“反證法”講過一個教學案例：用0,1,2,3,…，9這10個數字組成幾個數，使它們的和為100，每個數字都用一次而且也只能用一次．他指出：我們可以在嘗試解決這個難題中學到一些東西．波利亞將問題的條件分解成兩個部分：①0～9這10個數字用且只能用一次；②組成的數字之和為100．他提示先保留一個條件，丟掉另一個條件，引導學生“嘗試、再嘗試”，經歷多次不成功的試驗以后，學生發(fā)現兩個部分條件均滿足的情況并不會發(fā)生，進而懷疑命題本身的正確性．那么假設這樣的一種組合是存在的，設這些數的十位數字之和為t，因為0～9這10個數字的和為45，所以這些數的個位數字之和為45-t，那么必有

10t+(45-t)=100，

教師研究教學，就要把自己放在學習知識的角度來研究如何理解知識，提煉出用數學概念理解知識的思維特征是什么，并能夠把這種思維特征變成自己教學時的思維特點，通過不同的知識載體讓學生體會出具有共性的思維，并變成他們的思維習慣．