趙妙妙

(浙江大學(xué)教育學(xué)院附屬學(xué)校，浙江 杭州 31000)

例題是數(shù)學(xué)教科書的重要組成部分．李善良博士指出：“教材中的素材要堅持4個字，即精、典、新、思．尤其是數(shù)學(xué)教材中的例題、練習(xí)、習(xí)題，必須考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)心理規(guī)律，根據(jù)數(shù)學(xué)運用的不同層次：辨認(rèn)識別、變式練習(xí)、解決簡單問題、解決復(fù)雜問題等，選配比較典型的題目，內(nèi)部自成系統(tǒng)，相互聯(lián)系，學(xué)生經(jīng)過這些基本的訓(xùn)練足以掌握相關(guān)知識與技能，并且這些習(xí)題的量是最小的．”可見數(shù)學(xué)教科書中的例題是編者精心選編的，具有基礎(chǔ)性、典型性、層次性、發(fā)展性和系統(tǒng)性等諸多特點．這就要求教師在教學(xué)的過程中，注重教材例題，深入研究教材，挖掘隱含在教材中的數(shù)學(xué)思想和潛在價值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)．

怎樣才能更好地發(fā)揮課本例題的價值呢？我們知道數(shù)學(xué)知識不是零散的點，而是由點到面的系統(tǒng)知識．因此在進行例題教學(xué)時，要注意將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識進行有機地整合，使例題“活”起來．本文以浙教版《數(shù)學(xué)》八年級下冊第5.2節(jié)“菱形”中的例2為例，談?wù)劰P者對例題教學(xué)的一點思考．

1 課本例題的呈現(xiàn)及思考

例1如圖1，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn)，求證：四邊形AFCE是菱形．

本題重點考查菱形的判定．雖然教材中只展示了一種證法，但是在例題教學(xué)中，恰當(dāng)且適量地采用“一題多解”教學(xué)，進行多角度的解題思路分析，對學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識、提高解題技能、發(fā)展邏輯思維、提高分析問題和解決問題的能力十分有益[1].

本題主要有以下幾種證明思路：

思路1定義法，即一組鄰邊相等和平行四邊形．由△AOE≌△COF，得EO=FO或AE=CF，繼而通過對角線互相平分或一組對邊平行且相等證得四邊形AFCE是平行四邊形.又因為EF垂直平分AC，所以AE=CE，故四邊形AFCE是菱形．

思路2對角線互相垂直和平行四邊形．同思路1先證得四邊形AFCE是平行四邊形，再加上已知條件EF⊥AC，即可證得四邊形AFCE是菱形．

思路34條邊相等．由EF垂直平分AC，可知點A和點C關(guān)于EF所在的直線對稱，易得EA=EC，F(xiàn)A=FC，再通過證明△ECF是等腰三角形，即可證得四邊形AFCE的4條邊均相等，則四邊形AFCE是菱形．

如果本題到此，那么這道例題的價值也即將被忽視．整個初中階段要求掌握的數(shù)學(xué)知識點基本不會有什么改變，但是每年都會有層出不窮的新題，這些新題就來源于改題、編題．充分地講解，適當(dāng)?shù)馗淖儯僮寣W(xué)生積極思考，自主解答，前后聯(lián)系，歸納思想方法，學(xué)生對知識點的理解一定可以更加深入，舉一反三和獨立學(xué)習(xí)的能力也會進一步提高．就此題而言，筆者有這樣的幾點思考：1)題目的條件是矩形ABCD，換成平行四邊形可以嗎？2)是否可以在原題的基礎(chǔ)上增加問題的設(shè)置？3)菱形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，是否可以將折疊問題與本題相結(jié)合？

2 對例題思考的探究

針對以上思考，在課堂上筆者組織學(xué)生展開了對此題的探究，以下是探究實錄．

2.1 關(guān)注題目的背景條件，試圖更改

思考1題目的條件為什么是矩形ABCD，換成一般的平行四邊形可以嗎？

通過提問引導(dǎo)學(xué)生在對問題解答后進行“由一般到特殊”的思考．在證明四邊形AFCE是菱形的過程中，無論是哪種證法，矩形ABCD只發(fā)揮了一組對邊平行的作用，而對于滿足一組對邊平行的四邊形有很多，是否可以更改題目的條件，減弱題目的條件信息，可以怎樣改？請小組討論，給出改編的題目．

生1：可以把矩形ABCD改成ABCD．

生2：還可以改成梯形ABCD．

生3：其實只要滿足AD∥BC的四邊形都可以．

師：大家贊同以上同學(xué)的結(jié)論嗎？咱們來畫畫圖吧．

生4(補充)：在畫圖的過程中發(fā)現(xiàn)對角線AC的垂直平分線與邊AD或BC有可能沒有交點．

師(追問)：那么題目的描述應(yīng)該怎樣改變？

生5：可以把“與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn)”改成“與邊AD，BC所在直線分別交于點E，F(xiàn)”．

師：如果本題對于四邊形的形狀不做要求，那么題目可改為：“在四邊形ABCD中，對角線的垂直平分線與邊AD，BC所在的直線分別交于點E，F(xiàn)，問：四邊形AFCE具有怎樣的性質(zhì)？”

生6：四邊形AFCE是一個軸對稱圖形，也就是“箏形”．

師生共同總結(jié)歸納：

1)通過探究可以發(fā)現(xiàn)：箏形+一組對邊平行→菱形．

我們知道平行四邊形+一組鄰邊相等→菱形．其實這兩種思路恰好體現(xiàn)了菱形的軸對稱性和中心對稱性．

2)再次溫馨提示：在日后的解題中，審題一定要仔細，認(rèn)真思考每一個題目的背景條件，想想這個條件能給解題帶來什么有效的信息．除了本題之外，我們經(jīng)常會在一些數(shù)學(xué)題中看到與某“直線”或“射線”或“線段”相交，這些微小的改變有時會完全改變一道題的結(jié)果．通常在看到“直線”或“射線”后，我們要進行全面思考，把可能出現(xiàn)的情況分析到位．

2.2 關(guān)注例題的問題設(shè)置，試圖增設(shè)

思考2是否可以增加問題的設(shè)置？

一道題的價值不是通過一個提問就可以發(fā)揮全面，而應(yīng)對這一道題進行深入思考.在本題中除了可以證明四邊形AFCE是菱形之外，還可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)矩形ABCD的長與寬確定之后，菱形的底和高也是唯一確定的，那么菱形的底與矩形的長有什么關(guān)系等問題就產(chǎn)生了．在平時的問題教學(xué)中，我們要善于主動實施變式訓(xùn)練，通過多問、多思激發(fā)學(xué)生思維的積極性和深刻性．比如賦予矩形ABCD的長與寬，求菱形的邊長、面積、對角線的長度等，題目可以改編如下：

變式1如圖2，在矩形ABCD中，AD=9，AB=3，對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn).

圖2

1)求證：四邊形AFCE是菱形；

2)求AE的長；

3)求EF的長．

第1)小題就是例1．第2)小題求AE的長用到了方程思想：設(shè)AE=x，則DE=9-x．因為EF垂直平分AC，可得AE=EC．在Rt△DEC中，由勾股定理32+(9-x)2=x2，可解得x=5，即AE=5．

第3)小題中EF是菱形AFCE的一條對角線.要求線段長，可構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解，該思路比較容易想到.有學(xué)生給出了如下解法1和解法2．我們知道菱形的對角線互相垂直，而對角線的乘積的一半就是菱形的面積，因此要求其中一條對角線的長，可以用等面積法(如解法3)．

3)解法1(構(gòu)造Rt△EFG)如圖3，作EG⊥BC交BC于點G，由第1)和第2)小題得AE=5，四邊形AFCE是菱形，可知AF=FC=5，從而GC=ED=4,于是FG=1.在Rt△EFG中，

圖3 圖4

EF2=EG2+FG2=32+12=10，

故

解法2(找Rt△AEO)如圖4,由第1)和第2)小題得AE=5，四邊形AFCE是菱形.在Rt△ABC中，

AC2=AB2+BC2=32+92=90，

故

又因為四邊形AFCE是菱形，所以

AO=OC,OE=OF,

從而

在Rt△AEO中，由勾股定理可得

解得

故

解法3(等面積法)如圖4,由第1)和第2)小題得AE=5，四邊形AFCE是菱形.在Rt△ABC中，

AC2=AB2+BC2=32+92=90，

故

于是

即

解得

2.3 關(guān)注例題的本質(zhì)，試圖建模

思考3菱形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，如此對稱的圖形是否可以結(jié)合折疊問題？

筆者利用建模的思想將例題和配圖做了完善，使其成為一個矩形的折疊問題．

變式2如圖5，在矩形ABCD中，AD=9，AB=3，四邊形ABFE沿著EF翻折，使點A恰好落在點C上.判斷四邊形AFCE的形狀，并求出折痕EF的長度．

圖5

折疊問題的本質(zhì)就是軸對稱性．而對于折疊問題，筆者曾做過一點探究，可以根據(jù)折疊后的位置進行分類.針對變式2，筆者繼續(xù)思考：如果改變點A在翻折后的對應(yīng)點A′的位置，使得四邊形AFCE不是菱形，那么折痕EF的長度還可以求解嗎？因此有了如下變式3：

變式3如圖6，在矩形ABCD中，AD=9，AB=6，四邊形ABFE沿著EF翻折，使點A恰好落在邊CD的中點處，記為點A′，求折痕EF的長度．

圖6 圖7

這樣的變式難度大了許多.筆者引導(dǎo)學(xué)生用例1求線段EF長度的方法來求解．學(xué)生給出了多種解法，其中還有一種不同于例1的解法，筆者既意外又驚喜．

解法1(方程思想，勾股定理)如圖7，作EH⊥BC交BC于點H，聯(lián)結(jié)A′F，設(shè)DE=x，則

AE=9-x.

32+x2=(9-x)2,

解得x=4，即DE=4,A′E=AE=5.

設(shè)BF=y，則FC=9-y,由翻折可得B′F=BF=y,A′B′=AB=6,∠B′=∠B=90°.在Rt△A′CF和Rt△A′B′F中,

32+(9-y)2=62+y2,

解得y=3，即BF=3,故

FH=BH-BF=AE-BF=2.

在Rt△EHF中，

EF2=FH2+EH2=22+62=40,

故

評注勾股定理在折疊問題中的應(yīng)用具有典型性和普適性．不僅如此，在求解線段長度時也經(jīng)常用到．解題時常常假設(shè)要求的線段或與該線段有關(guān)的線段的長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．

圖8

評注這個解法可以說是一種“分離圖形法”，從一個復(fù)雜的圖形中抽離出基本圖形，也可以是從一個復(fù)雜的問題中分離出一個個簡單的問題．這樣的解法不僅提升了學(xué)生的識圖能力，而且可以讓學(xué)生學(xué)會解“難題”——將難題分解成一個個簡單的問題，逐一攻破．

解法3(借助等腰三角形、直角三角形)如圖9，延長EA′,FC交于點T，作EH⊥BC交BC于點H，同解法1求出DE=4,EA′=5,易證△ETF是等腰三角形，從而△EDA′≌△TCA′，可得

圖9

ET=2EA′=10=FT.

因為ED=HC=CT=4,所以

FH=10-8=2,

評注折疊帶來了角平分線EF，與矩形中的兩條對應(yīng)邊形成等腰三角形．利用等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理求出線段的長度．通過解法3可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移能力是很強的.繼續(xù)改變位置，比如改成三等分點或者4∶5的位置的點等，在學(xué)生學(xué)習(xí)了相似三角形之后，都可以手到擒來了．

葉圣陶先生說過：“教材只能作為教課的依據(jù)，要教得好，使學(xué)生受益，還要靠教師善于應(yīng)用．”這就告誡我們要善于“用教材”，而不是“教教材”．只有理解教材，切合學(xué)生，對例題一題多解，解后思考；引申問題，豐富內(nèi)涵；歸納題型，總結(jié)規(guī)律，才能有效地訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，優(yōu)化例題教學(xué)的效果[2].

3 如何優(yōu)化例題教學(xué)

針對數(shù)學(xué)課堂，例題教學(xué)是非常重要的一個環(huán)節(jié)，是學(xué)習(xí)新知識的基礎(chǔ)，需要教師對具體題目所涉及的知識與技能、數(shù)學(xué)思想方法有清晰的認(rèn)識．教師通過對例題的開發(fā)、變式、建模，讓學(xué)生在解決一個基本問題之后能夠具備問題意識，學(xué)會解決一類題甚至幾類題．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)中“四基”目標(biāo)的達成，很大程度上依靠例題的教學(xué)來實現(xiàn)．而無論是數(shù)學(xué)思想方法的提煉還是數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累都需要依靠關(guān)鍵的例題．因此，如何優(yōu)化例題的教學(xué)需要每一位教師認(rèn)真思考，筆者認(rèn)為可以從以下3個方面入手：

3.1 引導(dǎo)學(xué)生審視、更換題目的條件

我們經(jīng)常會對學(xué)生說審題要仔細，作為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，我們更應(yīng)該發(fā)揮模范榜樣的作用．在分析講解一道題目的時候，對于題目表述的用詞要多停頓、多琢磨；在對題目的理解欠佳時，可以通過更換題目的背景條件產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生培養(yǎng)獨立思考、舉一反三的能力．比如文章中提到的“直線”“射線”“線段”的用詞不同，用四邊形ABCD來描述還是用以A,B,C,D這4個點為頂點的四邊形來描述，用詞不同可能造成題目的不同解．通過這樣的審題、編題，可以幫助學(xué)生不因為看錯題輕易丟分，通過用詞更換產(chǎn)生的問題可以讓學(xué)生對知識點以及數(shù)學(xué)思想方法理解得更加深入．

3.2 對例題進行二次開發(fā)

例題的運用如果是一次性的，那么這將會使得例題的作用得不到更有效的發(fā)揮．一道題開發(fā)得好，不僅可以減輕學(xué)生盲目刷題的負擔(dān)，還可以幫助學(xué)生更加深入地理解題目．

3．3 基于例題和習(xí)題的建模

這里的建模指的是教師利用建模的思想，根據(jù)典型例題延伸出一類具有共性的題型．這樣可以幫助學(xué)生更好地理解例題，學(xué)會歸納的思想，解決和掌握這一類題的通法，擺脫題海戰(zhàn)術(shù)的枯燥．

《課標(biāo)》強調(diào)：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點”與“延展點”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同角度加以分析、從不同層級進行理解的過程．也就是說，在課堂教學(xué)中，要能夠以課本例題為載體，進行一題多解或變式“改裝”．?dāng)?shù)學(xué)的思想方法都隱藏在課本例題或習(xí)題中，我們在教學(xué)的過程中要善于對這類題進行深度挖掘，這不但能夠培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、歸納能力，而且有利于學(xué)生知識體系的建構(gòu)．

綜上所述，在對數(shù)學(xué)教材中的例題進行教學(xué)時，要認(rèn)識到學(xué)生不是通過做一道習(xí)題就能對該知識點有充分的掌握．為了使學(xué)生能夠更好地掌握數(shù)學(xué)知識，領(lǐng)悟到思想方法，我們應(yīng)對例題進行認(rèn)真思考，挖掘出例題的價值，真正做好例題的教學(xué)．