王文軍，竺志大，曾勵(lì)，寇海江，唐率，孫帥

(揚(yáng)州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,江蘇揚(yáng)州 225127)

0 前言

磁懸浮軸承(Active Magnetic Bearing，AMB)支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個(gè)非線性系統(tǒng)，很多控制方法都是先進(jìn)行線性化等簡(jiǎn)化處理再進(jìn)行控制，其中最經(jīng)典的就是PID控制[1]。它建立在精確數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性能好、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，還可利用DSP實(shí)現(xiàn)數(shù)字PID控制[2-4]。PID控制器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是參數(shù)的整定問(wèn)題，因?yàn)锳MB的工作過(guò)程復(fù)雜，在某時(shí)刻可能具有高度非線性、時(shí)變不確定性、滯后性等特點(diǎn)；或者在外界干擾、負(fù)載擾動(dòng)等因素的影響下，其參數(shù)甚至數(shù)學(xué)模型都會(huì)發(fā)生改變。經(jīng)典PID顯然不能滿足高精度控制的要求，因此出現(xiàn)了利用先進(jìn)算法進(jìn)行參數(shù)整定的PID控制方法，比如變論域模糊PID控制[5]、模型參考自適應(yīng)PID控制[6]、改進(jìn)不完全微分PID控制[7]、仿人智能PID控制[8]等。但這些方法歸根結(jié)底仍屬于PID控制范疇，都需要對(duì)原數(shù)學(xué)模型進(jìn)行線性化處理，而且無(wú)法避免地會(huì)產(chǎn)生超調(diào)甚至振蕩等現(xiàn)象，降低加工質(zhì)量。

協(xié)同控制理論[9]是利用系統(tǒng)的自組織性，各部分之間相互協(xié)作，使系統(tǒng)穩(wěn)定至平衡點(diǎn)。它從被控系統(tǒng)的狀態(tài)變量出發(fā)，將狀態(tài)變量的線性集合作為宏變量，通過(guò)合理地設(shè)定，可以降低系統(tǒng)對(duì)一些未知參數(shù)，例如外部干擾的敏感性，提高系統(tǒng)的魯棒性；然后讓宏變量逐漸趨于零，整個(gè)過(guò)程就是流形的變化過(guò)程，系統(tǒng)先由任意初始狀態(tài)收斂并保持在流形上，最終順著流形達(dá)到被控系統(tǒng)的平衡位置。流形的收斂過(guò)程是連續(xù)的，因此求得的控制規(guī)律也是連續(xù)的，相應(yīng)地，控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)跟隨性也會(huì)比較強(qiáng)，穩(wěn)態(tài)性能也比較好。

協(xié)同控制適用于高階、非線性、強(qiáng)耦合的系統(tǒng)，最開(kāi)始用于無(wú)人機(jī)[10]之間的耦合運(yùn)動(dòng)。協(xié)同控制理論最早成功地投入生產(chǎn)實(shí)踐是在電力控制領(lǐng)域[11]，用于多個(gè)并聯(lián)電路的控制，后面經(jīng)過(guò)應(yīng)用開(kāi)發(fā)，開(kāi)始用于電機(jī)的控制：用于永磁同步電機(jī)的控制[12-13]，可以在保持不變流形的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的線性化，并降低系統(tǒng)的階數(shù)；用于感應(yīng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速控制[14-15]，可以使電機(jī)在受到干擾時(shí)，仍然保持轉(zhuǎn)子的平穩(wěn)旋轉(zhuǎn)。對(duì)于同一非線性系統(tǒng)，相比滑?？刂疲瑓f(xié)同控制的抗干擾能力更強(qiáng)，而且系統(tǒng)的響應(yīng)速度更快，魯棒性也更強(qiáng)，更易于實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的數(shù)字化[16]。綜上所述，協(xié)同控制理論的適用對(duì)象與AMB支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相吻合，實(shí)現(xiàn)的控制效果也是AMB所需要的，因此提出將協(xié)同控制理論應(yīng)用于單自由度AMB的控制，通過(guò)理論推導(dǎo)驗(yàn)證該想法的可行性，通過(guò)仿真與試驗(yàn)研究其控制效果。

1 單自由度AMB的數(shù)學(xué)模型

1.1 AMB的控制原理

差動(dòng)式單自由度AMB的控制原理如圖1所示。轉(zhuǎn)子工作之前，必須先從停機(jī)位置(最大間隙處)起浮至平衡位置O處，待穩(wěn)定懸浮之后再施加轉(zhuǎn)速進(jìn)行工作。首先開(kāi)啟控制器，位移傳感器檢測(cè)到轉(zhuǎn)子處于停機(jī)位置，控制器將轉(zhuǎn)子當(dāng)前位置與設(shè)定平衡位置之差作為控制對(duì)象，使用控制算法求解出對(duì)應(yīng)該時(shí)刻的電流，電流經(jīng)過(guò)功率放大器放大，通入AMB線圈，由于AMB采用差動(dòng)式結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)子將受到不平衡的上下磁吸力，于是產(chǎn)生位移。位移一段之后的位置通過(guò)傳感器反饋，控制器就會(huì)再次產(chǎn)生新的控制電流進(jìn)行下一步的位移控制，直至轉(zhuǎn)子的位置偏差為零，即達(dá)到平衡位置，轉(zhuǎn)子實(shí)現(xiàn)靜態(tài)懸浮。當(dāng)轉(zhuǎn)子開(kāi)始工作處于穩(wěn)態(tài)懸浮時(shí)，如果受到外界干擾力，轉(zhuǎn)子的位置就會(huì)偏離平衡點(diǎn)，影響正常的加工制造，因此需要控制系統(tǒng)快速響應(yīng)，及時(shí)將主軸恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)平衡點(diǎn)，其控制原理和上面相同。

圖1 差動(dòng)式單自由度AMB的控制原理

1.2 AMB的電磁力方程

設(shè)單自由度AMB的線圈匝數(shù)為N、有效磁極面積為S、線圈偏置電流為I0、工作氣隙為g0，并假設(shè)：(1)忽略磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子的體積，將其看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，選取質(zhì)量；(2)不考慮繞組漏磁通；(3)假設(shè)鐵心與轉(zhuǎn)子之間的磁阻為零；(4)不考慮磁滯和渦流對(duì)系統(tǒng)的影響。

根據(jù)磁懸浮軸承理論[17]，以單自由度x方向?yàn)槔?，可得電磁力的表達(dá)式為

(1)

從式(1)可以看出，電磁力和電流、位移均表現(xiàn)為明顯的非線性關(guān)系。

(2)

當(dāng)位移在較小的范圍內(nèi)變化時(shí)，可以將電磁力簡(jiǎn)化為位移與電流的線性組合，即

Fx=kx·x+kix·ix

(3)

AMB線圈的電壓方程[18]為

(4)

由上式可見(jiàn):AMB驅(qū)動(dòng)線圈的電壓與電流、電壓與轉(zhuǎn)子位移之間也均為非線性關(guān)系。

1.3 AMB的線性范圍判定

下面是根據(jù)式(1)，在MATLAB中模擬在固定電流(位移)情況下的位移(電流)-電磁力響應(yīng)。其中K=1.25×10-7(N·m2/A2)，i0=3 A，g0=0.3 mm。

從圖2—圖3可以看出：當(dāng)|y|≤0.05 mm時(shí)，其電磁力與電流之間呈線性關(guān)系;超過(guò)0.05 mm甚至0.1 mm基本上就是非線性關(guān)系;在位移|y|≤0.05 mm的時(shí)候，即使是在較大的控制電流范圍(-3 A,3 A)內(nèi)，電磁力與電流之間也較符合線性關(guān)系；位移超過(guò)0.1 mm，就會(huì)明顯地呈現(xiàn)為非線性關(guān)系。在轉(zhuǎn)子實(shí)際工作中，要求控制系統(tǒng)在檢測(cè)到極其小的位移或者產(chǎn)生位移的趨勢(shì)時(shí)，就要立即對(duì)其進(jìn)行位移控制。

圖2 固定電流下的位移-電磁力響應(yīng) 圖3 固定位移下的電流-電磁力響應(yīng)

2 單自由度AMB的協(xié)同控制理論與仿真研究

2.1 單自由度AMB的協(xié)同控制器設(shè)計(jì)

(5)

一般宏變量的設(shè)定為狀態(tài)變量以及控制輸入的線性組合，因此可設(shè)宏變量為

(6)

其中:kx為位移剛度系數(shù)，為已知參數(shù)，把它作為基量，以此為基礎(chǔ)調(diào)節(jié)k2、ku，使系統(tǒng)達(dá)到較好的控制性能。

協(xié)同控制器的控制目標(biāo)是使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)從任意初始狀態(tài)收斂并保持在流形ψ(x)=0上，并沿著流形趨向被控系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。收斂到流形的動(dòng)態(tài)過(guò)程可以采用如下動(dòng)態(tài)方程來(lái)描述

(7)

式中:T為時(shí)間常數(shù)，決定了系統(tǒng)狀態(tài)變量收斂到流形ψ=0的速度。

將式(6)代入式(7)，即可得到輸出位移與控制電流之間的關(guān)系為

ku·ix=0

(8)

即

(9)

同理可以設(shè)置電壓為控制輸入，將宏變量中的電流變?yōu)殡妷海俑鶕?jù)電壓方程式(4)，同樣可以求得控制電壓與位移之間的關(guān)系，而電流則變成了電壓求解位移的中間量。具體推導(dǎo)過(guò)程不再給出，宏變量的設(shè)置可參考下列公式(10)

(10)

2.2 單自由度AMB的協(xié)同控制仿真分析

在MATLAB/Simulink中建模仿真來(lái)驗(yàn)證其控制效果。由式(9)和式(2)可得單自由度AMB系統(tǒng)的協(xié)同控制仿真模型，和PID控制的仿真模型建立在一起，如圖4所示。

圖4 電流為控制輸入時(shí)的協(xié)同與PID控制仿真模型

由協(xié)同控制模型中可以看出，反饋對(duì)象總共有3個(gè)：速度反饋，其作用是增加系統(tǒng)的阻尼，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性及魯棒性并減小超調(diào)量；加速度反饋，可在不增加系統(tǒng)帶寬的情況下增加系統(tǒng)的剛度，提高懸浮轉(zhuǎn)子的等效質(zhì)量，提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)懸浮剛度，改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性；電流反饋，可以降低系統(tǒng)的電網(wǎng)電流擾動(dòng)作用。

通過(guò)不斷調(diào)節(jié)控制參數(shù)，找到一組控制效果較好的參數(shù)值，如表1所示。

表1 控制參數(shù)

脈沖干擾時(shí)的PID、協(xié)同控制位移響應(yīng)對(duì)比如圖5所示，結(jié)果表明：(1)電壓為控制輸入時(shí)的控制效果和電流為控制輸入幾乎無(wú)差，但求解過(guò)程更加復(fù)雜，因此在沒(méi)有特殊要求時(shí)盡量使用電流進(jìn)行控制；(2)協(xié)同控制可以通過(guò)調(diào)節(jié)T的值改變響應(yīng)時(shí)長(zhǎng)，如表2所示；(3)當(dāng)沒(méi)有干擾產(chǎn)生時(shí)，位移在協(xié)同控制下0.01 s達(dá)到穩(wěn)定，而PID則需要0.02 s才穩(wěn)定；(4)t=0.02 s時(shí)干擾力產(chǎn)生時(shí)，協(xié)同控制的反應(yīng)時(shí)間為0.002 s，而PID則需要0.018 s，效果遠(yuǎn)差于協(xié)同控制，干擾消失時(shí)的效果也相同。

圖5 脈沖干擾時(shí)的PID、協(xié)同控制位移響應(yīng)對(duì)比曲線

表2 不同時(shí)間常數(shù)時(shí)的位移響應(yīng)對(duì)比

綜上所述，協(xié)同控制下的位移響應(yīng)更加迅速，調(diào)節(jié)時(shí)間更短，可以通過(guò)調(diào)節(jié)時(shí)間常數(shù)T方便地對(duì)響應(yīng)時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行控制，具有良好的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性與跟隨特性；PID控制參數(shù)的調(diào)節(jié)過(guò)程復(fù)雜，很難對(duì)時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行有效率、精確的控制。

3 單自由度AMB的協(xié)同控制實(shí)驗(yàn)研究

協(xié)同控制與PID控制思想類似，只是求取控制電流的算法不同。目前數(shù)字PID技術(shù)已經(jīng)比較成熟，而協(xié)同控制器也同樣適用于數(shù)字控制，也可以在DSP上改寫(xiě)控制算法進(jìn)行數(shù)字控制。

3.1 硬件設(shè)計(jì)

以數(shù)字PID常用的TMS320F2812為核心控制芯片，選取靈敏度比較高的電渦流位移傳感器，以及電流傳感器、速度、加速度傳感器再加上外圍測(cè)量電路構(gòu)成整個(gè)硬件系統(tǒng)，如圖6所示。

圖6 基于DSP的數(shù)字控制原理

3.2 軟件設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器都是時(shí)域系統(tǒng)，而DSP中的控制量需要采樣時(shí)刻的偏差值計(jì)算，因此要進(jìn)行離散系統(tǒng)的轉(zhuǎn)化來(lái)逼近連續(xù)系統(tǒng)。

PID調(diào)節(jié)控制電流的公式為

e(k-1)]+i0(k)

(11)

可得

(12)

其中:i代表電流;k代表位移;T為采樣周期。PID控制算法的程序框圖如圖7所示。

圖7 PID控制算法程序框圖

控制參數(shù)kp、ki、kd的值均采用經(jīng)驗(yàn)法確定，通過(guò)實(shí)驗(yàn)調(diào)試，其值分別為：kp=300、ki=1 500、kd=0。標(biāo)準(zhǔn)PID算法有時(shí)會(huì)出現(xiàn)飽和效用，這種效應(yīng)一般在給定值發(fā)生突變時(shí)發(fā)生，也叫啟動(dòng)效應(yīng)。

對(duì)于協(xié)同控制而言,對(duì)式(9)離散化后求偏差為

(13)

即:

(14)

于是有程序流程框圖如圖8所示。

圖8 協(xié)同控制算法程序框圖

取仿真驗(yàn)證過(guò)的控制參數(shù),其值分別為：kz=90 000、k16=50、k8=0.1，即可達(dá)到想要的流形變化效果。效果不好的情況下可根據(jù)結(jié)果再調(diào)整參數(shù)。在DSP的集成開(kāi)發(fā)環(huán)境CCS7.2.0中進(jìn)行PID與協(xié)同控制的子程序編制。

在這些基礎(chǔ)上完成了實(shí)驗(yàn)臺(tái)的搭建，如圖9所示。下面進(jìn)行轉(zhuǎn)子起浮、穩(wěn)定懸浮和擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)，對(duì)比協(xié)同控制與PID控制的效果。

圖9 單自由度磁軸承支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)

3.3 轉(zhuǎn)子靜態(tài)起浮實(shí)驗(yàn)

線圈通電之前，磁軸承轉(zhuǎn)子x方向由于自身重力處于最大位移處；系統(tǒng)一旦啟動(dòng)，轉(zhuǎn)子將迅速回到平衡位置。傳感器可以將轉(zhuǎn)子的位移過(guò)程記錄下來(lái)，將其保存并提取數(shù)據(jù)后在Origin里面作圖，得到轉(zhuǎn)子起浮時(shí)的位移響應(yīng)曲線如圖10—圖11所示。

圖10 轉(zhuǎn)子起浮響應(yīng)曲線

圖11 轉(zhuǎn)子起浮響應(yīng)曲線放大圖

轉(zhuǎn)子從最大位移0.3 mm處起浮，t=0.5 s控制器啟動(dòng)后，轉(zhuǎn)子在不同的控制方法下迅速開(kāi)始位移，極短時(shí)間內(nèi)就達(dá)到平衡位置，然后在平衡位置極小的范圍內(nèi)波動(dòng)。在協(xié)同控制下，位移起浮的過(guò)程平穩(wěn)、無(wú)超調(diào)，0.02 s左右就達(dá)到穩(wěn)定平衡，基本穩(wěn)定在±0.002 5 mm之內(nèi)，只有1次波動(dòng)明顯超過(guò)該范圍，整體起浮性能良好；PID控制下，線圈至少需要通入27 A的電流才能使轉(zhuǎn)子起浮，轉(zhuǎn)子在起浮瞬間產(chǎn)生了超調(diào)，達(dá)到了-0.012 mm左右，經(jīng)過(guò)0.03 s后，開(kāi)始在±0.005 mm范圍內(nèi)波動(dòng)，效果較差，而且后續(xù)的波動(dòng)幅度也比較大，遠(yuǎn)超協(xié)同控制的0.002 5 mm，更有至少5次超過(guò)了0.005 mm。

3.4 轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮實(shí)驗(yàn)

當(dāng)轉(zhuǎn)子完成起浮動(dòng)作、在平衡點(diǎn)處達(dá)到穩(wěn)定懸浮后，啟動(dòng)電機(jī)，讓轉(zhuǎn)子達(dá)到設(shè)定轉(zhuǎn)速10 000 r/min，測(cè)得轉(zhuǎn)子的位移波形如圖12所示。

圖12 轉(zhuǎn)子位移波形

在轉(zhuǎn)速上升的0.5 s之內(nèi)，轉(zhuǎn)子在平衡位置不斷發(fā)生波動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定在10 000 r/min之后，轉(zhuǎn)子波動(dòng)不斷減小。在協(xié)同控制下，轉(zhuǎn)子加速過(guò)程中，波動(dòng)范圍為±0.03 mm；轉(zhuǎn)速平穩(wěn)后，基本穩(wěn)定在±0.01 mm之內(nèi)。而PID相比協(xié)同控制，波形不穩(wěn)，每段的波動(dòng)范圍都更大，最高可達(dá)0.055 mm，大部分都在超過(guò)協(xié)同控制波形±0.01 mm范圍外波動(dòng)，說(shuō)明其動(dòng)態(tài)穩(wěn)態(tài)性和穩(wěn)定時(shí)的控制精度不如協(xié)同控制。

3.5 轉(zhuǎn)子擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)

轉(zhuǎn)子穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)，給其一個(gè)脈沖擾動(dòng)，得到位移實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖13所示。

圖13 不同控制下的轉(zhuǎn)子受擾動(dòng)時(shí)的響應(yīng)曲線

在t=0.1 s擾動(dòng)產(chǎn)生瞬間，轉(zhuǎn)子受力向下偏轉(zhuǎn)，偏移平衡位置0.075 mm，該數(shù)據(jù)比較符合實(shí)際生產(chǎn)中轉(zhuǎn)子的允許波動(dòng)范圍；t=0.2 s干擾力消失，轉(zhuǎn)子重新回到平衡位置。PID控制方法下，干擾產(chǎn)生瞬間，位移產(chǎn)生超調(diào)現(xiàn)象，超出穩(wěn)定位置0.075 mm；干擾消失瞬間，超調(diào)約0.07 mm，之后才慢慢穩(wěn)定；轉(zhuǎn)子的每段響應(yīng)大部分都是在穩(wěn)定位置±0.05 mm波動(dòng)，超過(guò)該位移范圍的次數(shù)也比較多。轉(zhuǎn)子在協(xié)同控制之下，面對(duì)干擾并不會(huì)產(chǎn)生超調(diào)現(xiàn)象，轉(zhuǎn)子的每段浮動(dòng)范圍也只有0.02 mm，遠(yuǎn)低于PID的0.05 mm，而且發(fā)生較大位移波動(dòng)的頻次也相對(duì)PID少很多。協(xié)同控制器與PID控制器相比，面對(duì)干擾時(shí)不會(huì)產(chǎn)生超調(diào)現(xiàn)象，對(duì)外部干擾有更低的敏感性，對(duì)轉(zhuǎn)子的動(dòng)態(tài)位移有更好的跟隨性，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性與魯棒性強(qiáng)。

4 結(jié)論

針對(duì)單自由度AMB的經(jīng)典PID線性控制方法的不足，提出對(duì)存在干擾、非線性的磁軸承支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)采用協(xié)同控制的方法，并將PID控制器和協(xié)同控制器進(jìn)行了仿真與實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析，為單自由度AMB控制器的設(shè)計(jì)提供了一定的理論與實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)。文中主要完成的工作有：

(1)建立了單自由度AMB的磁力、電壓方程，然后依據(jù)協(xié)同控制理論，設(shè)計(jì)了強(qiáng)干擾、非線性的單自由度系統(tǒng)的協(xié)同控制器；

(2)在MATLAB/Simulink中對(duì)協(xié)同控制系統(tǒng)、PID控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真，結(jié)果發(fā)現(xiàn)無(wú)論有無(wú)外界干擾，協(xié)同控制下的位移響應(yīng)速度都更快，而且過(guò)程平緩、無(wú)超調(diào)、無(wú)振蕩，動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性好，抗干擾能力強(qiáng)，所有表現(xiàn)均優(yōu)于PID控制；

(3)搭建控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，并針對(duì)轉(zhuǎn)子起浮、穩(wěn)定懸浮、受到干擾3種工況分別進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：協(xié)同控制下的位移響應(yīng)迅速，起浮過(guò)程平穩(wěn)，起浮性能良好；轉(zhuǎn)子在工作時(shí)，協(xié)同控制器可以將位移穩(wěn)定在更小的范圍內(nèi)；轉(zhuǎn)子受到擾動(dòng)時(shí)，協(xié)同控制可以迅速調(diào)整位移并穩(wěn)定在相應(yīng)位置，系統(tǒng)的跟隨性和動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性較好，說(shuō)明設(shè)計(jì)的協(xié)同控制器參數(shù)正確合理，實(shí)際控制性能良好。