魯 軍 劉金寶 賈士杰 李萬義

(沈陽理工大學自動化與電氣工程學院 沈陽 110159)

1 引言

磁控形狀記憶合金(Magnetic shape memory alloy，MSMA)是近幾十年被國內(nèi)外關注較多的智能材料[1-3]，具有磁場誘導應變大、疲勞壽命長等優(yōu)點[4-5]?；谶@些特性，MSMA逐漸被人們關注，特別是在傳感器和執(zhí)行器方面，是最理想的材料之一，所以MSMA具有成為新一代傳感器核心元件的良好潛力。然而，基于MSMA的傳感器的輸入與輸出之間存在非線性的現(xiàn)象。很多國內(nèi)外的學者對其進行了研究，有些學者主要進行建模研究，由于特定材料的限制，增加了其數(shù)學建模的難度。有些學者未考慮系統(tǒng)的內(nèi)部結構和材料的物理性質(zhì)，著重關注輸入和輸出之間的關系，并采用參數(shù)識別方法識別模型參數(shù)[6-7]。其中，Preisach模型是用相對簡單的數(shù)學方法，對輸入與輸出之間的非線性問題進行概述，得到了比較廣泛的應用，但是在參數(shù)優(yōu)化方面存在不足。文獻[8]介紹了一種參數(shù)線性化的 KP模型，但是算法的復雜性偏高，相對不易于推導。

本文通過對 MSMA傳感器的工作原理和磁路進行研究，結合電磁學理論，推導出數(shù)學模型。由于傳感器輸入與輸出之間為非線性關系，所以對辨識算法進行改進，考慮到切比雪夫函數(shù)曲線在線性和非線性之間有著良好的過渡性，故利用切比雪夫函數(shù)的特性，結合粒子群算法，對權重進行非線性調(diào)整。并對算法的學習因子、最大速度和目標函數(shù)進行改進，從而提高算法的全局優(yōu)化能力，加快算法的收斂速度，最后對模型的未知參數(shù)進行辨識。

2 MSMA傳感器數(shù)學模型

MSMA傳感器的模型結構如圖1所示，磁控形狀記憶合金傳感器是由鐵心、氣隙、永磁體、勵磁線圈、檢測線圈、MSMA元件等組成[9]。

圖1 傳感器模型結構圖

放置MSMA元件處的氣隙結構如圖2所示。

圖2 氣隙分布圖

從磁控形狀記憶合金的逆特性和磁路定律出發(fā)，結合相關的氣隙分布，在一定輸入條件下，建立MSMA傳感器感應電壓u的數(shù)學模型[10]，傳感器的磁路模型如圖3所示[11]。

圖3 傳感器磁路模型

由相關的磁路定律，可以得出感應線圈的磁通ФM為

式中，ФS為勵磁線圈產(chǎn)生的磁通，RS為永磁體磁阻，RRG為剩余氣隙磁阻，RmM(ε)為所選MSMA元件的磁阻，Rf為空氣邊緣磁阻，RmC為所選鐵心部件的磁阻，RmG(ε)為氣隙磁阻。其中，RmC、Rf、RRG和RS的計算公式分別為

氣隙的磁阻RmG(ε)和MSMA元件磁阻RmM(ε)二者與元件形變量ε呈線性關系，磁通ФM的表達式可以簡化為

式中，BM為直流線圈和永磁體疊加作用下的合成磁場，參數(shù)K1、K2、K3可由式(7)計算得出

在外力和磁場共同工作時，應變量ε為

式中，K4～K7為需要辨識的未知參數(shù)，0σ為給傳感器加載的預壓力，數(shù)值為 0.15 N。σ為 MSMA元件所受應力。

經(jīng)進一步推導，電壓信號u的微分方程為

式中，N為傳感器檢測線圈的安匝數(shù)，V為元件的變形速率。

給傳感器施加的正弦激振力F為

式中，SMSMA是MSMA元件的受力面積，F(xiàn)M為給傳感器加載的激振力幅值，ω為頻率。感應電壓u為

傳感器數(shù)學模型的部分參數(shù)如表1所示，可得系數(shù)K1、K2、K3的數(shù)值，未知系數(shù)K4、K5、K6、K7則由智能算法進行識別。磁場BM、幅值FM和頻率ω為傳感器輸入?yún)?shù)，感應電壓u為傳感器輸出參數(shù)。

表1 MSMA傳感器模型參數(shù)表

3 改進的粒子群算法

對粒子群算法在權重、最大速度、經(jīng)驗因子和目標函數(shù)等四個方面進行改進，提高算法對模型未知參數(shù)的識別精度。

3.1 粒子群算法

近年來，粒子群算法因其獨特的表現(xiàn)引起人們的廣泛關注，是對鳥類群體行為的一種模型描述[12-14]，可以用于系統(tǒng)識別和控制。它的原理是每個粒子調(diào)整其運動，使其朝著自身最佳位置和整個群體所獲得的全局最佳位置移動[15]。粒子i在d維搜索空間中的位置表示為Xi=Xid(i=1,2,…,m)，速度為vi=vid(i=1,2,…,m)。

速度vid的更新表達式為

位置Xid的更新表達式為

式中，ω為權重；c1和c2為經(jīng)驗因子；r1和r2為隨機數(shù)，取值范圍在0和1之間；pid和pgd分別為粒子自身最佳位置和整體最佳位置；k為迭代數(shù)。

3.2 算法改進

基本粒子群優(yōu)化算法中的慣性權重ω和經(jīng)驗因子c均為定值，對于經(jīng)驗因子c，它與全局最優(yōu)解也有關，也體現(xiàn)著粒子群經(jīng)驗的積累程度。在開始階段，粒子需要個體學習能力，所以個體學習系數(shù)c1變大，才能加速粒子的更新，更快地鎖定最佳位置，c1的值固定為 2。當進行到后期時，群體學習能力尤為重要，群學習因子c2的值增加，算法不僅可以在局部范圍內(nèi)找到最優(yōu)解，提高算法的精度，而且更能體現(xiàn)群體智能優(yōu)化算法的優(yōu)越性，學習因子c2調(diào)整策略為

式中，t為當前的更新次數(shù)，T為設置的最大更新次數(shù)。

權重ω可以調(diào)節(jié)群體尋找最優(yōu)解的能力。ω變大時，可以提高種群的全局搜索性，局部的搜索能力便隨之降低[16]；ω變小時，可以加強種群局部的搜索能力，全局的搜索能力便隨之降低。鑒于切比雪夫函數(shù)曲線在線性與非線性之間有著良好的過渡性[17]，對權重進行非線性調(diào)整，并且引入了調(diào)節(jié)系數(shù)G，通過改變系數(shù)的大小來控制最大慣性權重的值，有利于粒子群在初始時用較大的權重進行全局大范圍的搜索，而在最后時用較小的權重進行局部小范圍的搜索，權重ω為

為了保證算法的收斂性，設置動態(tài)最大速度Vmax來調(diào)節(jié)粒子的運動步長，如果最大速度vmax設定值過大，會使粒子錯過最優(yōu)種群的搜索范圍，搜索精度會降低。若最大速度的值過小，會使粒子大范圍地搜索，最終的收斂性會受到影響。為了提高算法的穩(wěn)定性，所以引入最大速度動態(tài)調(diào)整策略[18]，在迭代次數(shù)不斷增加的同時，粒子的最大速度會非線性減小。另外，設置最小速度vmin來降低粒子初始速度大于粒子收斂速度的可能性，則Vmax的計算公式為

在建立目標函數(shù)時，由于在采集試驗數(shù)據(jù)時可能會存在誤差，所以在傳感器實際輸出值與模型輸出值差的平方和前面乘上一個可變常數(shù)，取值范圍在0和1之間，來減小模型誤差[19]。傳感器模型是一個非線性模型，同時辨識的未知參數(shù)有4個，模型的精度會受到影響，加一個規(guī)則化項f，來提高模型的精度，規(guī)則化項f為

目標函數(shù)J為

式中，y1為實際值，y2為模型的輸出值，jω的取值范圍在0和1之間，γ的值設置為1.2，k的值設置為1，N為試驗數(shù)據(jù)樣本的數(shù)量。

3.3 算法步驟

改進PSO算法的流程如圖4所示，初始化粒子的各個參數(shù)，計算每個粒子的目標函數(shù)。通過比較，找出目標函數(shù)值最小的粒子，其余粒子均向其位置移動，直至滿足最大迭代數(shù)，模型的未知參數(shù)得到其最優(yōu)解，算法結束。

圖4 算法流程圖

4 參數(shù)辨識結果與驗證

采集試驗數(shù)據(jù)，為傳感器模型的參數(shù)辨識提供數(shù)據(jù)集。用基本粒子群算法和改進粒子群算法分別對傳感器模型的未知參數(shù)進行識別，得到傳感器的模型Ⅰ和模型Ⅱ，在輸入相同的前提下，驗證模型精度。

4.1 試驗數(shù)據(jù)采集

MSMA傳感器的試驗裝置如圖5[20]所示，由激振器、MSMA傳感器和力傳感器等設備組成。設定激振器的頻率為180 Hz、激振力為0.24 N，磁場為0.35 T，從圖6可以看出感應峰峰值為128 mV。通過改變不同的輸入，進行多組試驗，將試驗數(shù)據(jù)記錄下來，為后面?zhèn)鞲衅鲾?shù)學模型的參數(shù)辨識提供數(shù)據(jù)集。

圖5 試驗裝置框圖

圖6 波形圖

4.2 參數(shù)辨識

參數(shù)辨識就是將收集的試驗輸出值和模型輸出值，經(jīng)過目標函數(shù)的計算，將算出的值作為適應度值輸入到算法中，算法將模型中的未知參數(shù)不斷地進行優(yōu)化，直至適應度函數(shù)取得最小值或者達到算法的終止條件，輸出未知參數(shù)。經(jīng)過PSO算法，得到的迭代曲線如圖7所示?？梢钥闯?，在更新 35次后，算法陷入局部最優(yōu)解中，在更新約105次跳出，并在更新約 120次后，適應度值接近于0。經(jīng)過改進PSO算法，得到的迭代曲線如圖8所示，相對于PSO算法，收斂速率更快，在更新約71次后，適應度值已經(jīng)接近于 0。當?shù)瓿珊螅玫礁鲄?shù)值，表2為兩種算法對未知參數(shù)的識別結果。

圖7 PSO算法迭代曲線

圖8 改進PSO算法迭代曲線

表2 傳感器模型系數(shù)

對表2中的參數(shù)值進行分析，可以看出兩種算法辨識得到的磁阻系數(shù)K1、K2、K3值一致，驗證了優(yōu)化算法應用于本模型的準確性。K4～K7是MSMA傳感器感應電壓模型的待辨識參數(shù)值，與傳感器的輸出電壓有關。

4.3 數(shù)學模型驗證

用基本粒子群算法和改進算法分別對傳感模型進行參數(shù)辨識，將識別出的未知參數(shù)值代入式(6)，得到傳感器的模型Ⅰ和模型Ⅱ。在輸入激振力幅值為0.31 N和磁場為325 mT的試驗條件下，改變激振力頻率，得到傳感器輸出的感應電壓值。選取頻率在60～240 Hz范圍內(nèi)的44組試驗結果作為模型驗證，在輸入?yún)?shù)相同的條件下，將實際的感應電壓輸出值與模型計算得出的電壓值進行比較，對比曲線如圖9所示，得出模型Ⅰ的平均誤差率為7.68%，模型Ⅱ的輸出值與試驗值比較接近，且相對誤差率約為4.73%，結果表明，模型Ⅱ相對準確。

圖9 輸出對比圖

5 結論

本文主要對MSMA傳感器進行建模研究，然后利用PSO算法和改進的PSO算法分別對模型的未知參數(shù)進行識別，最后將實際輸出值與模型計算值對比。結果表明，在將算法的權重進行非線性調(diào)整后，可以比較準確地識別傳感器數(shù)學模型的參數(shù)，計算值與試驗值的平均誤差率為 4.37%，相比于PSO算法誤差率減少了2.95%。最大速度和經(jīng)驗因子的改進也有效地提高了算法的全局優(yōu)化能力，加快了算法的收斂速度，為MSMA傳感器的研究提供了理論基礎。

為獲取更為準確的感應電壓模型，需要研究預壓力對感應電壓的影響規(guī)律；改進后的PSO算法應用于感應電壓模型時，跳出局部最優(yōu)解的能力有待提高。