馮青松，戴承欣，郭文杰，付景文，楊 舟

（華東交通大學(xué) 鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲教育部工程研究中心，江西 南昌 330013）

隨著我國(guó)地鐵建設(shè)的蓬勃發(fā)展，新建地鐵線路不可避免地會(huì)下穿地表建筑［1］，為減弱地鐵運(yùn)營(yíng)過(guò)程中引起的環(huán)境振動(dòng)對(duì)地表建筑及居民生活造成的不良影響，很多城市會(huì)在一些振動(dòng)敏感地段鋪設(shè)鋼彈簧浮置板軌道。圖1為地鐵鋼彈簧浮置板軌道結(jié)構(gòu)示意圖，圖中的“特征周期”為1 塊浮置板長(zhǎng)度范圍內(nèi)的軌道結(jié)構(gòu)。由圖1可見(jiàn)，鋼彈簧浮置板軌道沿線路方向呈現(xiàn)明顯的周期性，故具有帶隙特性。在帶隙的頻率范圍內(nèi)，彈性波無(wú)法沿結(jié)構(gòu)傳播，從而使結(jié)構(gòu)的振動(dòng)明顯衰減。因此，研究周期性鋼彈簧浮置板軌道的帶隙特性，了解其內(nèi)彈性波的傳播機(jī)理，對(duì)實(shí)現(xiàn)軌道結(jié)構(gòu)的精細(xì)化減振具有重要的工程意義。

圖1 鋼彈簧浮置板軌道結(jié)構(gòu)

關(guān)于周期性軌道結(jié)構(gòu)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者很早就開(kāi)展了相關(guān)研究。Grassie 等［2］將鐵路軌道結(jié)構(gòu)考慮為周期離散支撐的梁，通過(guò)構(gòu)建其廣義狀態(tài)矩陣，得到了軌道結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納函數(shù)。Nordborg等［3］通過(guò)分析周期支撐鋼軌的動(dòng)力響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)“pinned-pinned”振動(dòng)頻率的彈性波在鋼軌中的傳播不受抑制，且在較寬的振動(dòng)衰減區(qū)內(nèi)鋼軌的聲輻射處于極低水平。Thompson［4］針對(duì)周期性軌道結(jié)構(gòu)，分析了其垂向?qū)Ъ{和振動(dòng)衰減率特性，并發(fā)現(xiàn)在與鋼軌波磨密切相關(guān)［5］的“pinned-pinned”頻率附近存在抑制彈性波傳播的禁帶。Sheng 等［6?8］提出用多梁模型或2.5 維波數(shù)有限元模型來(lái)求解周期支撐結(jié)構(gòu)在諧荷載下的動(dòng)力響應(yīng)，并將該方法推廣到傳統(tǒng)有砟軌道中和板式無(wú)砟軌道中，得到了有砟軌道的振動(dòng)傳播常數(shù)以及無(wú)砟軌道的振動(dòng)和聲輻射特性。Wang 等［9?10］基于傳遞矩陣法和Bloch 理論求出了周期軌道結(jié)構(gòu)的帶隙，發(fā)現(xiàn)布拉格帶隙和局部共振帶隙在周期軌道結(jié)構(gòu)中共存，并以我國(guó)高速鐵路CRTS I 型雙塊式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，得到其頻散曲線。劉維寧等［11］將浮置板軌道簡(jiǎn)化成周期性雙層歐拉梁模型，并基于廣義波數(shù)法求出了固定諧荷載下軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。易強(qiáng)等［12］結(jié)合傳遞矩陣法與Bloch 定理計(jì)算出了有砟軌道的帶隙，同時(shí)采用波疊加和功率流法分析了軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)及軌道內(nèi)彈性波的傳播特性。

然而，現(xiàn)有關(guān)于周期軌道結(jié)構(gòu)研究主要集中在有砟軌道和高速鐵路無(wú)砟軌道領(lǐng)域，鮮有涉及城市軌道交通領(lǐng)域，尤其是地鐵鋼彈簧浮置板軌道。同時(shí)，現(xiàn)有研究中關(guān)于鋼彈簧浮置板軌道結(jié)構(gòu)的模型相對(duì)簡(jiǎn)化，通常是將其處理為梁-質(zhì)量塊模型［13］、梁-梁模型［9，14］或梁-薄板模型［15］，若直接采用上述模型可能無(wú)法準(zhǔn)確反映出浮置板軌道的帶隙特性。

目前常采用的周期結(jié)構(gòu)帶隙計(jì)算方法是有限元法、傳遞矩陣法和平面波展開(kāi)法。有限元法［16］通用性最高，但往往計(jì)算量大、耗時(shí)長(zhǎng)，且不能進(jìn)行機(jī)理分析；傳遞矩陣法［9?10，17］適用于求解簡(jiǎn)單1 維結(jié)構(gòu)帶隙，但無(wú)法對(duì)板這類(lèi)二維結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模；平面波展開(kāi)法［18?19］適用于處理規(guī)則結(jié)構(gòu)，但難以處理梁板耦合結(jié)構(gòu)及板的邊界問(wèn)題。此外，由于后2 種方法需要直接求解振動(dòng)微分方程組，使得求解過(guò)程復(fù)雜，因而適用性不高。

本文以我國(guó)城市軌道交通中常用的鋼彈簧浮置板軌道結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，基于能量變分原理求解其垂向振動(dòng)帶隙，并采用有限元法驗(yàn)證解析解的準(zhǔn)確性。在此基礎(chǔ)上，分析鋼彈簧浮置板軌道各帶隙的形成機(jī)理，研究軌道結(jié)構(gòu)剛度對(duì)帶隙的影響，并簡(jiǎn)要說(shuō)明帶隙理論在軌道結(jié)構(gòu)精細(xì)化減振領(lǐng)域的應(yīng)用思路。

1 基于能量變分原理求解鋼彈簧浮置板軌道帶隙

傳統(tǒng)的帶隙求解理論方法，如平面波展開(kāi)法和傳遞矩陣法，在求解周期結(jié)構(gòu)帶隙時(shí)主要是直接針對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)微分方程組進(jìn)行求解，對(duì)于多層組合或邊界條件復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，其微分方程的數(shù)量多，直接求解難度較大。能量變分原理具有將求微分方程邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求泛函極值問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)，適用于求解多層組合或邊界條件復(fù)雜的結(jié)構(gòu)的帶隙問(wèn)題。

基于能量變分原理求解鋼彈簧浮置板軌道帶隙的思路為：首先構(gòu)建結(jié)構(gòu)各組分的能量方程并求和得到結(jié)構(gòu)的總能量方程，然后對(duì)總能量方程進(jìn)行變分運(yùn)算得到軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)的特征方程，最后對(duì)特征方程進(jìn)行掃描波數(shù)求解獲得帶隙。

根據(jù)鋼彈簧浮置板軌道的結(jié)構(gòu)特征，建立1 個(gè)特征周期的鋼彈簧浮置板軌道垂向振動(dòng)分析模型，如圖2所示。圖中：d為浮置板長(zhǎng)度；b為1/2浮置板寬；dg為板縫寬度；dr為扣件間距，且dr=（d+dg）/6；d+dg為特征周期長(zhǎng)；yr和ys分別為鋼軌和鋼彈簧隔振器到浮置板外側(cè)自由邊界的距離；ORxR為1維的鋼軌坐標(biāo)系；xOy為2維的浮置板坐標(biāo)系。

圖2 周期性鋼彈簧浮置板軌道垂向振動(dòng)分析模型

分析中，將鋼軌視為鐵木辛柯梁，浮置板視為明德林中厚板，扣件與鋼彈簧隔振器均視為垂向支撐彈簧。已有研究結(jié)果顯示［20］，阻尼對(duì)軌道結(jié)構(gòu)帶隙頻率影響不大，故本文不考慮阻尼的影響。

1.1 鋼彈簧浮置板軌道結(jié)構(gòu)總能量

1.1.1 鋼軌能量

鋼軌能量包含彈性勢(shì)能和動(dòng)能。分析軌道結(jié)構(gòu)的垂向振動(dòng)時(shí)，鋼軌位移只需考慮垂向位移和截面轉(zhuǎn)角位移。依據(jù)Bloch 理論和平面波級(jí)數(shù)[21]將鋼軌位移展開(kāi)為

其中，

C1=(z?a z?a+1…z0…za?1za)T

C2=(θ?a θ?a+1…θ0…θa?1θa)T

式中：zR(xR)和θR(xR)（下文簡(jiǎn)寫(xiě)為zR和θR）分別為鋼軌的垂向位移和截面轉(zhuǎn)角位移；a為平面波級(jí)數(shù)截?cái)囗?xiàng)數(shù)，本文取a=20；k為波數(shù)；xR為鋼軌的橫坐標(biāo)；ψ(xR)為關(guān)于xR的試函數(shù)行向量；zu和θu均為未知系數(shù)。

根據(jù)鐵木辛柯梁理論［26］，可得到鋼軌彈性勢(shì)能UR為

式中：ER，IR，κR，GR和AR分別為鋼軌的彈性模量、截面慣性矩、截面剪切系數(shù)、剪切模量和截面積。

將式（1）和式（2）代入式（3）得

其中，

C=(C1C2)T

式中：KR為鋼軌的剛度矩陣。

鋼軌動(dòng)能VR可表示為

式中：ω為軌道結(jié)構(gòu)特征圓頻率；ρR為鋼軌的密度；MR為鋼軌的質(zhì)量矩陣。

1.1.2 浮置板能量

浮置板能量包含彈性勢(shì)能和動(dòng)能。分析浮置板的垂向振動(dòng)特性時(shí)，需要考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響。考慮垂向位移、x和y方向的轉(zhuǎn)角位移，采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)[22]分別將其表示為

其中，

式中：zS（x，y），θSx（x，y）和θSy（x，y）（下文簡(jiǎn)寫(xiě)為zS，θSx和θSy）分別為浮置板的垂向位移以及浮置板在x方向和y方向的轉(zhuǎn)角；Rpj，Spj和Tpj均為未知系數(shù)；φ（x，y）為浮置板位移的試函數(shù)行向量；ξp（x）和ζj（y）為具有任意性的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)；P和J分別為x和y方向的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)截?cái)囗?xiàng)數(shù)，本文取P=J=14。

根據(jù)明德林板理論［27］，浮置板的彈性勢(shì)能Us和動(dòng)能Vs分別表示為

其中，

本文模型中，浮置板存在對(duì)稱(chēng)邊界和自由邊界2 種邊界。根據(jù)譜幾何法[23?25]，需用人工彈簧模擬浮置板的邊界條件。在圖2的xOy坐標(biāo)系中，y=b是浮置板的對(duì)稱(chēng)邊界，此處的角位移θSy=0而垂向線位移自由，故取轉(zhuǎn)角彈簧剛度kθSy=∞N·rad?1和平動(dòng)彈簧剛度kSz=0 N·m?2；而浮置板的其他3 個(gè)側(cè)面為自由邊界，故取kθSy=0 N·rad?1和kSz=0 N·m?2。

因此，浮置板的邊界勢(shì)能UB可表示為

式中：kθSy為均布轉(zhuǎn)角彈簧剛度；KB為邊界彈簧剛度矩陣。

1.1.3 扣件彈性勢(shì)能

扣件變形量等于鋼軌與浮置板垂向位移之差

扣件的彈性勢(shì)能UF為

其中，

P=（C1C2R S T）T

式中：O1是（2a+1）維元素為零的行向量；O2是PJ維元素為零的行向量；kF是扣件的垂向剛度；f1是1個(gè)計(jì)算周期內(nèi)扣件的個(gè)數(shù)；KF是扣件系統(tǒng)的剛度矩陣。

1.1.4 鋼彈簧隔振器彈性勢(shì)能

鋼彈簧隔振器的彈性勢(shì)能Uss可表示為

式中：kss為鋼彈簧支撐剛度；f2為1 個(gè)特征周期內(nèi)鋼彈簧的個(gè)數(shù)；Kss為鋼彈簧剛度矩陣。

1.1.5 結(jié)構(gòu)總能量

鋼彈簧浮置板軌道結(jié)構(gòu)的總能量Π等于其總彈性勢(shì)能與總動(dòng)能之差，即

1.2 鋼彈簧浮置板軌道結(jié)構(gòu)特征方程和帶隙求解

依據(jù)Hamilton 原理，對(duì)總能量Π進(jìn)行1 次變分［28］得到變分方程δΠ，然后對(duì)總能量Π求極值有

聯(lián)立式（15）和式（16），得到鋼彈簧浮置板軌道結(jié)構(gòu)特征方程

式中：Ktot和Mtot分別是軌道結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣和總質(zhì)量矩陣；O3是（4a+2+3PJ）×1的零矩陣。

通過(guò)對(duì)總能量泛函求極值，軌道結(jié)構(gòu)垂向振動(dòng)問(wèn)題的求解被轉(zhuǎn)化成了其特征頻率的求解。然后，在第一Brillioun 區(qū)范圍內(nèi)，對(duì)式（17）進(jìn)行掃描波數(shù)求解即可得到周期鋼彈簧浮置板軌道的頻散曲線，進(jìn)而得到帶隙。

2 有限元驗(yàn)證

運(yùn)用多物理場(chǎng)耦合分析軟件COMSOL Multi?physics 建立周期性鋼彈簧浮置板軌道的有限元模型。由于軌道結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱(chēng)性，取一半結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模：鋼軌和浮置板均為實(shí)體單元，扣件和鋼彈簧隔振器分別采用彈性薄層單元和彈簧基礎(chǔ)單元模擬；浮置板的內(nèi)側(cè)設(shè)置為對(duì)稱(chēng)邊界，其余各邊均為自由邊界，鋼軌2 端設(shè)置為Floquet 周期邊界；單元類(lèi)型設(shè)置為L(zhǎng)angrage-Quadrastic；如圖3所示，選用固體力學(xué)模塊進(jìn)行求解。

圖3 周期性鋼彈簧浮置板軌道有限元模型

浮置板選用我國(guó)城市軌道交通常用的預(yù)制3.6 m 短板，其板長(zhǎng)3.57 m，寬3 m，厚0.3 m，板縫0.03 m。其他相關(guān)軌道參數(shù)［14］見(jiàn)表1。

表1 預(yù)制3.6 m短板浮置板軌道計(jì)算參數(shù)

為便于繪圖，此處引入簡(jiǎn)約波矢α，其與波矢k之間的關(guān)系為α=k（d+dg）/π。對(duì)于鋼彈簧浮置板軌道這種1 維周期性結(jié)構(gòu)，在第一Brillioun 區(qū)內(nèi)，波矢k?［?π/（d+dg），π/（d+dg）］［19］，故α∈［?1，1］。這樣，可得到關(guān)于頻率與簡(jiǎn)約波矢α的頻散關(guān)系。此外，現(xiàn)有研究表明［7，9?10］，軌道結(jié)構(gòu)中1 000 Hz 以上的垂向振動(dòng)帶隙均是鋼軌“pinned-pinned”振動(dòng)模式所引起，為簡(jiǎn)化分析過(guò)程，本文只研究至第1階“pinned-pinned”頻率（本文為1 082.0 Hz）處的帶隙，因此分析了0～1 200 Hz 范圍內(nèi)帶隙。為適當(dāng)減少帶隙數(shù)量以降低分析的工作量，本文忽略了帶寬不足5 Hz 且相對(duì)帶寬（相對(duì)帶寬=帶寬/帶寬中心頻率×100%）不足5%的帶隙。

圖4和圖5分別為解析方法和有限元方法求得的軌道結(jié)構(gòu)低頻帶隙圖和高頻帶隙圖，圖中灰色部分為帶隙。由圖可知：解析解和有限元解均表明在0～1 200 Hz 范圍內(nèi)周期鋼彈簧浮置板軌道結(jié)構(gòu)共存在5 條垂向振動(dòng)帶隙。將二者帶隙頻率計(jì)算結(jié)果列表對(duì)比，見(jiàn)表2。

圖4 低頻帶隙對(duì)比

圖5 高頻帶隙對(duì)比

表2 0～1 200 Hz范圍內(nèi)各垂向振動(dòng)帶隙頻率對(duì)比

由圖4、圖5和表2可知：解析解與有限元解吻合程度較高，帶隙圖以及各階帶隙的頻率位置也基本一致，從而證明了解析方法的正確性；在0～1 200 Hz 范圍內(nèi)，鐵木辛柯梁-明德林板耦合模型可準(zhǔn)確地反映周期鋼彈簧浮置板軌道的垂向振動(dòng)帶隙特性。

在配置為i5-10400CPU/16G 運(yùn)存/2.9 GHz 主頻的計(jì)算機(jī)上，有限元仿真的計(jì)算時(shí)間為1 287 s，而解析求解僅需6 s，計(jì)算效率是前者的215 倍。因此，本文解析方法不僅精確，而且計(jì)算效率高，有利于進(jìn)行參數(shù)化分析。

3 帶隙形成機(jī)理

由上述研究可知，在0～1 200 Hz 范圍內(nèi)，周期性鋼彈簧浮置板軌道共存在5 條垂向振動(dòng)帶隙，但尚不清楚其形成機(jī)理。為深入了解鋼彈簧浮置板軌道結(jié)構(gòu)中彈性波的傳播特性，本節(jié)將從機(jī)理上對(duì)各帶隙形成機(jī)理進(jìn)行分析。

軌道結(jié)構(gòu)局域共振帶隙的形成主要受到特征周期內(nèi)軌道結(jié)構(gòu)自振特性和鋼軌中彎曲波相互作用的影響。根據(jù)浮置板軌道的結(jié)構(gòu)特性，其局域共振帶隙起始和截止頻率可分別采用“彈簧-質(zhì)量-彈簧-質(zhì)量”模型和“質(zhì)量-彈簧-質(zhì)量-彈簧”模型［9，17，29?30］來(lái)估算，如圖6所示。

圖6 鋼彈簧浮置板軌道局域共振帶隙估算模型

由圖6可推出局域共振帶隙的起始頻率fl1，fl2和截止頻率fu1，fu2分別為［30］

其中，

式中：ktF和ktss分別是1個(gè)特征周期內(nèi)扣件和鋼彈簧的總支撐剛度；mR和mS分別是1 個(gè)特征周期內(nèi)鋼軌和軌道板的質(zhì)量；M為地基質(zhì)量，取M=∞。

將表1中鋼軌和浮置板的質(zhì)量及扣件和鋼彈簧的剛度代入式（18）—式（21），解得fl1=0 Hz，fl2=44.6 Hz，fu1=9.5 Hz，fu2=191.4 Hz，即局域共振帶隙的估算結(jié)果為：0～9.5 Hz，44.6～191.4 Hz。該結(jié)果與解析解和有限元解的1 階與3 階帶隙基本吻合，從而可以說(shuō)明周期性鋼彈簧浮置板軌道的1 階和3 階帶隙為局域共振帶隙，同時(shí)也從側(cè)面驗(yàn)證了解析方法的準(zhǔn)確性。

根據(jù)已有研究［9—10］，對(duì)于周期性鋼彈簧浮置板軌道結(jié)構(gòu)，在第1 階局域共振帶隙的起始頻率處，鋼軌和浮置板為靜止?fàn)顟B(tài)，地基做方向向下的剛性運(yùn)動(dòng)，這表明0～9.5 Hz 范圍內(nèi)的彈性波無(wú)法沿鋼軌縱向傳播，而是沿著扣件-軌道板-鋼彈簧直接向下傳入地基中，從而引起周?chē)馏w振動(dòng)，因此浮置板軌道難以隔離極低頻率的彈性波；在第2 階局域共振帶隙的起始頻率處，鋼軌和地基為靜止?fàn)顟B(tài)，軌道板做方向向下的剛性運(yùn)動(dòng)，這表明33.3～190.1 Hz 范圍內(nèi)的彈性波無(wú)法沿鋼軌縱向傳播，而是被限制在激振點(diǎn)附近的浮置板內(nèi)，從而引起浮置板振動(dòng)。

布拉格帶隙一般位于軌道結(jié)構(gòu)的n階“pinnedpinned”頻率處，且首階“pinned-pinned”頻率對(duì)應(yīng)于首階布拉格帶隙的起始頻率［9—10］。根據(jù)文獻(xiàn)［7］，當(dāng)鋼軌中彎曲波的頻率達(dá)到第1 階“pinnedpinned”共振頻率時(shí)，取1 跨鋼軌研究，其振型為正對(duì)稱(chēng)形式，且在跨中的垂向位移最大，扣件連接處位移最小，如圖7所示，圖中實(shí)體部分為初始狀態(tài)，虛線部分為振型。

圖7 1跨鋼軌第1階“pinned-pinned”振型

對(duì)于有限長(zhǎng)結(jié)構(gòu)，其位移可用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)構(gòu)造，因此圖7中鋼軌的垂向位移和轉(zhuǎn)角位移可寫(xiě)為

式中：R1和R2為待定系數(shù)且不同時(shí)為零。

結(jié)合鋼軌的自由振動(dòng)微分方程，則軌道結(jié)構(gòu)“pinned-pinned”頻率應(yīng)滿足

將鋼軌和扣件參數(shù)帶入式（24），解得第1 階“pinned-pinned”頻率為1 081.9 Hz。該值與5階帶隙的起始頻率1 082 Hz基本一致，這表明周期性鋼彈簧浮置板軌道的5 階帶隙是布拉格帶隙。同時(shí)，從式（24）還可看出布拉格帶隙起始頻率僅與鋼軌的物理特性和扣件間距有關(guān)。根據(jù)布拉格散射機(jī)理［31］，彈性波在最小周期處（扣件處）會(huì)發(fā)生反射，再和原來(lái)的波發(fā)生抵消，進(jìn)而形成帶隙。

2 階和4 階帶隙則是由軌道結(jié)構(gòu)的彈性運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生。圖8為2 階帶隙起始和截止頻率處的鋼彈簧浮置板軌道振型。由圖可知：在2 階帶隙的起始和截止頻率處，鋼軌做彈性運(yùn)動(dòng)，浮置板做剛性運(yùn)動(dòng)，這意味著彈性波自鋼軌傳入浮置板后會(huì)引起浮置板做剛性運(yùn)動(dòng)，二者的聯(lián)合運(yùn)動(dòng)會(huì)耗散彈性波大量的能量從而形成帶隙。

圖8 2階帶隙起始與截止頻率所對(duì)應(yīng)的振型

圖9為4 階帶隙起始和截止頻率處的鋼彈簧浮置板軌道振型。由圖可知：在4 階帶隙的起始和截止頻率處，鋼軌做彈性運(yùn)動(dòng)，浮置板也做彈性運(yùn)動(dòng)，這意味著彈性波自鋼軌傳入浮置板后會(huì)引起浮置板做彈性運(yùn)動(dòng)，二者的聯(lián)合彈性運(yùn)動(dòng)會(huì)耗散彈性波大量的能量從而形成帶隙。

圖9 4階帶隙起始與截止頻率所對(duì)應(yīng)的振型

4 軌道結(jié)構(gòu)剛度對(duì)帶隙的影響

在實(shí)際工程中，軌道結(jié)構(gòu)剛度是最容易調(diào)節(jié)的。因此，本節(jié)分別從扣件剛度和鋼彈簧剛度2 方面考慮其對(duì)浮置板軌道垂向振動(dòng)帶隙的影響。

4.1 扣件剛度對(duì)帶隙的影響

分別將扣件垂向靜剛度設(shè)為30，40，50，60和70 MN·m?1，其余參數(shù)不變進(jìn)行帶隙求解，得到不同扣件剛度下浮置板軌道各階帶隙，如圖10所示。當(dāng)扣件剛度為50 MN·m?1時(shí)，浮置板的彈性運(yùn)動(dòng)會(huì)和結(jié)構(gòu)的剛體運(yùn)動(dòng)發(fā)生耦合，從而在通帶范圍內(nèi)產(chǎn)生1 條禁帶，即4 階帶隙，而當(dāng)扣件剛度處于其他范圍時(shí)4階帶隙寬度不足5 Hz，即無(wú)明顯的4 階帶隙，故下面就不繪制4 階帶隙頻率隨扣件剛度的變化圖。

由圖10可知：當(dāng)扣件剛度為30～70 MN·m?1時(shí)，1 階帶隙不受扣件剛度變化的影響，2 階和3 階帶隙的起、止頻率均隨扣件剛度的增加而增加，且截止頻率增速更大，2階帶寬由4.7 Hz增至7.6 Hz，增幅64%，3 階帶寬由119.8 Hz 增至187.2 Hz，增幅56%；5 階帶隙的起始頻率不受扣件剛度的影響，截止頻率則增加明顯，帶寬由18 Hz 增至41 Hz，增大1.3 倍。綜上，扣件剛度對(duì)2 階帶隙、3 階帶隙和4 階帶隙影響顯著，且隨著扣件剛度增大，其帶寬與截止頻率將明顯增大。

圖10 扣件剛度對(duì)帶隙的影響

4.2 鋼彈簧剛度對(duì)帶隙的影響

將鋼彈簧剛度分別設(shè)為3，4，5，6和7MN·m?1，得到不同鋼彈簧剛度下浮置板軌道帶隙，如圖11所示。

圖11 鋼彈簧剛度對(duì)帶隙的影響

由圖11可知：當(dāng)鋼彈簧剛度為3～7 MN·m?1時(shí)，隨著鋼彈簧剛度的增加，1 階帶隙變化明顯，其截止頻率增長(zhǎng)迅速，帶寬由7.3 Hz 增至11.2 Hz，增幅53%；2階帶隙頻率略往上移，但帶寬總體上保持不變；3、4和5階帶隙基本不受鋼彈簧剛度的影響。因此，鋼彈簧剛度主要影響1 階帶隙，且隨著鋼彈簧剛度增大，其帶寬與截止將明顯增大。

5 帶隙理論的工程應(yīng)用

對(duì)鐵路軌道這類(lèi)層狀結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確研判其內(nèi)部彈性波傳播的頻率范圍及傳播路徑是很重要的，這可為未來(lái)實(shí)現(xiàn)整體結(jié)構(gòu)的精細(xì)化減振提供理論依據(jù)。因此，本節(jié)將鋼彈簧浮置板軌道和普通整體道床軌道的帶隙特性進(jìn)行對(duì)比分析，以從帶隙角度解釋鋼彈簧浮置板軌道的隔振性能，并簡(jiǎn)要說(shuō)明帶隙理論在軌道結(jié)構(gòu)精細(xì)化減振領(lǐng)域的潛力。

在城市軌道交通中，整體道床通常是直接澆筑在隧道仰拱或高架橋面上，下部基礎(chǔ)剛度很大，即普通整體道床軌道可簡(jiǎn)化為周期離散支撐鋼軌［20］，其帶隙如圖12所示。

圖12 普通整體道床軌道帶隙

由圖12可知：在0～1 200 Hz 范圍內(nèi)，普通整體道床軌道垂向振動(dòng)僅有0～185.2 Hz和1 082.0～1 112.0 Hz 的2 條帶隙，第1 階為局域共振帶隙，該帶隙內(nèi)彈性波無(wú)法沿軌道傳播，并直接向下傳入地基中，第2 階為布拉格帶隙，彈性波在最小周期邊界處發(fā)生干涉相消。表3將普通整體道床和浮置板2種軌道結(jié)構(gòu)垂向振動(dòng)帶隙對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 0～1 200 Hz內(nèi)2類(lèi)軌道結(jié)構(gòu)中彈性波傳播情況

由表3可知：在低頻帶隙內(nèi)，普通整體道床軌道中彈性波將全部傳入下部基礎(chǔ)，而浮置板軌道僅有很少一部分彈性波會(huì)傳入地基，其余帶隙內(nèi)的彈性波將全部被限制在板內(nèi)，這說(shuō)明浮置板軌道隔振性能明顯優(yōu)于普通整體道床軌道。

通過(guò)上述分析，可針對(duì)性地對(duì)浮置板軌道結(jié)構(gòu)中的彈性波進(jìn)行控制：在1階帶隙范圍內(nèi)，彈性波主要傳入地基土體中并引起環(huán)境振動(dòng)，故應(yīng)以0～9.5 Hz作為基準(zhǔn)，在土體中增置排溝［32］、周期性隔振墻或排樁［33］進(jìn)行治理；在2～4階帶隙范圍內(nèi)，彈性波主要傳入浮置板中并引起浮置板振動(dòng)，故可在板上分別設(shè)置中心頻率為16.25，111.70和240.95 Hz的動(dòng)力吸振器［34］以減小其振動(dòng)；在通帶范圍內(nèi)，彈性波主要在鋼軌中傳播并引起鋼軌振動(dòng)，故可以其他頻率為基準(zhǔn)設(shè)置吸振器并可在鋼軌上附加阻尼，如設(shè)計(jì)為阻尼鋼軌［35］減振。

6 結(jié) 論

（1）采用鐵木辛柯梁-明德林板耦合模型，基于能量變分原理求解周期性鋼彈簧浮置板軌道垂向振動(dòng)帶隙是準(zhǔn)確可靠的，與有限元法相比，該方法計(jì)算效率更高。

（2）在0～1 200 Hz 范圍內(nèi)，周期性鋼彈簧浮置板軌道結(jié)構(gòu)中存在5 條帶隙，其對(duì)應(yīng)頻率范圍為0～9.5，13.1～19.4，33.3～190.1，231.8～250.1和1 082.0～1 112.0 Hz。其中：第1 和第3 階為局域共振帶隙；第5 階為布拉格帶隙；第2 階和第4階帶隙是由軌道結(jié)構(gòu)的彈性運(yùn)動(dòng)所引起。

（3）在1 階帶隙內(nèi)，彈性波自鋼軌直接傳入地基中，且?guī)秾挾入S鋼彈簧剛度增大而增大；在2～4 階帶隙中，彈性波因局域共振和軌道的彈性運(yùn)動(dòng)而被限制在激振點(diǎn)附近的浮置板中，其帶隙的頻率位置及寬度主要受到扣件剛度影響；在5 階帶隙內(nèi)，彈性波則因布拉格散射而被耗散了，帶隙寬度與扣件剛度成正相關(guān)。

（4）本研究有助于準(zhǔn)確掌握周期性鋼彈簧軌道結(jié)構(gòu)中彈性波傳播的頻率范圍及路徑，為將來(lái)實(shí)現(xiàn)整體結(jié)構(gòu)的精細(xì)化減振提供必要的理論依據(jù)。針對(duì)1 階帶隙中的彈性波，宜以0～9.5 Hz 為基準(zhǔn)設(shè)計(jì)減隔振基礎(chǔ)；針對(duì)2～4 帶隙中的彈性波，宜以設(shè)計(jì)中心頻率為16.25，111.70 和240.95 Hz 的浮置板吸振器；其他頻率段的彈性波可根據(jù)實(shí)際需求針對(duì)性設(shè)計(jì)鋼軌吸振器。