邢家省

(1.北京航空航天大學數學科學學院，北京 100191；2.北京航空航天大學“數學、信息與行為”教育部重點實驗室，北京 100191)

等時降線問題[1-4]是歷史上著名的問題.1673年，惠更斯利用幾何方法證明了等時降線的解為一條倒擺線.1690年，雅各布·伯努利發(fā)表了關于等降線的解答，導出了等時降線問題的解是一條倒擺線.拉格朗日和歐拉也運用解析方法解出了等時降線問題.1823年，阿貝爾將降線問題轉化為一個積分方程的求解問題，從此引起了人們對積分方程的關注.筆者擬對等時降線的積分方程給出嚴密的求解方法，對等時降線的微分方程給出自然的解法，以期形成一套完整的方法體系，便于引用和傳播.

1 質點沿光滑軌道下降所需時間的公式

建立xOy坐標系，Ox軸正向水平向右，Oy軸正向豎直向上.設A點坐標為(x1,y1)，B點坐標為(x2,y2)，x1

或者為

設曲線L的最低點在Ox軸上，質點在曲線L上從高度為h的點處靜止開始下降到最低點處所需時間[1-4]為

(1)

(1)式是由阿貝爾導出的積分方程，由此引起了學者對阿貝爾積分方程求解問題的興趣[1-9].

2 阿貝爾積分方程的拉普拉斯變換求解

(2)

積分方程問題[1,4]是給定函數T(h),尋找函數φ(y)，使得滿足(2)式.

考慮如下積分方程問題：

(3)

其中0<α<1.阿貝爾運用拉普拉斯變換[7-13]給出了(3)式的求解方法.將拉普拉斯變換記為

引理1[7]設常數m>-1，則有

引理2[7]設常數0<α<1，則有

對(3)式兩邊作拉普拉斯變換，利用拉普拉斯變換的卷積性質可得

L(φ)(s)L(t-α)(s)=L(f)(s).

利用廣義積分的計算方法[14-20]可得

于是

利用

由拉普拉斯變換的性質可得

(4)

(4)式即為(3)式的求解公式，將(3)式的解寫為(4)式的形式可便于使用.

由余元公式[7-13]可得

(5)

現考慮(2)式的求解問題.當T(h)=T(T為常數)，即等時降線情形時，利用(5)式可得

于是

從而得到等時降線情形時的微分方程

(6)

進一步對微分方程(6)進行求解，可知等時降線是一條倒擺線.這里給出的解法是阿貝爾關于等時降線問題的求解方法[1-9].

3 質點從有限高度下落的降線問題的阿貝爾積分方程

設常數H>0.因為實際降線問題是從有限高度下落的，所以降線問題可歸結為如下的積分方程和微分方程問題[1-4]：

(7)

(8)

積分方程問題[1,4]是給定函數T(h),尋找函數φ(y)，使得滿足(7)式.

4 有限區(qū)間上的積分方程求解

引理3[2,9]設a

證明

證畢.

引理4[2,9]設p(x)∈C1[a,b]，且p(x)在[a,b]上嚴格單調遞增，0<α<1，則有

證明

證畢.

考慮積分方程

(9)

其中0<α<1.

引理5[2,9]設p(x)∈C1[a,b]，且p(x)在[a,b]上嚴格單調遞增，0<α<1，f(x)∈C[a,b],則(9)式的解為

證明利用(9)式及引理4，可得

于是

證畢.

利用引理5可得如下結論：

引理7[2,9]設φ(x)在(0,H]上連續(xù)可積，令

則有

5 等時降線的阿貝積分方程求解

現對等時降線的積分方程進行求解，即T(h)為常數T時進行求解.此時積分方程為

(10)

對(8)式利用定理3，可得

于是

(11)

(11)式就是(10)式的解式.

6 等時降線是倒擺線的證明

在等時降線情況下，利用(10)式的解式(11)，得到如下常微分方程：

(12)

令t=2θ，則有

這正是倒擺線的方程形式，由此可知等時降線是倒擺線.Oprea[21]和邢家省等[22]對倒擺線具有等時性給出了計算驗證.