楊軍峰，戴 賽，朱軍飛，李 京，李 輝，黃國棟，林星宇，唐俊杰

(1.國家電力調(diào)度控制中心，北京 100031；2.中國電力科學(xué)研究院有限公司，北京 100192；3.國網(wǎng)湖南省電力有限公司，湖南 長沙 410004；4.輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點實驗室(重慶大學(xué))，重慶 400044)

1 引言

可用輸電能力(Available Transfer Capability，ATC)指特定運行狀態(tài)中的電網(wǎng)在安全約束下所剩余的傳輸容量[1]。在電力系統(tǒng)運行中，該指標(biāo)可用于指導(dǎo)電力市場的交易、引導(dǎo)市場資源的優(yōu)化配置，且可以作為互聯(lián)系統(tǒng)安全可靠性的評估測度[2]。因此，精確而快速地計算ATC，對電力系統(tǒng)的經(jīng)濟、安全運行有重大的意義。

當(dāng)前，ATC的計算方法有線性分布因子法、交流靈敏度分析法、潮流軌跡追蹤法和最優(yōu)潮流法。其中，線性分布因子法和交流靈敏度分析法均對ATC的計算模型采用了一定的近似，因此在特定狀況下其精度難以達到實際應(yīng)用需求；潮流軌跡追蹤法在計算過程中，會涉及到算法收斂性問題以及反復(fù)求解潮流導(dǎo)致的計算量過大問題[2,3]；而最優(yōu)潮流法除了能正常計算ATC以外，還能夠在計算過程中引入其他與發(fā)電計劃、需求響應(yīng)或市場因素相關(guān)的約束條件，使其在計算中能夠考慮系統(tǒng)更為復(fù)雜的經(jīng)濟性和風(fēng)險性[4-6]。

隨著大規(guī)模風(fēng)電的并網(wǎng)，客戶用電行為的多樣化，電力系統(tǒng)中的不確定源越來越多[7，8]。因此，在ATC的計算中，必須要考慮風(fēng)速、負(fù)荷等不確定源帶來的影響，即ATC的概率分析。用于ATC概率分析的常用方法為蒙特卡洛模擬法，其結(jié)果精確，且能獲得ATC的完整概率信息。由于蒙特卡洛法需要大量樣本才能獲取精確的結(jié)果，因此其一般作為其他概率方法的精度參考，而不直接用于ATC的實時概率分析。作為改進，文獻[9]提出了基于拉丁超立方樣本的蒙特卡洛法，用于加快ATC的概率分析效率，但其1 000次的仿真計算耗時依然達到了分鐘級，不能滿足實際應(yīng)用需求。

另外，在ATC的概率分析中，文獻[9]考慮了風(fēng)速之間的相關(guān)性，然而基于相關(guān)性生成風(fēng)速樣本的方法并沒有在該方法中進行強調(diào)。為了處理變量之間的相關(guān)性，文獻[10]采用Nataf變換，建立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量和原始分布變量之間的橋梁，通過生成具有相關(guān)性的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)樣本轉(zhuǎn)換得到所需分布的樣本。而這個過程中，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域的相關(guān)系數(shù)矩陣的求解尤為復(fù)雜。對于正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)的求解，文獻[11]提出了一種基于數(shù)值積分和二分法的求解方法，但若要達到較高精度，其計算速度不能滿足實際應(yīng)用需求。

基于以上問題，本文提出了一種基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Radial Basis Function Neural Network，RBFNN)的Nataf變換相關(guān)系數(shù)求解方法，同時使用RBFNN近似ATC計算模型，從而大幅提高ATC的概率分析速度。為測試所提方法性能，本文基于兩個相互連接的IEEE 9節(jié)點算例，測試了基于RBFNN的相關(guān)系數(shù)求解法的精度及其對ATC概率分析的影響，并測試了基于RBFNN的ATC求解模型在ATC概率分析中的性能。此外，本文基于IEEE 118節(jié)點算例，通過與極限學(xué)習(xí)機的性能對比，驗證了本文所提方法的通用性和優(yōu)越性。

2 基本模型

2.1 基于最優(yōu)潮流的ATC計算模型

ATC表征了特定運行狀態(tài)下的電力網(wǎng)絡(luò)在安全穩(wěn)定約束條件下，對受電區(qū)域所剩余的功率傳輸容量?；谶@個描述，用“聯(lián)絡(luò)線”指代送端電網(wǎng)向受端電網(wǎng)傳輸電能的輸電線路，則ATC的求解包含三個步驟：①求解電網(wǎng)當(dāng)前狀態(tài)下的潮流，以求取聯(lián)絡(luò)線上實際流過的電能；②求解優(yōu)化模型(1)，以求取在約束條件下聯(lián)絡(luò)線上所能流過的最大電能；③聯(lián)絡(luò)線流過最大電能減去實際流過電能即為ATC。

(1)

式中，SetR和SetS分別為受端電網(wǎng)和送端電網(wǎng)的節(jié)點編號集合；SetB為全電網(wǎng)的節(jié)點編號集合；PL,i和PL,i,0分別為第i個節(jié)點的有功負(fù)荷和對應(yīng)的實際值；PG,i和PG,i,0分別為第i個節(jié)點的發(fā)電機有功出力和對應(yīng)的實際值；Pwind,i和Qwind,i分別為第i個節(jié)點上的風(fēng)電有功、無功出力；Vi、Vj和θij分別為第i個節(jié)點和第j個節(jié)點的電壓幅值及其相位差；QG,i和QL,i分別為第i個節(jié)點發(fā)電機無功出力和無功負(fù)荷；Sij為第i個節(jié)點流向第j個節(jié)點的視在功率；Gij和Bij分別為該電網(wǎng)節(jié)點導(dǎo)納矩陣第i行第j列元素的實部和虛部；上標(biāo)“max”和“min”分別表示該變量的上、下限。

在考慮負(fù)荷、風(fēng)電的不確定性時，將有功負(fù)荷、風(fēng)電場有功出力視作模型輸入變量Xin，ATC作為最終輸出變量Y，ATC的求解過程可簡化表示為式(2)，其中無功負(fù)荷根據(jù)對應(yīng)負(fù)荷功率因數(shù)不變來取值；而風(fēng)機一般消耗無功，因此風(fēng)電場無功出力可根據(jù)節(jié)點風(fēng)機臺數(shù)來處理為一個負(fù)的常數(shù)。

Y=f(Xin)

(2)

2.2 不確定源模型

本文所考慮的不確定源包括負(fù)荷和風(fēng)電場的風(fēng)速。不確定源種類及其邊緣分布模型見表1，負(fù)荷的不確定性一般使用正態(tài)分布來描述，風(fēng)速的不確定性用威布爾分布和對數(shù)正態(tài)分布進行建模。

表1 不確定源種類及其邊緣分布模型

表1中，K和D為威布爾分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)；μ和σ為正態(tài)分布的均值與標(biāo)準(zhǔn)差；μln和σln為對數(shù)正態(tài)分布的對數(shù)均值與對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。

另外，需要根據(jù)式(3)將風(fēng)速轉(zhuǎn)換為單臺風(fēng)機出力。進一步根據(jù)風(fēng)電場的風(fēng)機數(shù)量，通過假設(shè)每臺風(fēng)機出力相同，獲取該風(fēng)電場的實際出力。

(3)

式中，vwind為實際風(fēng)速，m/s；vin、vN和vout分別為風(fēng)機的切入風(fēng)速、額定風(fēng)速和切出風(fēng)速，m/s；PT為單臺風(fēng)機的實際有功出力，MW；PN為風(fēng)機的額定出力，MW。

不確定源的建模除了使用邊緣分布描述單個變量的波動規(guī)律外，還需要對隨機變量之間的相關(guān)性進行刻畫。對于m維隨機變量向量X=[X1,X2,…,Xm]T，本文采用皮爾森相關(guān)系數(shù)來表征變量之間的相關(guān)性。X的第i個和第j個元素Xi、Xj之間的皮爾森相關(guān)系數(shù)ρX,ij可以表示為：

(4)

式中，μij、μi和μj分別為XiXj、Xi和Xj的均值；σi和σj分別為Xi和Xj的標(biāo)準(zhǔn)差。需注意，若兩變量不同時為正態(tài)分布，那么在變量進行單調(diào)非線性變換時，對應(yīng)變量之間的皮爾森相關(guān)系數(shù)數(shù)值會發(fā)生變化。由于這個特性，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的相關(guān)系數(shù)數(shù)值計算是Nataf變換的一個技術(shù)難點。

2.3 Nataf變換

在概率分析中，Nataf變換被廣泛應(yīng)用于皮爾森相關(guān)性體系下隨機變量的樣本生成。對于服從任意連續(xù)分布隨機變量向量X, Nataf變換采用等概率原則，設(shè)存在m維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機變量向量Z，其第i個元素Zi與Xi之間滿足以下關(guān)系：

(5)

(6)

式中，φ(zi,zj,ρZ,ij)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

通過對任意兩個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量之間的相關(guān)系數(shù)進行求解，可以獲得Z的相關(guān)系數(shù)矩陣CZ。對CZ使用Cholesky分解，求得分解矩陣L，進一步建立Z與獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量U的關(guān)系為：

Z=LU

(7)

式中，L滿足CZ=LLT；U=[U1,U2,…,Um]T，其第i個和第j個元素對應(yīng)的自變量分別為Ui和Uj。

在概率分析中，通過式(5)和式(7)，變量X的樣本便可以通過獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本來獲取，而實現(xiàn)這一步驟的關(guān)鍵在于對式(6)的反復(fù)求解。經(jīng)計算，在含有m維隨機變量時，考慮到相關(guān)系數(shù)矩陣的對稱性且其主對角元素全為1，共需計算m(m-1)/2個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的相關(guān)系數(shù)數(shù)值，即需要對式(6)進行m(m-1)/2次求解。式(6)的求解過程復(fù)雜，待求解次數(shù)多且隨變量個數(shù)平方增加，該求解過程耗時嚴(yán)重；另一方面，式(7)表明標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域下相關(guān)系數(shù)數(shù)值會直接參與原始分布變量樣本的生成，其計算精度必須得到保證。因此需要采用合理的方法來對式(6)進行高效且精確的求解。

2.4 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

在電力系統(tǒng)中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)通常應(yīng)用于控制領(lǐng)域或風(fēng)速、負(fù)荷的預(yù)測領(lǐng)域，此時模型建立過程需要大量的訓(xùn)練樣本和繁瑣的訓(xùn)練過程[14-16]。本文將RBFNN用于確定性模型的近似，因此這里的RBFNN實現(xiàn)的是完全內(nèi)插值的作用。對于多輸入、單輸出的系統(tǒng)，RBFNN模型可用圖1表示。

圖1 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

設(shè)RBFNN包含n個輸入變量，用向量表示為XRBF,in；隱藏層含有NT個神經(jīng)元，第i個神經(jīng)元的徑向基函數(shù)中心為Ti，這里Ti也是一個n維向量。此時徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)表達式可以表示為：

(8)

式中，yRBF為徑向基函數(shù)的輸出；ωi為隱藏層第i個神經(jīng)元到輸出的權(quán)重；ψ為徑向基函數(shù)。

本文在生成RBFNN時，設(shè)定隱藏層神經(jīng)元個數(shù)等于訓(xùn)練樣本數(shù)NT，每個訓(xùn)練樣本均作為徑向基函數(shù)的樣本中心。設(shè)訓(xùn)練樣本集中，輸入變量樣本為T=[T1,T2,…,TNT]，對應(yīng)的輸出變量樣本為yRBF=[yRBF,1,yRBF,2,…,yRBF,NT]T。將對應(yīng)的輸入、輸出樣本全部代入式(8)中，得到如式(9)所示的NT維線性方程組。

(9)

式(9)可用矩陣表示為：

Hω=yRBF

(10)

式中，ω=[ω1,ω2,…,ωNT]T為權(quán)重向量；H為系數(shù)矩陣，其第i行第j列元素為ψ(‖Ti-Tj‖2)。對于H矩陣，若徑向基函數(shù)是高斯函數(shù)、多元二次函數(shù)或逆多元二次函數(shù)等，且所有樣本中心互不相同時，根據(jù)Micchelli定理[17]，H矩陣是非奇異矩陣。此時權(quán)重向量ω可通過式(11)求?。?/p>

ω=H-1yRBF

(11)

此時所構(gòu)建的RBFNN又稱為正則化RBFNN，其主要包含以下兩個優(yōu)點[18，19]：①正則化網(wǎng)絡(luò)是一個通用逼近器，這表明只要有足夠多的隱藏層神經(jīng)元個數(shù)，它就能以任意精度逼近任意多元連續(xù)函數(shù)；②給定任意非線性函數(shù)，正則化網(wǎng)絡(luò)對其的逼近是最優(yōu)的，這里的“最優(yōu)”表現(xiàn)為對于樣本的誤差小和逼近曲線的平滑性兩個方面。另外，本文選擇高斯函數(shù)作為徑向基函數(shù)，其具體表達式為：

(12)

式中，d為輸入變量到該徑向基函數(shù)樣本中心的歐式距離；δ為徑向基函數(shù)的擴展常數(shù)，其數(shù)值決定高斯函數(shù)的扁平程度。本文將δ數(shù)值設(shè)置為1，其優(yōu)勢在于若變量為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量時，RBFNN所近似的函數(shù)均值易于解析求取。

3 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在ATC不確定性分析中的應(yīng)用

3.1 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在Nataf變換中的應(yīng)用

Nataf變換的技術(shù)難點在于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量相關(guān)系數(shù)的計算，即對式(6)的求解。其主要復(fù)雜在于兩點：式(6)中的積分部分計算復(fù)雜；待求解變量包含在該積分的被積函數(shù)中。

為解決以上問題，本文擬采用RBFNN和簡化牛頓法實現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)的求解。其具體實現(xiàn)方法如下。

對于式(6)中的二重積分部分，可表示為：

φ(zi,zj,ρZ,ij)dzidzj

(13)

根據(jù)3-σ法則，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量所產(chǎn)生的樣本落在[-3, 3]的概率約為99.74%。為實現(xiàn)更高精度計算結(jié)果，本文在(zi,zj)∈[-6, 6]×[-6, 6]上建立RBFNN來近似式(13)中的反函數(shù)乘積，如式(14)所示。

(14)

(15)

基于以上樣本，使用式(9)～式(11)，建立RBFNN，如式(16)所示。

(16)

式中，ωC,s為第s個高斯函數(shù)的權(quán)重系數(shù)。此時將式(16)代入式(13)，該積分表達式進一步表示為：

(17)

其中，求和部分的第s項(不含系數(shù))可具體表示為：

(18)

式中，參數(shù)A、D、Bs和Es可通過式(19)計算。

(19)

從而式(6)可以近似變換為：

(20)

顯然，式(20)是一個關(guān)于ρZ,ij的非線性方程。根據(jù)實驗，使用簡化牛頓法，可對其進行精確求解。

3.2 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在ATC計算中的應(yīng)用

RBFNN除了可被用于近似Nataf變換中部分表達式外，還可被應(yīng)用于近似ATC的求解模型，如式(21)所示。

YRBF≈f(Xin)

(21)

該RBFNN的具體建立過程如下：對于某電力系統(tǒng)的特定運行狀態(tài)，根據(jù)實際情況標(biāo)識出待建立模型的輸入變量，同時設(shè)定該系統(tǒng)中聯(lián)絡(luò)線的ATC為輸出變量。在本文中，由于該近似模型將應(yīng)用于隨機場景下ATC的計算與分析，因此本文選取具有不確定性的有功負(fù)荷以及風(fēng)電場有功出力作為式(21)的輸入變量。

(22)

歸一化完成后，將式(22)和代入式(2)中，得到歸一化輸入變量和ATC的確定性關(guān)系，即：

(23)

式中，“.*”表示同維度向量對應(yīng)元素相乘。

最后，根據(jù)2.4節(jié)內(nèi)容，以歸一化輸入變量為輸入，并以ATC為輸出，建立用于計算ATC的RBFNN模型。

(24)

3.3 基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的ATC概率分析

本文同時將RBFNN應(yīng)用于ATC概率分析的兩個方面：①概率建模，RBFNN用于Nataf變換中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量相關(guān)系數(shù)的快速計算；②概率計算，RBFNN用于建立近似ATC的確定性計算模型，從而在概率計算中獲得更快的計算速度。

在概率建模中，本文充分發(fā)揮了基于高斯函數(shù)的RBFNN的數(shù)學(xué)表達式特征，直接近似地解析求取式(13)所示的二重積分表達式。在概率計算中，由于RBFNN被用于近似確定性的函數(shù)表達式，本文舍棄了其作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的學(xué)習(xí)步驟，直接使用正則化網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)對ATC計算模型的完全內(nèi)插值功能。

在實際應(yīng)用中，基于RBFNN的ATC概率分析方法流程可參照如下步驟：

(1)計算模型的建立。

1)確定電力系統(tǒng)的送電、受電區(qū)域及對應(yīng)聯(lián)絡(luò)線，建立該系統(tǒng)的ATC計算模型。根據(jù)系統(tǒng)原始負(fù)荷大小，獲得各負(fù)荷節(jié)點的負(fù)荷功率因素。

2)確定電力系統(tǒng)中的不確定源，包括確定不確定源的分布類型、分布參數(shù)及相關(guān)系數(shù)，確定不確定源到節(jié)點功率的轉(zhuǎn)換模型。

3)根據(jù)3.1節(jié)內(nèi)容，通過RBFNN，求取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量相關(guān)系數(shù)數(shù)值，建立Nataf變換模型。需注意，此步驟需對每兩個隨機變量之間執(zhí)行一次。

4)預(yù)設(shè)ATC計算模型輸入變量的取值范圍，生成歸一化向量。根據(jù)3.2節(jié)內(nèi)容，求取基于RBFNN的ATC近似計算模型。

(2)基于蒙特卡洛法的ATC概率計算與分析。

1)生成NMCS組獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本，樣本維度等于系統(tǒng)隨機源個數(shù)。

2)根據(jù)式(5)和式(7)將正態(tài)分布樣本轉(zhuǎn)換到原始分布域獲取有功負(fù)荷、風(fēng)速樣本，再根據(jù)式(3)和各風(fēng)電場的風(fēng)機臺數(shù)，將風(fēng)速樣本轉(zhuǎn)換為風(fēng)電場有功出力樣本。根據(jù)以上樣本，形成基于RBFNN的ATC近似計算模型的輸入樣本矩陣。

3)將輸入樣本矩陣代入RBFNN模型中進行計算，得到各樣本下的ATC近似計算數(shù)值。通過統(tǒng)計手段，獲取ATC的概率分布特征，以根據(jù)實際需求進行進一步的分析與應(yīng)用。

4 算例分析

4.1 算例介紹

本文采用經(jīng)聯(lián)絡(luò)線連接的兩個IEEE 9節(jié)點算例來搭建本文方法的測試場景。其具體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 算例拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

相比于IEEE 9節(jié)點標(biāo)準(zhǔn)算例，送端電網(wǎng)和受端電網(wǎng)的設(shè)定做如下修改。送端電網(wǎng)：①所有有功、無功負(fù)荷減少為標(biāo)準(zhǔn)算例對應(yīng)數(shù)值的50%，作為此算例的原始數(shù)值；②節(jié)點7、9分別接入風(fēng)電場，每個風(fēng)電場分別含100臺風(fēng)機。受端電網(wǎng)：①相對于IEEE 9節(jié)點標(biāo)準(zhǔn)算例，受端電網(wǎng)節(jié)點編號為標(biāo)準(zhǔn)算例對應(yīng)節(jié)點編號數(shù)值加9；②所有有功、無功負(fù)荷增加為標(biāo)準(zhǔn)算例對應(yīng)數(shù)值的150%，作為此算例的原始數(shù)值；③原平衡節(jié)點修改為PV節(jié)點，且發(fā)電機有功出力為72.3 MW。需注意，送端電網(wǎng)和受端電網(wǎng)未提到參數(shù)均與IEEE 9節(jié)點標(biāo)準(zhǔn)算例參數(shù)完全相同。

對所設(shè)的兩條聯(lián)絡(luò)線，其線路參數(shù)見表2，其中，r、x和b分別為線路電阻、電抗和對地電納的標(biāo)幺值，對應(yīng)的功率、電壓幅值基準(zhǔn)分別為100 MV·A和345 kV。

表2 聯(lián)絡(luò)線參數(shù)

對于風(fēng)電場風(fēng)機參數(shù)，切入風(fēng)速、切出風(fēng)速和額定風(fēng)速分別為2 m/s、25 m/s和15 m/s，單臺風(fēng)機恒定吸收無功功率0.002 MVar。

對于隨機源，經(jīng)統(tǒng)計，圖2所示系統(tǒng)中含有2個風(fēng)速對應(yīng)于兩個風(fēng)電場，6個負(fù)荷(送端電網(wǎng)、受端電網(wǎng)各3個)。隨機變量分布類型、分布參數(shù)及相關(guān)系數(shù)均參考文獻[12，20]取得。具體的，所有有功負(fù)荷服從正態(tài)分布，均值為對應(yīng)原始值，標(biāo)準(zhǔn)差為均值5%；節(jié)點7風(fēng)速服從威布爾分布，形狀參數(shù)和尺度參數(shù)分別為1.837和7.218；節(jié)點9風(fēng)速服從對數(shù)正態(tài)分布，對數(shù)均值為1.731，對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為0.441。

根據(jù)文獻[12，20]，本算例中隨機源的相關(guān)系數(shù)設(shè)置如下，兩風(fēng)速之間相關(guān)系數(shù)為0.15，送端負(fù)荷之間相關(guān)系數(shù)為0.4，送端負(fù)荷與風(fēng)速之間相關(guān)系數(shù)為0.066 7；受端負(fù)荷之間相關(guān)系數(shù)為0.4，受端負(fù)荷和送端負(fù)荷之間相關(guān)系數(shù)為0，受端負(fù)荷和送端風(fēng)速之間相關(guān)系數(shù)為0。另外，由此設(shè)定得到的相關(guān)系數(shù)矩陣設(shè)為R。

對于結(jié)果的精度描述，定義最大絕對誤差εmax和平均絕對誤差εmean表征本文方法計算求得的相關(guān)系數(shù)的精度。

(25)

式中，Nρ為計算的相關(guān)系數(shù)個數(shù)；ρref和ρRBF分別為參考方法和本文方法計算所得的對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)數(shù)值。定義相對誤差ζ表示基于RBFNN的ATC計算結(jié)果的精度。

(26)

式中，yref和yRBF分別為對于同一組輸入樣本，分別使用原始ATC計算模型和RBFNN求取的近似ATC計算模型計算得到的ATC數(shù)值。

對于概率潮流結(jié)果，以基于原始ATC模型的104簡單隨機樣本的蒙特卡洛結(jié)果為參考，基于RBFNN近似ATC計算模型結(jié)果的概率分布精度用頻率直方圖相似度(Frequency Histogram Similarity Index, FHSI)來描述，其計算方法如式(27)所示，其中，要求兩頻率直方圖擁有完全相同的橫坐標(biāo)。

(27)

式中，Nb為頻率直方圖的條數(shù)；bref,i和bRBF,i分別為參考方法和待測方法的第i條頻率直方圖的頻率；Δb為頻率直方圖寬度。另外當(dāng)FHSI>0.9時，認(rèn)為待檢測的頻率直方圖所描述的概率密度是精確的。

另外，本文所有實驗均在Matlab平臺上實現(xiàn)，所使用計算機的CPU為Intel(R)Core(TM)i7-9700 CPU @ 3.00 GHz，內(nèi)存為容量16 GB，頻率為2 400 MHz的DDR4代內(nèi)存條。

4.2 基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)系數(shù)計算性能

對于Nataf變換中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)，傳統(tǒng)方法采用基于辛普森數(shù)值積分和二分法對其進行求解。其中，辛普森數(shù)值積分能夠以任意精度逼近積分的數(shù)值結(jié)果；而在特定情況下，二分法可以任意精度在特定區(qū)間上求解非線性方程的根。根據(jù)這些特性，傳統(tǒng)方法對該相關(guān)系數(shù)的求解結(jié)果精度非常高，因此在本節(jié)中，以精度為10-6的基于辛普森數(shù)值積分和二分法的相關(guān)系數(shù)計算法作為Nataf變換中相關(guān)系數(shù)計算結(jié)果的精度參考，記為“Nataf_ref”。本文所提相關(guān)系數(shù)計算法記為“Nataf_RBF”。

在針對每個相關(guān)系數(shù)的計算中，RBFNN的參數(shù)設(shè)定完全相同，所使用的樣本數(shù)量以及神經(jīng)元數(shù)量見表3。

表3 Nataf變換中RBFNN的參數(shù)設(shè)置

對于4.1節(jié)中設(shè)定的相關(guān)系數(shù)矩陣R，用Rλ表示對R非對角元素乘以乘子λ后形成的新矩陣。需注意，若非對角元素乘以λ后數(shù)值大于等于0.95，則將其數(shù)值設(shè)為0.95；若該元素小于等于-0.95，則將其設(shè)為-0.95?，F(xiàn)設(shè)置λ取值為-5～5之間的所有整數(shù)。對于λ所有的取值，分別使用Nataf_ref和Nataf_RBF計算矩陣Rλ對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)，計算誤差如圖3所示。

圖3 Nataf_RBF法計算誤差

圖3結(jié)果表明，本文所提方法計算相關(guān)系數(shù)誤差小于1.2×10-4，該精度意味著轉(zhuǎn)換后的相關(guān)系數(shù)小數(shù)點后三位均完全精確。對于此精度下的相關(guān)系數(shù)計算結(jié)果，其誤差對最終ATC概率結(jié)果的影響會在4.4節(jié)做進一步分析。另外，若將傳統(tǒng)方法求解精度設(shè)定為與Nataf_RBF相同，即10-3，此時，對于λ的所有取值，傳統(tǒng)方法和Nataf_RBF完全轉(zhuǎn)換一個相關(guān)系數(shù)矩陣所消耗的平均時間分別為227.1 s和0.136 3 s。顯而易見，Nataf_RBF消耗時間比參考方法小了三個數(shù)量級，大大加快了Nataf變換中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)矩陣的計算效率。

4.3 基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的ATC計算性能

根據(jù)3.2節(jié)的內(nèi)容，本算例采用100組蒙特卡洛法產(chǎn)生的隨機樣本來生成RBFNN模型用于計算圖2所示系統(tǒng)的ATC數(shù)值。另外，在本節(jié)中，用以計算ATC的最優(yōu)化模型被稱為“原始模型”，經(jīng)RBFNN建立的求取ATC模型稱為“RBFNN模型”。由此可知，在本小節(jié)中，RBFNN模型參數(shù)設(shè)定見表4。

表4 RBFNN的參數(shù)設(shè)置

基于系統(tǒng)變量的概率模型，使用蒙特卡洛法生成106組簡單隨機樣本，分別通過原始模型和RBFNN模型計算ATC。以原始模型結(jié)果為參考，RBFNN模型得到的ATC數(shù)值的相對誤差分布情況見表5。

表5 RBFNN模型結(jié)果誤差分布情況

表5結(jié)果表明，該106個結(jié)果中，超過90%的結(jié)果誤差小于1%，誤差小于2%的結(jié)果已占到98.36%的比例。而106個結(jié)果中，僅有不到1%的結(jié)果誤差大于2%，且最大誤差小于7.2%?？傮w來看，由RBFNN模型計算得到的絕大部分(超過98%)ATC結(jié)果精度非常高。

就其精度來看，若以該模型作為概率計算的確定性模型，基于蒙特卡洛法，該模型能夠精確地近似ATC概率分布中超過98%的點，從而進一步得到相當(dāng)精確的ATC概率分布。因此，該RBFNN模型完全可用于ATC的概率分析。

另外，關(guān)于計算時間，原始模型和RBFNN模型分別消耗27 733 s和3.535 1 s完成106次ATC的計算。此外，RBFNN模型的訓(xùn)練時間為6.615 6 s，因此基于RBFNN模型的ATC概率計算總時間為10.151 s。相比之下，在概率分析中，RBFNN模型更有效率優(yōu)勢。

4.4 基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的ATC概率分析結(jié)果

本節(jié)中，按照表6中所示方法進行測試。其中M0是參考方法，其概率結(jié)果作為其他方法的精度基準(zhǔn)；M1用以測試RBFNN模型用于概率場景的性能；M2用以測試本文所提相關(guān)系數(shù)求解法精度對概率結(jié)果的影響；M3是本文所提方法，即在Nataf變換中和概率計算中均使用RBFNN技術(shù)。以M0結(jié)果為精度基準(zhǔn)，其余方法求得的ATC概率密度及其FHSI指標(biāo)如圖4所示。

表6 概率方法

圖4 ATC概率結(jié)果

從圖4結(jié)果可知，M1、M2和M3所求得的ATC概率分布的FHSI指標(biāo)數(shù)值分別為0.966 1，0.970 2和0.968 3。以0.9為精度判據(jù)，各方法計算得到的ATC概率分布精度非常高，從而說明：①基于RBFNN求解ATC的模型完全適用于概率ATC的分析與計算；②基于RBFNN的相關(guān)系數(shù)求解法，即Nataf_RBF，其計算得到的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)矩陣精度完全能夠滿足概率分析的要求；③本文所提方法在精度上適用于進行ATC的概率分析。

另外，M0、M1、M2和M3的時間消耗情況見表7，其中主要包含Nataf變換中相關(guān)系數(shù)的計算時間(t1)和ATC模型反復(fù)計算耗時(t2)。

表7 各方法的耗時

對于M1和M3，各自還額外消耗6.615 6 s，用以生成ATC的RBFNN計算模型。若將RBFNN模型的建立時間也納入最終耗時統(tǒng)計，M1的耗時為373.65 s，M3的耗時為6.782 2 s。通過對比各種方法的耗時情況，本文提出的相關(guān)系數(shù)計算法，即Nataf_RBF法，可以大大加快相關(guān)系數(shù)的計算時間；本文提出的基于RBFNN的ATC計算模型也會大量減少概率計算的耗時。

從本節(jié)結(jié)果來看，本文所提方法的計算效率和計算精度都非常高，能夠滿足實際應(yīng)用中ATC的概率實時分析。

4.5 基于RBFNN的ATC概率分析性能對比

在工程應(yīng)用中，除了RBFNN外，極限學(xué)習(xí)機(Extreme Learning Machine，ELM)也常用于數(shù)據(jù)預(yù)測或近似某確定性計算過程。而ELM的激活函數(shù)不能采用高斯函數(shù)，因此ELM不能用和3.1節(jié)類似的方法求解相關(guān)系數(shù)。本文僅用ELM獲取ATC的確定性計算模型，并與本文提出方法進行對比。其中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域的相關(guān)系數(shù)數(shù)值均采用3.1節(jié)方法進行求取。

為表明本文所提方法的通用性，本小節(jié)將在改進的IEEE 118節(jié)點算例中搭建實施場景，其結(jié)構(gòu)簡圖如圖5所示。另外，118節(jié)點算例線路容量從文獻[21]中獲取，而此時計算ATC會發(fā)生越限，因此首先將該算例所有有功、無功負(fù)荷以及發(fā)電機出力減半，作為算例基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。基于減半后的數(shù)據(jù)，算例中隨機負(fù)荷設(shè)定方式與4.1節(jié)中完全相同。另外，送端20節(jié)點和48節(jié)點處風(fēng)速服從威布爾分布，60節(jié)點和67節(jié)點風(fēng)速服從對數(shù)正態(tài)分布，分布參數(shù)及風(fēng)機參數(shù)同樣與4.1節(jié)中完全相同。在這樣的設(shè)定下，該算例一共含有103個隨機變量，即99個有功負(fù)荷和4個風(fēng)電場風(fēng)速。

圖5 118節(jié)點算例結(jié)構(gòu)簡圖

在圖5所示系統(tǒng)中，分別使用RBFNN和ELM建立ATC計算模型。為公平比較兩者性能，兩方法的神經(jīng)元數(shù)量、訓(xùn)練樣本數(shù)均完全相同，具體設(shè)定見表8。另外，極限學(xué)習(xí)機輸入層到中間層的權(quán)重在-1～1之間隨機生成，偏置系數(shù)在0～1之間隨機生成，中間層神經(jīng)元用sigmoid函數(shù)作為激活函數(shù)，如式(28)所示。

表8 RBFNN和ELM的參數(shù)設(shè)置

(28)

式中，fsig(x)為激活函數(shù)；e為自然常數(shù)。

基于以上設(shè)定獲取的ATC計算模型，使用蒙特卡洛仿真法求取ATC的概率密度如圖6所示。其中，參考方法使用Nataf_ref計算相關(guān)系數(shù)矩陣，以式(2)作為ATC的計算模型，使用基于106個簡單隨機樣本的蒙特卡洛仿真法進行概率計算(記為M_ref)；待測方法均使用104個簡單隨機樣本，分別記作M_RBFNN和M_ELM。

圖6 ATC概率結(jié)果

從圖6結(jié)果可看出，M_RBFNN和M_ELM計算得到的ATC概率密度的FHSI指標(biāo)分別為0.964 0和0.864 1。顯然無論是從概率密度圖像上看，還是從FHSI的數(shù)值上看，在118節(jié)點算例中，M_RBFNN的結(jié)果非常精確。這在一定程度上證明了基于RBFNN的概率ATC計算模型的通用性。

另外，通過對比M_RBFNN和M_ELM的結(jié)果，M_RBFNN的FHSI數(shù)值更大，結(jié)果明顯更為精確。單看M_ELM的概率密度圖形不難發(fā)現(xiàn)，在圖形繪制范圍的邊界處，其圖形出現(xiàn)了較大的沖擊量。這表明通過ELM得到的計算模型用以計算ATC時會出現(xiàn)較多的極端數(shù)據(jù)，這通常是由于該近似模型局部區(qū)域精度極低所導(dǎo)致。

在計算效率方面，M_RBFNN和M_ELM均消耗約85 s獲得ATC近似計算模型，而基于104個簡單隨機樣本的概率計算分別耗時0.533 0 s和0.315 9 s?？梢园l(fā)現(xiàn)，相比模型建立時間，其概率計算時間可以忽略不計，因此兩方法效率幾乎相同。另外，若認(rèn)為每次求解ATC原始模型的計算時間相同，則通過M_ref的耗時可以估算出使用104個簡單隨機樣本且基于ATC原始模型進行求解的計算時間約為820 s。相比之下，本文所提方法計算效率非常高。

5 結(jié)論

為加快含概率不確定源的ATC實時分析，本文將徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于概率建模和概率計算中，具體為：本文使用基于高斯函數(shù)的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求取Nataf變換中標(biāo)準(zhǔn)高斯分布域的相關(guān)系數(shù)，同時使用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似了ATC計算模型，從兩方面分別實現(xiàn)了ATC概率分析的提速。通過實驗測試，本文的結(jié)論如下：

(1)本文提出的基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)系數(shù)計算方法能夠快速實現(xiàn)相關(guān)系數(shù)的計算，大大加快了概率分析的速度。經(jīng)實驗檢測，該方法計算的相關(guān)系數(shù)精度能夠滿足概率分析的需求。

(2)本文使用基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的ATC計算模型精度高、速度快。通過與基于極限學(xué)習(xí)機的ATC計算模型對比，相同效率下本文方法精度具有明顯優(yōu)勢。

(3)本文充分挖掘徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)，將其應(yīng)用在Nataf變換中的相關(guān)系數(shù)計算以及用以近似確定性ATC計算模型。在雙重改進的情況下，實現(xiàn)了精確而快速的ATC概率實時分析。