形式無約束下偏好集映射、拓?fù)浣缓鸵恢滦?/h1>
2022-02-18 04:00盧美華高曉波
盧美華,高曉波
(1.江西科技學(xué)院理科部,江西 南昌 330022;2.江西農(nóng)業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院,江西 南昌 330045)
0 引言
中國(guó)拓?fù)鋵W(xué)自身發(fā)展尤有特點(diǎn)，甚至可以說，拓?fù)鋵W(xué)在中國(guó)的發(fā)展達(dá)到了一種自為的狀態(tài)[1].拓?fù)湓诩夹g(shù)特征上粗糙性和可精細(xì)性能夠靈活協(xié)調(diào)，從而在社會(huì)科學(xué)理論構(gòu)造中具有十分突出的作用[2].序拓?fù)涞陌l(fā)展已經(jīng)具有體系化成果[3].事實(shí)上，正是由于交叉發(fā)展的需要,所以序拓?fù)涫艿搅硕鄠€(gè)國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目的支持[4].序拓?fù)淇臻g能超越一般度量并更適用于弱性空間，序拓?fù)淇臻g在選擇理論中的基礎(chǔ)性地位也更為突出.序方法在決策理論甚至物理社會(huì)理論、結(jié)構(gòu)社會(huì)理論中都有廣泛的應(yīng)用.當(dāng)然，在決策理論中的一些基本概念正是運(yùn)用序方法才得以開拓.如理性是決策理論的基礎(chǔ)，運(yùn)用序方法給出了有限理性的構(gòu)造方式[5].
另外，在結(jié)構(gòu)上的序拓?fù)湫再|(zhì)顯然獨(dú)立于其刻畫方式.但是，序的結(jié)構(gòu)性拓?fù)浼虞d卻因序刻畫方式的不同而產(chǎn)生不同的便利性，因此序刻畫方式在決策理論約束公理的配置中甚為重要.文獻(xiàn)[6]表明:群決策共識(shí)和一致性的研究同樣在系列國(guó)家自然科學(xué)基金的資助下獲得了深度研究，但一致性公理化有待于進(jìn)一步推進(jìn).然而,若引入集值映射來刻畫序，則一致性可表現(xiàn)為某種無條件運(yùn)算，序的集映射刻畫的便利性十分明顯，后續(xù)約束公理的加載更靈活廣闊.當(dāng)然，由于序拓?fù)涞男再|(zhì)在結(jié)構(gòu)上顯然獨(dú)立于刻畫方式，所以其共識(shí)、一致性未必存在，這將在運(yùn)算上有所表現(xiàn)，即表現(xiàn)為全局交空、定點(diǎn)交空，進(jìn)而一致性(共識(shí)運(yùn)算)失效.即使這樣，交運(yùn)算為形式刻畫一致性構(gòu)造了一個(gè)普適性框架，這將給出一致性研究的一種新路徑.當(dāng)然，一致性是美國(guó)國(guó)家工程院院士T.L. Saaty[7]于1994年從權(quán)重比例的相容性提出的；該“一致性”概念、一致性度量在層次分析法和統(tǒng)計(jì)決策中應(yīng)用最為廣泛，但最初的目的是從群決策方向上解決社會(huì)選擇的Arrow不可能問題[7].從而，融合序拓?fù)浜蜎Q策具有重要的理論和實(shí)踐意義.
本文采用集映射來刻畫偏好序，基于標(biāo)度空間考察標(biāo)度偏好序的共識(shí)運(yùn)算、一致性運(yùn)算的拓?fù)浣恍问娇坍嫞煌負(fù)浣皇且环N無條件運(yùn)算，從而能形成在基底層面上的結(jié)論.在序理論的廣闊體系上，本文聚焦于偏好序構(gòu)造的基本體系，即共識(shí)運(yùn)算存在性、偏好序完全性、嚴(yán)格性拓?fù)浣惶卣鳌⑵眯蚍纸獾耐負(fù)浣?，并獲得了基本結(jié)論，為序拓?fù)淅碚摷捌錁?gòu)造性應(yīng)用在基底層面上形成了邏輯支撐.同時(shí)，嚴(yán)格采用拓?fù)浣灰泽w系化編撰偏好序的重要方法，將為偏好序的“一致性研究”后續(xù)拓?fù)浼虞d提供廣闊的空間.當(dāng)然，本文所言及的共識(shí)和一致性是同一個(gè)概念，僅僅是要因襲不同文獻(xiàn)而同時(shí)采用.
1 基本概念和集序框架
設(shè)(X,?)中“?”關(guān)系滿足傳遞性，稱“?”為偏序；一般地，當(dāng)(X,?)中傳遞性關(guān)系“?”還滿足自反性時(shí),可記F:X→2X為擇優(yōu)映射，其中F(x)={y|x?y}.另外，傳遞自反性偏序集(X,?)可以分解，在(X,?)中記“x～y?x?y且y?x”，記“xy?x?y且y?x”.顯然(X,)也是偏序集，是(X,?)嚴(yán)格化，由此可導(dǎo)出嚴(yán)格擇優(yōu).當(dāng)偏序集(X,)中偏序滿足傳遞性、非自反性時(shí)，稱之為嚴(yán)格偏序.記為稱之為嚴(yán)格擇優(yōu)映射，也稱之為F導(dǎo)出的嚴(yán)格擇優(yōu)映射.另外，可定義“?”≡“?”,“”≡“?∪～”等,其含義是能自明的.再者，在僅僅滿足傳遞性的偏好集(X,?)中，偏好關(guān)系不是完全的；但一些完全性偏好集(X,?)集結(jié)后會(huì)部分喪失“?”的完全性，不過依然保持上界關(guān)系，這就是偏好格.
雖然后續(xù)“一致性”概念以數(shù)值測(cè)算廣泛應(yīng)用于量化決策理論和實(shí)踐之中，但T.L. Saaty最初卻是通過“解決其群體基礎(chǔ)偏好的相容性和一致性”來解決Arrow不可能性問題.徐玖平等[6]系列研究提出了各種復(fù)雜偏好信息的表征與處理策略,并且在一定程度上突破了共識(shí)(一致性)成本和共識(shí)(一致性)決策行為過程難以刻畫的瓶頸,吳志彬[8]從多種結(jié)構(gòu)提出了“共識(shí)(一致性)”測(cè)度.但是，這些研究特別是文獻(xiàn)[8]的各種結(jié)構(gòu)下“共識(shí)(一致性)”需要納入統(tǒng)一框架，并且這本身也在尋求某種共識(shí)(一致性).顯然,從無條件運(yùn)算上構(gòu)造界定“一致性”的框架將具有最廣泛的容納性.
為此，通過集映射刻畫偏好序并用集值交運(yùn)算刻畫一致性、共識(shí)就十分便利,這是一個(gè)新框架，不妨稱之為集序框架.當(dāng)然，集映射刻畫偏好序和集值交未必能達(dá)到數(shù)值測(cè)算一致性，但若增加拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)則可以達(dá)到.另外，無論是在何種映射空間上定義度量，或者加載拓?fù)?，雖然可以測(cè)算“映射對(duì)”之間的差異，但均無法測(cè)算“映射族”上的差異，而集映射刻畫偏好序和集值交在強(qiáng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下測(cè)算“映射族差異性”卻十分便利.因此，集映射序和集值交在共識(shí)測(cè)度上比在度量測(cè)度上更具適應(yīng)性.
定義1對(duì)于備擇物集A={α1,α2,…,αi}、標(biāo)度集V={1,2,…,j}及每個(gè)k∈V,稱集值映射Fk:A→2A為擇優(yōu)映射，若?α∈A,則α∈Fk(α),且α0∈Fk(α),于是Fk(α0)?Fk(α).同時(shí)，稱H={F|F:A→2A為擇優(yōu)映射}為擇優(yōu)映射空間，被簡(jiǎn)稱為擇優(yōu)空間.對(duì)k∈V,Hk為擇優(yōu)空間，則稱HV=H1×H2×…×Hj為V標(biāo)度擇優(yōu)空間.稱S:HV→H為共識(shí)映射,S(F1,F2,…,Fj)=FV,其中FV:A→2A為FV(α)=∩k∈VFk(α).
顯然，共識(shí)映射是一種社會(huì)選擇函數(shù)，若FV:A→2A刻畫了某個(gè)偏好，則共識(shí)映射就集結(jié)了偏好.更一般地，共識(shí)映射結(jié)合約束公理還解決了從個(gè)體偏好到群體偏好的可集結(jié)問題.當(dāng)然，F(xiàn)V:A→2A是非空的;不過，共識(shí)映射未受任何規(guī)范約束；再者，在集序上也可以加載約束公理，在強(qiáng)約束公理下，如何保障FV:A→2A的非空性是公理配置機(jī)制的核心，也是協(xié)調(diào)規(guī)則的關(guān)鍵之處.為后續(xù)方便，記集序框架為(A,V,H,HV,S).
2 主要結(jié)果
在集值映射刻畫偏好中和在以共識(shí)映射確定標(biāo)度集序的共識(shí)中，并沒有施加規(guī)范約束公理，共識(shí)運(yùn)算也是粗糙的，甚至不能保證共識(shí)存在.當(dāng)然，無論是按照社會(huì)選擇理論加載規(guī)范約束公理，還是按文獻(xiàn)[6]測(cè)算共識(shí)，集序框架都是普適的，且共識(shí)存在也均是弱性條件的.另外，通過共識(shí)運(yùn)算及其強(qiáng)弱化過程可以刻畫框架(A,V,H,HV,S)的整體特征.
2.1 共識(shí)運(yùn)算存在性
定理1在(A,V,H,HV,S)中,共識(shí)運(yùn)算S存在且是非空的.若S(F1,F2,…,Fj)恰為恒等映射,則S(F1,F2,…,Fj)(α)?∩F∈HF(α),即共識(shí)運(yùn)算是冗余的.
證在(A,V,H,HV,S)中,A={α1,α2,…,αi},V={1,2,…,j}.對(duì)每一k∈V,k在A中裝載偏好序?yàn)镕k:A→2A,其必然滿足?α∈A有α∈Fk(α).共識(shí)映射S:HV→H為S(F1,F2,…,Fj)=FV,其中FV(α)=∩k∈VFk(α),那么，?k∈V,α∈Fk(α),顯然有α∈∩k∈VFk(α)，即α∈FV(α).從而?α∈A有α∈FV(α),這保證了共識(shí)映射在S(F1,F2,…,Fj)=FV中的非空性.從而，要證S存在且非空，即證明FV∈H.
為證明FV∈H,任取α0∈FV(α),則α0∈
∩k∈VFk(α).從而對(duì)于每個(gè)k∈V,α0∈Fk(α),且Fk∈Hk,按照擇優(yōu)映射空間Hk定義，必有Fk(α0)?Fk(α).因此對(duì)于V必有∩k∈VFk(α0)?∩k∈VFk(α).由S(F1,F2,…,Fj)=FV確定FV(α)=∩k∈VFk(α),也就是FV(α0)=∩k∈VFk(α0)?∩k∈VFk(α)=FV(α).
綜上可知,?α∈A有α∈FV(α),且α0∈FV(α),則FV(α0)?FV(α),即證明了FV∈H.于是，本定理余下部分只需證明當(dāng)S(F1,F2,…,Fj)為恒等映射時(shí)運(yùn)算的冗余性，冗余性除去單點(diǎn)分解性外就是S(F1,F2,…,Fj)(α)?∩F∈HF(α).顯然,當(dāng)S(F1,F2,…,Fj)=FV為恒等映射時(shí)，?α∈A均有FV(α)={α}.而?F∈H,按擇優(yōu)映射空間H定義，?α∈A均有α∈F(α),從而α∈∩F∈HF(α),FV(α)={α}?∩F∈HF(α),即證明了當(dāng)S(F1,F2,…,Fj)為恒等映射時(shí)共識(shí)運(yùn)算的冗余性.
定理1得證.
另外，若序集(X,?)滿足完全性、傳遞性、自反性，則其F:X→2X為擇優(yōu)映射必滿足?αk、αt∈A,必有αk?F(αt)?αt∈F(αk).若在HV中每個(gè)標(biāo)度偏好序Fk都是完全的，則在每個(gè){α1,α2,…,αi}經(jīng)過適當(dāng)重排為{β1,β2,…,βi}后，可保證標(biāo)度k有Fk(β1)?Fk(β2)?…?Fk(βi),但FV(β1)、FV(β2)、…、FV(βi)卻未必有包含鏈.不過，嚴(yán)格序在交運(yùn)算后仍然可以判斷當(dāng)任何2個(gè)F(αt)與F(αk)交不空時(shí)要么為包含關(guān)系(即F(αt)?F(αk)或F(αt)?F(αk)),要么集合相等關(guān)系F(αt)=F(αk).為此，定義H′={F′|F′:A→2A為完全偏好序的擇優(yōu)映射}.顯然，H′?H為一般擇優(yōu)空間的子集，稱H′為全序擇優(yōu)空間.對(duì)于k∈V，若H′k為全序擇優(yōu)空間，則稱H′V=H′1×H′2×…×H′j為V標(biāo)度全序擇優(yōu)空間.但是，把共識(shí)映射限制在V標(biāo)度全序擇優(yōu)空間H′V上，其映像未必是在全序擇優(yōu)空間H′中，從而在H′V上的共識(shí)運(yùn)算未必是內(nèi)射的，故仍然為S:H′V→H.V標(biāo)度全序擇優(yōu)空間的框架為(A,V,H,H′V,S),并且在此框架中H′仍保留著偏好序的自反性，從而有如下推論成立.
推論1當(dāng)V標(biāo)度全序擇優(yōu)空間的框架為(A,V,H,H′V,S)時(shí),共識(shí)運(yùn)算S存在且是非空的.
2.2 完全性、嚴(yán)格擇優(yōu)特征
Inclusion criteria and exclusion criteria of literature for data mining were evaluated according to the following items.
注2定理2的證明過程是基于共識(shí)運(yùn)算S具有非空交的條件，這一條件在無限連續(xù)備擇物集條件下是平凡的,但有限離散備擇物集的S卻未必能無條件地存在非空交.按文獻(xiàn)[11]考察的IIA公理，局部共識(shí)運(yùn)算能存在非空交，從而整體共識(shí)運(yùn)算能存在非空交，但在IIA公理中從局部到整體的機(jī)制還未厘清.關(guān)于無限連續(xù)備擇物構(gòu)造，考慮齊齊尼爾斯基的連續(xù)性備擇物空間即可，胡衛(wèi)群[12]確實(shí)也肯定了連續(xù)性備擇物空間的現(xiàn)實(shí)性.而戈登·塔洛克[13]在美國(guó)軍費(fèi)預(yù)算方案表決局勢(shì)的研究中已經(jīng)提煉了無限連續(xù)備擇物的實(shí)例.
注3定理2表明:若交運(yùn)算在嚴(yán)格偏好序集上或者在完全偏好序集上構(gòu)造逐點(diǎn)構(gòu)造共識(shí)，則在集結(jié)方向上必然有格序偏好，這說明標(biāo)度偏好的一些特征并不能在集結(jié)中得到保持.在完全性、嚴(yán)格偏好序的集結(jié)中，標(biāo)度集V的調(diào)整、劃分形成標(biāo)度分類說明分類性的交運(yùn)算具有更好的一致性，文獻(xiàn)[14]中的格序上、下界的運(yùn)算能通過“分類一致性”指導(dǎo)化解這里的集結(jié)一致性.
2.3 分解構(gòu)造特征
推論2即為文獻(xiàn)[9]中的重要定理，這也說明拓?fù)浣坏倪m用廣度.
注5這里等價(jià)性通過交運(yùn)算來構(gòu)造；備擇物集能通過任何2個(gè)擇優(yōu)映射做交運(yùn)算能形成“最小非空映像集交”.本文全部是用基本的交運(yùn)算形成構(gòu)造性分析，雖然通過分解形成“?”≡“?”,“”≡“?∪～”等關(guān)系對(duì)相關(guān)定理進(jìn)行證明更為簡(jiǎn)便，但是，在形式公理化體系下相關(guān)結(jié)論要依據(jù)基本公理形成定理方式予以體系化編撰.而本文所有概念、判斷、定理都落到交運(yùn)算上予以刻畫，能形成更為嚴(yán)密的公理編撰體系.
3 討論
文獻(xiàn)[6]指出:在國(guó)家自然科學(xué)基金的資助下，群決策共識(shí)和一致性的研究同樣在系列國(guó)家自然科學(xué)基金中獲得了深度研究，但一致性、共識(shí)的公理化刻畫有待于進(jìn)一步推進(jìn).不過，若引入集值映射來刻畫序，則一致性可表現(xiàn)為一種無條件運(yùn)算，序的集映射刻畫的優(yōu)勢(shì)就十分明顯，后續(xù)約束公理的加載是廣闊的.同時(shí)，若回到基本的拓?fù)浣贿\(yùn)算予以構(gòu)造共識(shí)、一致性等概念，則在公理系統(tǒng)的系統(tǒng)編撰中結(jié)構(gòu)化邏輯是嚴(yán)格的和層次化的.當(dāng)然，采用拓?fù)浣恍纬傻木幾w系邏輯嚴(yán)格，層次清晰；事實(shí)上，拓?fù)浣皇且环N無條件運(yùn)算，本文諸結(jié)論基本涵蓋了偏好序構(gòu)造的基本體系，為序拓?fù)淅碚摷捌錁?gòu)造性應(yīng)用在基底層面上形成了邏輯支撐，但也存在些許缺陷，即全局交空、定點(diǎn)交空，一致性(共識(shí))在運(yùn)算層面上失效[15].
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另外，在結(jié)構(gòu)上的序拓?fù)湫再|(zhì)顯然獨(dú)立于其刻畫方式.但是，序的結(jié)構(gòu)性拓?fù)浼虞d卻因序刻畫方式的不同而產(chǎn)生不同的便利性，因此序刻畫方式在決策理論約束公理的配置中甚為重要.文獻(xiàn)[6]表明:群決策共識(shí)和一致性的研究同樣在系列國(guó)家自然科學(xué)基金的資助下獲得了深度研究，但一致性公理化有待于進(jìn)一步推進(jìn).然而,若引入集值映射來刻畫序，則一致性可表現(xiàn)為某種無條件運(yùn)算，序的集映射刻畫的便利性十分明顯，后續(xù)約束公理的加載更靈活廣闊.當(dāng)然，由于序拓?fù)涞男再|(zhì)在結(jié)構(gòu)上顯然獨(dú)立于刻畫方式，所以其共識(shí)、一致性未必存在，這將在運(yùn)算上有所表現(xiàn)，即表現(xiàn)為全局交空、定點(diǎn)交空，進(jìn)而一致性(共識(shí)運(yùn)算)失效.即使這樣，交運(yùn)算為形式刻畫一致性構(gòu)造了一個(gè)普適性框架，這將給出一致性研究的一種新路徑.當(dāng)然，一致性是美國(guó)國(guó)家工程院院士T.L. Saaty[7]于1994年從權(quán)重比例的相容性提出的；該“一致性”概念、一致性度量在層次分析法和統(tǒng)計(jì)決策中應(yīng)用最為廣泛，但最初的目的是從群決策方向上解決社會(huì)選擇的Arrow不可能問題[7].從而，融合序拓?fù)浜蜎Q策具有重要的理論和實(shí)踐意義.
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1 基本概念和集序框架
設(shè)(X,?)中“?”關(guān)系滿足傳遞性，稱“?”為偏序；一般地，當(dāng)(X,?)中傳遞性關(guān)系“?”還滿足自反性時(shí),可記F:X→2X為擇優(yōu)映射，其中F(x)={y|x?y}.另外，傳遞自反性偏序集(X,?)可以分解，在(X,?)中記“x～y?x?y且y?x”，記“xy?x?y且y?x”.顯然(X,)也是偏序集，是(X,?)嚴(yán)格化，由此可導(dǎo)出嚴(yán)格擇優(yōu).當(dāng)偏序集(X,)中偏序滿足傳遞性、非自反性時(shí)，稱之為嚴(yán)格偏序.記為稱之為嚴(yán)格擇優(yōu)映射，也稱之為F導(dǎo)出的嚴(yán)格擇優(yōu)映射.另外，可定義“?”≡“?”,“”≡“?∪～”等,其含義是能自明的.再者，在僅僅滿足傳遞性的偏好集(X,?)中，偏好關(guān)系不是完全的；但一些完全性偏好集(X,?)集結(jié)后會(huì)部分喪失“?”的完全性，不過依然保持上界關(guān)系，這就是偏好格.
雖然后續(xù)“一致性”概念以數(shù)值測(cè)算廣泛應(yīng)用于量化決策理論和實(shí)踐之中，但T.L. Saaty最初卻是通過“解決其群體基礎(chǔ)偏好的相容性和一致性”來解決Arrow不可能性問題.徐玖平等[6]系列研究提出了各種復(fù)雜偏好信息的表征與處理策略,并且在一定程度上突破了共識(shí)(一致性)成本和共識(shí)(一致性)決策行為過程難以刻畫的瓶頸,吳志彬[8]從多種結(jié)構(gòu)提出了“共識(shí)(一致性)”測(cè)度.但是，這些研究特別是文獻(xiàn)[8]的各種結(jié)構(gòu)下“共識(shí)(一致性)”需要納入統(tǒng)一框架，并且這本身也在尋求某種共識(shí)(一致性).顯然,從無條件運(yùn)算上構(gòu)造界定“一致性”的框架將具有最廣泛的容納性.
為此，通過集映射刻畫偏好序并用集值交運(yùn)算刻畫一致性、共識(shí)就十分便利,這是一個(gè)新框架，不妨稱之為集序框架.當(dāng)然，集映射刻畫偏好序和集值交未必能達(dá)到數(shù)值測(cè)算一致性，但若增加拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)則可以達(dá)到.另外，無論是在何種映射空間上定義度量，或者加載拓?fù)?，雖然可以測(cè)算“映射對(duì)”之間的差異，但均無法測(cè)算“映射族”上的差異，而集映射刻畫偏好序和集值交在強(qiáng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下測(cè)算“映射族差異性”卻十分便利.因此，集映射序和集值交在共識(shí)測(cè)度上比在度量測(cè)度上更具適應(yīng)性.
定義1對(duì)于備擇物集A={α1,α2,…,αi}、標(biāo)度集V={1,2,…,j}及每個(gè)k∈V,稱集值映射Fk:A→2A為擇優(yōu)映射，若?α∈A,則α∈Fk(α),且α0∈Fk(α),于是Fk(α0)?Fk(α).同時(shí)，稱H={F|F:A→2A為擇優(yōu)映射}為擇優(yōu)映射空間，被簡(jiǎn)稱為擇優(yōu)空間.對(duì)k∈V,Hk為擇優(yōu)空間，則稱HV=H1×H2×…×Hj為V標(biāo)度擇優(yōu)空間.稱S:HV→H為共識(shí)映射,S(F1,F2,…,Fj)=FV,其中FV:A→2A為FV(α)=∩k∈VFk(α).
顯然，共識(shí)映射是一種社會(huì)選擇函數(shù)，若FV:A→2A刻畫了某個(gè)偏好，則共識(shí)映射就集結(jié)了偏好.更一般地，共識(shí)映射結(jié)合約束公理還解決了從個(gè)體偏好到群體偏好的可集結(jié)問題.當(dāng)然，F(xiàn)V:A→2A是非空的;不過，共識(shí)映射未受任何規(guī)范約束；再者，在集序上也可以加載約束公理，在強(qiáng)約束公理下，如何保障FV:A→2A的非空性是公理配置機(jī)制的核心，也是協(xié)調(diào)規(guī)則的關(guān)鍵之處.為后續(xù)方便，記集序框架為(A,V,H,HV,S).
2 主要結(jié)果
在集值映射刻畫偏好中和在以共識(shí)映射確定標(biāo)度集序的共識(shí)中，并沒有施加規(guī)范約束公理，共識(shí)運(yùn)算也是粗糙的，甚至不能保證共識(shí)存在.當(dāng)然，無論是按照社會(huì)選擇理論加載規(guī)范約束公理，還是按文獻(xiàn)[6]測(cè)算共識(shí)，集序框架都是普適的，且共識(shí)存在也均是弱性條件的.另外，通過共識(shí)運(yùn)算及其強(qiáng)弱化過程可以刻畫框架(A,V,H,HV,S)的整體特征.
2.1 共識(shí)運(yùn)算存在性
定理1在(A,V,H,HV,S)中,共識(shí)運(yùn)算S存在且是非空的.若S(F1,F2,…,Fj)恰為恒等映射,則S(F1,F2,…,Fj)(α)?∩F∈HF(α),即共識(shí)運(yùn)算是冗余的.
證在(A,V,H,HV,S)中,A={α1,α2,…,αi},V={1,2,…,j}.對(duì)每一k∈V,k在A中裝載偏好序?yàn)镕k:A→2A,其必然滿足?α∈A有α∈Fk(α).共識(shí)映射S:HV→H為S(F1,F2,…,Fj)=FV,其中FV(α)=∩k∈VFk(α),那么，?k∈V,α∈Fk(α),顯然有α∈∩k∈VFk(α)，即α∈FV(α).從而?α∈A有α∈FV(α),這保證了共識(shí)映射在S(F1,F2,…,Fj)=FV中的非空性.從而，要證S存在且非空，即證明FV∈H.
為證明FV∈H,任取α0∈FV(α),則α0∈
∩k∈VFk(α).從而對(duì)于每個(gè)k∈V,α0∈Fk(α),且Fk∈Hk,按照擇優(yōu)映射空間Hk定義，必有Fk(α0)?Fk(α).因此對(duì)于V必有∩k∈VFk(α0)?∩k∈VFk(α).由S(F1,F2,…,Fj)=FV確定FV(α)=∩k∈VFk(α),也就是FV(α0)=∩k∈VFk(α0)?∩k∈VFk(α)=FV(α).
綜上可知,?α∈A有α∈FV(α),且α0∈FV(α),則FV(α0)?FV(α),即證明了FV∈H.于是，本定理余下部分只需證明當(dāng)S(F1,F2,…,Fj)為恒等映射時(shí)運(yùn)算的冗余性，冗余性除去單點(diǎn)分解性外就是S(F1,F2,…,Fj)(α)?∩F∈HF(α).顯然,當(dāng)S(F1,F2,…,Fj)=FV為恒等映射時(shí)，?α∈A均有FV(α)={α}.而?F∈H,按擇優(yōu)映射空間H定義，?α∈A均有α∈F(α),從而α∈∩F∈HF(α),FV(α)={α}?∩F∈HF(α),即證明了當(dāng)S(F1,F2,…,Fj)為恒等映射時(shí)共識(shí)運(yùn)算的冗余性.
定理1得證.
另外，若序集(X,?)滿足完全性、傳遞性、自反性，則其F:X→2X為擇優(yōu)映射必滿足?αk、αt∈A,必有αk?F(αt)?αt∈F(αk).若在HV中每個(gè)標(biāo)度偏好序Fk都是完全的，則在每個(gè){α1,α2,…,αi}經(jīng)過適當(dāng)重排為{β1,β2,…,βi}后，可保證標(biāo)度k有Fk(β1)?Fk(β2)?…?Fk(βi),但FV(β1)、FV(β2)、…、FV(βi)卻未必有包含鏈.不過，嚴(yán)格序在交運(yùn)算后仍然可以判斷當(dāng)任何2個(gè)F(αt)與F(αk)交不空時(shí)要么為包含關(guān)系(即F(αt)?F(αk)或F(αt)?F(αk)),要么集合相等關(guān)系F(αt)=F(αk).為此，定義H′={F′|F′:A→2A為完全偏好序的擇優(yōu)映射}.顯然，H′?H為一般擇優(yōu)空間的子集，稱H′為全序擇優(yōu)空間.對(duì)于k∈V，若H′k為全序擇優(yōu)空間，則稱H′V=H′1×H′2×…×H′j為V標(biāo)度全序擇優(yōu)空間.但是，把共識(shí)映射限制在V標(biāo)度全序擇優(yōu)空間H′V上，其映像未必是在全序擇優(yōu)空間H′中，從而在H′V上的共識(shí)運(yùn)算未必是內(nèi)射的，故仍然為S:H′V→H.V標(biāo)度全序擇優(yōu)空間的框架為(A,V,H,H′V,S),并且在此框架中H′仍保留著偏好序的自反性，從而有如下推論成立.
推論1當(dāng)V標(biāo)度全序擇優(yōu)空間的框架為(A,V,H,H′V,S)時(shí),共識(shí)運(yùn)算S存在且是非空的.
2.2 完全性、嚴(yán)格擇優(yōu)特征
Inclusion criteria and exclusion criteria of literature for data mining were evaluated according to the following items.
注2定理2的證明過程是基于共識(shí)運(yùn)算S具有非空交的條件，這一條件在無限連續(xù)備擇物集條件下是平凡的,但有限離散備擇物集的S卻未必能無條件地存在非空交.按文獻(xiàn)[11]考察的IIA公理，局部共識(shí)運(yùn)算能存在非空交，從而整體共識(shí)運(yùn)算能存在非空交，但在IIA公理中從局部到整體的機(jī)制還未厘清.關(guān)于無限連續(xù)備擇物構(gòu)造，考慮齊齊尼爾斯基的連續(xù)性備擇物空間即可，胡衛(wèi)群[12]確實(shí)也肯定了連續(xù)性備擇物空間的現(xiàn)實(shí)性.而戈登·塔洛克[13]在美國(guó)軍費(fèi)預(yù)算方案表決局勢(shì)的研究中已經(jīng)提煉了無限連續(xù)備擇物的實(shí)例.
注3定理2表明:若交運(yùn)算在嚴(yán)格偏好序集上或者在完全偏好序集上構(gòu)造逐點(diǎn)構(gòu)造共識(shí)，則在集結(jié)方向上必然有格序偏好，這說明標(biāo)度偏好的一些特征并不能在集結(jié)中得到保持.在完全性、嚴(yán)格偏好序的集結(jié)中，標(biāo)度集V的調(diào)整、劃分形成標(biāo)度分類說明分類性的交運(yùn)算具有更好的一致性，文獻(xiàn)[14]中的格序上、下界的運(yùn)算能通過“分類一致性”指導(dǎo)化解這里的集結(jié)一致性.
2.3 分解構(gòu)造特征
推論2即為文獻(xiàn)[9]中的重要定理，這也說明拓?fù)浣坏倪m用廣度.
注5這里等價(jià)性通過交運(yùn)算來構(gòu)造；備擇物集能通過任何2個(gè)擇優(yōu)映射做交運(yùn)算能形成“最小非空映像集交”.本文全部是用基本的交運(yùn)算形成構(gòu)造性分析，雖然通過分解形成“?”≡“?”,“”≡“?∪～”等關(guān)系對(duì)相關(guān)定理進(jìn)行證明更為簡(jiǎn)便，但是，在形式公理化體系下相關(guān)結(jié)論要依據(jù)基本公理形成定理方式予以體系化編撰.而本文所有概念、判斷、定理都落到交運(yùn)算上予以刻畫，能形成更為嚴(yán)密的公理編撰體系.
3 討論
文獻(xiàn)[6]指出:在國(guó)家自然科學(xué)基金的資助下，群決策共識(shí)和一致性的研究同樣在系列國(guó)家自然科學(xué)基金中獲得了深度研究，但一致性、共識(shí)的公理化刻畫有待于進(jìn)一步推進(jìn).不過，若引入集值映射來刻畫序，則一致性可表現(xiàn)為一種無條件運(yùn)算，序的集映射刻畫的優(yōu)勢(shì)就十分明顯，后續(xù)約束公理的加載是廣闊的.同時(shí)，若回到基本的拓?fù)浣贿\(yùn)算予以構(gòu)造共識(shí)、一致性等概念，則在公理系統(tǒng)的系統(tǒng)編撰中結(jié)構(gòu)化邏輯是嚴(yán)格的和層次化的.當(dāng)然，采用拓?fù)浣恍纬傻木幾w系邏輯嚴(yán)格，層次清晰；事實(shí)上，拓?fù)浣皇且环N無條件運(yùn)算，本文諸結(jié)論基本涵蓋了偏好序構(gòu)造的基本體系，為序拓?fù)淅碚摷捌錁?gòu)造性應(yīng)用在基底層面上形成了邏輯支撐，但也存在些許缺陷，即全局交空、定點(diǎn)交空，一致性(共識(shí))在運(yùn)算層面上失效[15].
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