周大勇,孫建梅

(1.大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028；2.大連科技學(xué)院 數(shù)字技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116052)①

全球大流行的新發(fā)傳染病COVID-19對人類生活產(chǎn)生了極大的沖擊和影響,目前確診病例仍然居高不下.截至2021年8月27日，根據(jù)世界衛(wèi)生組織公布的數(shù)據(jù)，全球共有214 468 601例確診為COVID-19病例，其中包括4 470 969例死亡病例，而且這些數(shù)據(jù)仍在快速增長中.隨著新冠疫苗的逐步接種，人們對疫苗的保護(hù)效率非常關(guān)心.輝瑞和BioNTech公布了3期臨床試驗(yàn)的六個月隨訪數(shù)據(jù)，在接種第二劑疫苗長達(dá)6個月的時間里，疫苗針對有癥狀感染的保護(hù)效率為91.3%，與最先公布的95%的保護(hù)率基本一致，表明這款疫苗的保護(hù)期至少有6個月.不僅如此，疫苗預(yù)防嚴(yán)重疾病的有效保護(hù)率為95.3%～100%[1-4]，即在較短的時間內(nèi)，疫苗對于COVID-19流行病的保護(hù)效率是非常高的.對于COVID-19傳播規(guī)律與防控措施的研究，建立微分方程動力學(xué)模型進(jìn)行探討是采用較多的一種方法[5-9].疫苗接種對于控制COVID-19的傳播是目前各國正在大力推行的措施之一.雷仙鶴、王鴻章、朱煥等人對于疫苗接種對于傳染病的最優(yōu)策略及對傳染病傳播影響進(jìn)行了探討[10-12].本文假設(shè)在一定時期內(nèi)，由于媒介的宣傳、政府的政策對區(qū)域進(jìn)行封鎖作用，某一區(qū)域不考慮新的人群注入和自然出生及自然死亡人群，各人群混合均勻.接種疫苗的易感者在一定時期內(nèi)完全有免疫力成為恢復(fù)者，恢復(fù)者自身也具有完全免疫力，即他們通過自身獲得免疫后短時間內(nèi)不再成為易感者.潛伏者經(jīng)過潛伏期都發(fā)病或者檢測都轉(zhuǎn)化為患者，潛伏者不具備通過自身免疫變成恢復(fù)者.論文的結(jié)構(gòu)如下,在第一節(jié)中，建立了COVID-19傳播的具有短期保護(hù)效率的疫苗接種動力學(xué)模型.在第二節(jié)中，分析了基本再生數(shù)、模型的平衡點(diǎn)、局部穩(wěn)定性條件.在第三節(jié)中進(jìn)行了數(shù)值模擬.最后在第四節(jié)中給出了結(jié)論和一些展望.

1 改進(jìn)的SEIR模型

將某一地區(qū)的人群可以分為易感者(S(t))、潛伏者(E(t))、患者(I(t)有癥狀)、檢測隔離者(Q(t))、恢復(fù)者(R(t))、死亡者(D(t)).假定各人群混合均勻，并且在媒體的宣傳、人群個人的防范意識和嚴(yán)格的封閉措施下該地區(qū)沒有新增注入的人口.假設(shè)易感者以β的概率接觸潛伏者或者染病者.易感者受到媒體報道的影響后，考慮疫苗供給能力的影響，接種率為μ.短期內(nèi)接種疫苗具有完全保護(hù)效力，當(dāng)人群選擇接種疫苗而轉(zhuǎn)化為恢復(fù)者，潛伏者中有η減弱比例，潛伏者的發(fā)病率為α.患者中檢測確診后以隔離率λ進(jìn)行入院隔離治療成為隔離者Q(t).患者的自愈率和死亡率分別為rI,dI.入院隔離患者的治愈率和死亡率分別為rQ,dQ.隔離患者Q(t)無論輕癥或者重癥都進(jìn)入醫(yī)院占用醫(yī)療資源M.在以上假設(shè)下的各人群轉(zhuǎn)化見圖1.

圖1 各人群傳染病傳播倉室圖

通過上述轉(zhuǎn)化圖，建立如下對應(yīng)的COVID-19傳播的微分方程:

(1)

初始時刻，

S(0)=S0>0,E(0)=E0>0,I(0)≥0,

Q(0)≥0,R(0)≥0,D(0)≥0

2 模型分析

2.1 基本再生數(shù)R0

利用下一代矩陣法[13]求模型(1)的基本再生數(shù)R0，受感染的倉室為E，I，F(xiàn)(X)表示新感染疾病的矩陣，V(X)表示傳染病方程組間的轉(zhuǎn)移矩陣，由(1)得到：

(2)

F(X),V(X)關(guān)于E，I的雅克比矩陣為：

(3)

模型(1)有一個無病平衡點(diǎn)P0=(S*,0,0，0),F,V在點(diǎn)P0雅克比矩陣

(4)

則模型(1)下一代矩陣為:

(5)

上式的最大譜半徑為:

(6)

則模型(1)的基本再生數(shù)為：

(7)

2.2 平衡點(diǎn)及局部穩(wěn)定性

設(shè)定k1=λ+rI+dI;k2=rQ+dQ,k3=k1η+α,由于模型中前4方程不含R,D,模型(1)有無病平衡點(diǎn)

P0=(S*,0,0，0)≈(N,0,0,0)和地方病平衡點(diǎn)

(8)

通過線性化模型(1)，分析平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，得到如下雅可比矩陣：

(9)

2.2.1 無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

證明：系統(tǒng)(1) 在無病平衡點(diǎn)P0處的雅克比矩陣為：

上述矩陣顯然有特征值：

(10)

(11)

當(dāng)R0<1時，即

(12)

(13)

由上可知模型(1)在無病平衡點(diǎn)P0的雅克比矩陣的特征值的實(shí)部均為負(fù)，則P0為局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.當(dāng)R0>1時，

αk1-(βηk1+αβ)<0

2.2.2 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件

模型(1)在地方病平衡點(diǎn)的雅可比矩陣為：

(14)

(15)

則地方病平衡點(diǎn)處的雅克比矩陣為：

(16)

(17)

其中a1=k1+k4+α-k5

a2=k1k4+αk1+αk4-αk6-k1k5

a3=αk1k4

利用Routh-Hurwtiz定理，特征方程(16)的根全為負(fù)實(shí)部當(dāng)且僅當(dāng)下列式子成立

(i)a1>0 (ii)a1·a2-a3>0

(18)

則當(dāng)(18)式成立時，地方病平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的.

3 數(shù)值模擬

(a) μ=0.000 01

從圖2(a)可知，新發(fā)傳染病從潛伏者發(fā)病開始蔓延傳染，當(dāng)接種率處于較低水平時，群體接近80%將感染.經(jīng)過一段時間演化后，染病人數(shù)和需要入院隔離治療的患者人數(shù)達(dá)到峰值.隔離患者峰值在某一時間接近總?cè)巳旱娜种?，說明對于新發(fā)傳染病，如果不加以干預(yù)的話將給醫(yī)療系統(tǒng)帶來較大的沖擊和壓力，同時將影響入院患者的治愈率.圖2(b)可知，當(dāng)接種率處于較高水平時，感染人數(shù)及隔離人數(shù)和死亡人數(shù)相應(yīng)將減少.醫(yī)療擠兌的情況得到緩解.

如果此時疫苗資源充足，入院隔離率λ=0.2保持不變，提高易感人群的疫苗接種率

μ=0.000 5k+0.000 05,k∈{0,2,4,6,8,10}，其他參數(shù)不變，各類人群演化圖如圖3所示.

圖3 接種率逐步提高時，各人群數(shù)量演化圖

從圖3(a)、3(b)可知,接種率提高時，感染人數(shù)與入院隔離患者明顯降低，而且可以明顯減緩峰值到達(dá)的時間.而且在此時設(shè)定的參數(shù)背景下，當(dāng)接種率μ>0.005時，感染人數(shù)和需要入院進(jìn)行救治患者急劇減少幾乎接近0.同時，從圖3(c)、3(d)可知，隨著接種率的提高，具有免疫力的人群數(shù)量在單位時間內(nèi)增加的速度更快，這樣會更好地控制疫情的傳播.從圖3(d)可知，提高接種率可以減少死亡人數(shù)，特別是當(dāng)μ>0.005時，人群的死亡率幾乎接近于0.對于這種自限性新發(fā)傳染病，及時接種疫苗是降低死亡率較好的應(yīng)對策略.

如果在疫苗資源有限的情況下，不妨假定接種率μ=0.003，討論入院隔離率(確診率)變化對疫情傳播的影響.如果醫(yī)療資源足夠多，即M≥107，不存在醫(yī)療擠兌情況下，隔離患者的治愈率和死亡率仍舊不變，取λ=0.03k+0.01,k={0,2，4,6，8，10}，各人群演化圖如圖4所示.

圖4 隔離率變化時，各人群數(shù)量演化圖

從圖4(a)中可知，隔離率提高可以明顯降低感染者峰值數(shù)量，并且可以延緩峰值到來的時間.在此參數(shù)背景下，當(dāng)隔離率λ>0.3時，感染人數(shù)峰值幾乎接近0.從圖4(b)、4(d)中可知入院隔離患者和死亡患者的峰值隨著隔離率提高而增加，當(dāng)隔離率接近λ=0.07時達(dá)到最大值.而當(dāng)λ∈(0.07,0.31)時，隔離患者與死亡患者的峰值隨著隔離率的增加而減少.從圖4(c)可知，恢復(fù)者在隔離率處于較低水平時，增加的速度較快.而當(dāng)隔離率提高時，恢復(fù)者數(shù)量增加較慢.這是由于大量需要治療的隔離患者進(jìn)入系統(tǒng)的原因.

4 結(jié)論

自2019年底新冠肺炎(COVID-19)大流行以來，該新發(fā)傳染病目前仍在全世界蔓延.對于控制該傳染病的傳播，接種疫苗和保持非治療的預(yù)防措施仍然是最重要的手段.本文研究了短期保護(hù)效率下疫苗接種和隔離措施新發(fā)傳染病的影響，通過建立SEIQR模型進(jìn)行數(shù)值分析.結(jié)果表明，新發(fā)傳染病從潛伏者發(fā)病開始蔓延傳染，當(dāng)接種率處于較低水平時，群體接近80%將感染.經(jīng)過一段時間演化后，染病人數(shù)和需要入院隔離治療的患者人數(shù)達(dá)到峰值.隔離患者峰值在某一時間接近總?cè)巳旱娜种唬f明對于新發(fā)傳染病，如果不加以干預(yù)的話將給醫(yī)療系統(tǒng)帶來較大的沖擊和壓力，同時將影響入院患者的治愈率.當(dāng)接種率處于較高水平時，感染人數(shù)及隔離人數(shù)和死亡人數(shù)相應(yīng)將減少，可以明顯減緩峰值到達(dá)的時間，醫(yī)療擠兌的情況將得到緩解.當(dāng)疫苗資源有限時，提高隔離率可以減緩疫情傳播，降低患病入院峰值的到達(dá)時間.隨著隔離率的增加，染病死亡人數(shù)呈現(xiàn)先增加后降低的變化趨勢.

本文僅僅考慮了短期內(nèi)疫苗完全保護(hù)下COVID-19的傳播影響.隨著該傳染病的病毒不斷變異，加上疫苗隨著時間變化的保護(hù)效率降低，以及人們防護(hù)措施隨著疫苗介入也可能發(fā)生改變等，可以對模型做進(jìn)一步的改進(jìn)，對于該新發(fā)傳染病的傳染規(guī)律這有待于進(jìn)一步的研究.