洪燕君　喻平

摘要：基于皮亞杰認(rèn)知發(fā)展理論，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課例，對(duì)如何實(shí)現(xiàn)同化、達(dá)到順應(yīng)、取得平衡等問(wèn)題，給出“創(chuàng)設(shè)真實(shí)性問(wèn)題情境”“依托情境先做后教”“搭好探究坡度，做好邏輯關(guān)聯(lián)”“增加關(guān)聯(lián)引導(dǎo)，促進(jìn)知識(shí)遷移”“設(shè)疑追問(wèn)，巧推平衡”和“抽象拓展，牽引平衡”的應(yīng)用策略，揭示出學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中“點(diǎn)連成線、線結(jié)成面、面化為體”的知識(shí)內(nèi)化過(guò)程。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知發(fā)展理論;小學(xué)數(shù)學(xué);同化;順應(yīng);平衡

本文系石河子大學(xué)高層次人才科研啟動(dòng)資金項(xiàng)目“數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的研究”（編號(hào)：RCSK2018C15）的階段性研究成果。傳遞人類已有的文化科學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是教育的一個(gè)基本特征。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程從認(rèn)知的本質(zhì)來(lái)看，是學(xué)生積極主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，也是一個(gè)文化傳承的過(guò)程。謝明初.數(shù)學(xué)教育中的建構(gòu)主義：一個(gè)哲學(xué)的審視[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2007：38。建構(gòu)主義作為一種教育思想或認(rèn)知方式，流派眾多，體系龐雜。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)數(shù)學(xué)教育影響較大的主要有認(rèn)知建構(gòu)主義、激進(jìn)建構(gòu)主義、社會(huì)建構(gòu)主義。那么，數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中，學(xué)生內(nèi)化知識(shí)的認(rèn)知過(guò)程是怎樣的？即：如何實(shí)現(xiàn)“同化”，達(dá)到“順應(yīng)”，取得“平衡”？本文擬從認(rèn)知建構(gòu)主義視角，以皮亞杰認(rèn)知發(fā)展理論詮釋小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，并以具體教學(xué)課例對(duì)“同化”“順應(yīng)”和“平衡”作出策略剖析，以期回答上述問(wèn)題。

一、皮亞杰認(rèn)知發(fā)展理論概述

皮亞杰是瑞士著名心理學(xué)家，他通過(guò)對(duì)兒童認(rèn)知智力、思維發(fā)展等諸多方面廣泛而深入的研究，認(rèn)為兒童的認(rèn)知發(fā)展是內(nèi)因和外因相互作用的結(jié)果，提出了隨著環(huán)境和自身的變化，有機(jī)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和功能必然不斷變化，以適應(yīng)變化條件的認(rèn)知發(fā)展理論。皮亞杰的認(rèn)識(shí)論主要研究的內(nèi)容是知識(shí)的起源、知識(shí)的形成，以及知識(shí)構(gòu)成的心理機(jī)制。邵瑞珍.教育大辭典·教育心理學(xué)卷[M].上海：上海教育出版社，1990：233236。

（一）幾個(gè)概念的內(nèi)涵

“圖式”“同化”“順應(yīng)”“平衡”是皮亞杰認(rèn)知理論體系中的核心概念。

“圖式”是指?jìng)€(gè)體對(duì)世界的知覺(jué)、理解和思考的方式，是動(dòng)作的結(jié)構(gòu)和組織，這些結(jié)構(gòu)和組織在相同或類似的環(huán)境中由于不斷重復(fù)而得到遷移或概括。皮亞杰認(rèn)為，圖式是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的起點(diǎn)和核心，它的形成和變化是認(rèn)知發(fā)展的實(shí)質(zhì)，而認(rèn)知發(fā)展過(guò)程會(huì)受到同化、順應(yīng)、平衡的影響。圖式來(lái)自遺傳，以后在適應(yīng)環(huán)境的過(guò)程中不斷得到改變和豐富，低級(jí)的圖式經(jīng)過(guò)同化、順應(yīng)、平衡而逐步轉(zhuǎn)變成高級(jí)的圖式。

“同化”原本是生物學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要概念，指生物體在新陳代謝中把從外界環(huán)境中攝取的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)轉(zhuǎn)變成自身的組成物質(zhì)，并儲(chǔ)存能量的過(guò)程。皮亞杰將這一概念應(yīng)用于心理學(xué)，指?jìng)€(gè)體把外界刺激所提供的信息過(guò)濾或整合到自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的過(guò)程，即人們?cè)噲D用已經(jīng)存在的圖式解釋事物時(shí)所產(chǎn)生的、將新的知識(shí)納入原有的知識(shí)體系中進(jìn)行解釋的過(guò)程。阿妮塔·伍德沃克.教育心理學(xué)（第八版）[M].陳紅兵，張春莉，譯.南京：江蘇教育出版社，2005：30。研究表明，隨著個(gè)體認(rèn)知的發(fā)展，同化將經(jīng)歷三種形式：（1）再現(xiàn)性同化，即對(duì)刺激作出相同的重復(fù)反應(yīng);（2）再認(rèn)性同化，即基于辨別差異作出不同的反應(yīng);（3）概括性同化，即基于知覺(jué)的相似性進(jìn)行歸類。

前沿論壇教育研究與評(píng)論小學(xué)教育教學(xué)/2022年1月“順應(yīng)”是指外部環(huán)境發(fā)生變化，而原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)無(wú)法同化新環(huán)境提供的信息時(shí)所引起的個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生重組與改造的過(guò)程，即認(rèn)知者將事物同化到他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，同時(shí)調(diào)節(jié)這些結(jié)構(gòu)，以適應(yīng)這種影響的過(guò)程。皮亞杰.皮亞杰教育論著選[M].盧濬，選譯.北京：人民教育出版社，1990：2。皮亞杰認(rèn)為，一切認(rèn)識(shí)都離不開(kāi)認(rèn)知圖式的同化和順應(yīng)，即不存在純粹的同化和順應(yīng)。就本質(zhì)而言，同化主要指?jìng)€(gè)體對(duì)環(huán)境的作用，順應(yīng)主要指環(huán)境對(duì)個(gè)體的作用。施良方.學(xué)習(xí)論：學(xué)習(xí)心理學(xué)的理論與原理[M].北京：人民教育出版社，1994：181。認(rèn)識(shí)是認(rèn)知圖式順應(yīng)于外物和外物同化于認(rèn)知圖式這兩個(gè)對(duì)立統(tǒng)一過(guò)程的產(chǎn)物。

“平衡”是指?jìng)€(gè)體通過(guò)自我調(diào)節(jié)機(jī)制使認(rèn)知發(fā)展從一個(gè)平衡狀態(tài)向另一個(gè)較高的平衡狀態(tài)過(guò)渡的過(guò)程。一般來(lái)說(shuō)，個(gè)體遇到新刺激時(shí)如果用原有圖示進(jìn)行同化獲得成功，認(rèn)知便達(dá)到一種平衡，否則將調(diào)節(jié)或重建新圖式，即通過(guò)順應(yīng)達(dá)到一種新平衡。智慧活動(dòng)依賴于同化與順應(yīng)這兩種機(jī)能從最初不穩(wěn)定的平衡過(guò)渡到逐漸穩(wěn)定的平衡。J.皮亞杰，B.英海爾德.兒童心理學(xué)[M].吳福元，譯.北京：商務(wù)印書(shū)館，1980：433。平衡的這種連續(xù)不斷的發(fā)展就是整個(gè)認(rèn)知發(fā)展的過(guò)程。皮亞杰.發(fā)生認(rèn)識(shí)論原理[M].王憲鈿，等譯.北京：商務(wù)印書(shū)館，1981：3。皮亞杰認(rèn)為，平衡是在個(gè)體知識(shí)的同化與順應(yīng)之間、各子系統(tǒng)（指不同領(lǐng)域的知識(shí)的結(jié)果，如數(shù)、長(zhǎng)度和時(shí)間等）之間、部分知識(shí)與整體知識(shí)之間的關(guān)系的認(rèn)知水平上思維調(diào)節(jié)的過(guò)程。

（二）幾個(gè)概念的關(guān)系

首先，順應(yīng)發(fā)生在同化之后，沒(méi)有同化就沒(méi)有順應(yīng)。當(dāng)主體試圖同化新知識(shí)，而又不能將新知識(shí)同化，出現(xiàn)一種不平衡狀態(tài)時(shí)，才能引發(fā)順應(yīng)活動(dòng)。順應(yīng)的目的是同化新知識(shí)，同時(shí)對(duì)個(gè)體原來(lái)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如果順應(yīng)活動(dòng)不能取得成功，新知識(shí)就不能被同化;新知識(shí)無(wú)法被納入個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，認(rèn)識(shí)也就得不到發(fā)展。因此，主體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展離不開(kāi)同化和順應(yīng)的聯(lián)合作用。在同化和順應(yīng)的聯(lián)合作用過(guò)程中，主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展通過(guò)不斷建構(gòu)和轉(zhuǎn)換得以實(shí)現(xiàn)。

其次，平衡在同化和順應(yīng)的相互作用中起調(diào)節(jié)作用。皮亞杰認(rèn)為，兒童心理的形成，既不單純來(lái)自主體的先天遺傳，也不單純來(lái)自主體的后天經(jīng)驗(yàn)，而是來(lái)自主體與客體的相互作用，即兒童的動(dòng)作或活動(dòng)。它通過(guò)同化與順應(yīng)兩種機(jī)能來(lái)獲得機(jī)體與環(huán)境的平衡。平衡是不斷發(fā)展的，一個(gè)較低水平的平衡通過(guò)主體與客體的相互作用過(guò)渡到較高水平的平衡。這種不斷發(fā)展的“平衡—不平衡—平衡……”過(guò)程就是適應(yīng)的過(guò)程，就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成和發(fā)展的基本過(guò)程。

二、對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。教師必須采取適當(dāng)策略，努力創(chuàng)造條件，幫助學(xué)生形成和建立與客觀規(guī)律相符合的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（一）如何實(shí)現(xiàn)“同化”

“問(wèn)題”和“情境”是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中非常重要的基本元素。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，面對(duì)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容或問(wèn)題時(shí)，教師一般會(huì)先圍繞研究主題引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知，喚醒學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，讓學(xué)生回憶起某些有用的信息;然后，基于學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)創(chuàng)設(shè)生活化情境、數(shù)學(xué)情境，或者是與其他學(xué)科相關(guān)的關(guān)聯(lián)情境，這些情境可以是真實(shí)性的，也可以是虛擬性的;最后，在情境中解決問(wèn)題時(shí)把有關(guān)知識(shí)“動(dòng)員”起來(lái)，使學(xué)生在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中判別和汲取可以用來(lái)同化新知識(shí)的一般的、概括的、包容性強(qiáng)的觀念，以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)借鑒知識(shí)學(xué)習(xí)的歷史相似性類比得到學(xué)習(xí)新知識(shí)的方法。

1.創(chuàng)設(shè)真實(shí)性問(wèn)題情境，促進(jìn)再現(xiàn)性和再認(rèn)性同化的發(fā)生

真實(shí)性問(wèn)題情境包括自然發(fā)生的真實(shí)情境和模仿建構(gòu)的真實(shí)情境。創(chuàng)設(shè)真實(shí)性問(wèn)題情境旨在讓學(xué)生能夠基于生活常識(shí)或者活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)直觀感知數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)所學(xué)知識(shí)能夠知其然亦知其所以然。這樣，可以加速學(xué)生對(duì)新知識(shí)的再現(xiàn)性同化過(guò)程。此外，在真實(shí)性情境中“做數(shù)學(xué)”，能使學(xué)生容易明了知識(shí)之間的聯(lián)系，便于領(lǐng)悟知識(shí)的生長(zhǎng)趨勢(shì)，喻平.“做數(shù)學(xué)”的理論基礎(chǔ)分析[J].教育研究與評(píng)論，2021（3）：2226。且能提高學(xué)生對(duì)差異辨別作出不同反應(yīng)的能力，即再認(rèn)性同化能力。

例如，教學(xué)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)《圓的認(rèn)識(shí)》時(shí)，教師先讓學(xué)生回憶之前學(xué)習(xí)了哪些圖形，再鼓勵(lì)學(xué)生尋找生活中的圓（如城市綠化噴水器的噴灑范圍等），之后，又在白板上展示博物館展出的泥板上古巴比倫人畫(huà)的圓（如圖1所示），以此讓學(xué)生“識(shí)圓”。

《圓的認(rèn)識(shí)》是學(xué)生從直線圖形到曲線圖形學(xué)習(xí)的起始課。之前的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形等直線圖形，并會(huì)計(jì)算它們的周長(zhǎng)和面積。而這節(jié)課的學(xué)習(xí)，無(wú)論是內(nèi)容本身，還是研究問(wèn)題的方法，都有所變化。復(fù)習(xí)舊知旨在讓學(xué)生在新知學(xué)習(xí)中能主動(dòng)、有選擇地感知“以直代曲”方法的關(guān)聯(lián)信息，促進(jìn)再現(xiàn)性同化能力的提升?！白R(shí)圓”過(guò)程中，創(chuàng)設(shè)了古今兩種真實(shí)性情境，先尋找生活中的圓，再欣賞古人畫(huà)的圓。這種古今差異不僅激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的好奇心，而且使學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解和應(yīng)用感知，以及針對(duì)差異作出不同認(rèn)知反應(yīng)的能力也得到了提升。

2.依托情境先做后教，提升概括性同化能力

依托情境解決問(wèn)題時(shí)，可以讓學(xué)生先做，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生主體的能動(dòng)性，在學(xué)生經(jīng)過(guò)大膽嘗試、自我推測(cè)，產(chǎn)生關(guān)于新知識(shí)的認(rèn)知沖突時(shí)，教師再發(fā)揮引導(dǎo)者的作用。類似孔子啟發(fā)式教學(xué)法中的“不憤不啟，不悱不發(fā)”，讓學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中體驗(yàn)創(chuàng)設(shè)情境的意圖，積累解決問(wèn)題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而提升對(duì)新知識(shí)的概括性同化能力。

例如，教學(xué)《圓的認(rèn)識(shí)》時(shí)，學(xué)生“識(shí)圓”后，教師沒(méi)有直接給出圓的性質(zhì)，而是讓學(xué)生從教師準(zhǔn)備好的圖釘、長(zhǎng)方形紙條、棉線、橡皮筋、硬幣、鉛筆等學(xué)具里任意選擇工具畫(huà)圓，最后對(duì)畫(huà)好的圓進(jìn)行小組合作式的自由探究。

學(xué)生通過(guò)自主選擇工具畫(huà)圓，發(fā)現(xiàn)橡皮筋雖然好玩但是不能畫(huà)出準(zhǔn)確的圓，而且如果不固定一個(gè)點(diǎn)也不能順利畫(huà)出圓;經(jīng)自主概括，得到畫(huà)圓必須做到“定點(diǎn)和定長(zhǎng)”，于是獲得“一中同長(zhǎng)”這個(gè)關(guān)于圓的認(rèn)識(shí)。在對(duì)圓自由探究的過(guò)程中，學(xué)生先動(dòng)手把畫(huà)的圓剪下來(lái)，再對(duì)圓形紙片進(jìn)行折疊，從而對(duì)圓的半徑、直徑、圓心有了更深刻的認(rèn)識(shí)。

學(xué)生基于“旋轉(zhuǎn)能畫(huà)圓”這個(gè)知覺(jué)的相似性，通過(guò)畫(huà)圓的實(shí)踐操作，把原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中的知識(shí)和新知識(shí)自然連線，得到了圓的性質(zhì);再通過(guò)折圓，化解了新知識(shí)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。教學(xué)實(shí)踐表明，先做后教，不僅有助于激發(fā)學(xué)生的內(nèi)部學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，為創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)，而且對(duì)學(xué)生概括性同化能力的提高大有裨益。

（二）如何達(dá)到“順應(yīng)”

數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知建構(gòu)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。教師要從學(xué)生的元認(rèn)知出發(fā)，逐步搭建腳手架，引領(lǐng)學(xué)生面對(duì)認(rèn)知沖突時(shí)能整合、優(yōu)化已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，順利完成認(rèn)知的順應(yīng)。

1.搭好探究坡度，做好邏輯關(guān)聯(lián)

由于每個(gè)學(xué)生的能力不同，在設(shè)計(jì)引領(lǐng)教學(xué)活動(dòng)的問(wèn)題（串）時(shí)，教師要根據(jù)問(wèn)題的開(kāi)放度來(lái)考慮問(wèn)題設(shè)置的難度層次，即設(shè)計(jì)的問(wèn)題探究的坡度要盡量貼合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，使學(xué)生“跳一跳，夠得著”——坡度太大會(huì)阻礙探究的進(jìn)行，坡度太小則不能激發(fā)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)。一般而言，“小坡度，小轉(zhuǎn)彎，小步走”普遍適合中等程度的學(xué)生。偶偉國(guó).以探究領(lǐng)略數(shù)學(xué)思維之美：基于素養(yǎng)培養(yǎng)的探究式教學(xué)研究[M].蘇州：蘇州大學(xué)出版社，2017：2224。另外，設(shè)置問(wèn)題（串）時(shí)還要注意知識(shí)間的邏輯關(guān)聯(lián)，由易到難、由簡(jiǎn)到繁地層層遞進(jìn)，使學(xué)生的思維不斷深入，自然而然地形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)《圓的面積》是學(xué)生研究曲線圖形面積的起始課，也是后面學(xué)習(xí)圓柱、圓錐等知識(shí)的基礎(chǔ)。通過(guò)本節(jié)課學(xué)習(xí)，學(xué)生可以初步掌握“化曲為直”“化圓為方”等曲線圖形的基本研究方法，初步了解曲線圖形與直線圖形的內(nèi)在聯(lián)系。這是小學(xué)幾何初步知識(shí)教學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。

依據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，六年級(jí)（11—12歲）的學(xué)生處于由具體形象思維逐漸轉(zhuǎn)化為抽象邏輯思維，由具體運(yùn)算逐漸轉(zhuǎn)化為形式運(yùn)算的階段。他們正逐步脫離實(shí)物，以圖式的形式把事物存儲(chǔ)在大腦中，并能運(yùn)用圖式根據(jù)假設(shè)進(jìn)行邏輯推理;抽象思維水平逐漸發(fā)展，已具有一定的抽象概括出事物的本質(zhì)屬性的能力。同時(shí)，注意也由“無(wú)意注意”發(fā)展到“有意注意”，自主學(xué)習(xí)能力較之前有顯著提高。

這一課教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的邊是曲線，用“數(shù)格子”的方法不能數(shù)出所有的格子因而不能求出圓的面積時(shí)，教師可這樣啟發(fā)：我們換個(gè)角度來(lái)觀察，“數(shù)格子”實(shí)際上是把圓分成很多小正方形疊加起來(lái)，這可以看作一個(gè)先割后拼的過(guò)程，那么，你還能用其他圖形對(duì)圓先割后拼嗎？如果你想到了，用剪刀剪開(kāi)來(lái)拼一拼？剛才有同學(xué)想到用三角形分割，可不可以？請(qǐng)小組合作探究一下。

這里，教師把“數(shù)格子”的方法解釋為小正方形的累加，既降低了學(xué)生的認(rèn)知難度，也為后面小三角形累加的方法做了鋪墊。于是，學(xué)生根據(jù)切蛋糕的經(jīng)驗(yàn)將圓等分，在小組合作的基礎(chǔ)上，從簡(jiǎn)單分割成4份到分割成8份、16份再拼接，發(fā)現(xiàn)隨著份數(shù)的增多，拼出來(lái)的圖形越來(lái)越接近長(zhǎng)方形。由此，推測(cè)可以用長(zhǎng)方形的面積來(lái)計(jì)算圓的面積，完成認(rèn)知的順應(yīng)。在此基礎(chǔ)上，教師運(yùn)用作圖軟件演示把圓分割成32份、64份、128份等復(fù)雜的拼接情況，最終師生一起歸納推導(dǎo)出圓的面積公式。

在課后的問(wèn)卷調(diào)查中，很多學(xué)生都表示對(duì)分割拼接法印象深刻。

2.增加關(guān)聯(lián)引導(dǎo)，促進(jìn)知識(shí)遷移

變式是通過(guò)變更對(duì)象非本質(zhì)屬性的表現(xiàn)形式，變更人們觀察事物的角度或方法，突出對(duì)象中隱蔽的要素，從而凸顯一類對(duì)象的本質(zhì)屬性。通過(guò)對(duì)問(wèn)題多層次的變式構(gòu)造，使學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決過(guò)程及問(wèn)題本身的結(jié)構(gòu)有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、提高問(wèn)題解決能力的一條有效途徑。鮑建生，黃榮金，易凌峰，等.變式教學(xué)研究（續(xù)）[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（2）：610。在實(shí)際教學(xué)中，教師可以圍繞問(wèn)題解決進(jìn)行多角度的問(wèn)題關(guān)聯(lián)引導(dǎo)，促進(jìn)知識(shí)遷移，幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)》一課，探究“長(zhǎng)方形有四個(gè)直角”的特點(diǎn)時(shí)，多數(shù)學(xué)生用三角尺的直角對(duì)長(zhǎng)方形的4個(gè)直角分別進(jìn)行比對(duì)后，教師給出關(guān)聯(lián)提示：比對(duì)了幾次？有沒(méi)有更容易的方法？于是，學(xué)生進(jìn)一步思考和研討，最終發(fā)現(xiàn)“對(duì)折1次需要比對(duì)2個(gè)直角，對(duì)折2次只需要比對(duì)1個(gè)直角”。

接著，探究“正方形的四條邊都相等”的性質(zhì)時(shí)，關(guān)于“對(duì)折”這個(gè)主題的應(yīng)用，學(xué)生遇到了認(rèn)知瓶頸，即如何說(shuō)明“相鄰的兩條邊相等”。教師的教學(xué)處理宦銘里，李紹平，洪燕君.數(shù)學(xué)史融入“長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)”的課堂教學(xué)[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2021（6）：3639。如下：

師除了用直尺測(cè)量，還有不同的想法嗎？

生用折的方法。上下對(duì)折重合，上下邊相等;左右對(duì)折重合，左右邊相等。

師（指著圖形）上邊和下邊相等了，左邊和右邊相等了，那怎么說(shuō)明相鄰的兩邊相等呢？

（學(xué)生思考。）

師上下邊重合說(shuō)明上下邊相等，那么相鄰的兩邊要怎么折才能重合？看來(lái)還缺這關(guān)鍵一折，怎么折？

生斜著折。

師（演示沿對(duì)角線對(duì)折）這樣，相鄰的兩邊也重合，說(shuō)明這兩邊也相等，所以——

生（齊）正方形的四條邊都相等。

師還可不可以再折？之前長(zhǎng)方形折了幾次，想一想？

生（激動(dòng)）斜著折，再折一下，四邊都重合，都相等。

（該生演示沿對(duì)角線對(duì)折再對(duì)折。）

師對(duì)。剛才同學(xué)們利用不同的方法都得到了正方形確實(shí)是四邊相等的。既然正方形的四條邊都相等，我們就把每條邊的長(zhǎng)叫作邊。

（教師板書(shū)：邊。）

“折”是探究活動(dòng)中的一個(gè)難點(diǎn)，尤其是一開(kāi)始學(xué)生不太容易想到“折兩次”。教師圍繞“折”，關(guān)聯(lián)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)思考和嘗試，在不同角度的“折”的動(dòng)手操作中找到新舊知識(shí)的相異點(diǎn)，并以此為基點(diǎn)充分感知圖形的具象。同時(shí)，教師不斷整理、歸納學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)行比較和評(píng)價(jià)，利用否定屬性策略提出新問(wèn)題，激勵(lì)學(xué)生自主反思，建立長(zhǎng)方形和正方形特點(diǎn)的新認(rèn)知圖式，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的順應(yīng)。

學(xué)生原先的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)活動(dòng)的起點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)過(guò)程中所使用的工具本身。當(dāng)同化和順應(yīng)發(fā)生的時(shí)候，知識(shí)由“點(diǎn)”連成“線”，再由“線”結(jié)成“面”，它們與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中其他觀念產(chǎn)生了緊密的、高強(qiáng)度的聯(lián)系，就形成了數(shù)學(xué)理解。喻平.基于建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)教學(xué)觀[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2009（8）：14。即知識(shí)從單點(diǎn)到多點(diǎn)，從多點(diǎn)到關(guān)聯(lián)，從關(guān)聯(lián)到拓展，使得學(xué)習(xí)從淺層走向深層。

（三）如何取得“平衡”

1.設(shè)疑追問(wèn)，巧推平衡

當(dāng)學(xué)生接收到的信息與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不匹配時(shí)，就會(huì)形成認(rèn)知沖突，產(chǎn)生認(rèn)知失衡。教師通過(guò)追問(wèn)，可使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷經(jīng)歷同化、順應(yīng)而達(dá)到平衡。這種認(rèn)知失衡基礎(chǔ)上的追問(wèn)導(dǎo)致認(rèn)識(shí)發(fā)生變化，使知識(shí)的學(xué)習(xí)“化面為體”，從而促使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷完善。

例如，《長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)》一課的總結(jié)環(huán)節(jié)，師生一起回顧和梳理了整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，并歸納了“量、比、折、畫(huà)”等認(rèn)識(shí)圖形的方法后，教師從信封里拿出1個(gè)平行四邊形，把它和黑板上的長(zhǎng)方形、正方形放在一起，請(qǐng)學(xué)生自由探討30秒，給這些圖形起一個(gè)統(tǒng)一的名字。有學(xué)生說(shuō)“平行四邊形”。教師馬上又拿出1個(gè)梯形放到黑板上，請(qǐng)學(xué)生繼續(xù)命名。有學(xué)生說(shuō)“有四條邊，叫四邊形”。教師追問(wèn)：這節(jié)課我們就是在研究邊、研究角，既然這些圖形都有4條邊、4個(gè)角，那為什么不叫四角形？這時(shí)，下課鈴響起。教師說(shuō)道：這個(gè)問(wèn)題大家回去想一想，我們下節(jié)課再來(lái)討論。最后的問(wèn)題提出為下節(jié)課的演繹和歸納教學(xué)埋下了伏筆。

2.抽象拓展，牽引平衡

20世紀(jì)50年代，美國(guó)芝加哥大學(xué)施瓦布教授倡導(dǎo)學(xué)生應(yīng)當(dāng)像科學(xué)家一樣去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，在探究的過(guò)程中建構(gòu)知識(shí)。M.Pedaste，et al.Phases of inquirybased learning： Definitions and the inquiry cycle[J].Educational Research Review，2015（14）：4761。具體而言，知識(shí)建構(gòu)是指學(xué)生借助自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)地認(rèn)識(shí)知識(shí)、理解知識(shí)，從而抽象出知識(shí)內(nèi)核的過(guò)程，其中新舊知識(shí)的相互作用、學(xué)習(xí)共同體的互動(dòng)交流，以及適當(dāng)?shù)那榫扯挤浅Ｖ匾W(xué)生在小組合作討論，以及教師的提示刺激下，其認(rèn)知經(jīng)過(guò)不斷的同化和順應(yīng)，一次次達(dá)到新的平衡，不斷從低級(jí)走向高級(jí)，從而使認(rèn)知結(jié)構(gòu)逐漸拓展，知識(shí)建構(gòu)趨于完備。

例如，教學(xué)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《用數(shù)對(duì)確定位置》時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生首先通過(guò)教室中的座位與人的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)感知“位置”這個(gè)概念（同化），這時(shí)“位置”在平面圖上是指一個(gè)“方格”;然后順向遷移到用“點(diǎn)”表示“方格”（順應(yīng)）;最后抽象出“數(shù)對(duì)”可以表示出這個(gè)“點(diǎn)”的位置（平衡）。就如同學(xué)生在學(xué)習(xí)“數(shù)”時(shí)，先是在情境中通過(guò)數(shù)小棒這個(gè)直觀行為來(lái)認(rèn)識(shí)自然數(shù)，熟練以后逐步脫離小棒，在頭腦中形成圖像表征，最后再轉(zhuǎn)化成符號(hào)表征，學(xué)習(xí)“自然數(shù)的加減”。在上述認(rèn)知過(guò)程中，學(xué)生按照自己對(duì)知識(shí)深度和廣度的理解，不斷在同化和順應(yīng)中調(diào)適自己的感覺(jué)、知覺(jué)、記憶、思維、聯(lián)想，最終形成一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這就達(dá)到了一個(gè)“平衡”的狀態(tài)。

為了對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行關(guān)聯(lián)拓展，說(shuō)明認(rèn)知“平衡”的可塑性，在這節(jié)課的“評(píng)估與延伸”環(huán)節(jié)，教師設(shè)置了如下探究題目：

如圖2，已知正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A（3，5）和B（3，3），請(qǐng)：（1）在圖中標(biāo)出正方形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)C和D可能的位置，并說(shuō)明理由;（2）用數(shù)對(duì)表示C和D的位置。

從課堂探究結(jié)果來(lái)看，大部分學(xué)生都能以AB為邊向右側(cè)畫(huà)出正方形（如圖3），并能正確運(yùn)用“數(shù)對(duì)”表示出點(diǎn)C和點(diǎn)D的位置;

只有少數(shù)學(xué)生是從AB邊向左側(cè)或向兩側(cè)畫(huà)正方形來(lái)完成的（如圖4、圖5）。而“以AB為對(duì)角線畫(huà)出相應(yīng)的正方形”的結(jié)果，是在探究過(guò)程中經(jīng)教師啟發(fā)和點(diǎn)撥后才得到的。

三、結(jié)語(yǔ)

實(shí)踐表明，恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，能自然而然地把教材知識(shí)的邏輯線、知識(shí)本源的歷史線、學(xué)生認(rèn)知的心理線有效地融合，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，基于原有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，經(jīng)歷“同化-順應(yīng)-平衡”的認(rèn)知過(guò)程，展現(xiàn)“點(diǎn)連成線、線結(jié)成面、面化為體”的知識(shí)內(nèi)化學(xué)習(xí)脈絡(luò)，最終獲得深刻的數(shù)學(xué)體驗(yàn)和感悟。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有條理、更有秩序、更加深入，使得學(xué)生不但能夠“學(xué)會(huì)”，而且會(huì)“想學(xué)”，最終到“會(huì)學(xué)”。