劉繼凱,張乘虎,袁志玲,黃嘉奇
(1.山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,山東濟(jì)南 250061;2.濰柴動(dòng)力股份有限公司,山東濰坊 261061)
拓?fù)鋬?yōu)化(Topology optimization)是以結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域內(nèi)的材料分布為研究對(duì)象,在滿(mǎn)足給定的邊界以及約束條件下,尋找設(shè)計(jì)域內(nèi)最優(yōu)材料分布以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)性能達(dá)到最優(yōu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法[1].而與實(shí)體材料相比,點(diǎn)陣材料作為一種先進(jìn)新型輕質(zhì)材料,具有超輕、高能量吸收性、高孔隙率等功能屬性[2-6].因此,在拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中采用點(diǎn)陣材料可以獲得更豐富的性能.
近年來(lái),基于變密度點(diǎn)陣材料的多尺度結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法得到了廣泛的研究[7-9].Cheng 等[10]提出了一種基于應(yīng)力約束的變密度點(diǎn)陣材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法,通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性.Wang 等[11]提出了一種控制點(diǎn)陣材料微觀結(jié)構(gòu)中多個(gè)幾何參數(shù)的點(diǎn)陣材料拓?fù)鋬?yōu)化方法,相比于單一幾何參數(shù)變量控制的優(yōu)化方法,該設(shè)計(jì)方法優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)性能具有明顯提升.Liu等[12]提出了一種多類(lèi)點(diǎn)陣材料填充的拓?fù)鋬?yōu)化方法,每個(gè)單元中點(diǎn)陣材料的分布考慮兩個(gè)設(shè)計(jì)變量,即點(diǎn)陣材料類(lèi)型和它的幾何參數(shù),有效地?cái)U(kuò)大了結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)自由度.這些通過(guò)參數(shù)化表征點(diǎn)陣材料等效力學(xué)性質(zhì)的多尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法具有很高的計(jì)算效率.然而,點(diǎn)陣材料的剛度和強(qiáng)度與實(shí)體材料相比仍有很大差距.因此,很多情況下僅使用點(diǎn)陣材料填充的設(shè)計(jì)無(wú)法提供足夠的力學(xué)性能.
為解決上述問(wèn)題,本文基于Ordered SIMP 方法[13],建立了點(diǎn)陣-實(shí)體多材料插值模型,提出一種全新的點(diǎn)陣-實(shí)體復(fù)合結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法.將其應(yīng)用于簡(jiǎn)支梁的設(shè)計(jì),并通過(guò)數(shù)值算例和實(shí)驗(yàn)測(cè)試驗(yàn)證了該方法的有效性.
基于多尺度設(shè)計(jì)理念,將宏觀結(jié)構(gòu)離散為若干單元,每個(gè)單元代表一種待設(shè)計(jì)的微結(jié)構(gòu)胞元,且微結(jié)構(gòu)胞元的等效力學(xué)屬性可基于能量均勻化方法求得[14-18].在變密度法拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中,微結(jié)構(gòu)胞元的相對(duì)密度ρL表示為微觀尺度上微結(jié)構(gòu)胞元實(shí)體部分體積相對(duì)于設(shè)計(jì)域體積之比,如式(1)所示:
式中:vL為微結(jié)構(gòu)胞元實(shí)體部分的體積;v為微結(jié)構(gòu)胞元的設(shè)計(jì)域體積.
本文中,采用一種三維X 型微結(jié)構(gòu)作為點(diǎn)陣材料胞元(如圖1),它具備抗拉壓和抗剪切能力,以及增材制造加工過(guò)程中的自支撐優(yōu)勢(shì).通過(guò)改變結(jié)構(gòu)中桿的直徑,點(diǎn)陣材料的相對(duì)密度隨之改變.點(diǎn)陣材料的等效彈性矩陣DH可表示為:
圖1 三維X型點(diǎn)陣材料Fig.1 3D X-shape cubic lattice unit
在不失一般性的前提下,為了便于計(jì)算式(2)中等效彈性矩陣DH,假設(shè)點(diǎn)陣材料的基材料彈性模量為E0=100 MPa,泊松比為μ=0.3.基于能量均勻化方法[14-18],可計(jì)算得到點(diǎn)陣材料的彈性矩陣,如圖2所示.顯然,為了更優(yōu)的結(jié)構(gòu)性能,在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中需要設(shè)計(jì)一系列相對(duì)密度的點(diǎn)陣材料.然而,通過(guò)均勻化方法求解每個(gè)微觀結(jié)構(gòu)彈性矩陣的方法相對(duì)耗時(shí).為獲取一系列相對(duì)密度的點(diǎn)陣材料的彈性矩陣,通過(guò)采集一定數(shù)目樣本點(diǎn)數(shù)據(jù),使用擬合的方法,建立點(diǎn)陣材料相對(duì)密度及其等效彈性矩陣的數(shù)學(xué)關(guān)系式.考慮擬合精度與計(jì)算效率,建立5 次多項(xiàng)式函數(shù)作為擬合關(guān)系式:
圖2 變密度點(diǎn)陣材料的彈性矩陣Fig.2 Elastic matrices of the varying-density lattices
式中:dij為彈性矩陣DH中的元素.
考慮點(diǎn)陣材料的可制造性,本文設(shè)計(jì)過(guò)程中點(diǎn)陣材料的相對(duì)密度變化范圍是15%~70%,在相對(duì)密度變化范圍內(nèi)取樣,并計(jì)算對(duì)應(yīng)點(diǎn)陣材料的彈性矩陣.其彈性矩陣中有3 個(gè)相互獨(dú)立的的參數(shù),分別對(duì)應(yīng)3 個(gè)擬合函數(shù).基于24 個(gè)樣本點(diǎn),使用最小二乘法,得到擬合函數(shù)的相關(guān)參數(shù)如表1 所示,擬合效果如圖3所示.
表1 擬合函數(shù)的相關(guān)參數(shù)表Tab.1 Parameters of the interpolation functions
圖3 彈性矩陣系數(shù)的擬合關(guān)系曲線Fig.3 Interpolation curves of the elastic matrix components
針對(duì)一定體積約束下的柔度最小化問(wèn)題,在點(diǎn)陣-實(shí)體復(fù)合結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法中主要有以下兩種方案.其一,首先基于SIMP(solid isotropic mate?rial with penalization)方法[1]對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行小于體積分?jǐn)?shù)約束的宏觀拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),并將優(yōu)化得到的結(jié)果定義為實(shí)體.之后,在宏觀設(shè)計(jì)域進(jìn)行剩余體積分?jǐn)?shù)約束下的點(diǎn)陣材料填充的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).該方法的局限性在于將點(diǎn)陣-實(shí)體復(fù)合結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程分離,造成設(shè)計(jì)結(jié)果偏離最優(yōu)解.另一種設(shè)計(jì)方案是將點(diǎn)陣材料的密度上限提高到實(shí)體材料密度,從而將實(shí)體材料加入到等效材料本構(gòu)參數(shù)的擬合樣本中.然而,這種處理方法得到的優(yōu)化結(jié)果中會(huì)引入大量的高密度點(diǎn)陣材料,即密度接近于1 而未形成完整實(shí)體的單胞,這部分高密度點(diǎn)陣材料單胞會(huì)形成明顯的封閉空腔,可制造性差.為了解決以上設(shè)計(jì)方案的不足,本節(jié)基于Ordered SIMP 插值模型,建立了一套點(diǎn)陣-實(shí)體多材料插值模型.
多材料插值模型中的自變量是點(diǎn)陣材料和實(shí)體材料的相對(duì)密度,它們具有統(tǒng)一性,無(wú)需歸一化處理.因此,只需歸一化處理點(diǎn)陣材料和實(shí)體材料的物理屬性,作為多材料插值模型中的因變量.多材料插值模型可表示為:
根據(jù)上述多材料插值方法,單元密度ρe的取值范圍是[0.15~1].其中,點(diǎn)陣材料的密度設(shè)計(jì)上限即為實(shí)體材料的密度設(shè)計(jì)下限,點(diǎn)陣材料的相對(duì)密度取值范圍是[0.15~0.7],實(shí)體材料的密度取值范圍是(0.7~1].在優(yōu)化迭代過(guò)程中,可通過(guò)施加密度懲罰的方式消除實(shí)體材料插值引起的中間密度問(wèn)題.因此,建立點(diǎn)陣-實(shí)體多材料插值模型如圖4所示.
圖4 點(diǎn)陣-實(shí)體多材料插值模型Fig.4 Lattice-solid multi-material interpolation model
本文以典型拓?fù)鋬?yōu)化中柔度最小化問(wèn)題為例,展示所提出方法的求解流程,該問(wèn)題的具體數(shù)學(xué)表達(dá)如下:
根據(jù)所建立點(diǎn)陣-實(shí)體多材料插值模型,得到單元密度ρe與其彈性矩陣之間的映射函數(shù)關(guān)系,其單元?jiǎng)偠染仃噆e如下:
式中:Ωe為單元設(shè)計(jì)域;B為單元的應(yīng)變矩陣;DA·D0為DA與D0的哈達(dá)瑪積(Hadamard product).
將單元?jiǎng)偠汝嚱M裝為結(jié)構(gòu)總剛度陣K,并通過(guò)有限元方法計(jì)算獲得結(jié)構(gòu)位移U.根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t,求解拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題的靈敏度信息.其中,目標(biāo)靈敏度為:
式中:ue為單元位移;n為設(shè)計(jì)變量數(shù)目.
體積靈敏度為:
根據(jù)上述求解過(guò)程中所獲得的系統(tǒng)狀態(tài)和靈敏度信息,使用移動(dòng)漸近線方法(MMA)[19]更新設(shè)計(jì)變量,直至滿(mǎn)足收斂條件,從而結(jié)束整個(gè)優(yōu)化過(guò)程.本文所提出的點(diǎn)陣-實(shí)體復(fù)合結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法具體流程如圖5所示.
圖5 點(diǎn)陣-實(shí)體復(fù)合結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法流程圖Fig.5 Flow chart of the topology optimizati on method for hybrid lattice-solid structures
本章對(duì)簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行點(diǎn)陣-實(shí)體復(fù)合結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).通過(guò)與其它點(diǎn)陣材料填充的設(shè)計(jì)方法對(duì)比,充分展示了該設(shè)計(jì)方法的有效性.進(jìn)一步,通過(guò)三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所提出的拓?fù)鋬?yōu)化方法的優(yōu)越性.
如圖6 所示,長(zhǎng)度48 mm,寬度8 mm,厚度為14 mm 的簡(jiǎn)支梁由頂層、中間層和底層組成.梁的兩端被支撐,其中間位置承受壓力大小為60 N 的負(fù)載.優(yōu)化設(shè)計(jì)的要求如下:
圖6 簡(jiǎn)支梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型及邊界條件Fig.6 Design domain and boundary conditions of the simply supported beam example
1)簡(jiǎn)支梁的中間層為設(shè)計(jì)域,頂層和底層為非設(shè)計(jì)域;
2)體積約束為設(shè)計(jì)域的40%.
使用本文提出的點(diǎn)陣-實(shí)體復(fù)合結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu).考慮優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)性,只需對(duì)設(shè)計(jì)域的1/2 進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).首先進(jìn)行網(wǎng)格劃分,使用八節(jié)點(diǎn)正六面體單元將設(shè)計(jì)域劃分為2 688 個(gè)單元,單元的大小為1 mm×1 mm×1 mm,單元密度的變化范圍為[0.15~1],在[0.15~0.7]范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)變密度點(diǎn)陣材料,其余范圍對(duì)應(yīng)實(shí)體材料.拓?fù)鋬?yōu)化的初始設(shè)計(jì)為相對(duì)密度為0.4的單一點(diǎn)陣材料填充.拓?fù)鋬?yōu)化迭代過(guò)程如圖7 所示,整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中結(jié)構(gòu)總體積基本保持不變,而結(jié)構(gòu)柔度迭代曲線很快收斂,并最終收斂到189 mJ,柔度減小到初始設(shè)計(jì)的63%.
圖7 簡(jiǎn)支梁的優(yōu)化迭代過(guò)程Fig.7 Convergence history of the simply supported beam example
為了更好地展示最終優(yōu)化結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié),使用合并單元的方法,即將相鄰四個(gè)單元的密度取平均值等效為一個(gè)單元,重建了最終優(yōu)化結(jié)果對(duì)應(yīng)的完整結(jié)構(gòu),如圖8所示.由圖8可知,機(jī)械性能更好的實(shí)體材料和高密度點(diǎn)陣材料分布在結(jié)構(gòu)中施加邊界條件處,在受力較小的結(jié)構(gòu)側(cè)上方,分布了低密度點(diǎn)陣材料.在相同工況和網(wǎng)格數(shù)目下,表2 展示了本文所提出設(shè)計(jì)方法與另外兩種點(diǎn)陣材料填充設(shè)計(jì)方法的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比.其中,設(shè)計(jì)方案A 為本文所提出實(shí)體-點(diǎn)陣復(fù)合結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方案,方案B 為僅使用變密度點(diǎn)陣材料進(jìn)行的填充優(yōu)化設(shè)計(jì),方案C 為均勻點(diǎn)陣材料填充.通過(guò)對(duì)比可以看出,本文所提出設(shè)計(jì)方法具有更優(yōu)異的力學(xué)性能.
圖8 優(yōu)化結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié)展示Fig.8 Structural details of the optimization result
表2 不同設(shè)計(jì)方案優(yōu)化結(jié)果數(shù)值對(duì)比Tab.2 Numerical comparison of the different design solutions
為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的點(diǎn)陣-實(shí)體復(fù)合結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法的有效性,本節(jié)對(duì)3 種設(shè)計(jì)方案對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)支梁模型進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試.通常使用增材制造的加工方式打印形狀復(fù)雜的拓?fù)鋬?yōu)化模型[20].DLP 光固化技術(shù)是采用紫外光在液態(tài)光敏樹(shù)脂表面進(jìn)行掃描,從而逐層生成工件的增材制造加工方式[21].它具有加工效率高、成型精度高的優(yōu)點(diǎn)[22].使用DLP 型3D 打印機(jī)(Rayshape Shape 1)和標(biāo)準(zhǔn)灰色樹(shù)脂完成實(shí)驗(yàn)?zāi)P偷拇蛴?,并同時(shí)在紫外光照射下固化15 min.對(duì)圖8 中的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行等比例縮放后,模型的尺為240 mm×70 mm×20 mm,其中每個(gè)點(diǎn)陣材料的尺寸為5 mm×5 mm×5 mm.為了避免實(shí)驗(yàn)偶然性,每組加工了兩個(gè)模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn).
在萬(wàn)能拉伸試驗(yàn)機(jī)上,以2 mm/min 的速度分別對(duì)實(shí)驗(yàn)?zāi)P图虞d,并記錄載荷和位移曲線如圖9 所示.由實(shí)驗(yàn)曲線可知,設(shè)計(jì)方案A 優(yōu)化后的模型具有更優(yōu)的剛度,這與數(shù)值算例的結(jié)果是相符的.
圖9 實(shí)驗(yàn)載荷和位移曲線Fig.9 Experimental load-displacement curves
本文基于Ordered SIMP 插值模型,提出了一種全新的點(diǎn)陣-實(shí)體復(fù)合結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法.總結(jié)全文可得到以下結(jié)論:
1)運(yùn)用本文所提出方法可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)陣材料的相對(duì)密度和其等效力學(xué)屬性的高精度的擬合,從而降低多尺度結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的計(jì)算成本.
2)本文將Ordered SIMP 插值模型引入點(diǎn)陣-實(shí)體復(fù)合結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),解決了傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方案中點(diǎn)陣材料和實(shí)體材料“分離”設(shè)計(jì)的缺陷.算法在尋優(yōu)過(guò)程自動(dòng)分配實(shí)體材料和點(diǎn)陣材料的比例,避免了人為干預(yù),更具嚴(yán)謹(jǐn)性.
3)本文所提出的點(diǎn)陣-實(shí)體復(fù)合結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案可以得到機(jī)械性能更優(yōu)的結(jié)構(gòu),同時(shí)發(fā)揮點(diǎn)陣材料填充設(shè)計(jì)的優(yōu)勢(shì),優(yōu)化結(jié)構(gòu)滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)自支撐條件,且具有高能量吸收性和流體通透性.
4)本文所提出的點(diǎn)陣-實(shí)體復(fù)合結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法對(duì)不同點(diǎn)陣材料具有廣泛的適用性.