杜佳星

（甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)，甘肅 靖遠(yuǎn)）

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教育中的重點(diǎn)，能否掌握數(shù)學(xué)思想對(duì)于學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的成長(zhǎng)和未來(lái)發(fā)展有重要的影響。分類討論思想是解決高中數(shù)學(xué)各類數(shù)列、函數(shù)題目時(shí)應(yīng)用頻率較高的一種數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力手段，應(yīng)用分類討論思想可以為高中生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供一些思路和幫助。

相較于小學(xué)、初中階段的數(shù)學(xué)而言，高中階段的數(shù)學(xué)因?yàn)閰?shù)的增多、抽象性提高而表現(xiàn)出復(fù)雜的情況，如果還進(jìn)行統(tǒng)一分析，很多學(xué)生很難理清復(fù)雜的題干關(guān)系。而分類討論思想之所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中受歡迎，是因?yàn)檫@種數(shù)學(xué)思想能夠幫助學(xué)生簡(jiǎn)化題干關(guān)系，將一個(gè)問(wèn)題分割成幾個(gè)小問(wèn)題，這些小問(wèn)題更容易理解和解決。

一、分類討論思想概述

分類討論思想是一種先分后合的數(shù)學(xué)分析思想，也是一種解決數(shù)學(xué)題目、完整回答問(wèn)題的思路。在應(yīng)用分類討論方法解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，將一個(gè)復(fù)雜的大問(wèn)題按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)劃分為幾個(gè)小問(wèn)題，逐一解決這些小問(wèn)題可有效化簡(jiǎn)大問(wèn)題，提高問(wèn)題的解決質(zhì)量和效率。

二、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的舉例說(shuō)明

（一）數(shù)列部分應(yīng)用分類討論思想

數(shù)列部分是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)之一，在數(shù)學(xué)考試中占據(jù)一定的分?jǐn)?shù)比例。分類討論思想是高質(zhì)量、高效率解決數(shù)列部分問(wèn)題的有力方法，應(yīng)用分類討論思想能夠幫助學(xué)生減小丟分的可能性。

例1.現(xiàn)有一等比數(shù)列，此數(shù)列中首項(xiàng)于題干中明確，但公比不確定設(shè)為系數(shù)a，求前N項(xiàng)的數(shù)值總和[1]。

這樣一個(gè)數(shù)列問(wèn)題可以作為母本出N個(gè)數(shù)列題目，而學(xué)生可以從解決這個(gè)母本問(wèn)題入手?，F(xiàn)在，在沒(méi)有具體數(shù)列、首項(xiàng)的干擾下，分析這道數(shù)列問(wèn)題。因題干中公比不確定，所以公比有兩種情況：一種是公比數(shù)值為1，另一種是公比數(shù)值不為1。當(dāng)公比數(shù)值為1時(shí)，那么所求的前N項(xiàng)的數(shù)值總和就是前N項(xiàng)的乘積；當(dāng)公比數(shù)值不為1時(shí)，那么所求的前N項(xiàng)的數(shù)值總和就是（首項(xiàng)+第N項(xiàng)）×N/2。數(shù)列問(wèn)題本來(lái)并不困難，但很多學(xué)生在解題過(guò)程中會(huì)忽視第一種公比數(shù)值為1的情況，導(dǎo)致解題過(guò)程和答案不完整。如果學(xué)生能夠掌握分類討論的思想，將所遇到的問(wèn)題按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類處理，就能夠有效降低回答不完整情況的概率。

（二）函數(shù)部分應(yīng)用分類討論思想

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)大類別，也是很多高中生很頭疼的一部分。單純的函數(shù)最值、極值、單調(diào)性等問(wèn)題的解決已經(jīng)讓很多學(xué)生感到困難，如果函數(shù)中能夠有參數(shù)問(wèn)題參與，那函數(shù)問(wèn)題就會(huì)出現(xiàn)更加復(fù)雜的情況。關(guān)于這類問(wèn)題，很多學(xué)生會(huì)運(yùn)用分類討論思想對(duì)變化的因素進(jìn)行分類討論，但對(duì)于“以誰(shuí)為對(duì)象進(jìn)行分類”“怎么分類”則把握不住，整個(gè)解題過(guò)程思路非常混亂，解題錯(cuò)誤或不完整幾乎成為必然。學(xué)生在這樣混亂的解題中并未感受到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的快樂(lè)，反而覺(jué)得處處都是陷阱，又怎么會(huì)喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)呢。

解決這道函數(shù)題目，首先需要從f（x）=l n x-ax+得到函數(shù)m（x）=ax2-x-（a-1）與f′（x）在符號(hào)上是相反的[2]。現(xiàn)在需要分析函數(shù)m（x）的特殊情況。函數(shù)m（x）的二次項(xiàng)系數(shù)內(nèi)含有參數(shù)，這里學(xué)生需要做分類討論。這一層次的分類討論所討論的是二次項(xiàng)系數(shù)a在不同情況下函數(shù)的零點(diǎn)，然后做符號(hào)判斷確定單調(diào)性。首先，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a=0時(shí)，函數(shù)被簡(jiǎn)化為一次函數(shù)，零點(diǎn)、符號(hào)、單調(diào)性都迎刃而解；其次，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a≠0時(shí)，需要進(jìn)行二次項(xiàng)因式分解，從而出現(xiàn)兩個(gè)零點(diǎn)，學(xué)生需要考慮兩個(gè)零點(diǎn)的變化。到了這里學(xué)生遇到了第二層需要分類討論的情況，那就是二次函數(shù)的開(kāi)口方向。這一層次的分類討論所需要討論的是a>0和a<0的兩種情況。然后，當(dāng)兩個(gè)零點(diǎn)的大小關(guān)系不能確定的時(shí)候，學(xué)生還需要針對(duì)兩個(gè)零點(diǎn)的位置開(kāi)展第三層分類討論，直至將這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題討論清楚。在講解這類函數(shù)問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)將分類討論的思想和分類討論的過(guò)程講解清楚，讓學(xué)生明白這里為什么要進(jìn)行分類討論，按照怎樣的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，對(duì)哪個(gè)討論對(duì)象進(jìn)行分類討論，讓學(xué)生明白我們是在逐層討論問(wèn)題。

本人與不少高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生進(jìn)行過(guò)深入的交談和分析，發(fā)現(xiàn)這些學(xué)生并不是對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣，也不是上課不聽(tīng)講，而是缺少正確的解題思路。當(dāng)學(xué)生沒(méi)有具備分類討論的思想時(shí)，講再多試題，學(xué)生還是不明白。高中數(shù)學(xué)解題的突破關(guān)鍵在于讓學(xué)生明白，為什么在這里我們要用這種方法和這個(gè)公式。