馬司錄

由于數(shù)學(xué)問題中研究對象的屬性不同，會影響研究問題的結(jié)果。在問題研究的過程中，從不同的情況進(jìn)行分類研究的思想就稱之為分類討論思想。分類討論思想的本質(zhì)是一種邏輯劃分思想，將要解決的數(shù)學(xué)問題分解成為可能的各個部分，將復(fù)雜的問題簡單化，便于求解。在七年級數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透分類討論思想，可以根據(jù)不同類型的數(shù)學(xué)知識點、數(shù)學(xué)問題，研究問題特征，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題的能力。

一、明確標(biāo)準(zhǔn)，分類討論解決數(shù)的問題

在數(shù)學(xué)問題中，分類討論的前提是問題條件具備某種“矛盾”，這種矛盾中存在一定的不確定性因素。比如，擬定“非零”的數(shù)字，在這一問題中，“非零”本身存在一定“矛盾”，“正數(shù)與負(fù)數(shù)”均可以看作是“非零”數(shù)字，這就是本問題的不確定因素。因此，明確分類標(biāo)準(zhǔn)，是決定不同分類內(nèi)容的基礎(chǔ)。在七年級數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師引入分類討論思想，需要提出“明確分類標(biāo)準(zhǔn)”的要求，讓學(xué)生按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分不同的討論類別，開始分類討論活動，解決數(shù)學(xué)問題，得到分類結(jié)果。

例如，“有理數(shù)”是七年級學(xué)生最初接觸分類討論思想的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容。在教學(xué)活動中，教師為學(xué)生講解了引入負(fù)數(shù)的必要性，講解了判斷一個數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)的基本條件，學(xué)生掌握了使用正負(fù)數(shù)符號表示互為相反意義的量的方法。在基礎(chǔ)概念學(xué)習(xí)中，教師提出問題條件：收入500元和支出237元的表達(dá)。此時學(xué)生根據(jù)之前學(xué)習(xí)的有理數(shù)知識，初步運(yùn)用分類討論思想，提出：若收入為“+”，則收入500可以記為“+500”，支出237可以記為“-237”;若收入記為“-”，則收入500可以記為“-500”，支出237可以記為“+237”。在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生將“收入記為‘+’或記為‘-’”作為分類標(biāo)準(zhǔn)，對問題進(jìn)行思考，得到不同分類標(biāo)準(zhǔn)下的問題答案。

之后，教師提出分類討論的數(shù)學(xué)問題：下列各數(shù)字中，-1，0.3，[15]，0，12，整數(shù)有___，正數(shù)有___。提出這一問題的目的是為學(xué)生提供一個較為開放的分類討論思考環(huán)境，學(xué)生可以觀察這一問題，根據(jù)自己的觀察所得選定分類標(biāo)準(zhǔn)，討論關(guān)注“數(shù)”的問題，明確有理數(shù)中的正數(shù)、整數(shù)。有學(xué)生在回答第一空格時漏掉了“0”，而在第二個空格中又多出了“0”，這種情況就屬于學(xué)生對有理數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)知不清導(dǎo)致的答題錯誤。在這組數(shù)中，分類標(biāo)準(zhǔn)分別為：整數(shù)、正數(shù)，其中整數(shù)不包括分?jǐn)?shù)與小數(shù)，正數(shù)不包括負(fù)數(shù)與0。通過分類討論之后，便可得到正確答案。

分類討論思想的運(yùn)用能夠強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識中分類標(biāo)準(zhǔn)的認(rèn)識，讓學(xué)生能夠更好地劃分“數(shù)”的類別，加深對有理數(shù)、正數(shù)、整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識。學(xué)生在觀察與分類討論的過程中，進(jìn)一步形成了分類意識，掌握了同類數(shù)的共同特征與不同特征。

二、梳理語句，分類討論解決開放條件問題

七年級數(shù)學(xué)內(nèi)容知識體系較為復(fù)雜，一些綜合類應(yīng)用題中的問題屬于開放式的條件、開放式的結(jié)論，需要學(xué)生運(yùn)用分類討論思想。在此類問題的思考與解決中，學(xué)生運(yùn)用分類討論思想，需要梳理應(yīng)用題中的語句，正確理解題目中已知條件的開放方向，明確其中的“分類關(guān)鍵點”，從這一“點”出發(fā)延伸出不同的思考思路，得到不同方向的問題答案。

例如，在一次應(yīng)用題訓(xùn)練課中，教師為了訓(xùn)練學(xué)生的分類討論思想運(yùn)用能力，提出具有開放性的問題：學(xué)校組織郊外采風(fēng)活動，我們班的學(xué)生組建“前鋒營”率先前往，步行速度為4km/h;二班的學(xué)生組建“后備軍”，在我們出發(fā)1h之后出發(fā)，速度為6 km/h;三班一名學(xué)生被任命為“通訊員”，騎著自行車在兩隊之間來回傳遞信息，速度為12km/h。請大家根據(jù)這一題目條件提出問題，并嘗試解決這一問題。這個開放性問題是屬于結(jié)論開放問題，學(xué)生可以自己閱讀題目，梳理題目中的語句，分析信息，提出不同方向的問題，之后進(jìn)行討論與思考。不同的學(xué)生提出不同的問題，其解決的過程就是分類討論的過程。

班級學(xué)生通過梳理語句之后得到信息：（1）通訊員負(fù)責(zé)不間斷地來回往返，速度是12km/h，可以看作是以通訊員行為為核心的行程問題，這時通訊員的往返速度、兩隊人員之間的距離就是本題目的重要隱藏條件，可以發(fā)現(xiàn)，通訊員在往返行程中所消耗的時間就是“后備軍”所用的時間。（2）若不考慮“通訊員”這個語句，僅僅利用“前鋒營”“后備軍”的步行速度、相隔時間，則為追擊問題，此時可以進(jìn)一步細(xì)化分類，提出小類別：①“后備軍”使用多長時間追上“前鋒營”？②通訊員需要花費多長時間追上“前鋒營”？③通訊員需要多少時間能夠與“前鋒營”第一次相遇？④“后備軍”追上“前鋒營”時，通訊員行駛了多少千米？

可以看出，學(xué)生運(yùn)用分類討論思想，根據(jù)本題目的語句條件，提出兩個大的問題分類，且在第二大分類的基礎(chǔ)上提出了4個小的問題分類，通過這種方式，學(xué)生構(gòu)建了行程問題模型、相遇問題模型、追擊問題模型，進(jìn)一步鍛煉了學(xué)生的分類討論運(yùn)用能力，提高學(xué)生的信息分析能力、問題分析與解決能力。

三、提前鋪墊，分類討論解決幾何問題

七年級數(shù)學(xué)教材中包含大量的幾何與圖形知識，包括生活中的立體圖形、正方體的展開圖、柱體和錐體的展開與折疊、截一個幾何體等內(nèi)容。在基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)之后，教師向?qū)W生提出幾何問題，目的是鍛煉學(xué)生的幾何問題解決能力，培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維、空間想象力。在幾何問題中，存在一些具有不確定性因素的問題，比如，從不同方向觀察立體幾何，可以獲得不同的展開圖，其中“不同方向”就是不確定性因素，學(xué)生從不同的方向思考與討論問題、解決問題，并且在問題解決的過程中更好地掌握立體幾何的基本特征、展開與折疊方法等幾何知識。

例如，根據(jù)“截一個幾何體”課時中的數(shù)學(xué)知識，教師提出問題，讓學(xué)生能夠直接發(fā)現(xiàn)問題中的不同分類討論方向，為學(xué)生的分類討論行為“遞臺階”，讓學(xué)生能夠分別順著不同的“臺階”展開分類討論。問題：若使用平面截去長方體的一個角（切除一個三棱錐），問剩下的幾何體具有幾個面、幾條棱、幾個頂點？

在這一問題中，教師為學(xué)生設(shè)置了不同的“臺階”——截面經(jīng)過長方體的位置。學(xué)生根據(jù)對長方體及本節(jié)課知識內(nèi)容的理解，提出了四個分類討論方向：（1）截面經(jīng)過1個頂點;（2）截面經(jīng)過1個頂點，且交匯一個頂點;（3）截面經(jīng)過2個頂點;（4）截面經(jīng)過3個頂點。學(xué)生通過交流與討論，繪制出四個截面之后的圖示。

經(jīng)過分類討論活動，學(xué)生把握題目中的“截面經(jīng)過幾個頂點”這一不確定性因素，分別提出了四個不同方向的討論可能性，繪制出了不同情況下的截面之后的幾何圖示，為進(jìn)一步數(shù)清長方體的棱、面、頂點數(shù)量提供依據(jù)。這一過程既是學(xué)生解決幾何問題，加深對幾何特征理解的過程，也是進(jìn)一步鍛煉學(xué)生分類討論能力，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想解決實際問題的過程。

綜上所述，在七年級數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用分類討論思想，需要嚴(yán)謹(jǐn)、合理地梳理題目條件，明確數(shù)學(xué)題目中的問題解決方向，找出數(shù)學(xué)問題中由于不確定性因素引起的“矛盾”點，從而提出分類討論的解決思路，促使學(xué)生自主探索，快速、準(zhǔn)確的解決問題，提出不同條件下的數(shù)學(xué)問題答案。這一過程既是學(xué)生運(yùn)用分類討論解決數(shù)學(xué)問題的過程，也是學(xué)生形成解題經(jīng)驗與能力的過程，也是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的過程。

（作者單位：甘肅省天水市秦州區(qū)楊家寺中學(xué)）

（責(zé)任編輯? 曉寒）