黃小燕

公理化思想是指從數(shù)學(xué)基本概念角度出發(fā)，利用純邏輯推理法則，系統(tǒng)演繹數(shù)學(xué)過程，梳理數(shù)學(xué)關(guān)系。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用公理化思想，就是借助基本概念、基本命題進(jìn)行數(shù)學(xué)邏輯推理，這一過程就是公理化思想的運(yùn)用過程，能夠輔助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)教材中的多個(gè)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公理、數(shù)學(xué)命題，提高學(xué)生對(duì)這些命題的掌握與運(yùn)用能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、推理論證思維與問題解決能力。

一、以公理呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維

公理化思想對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容具有啟示作用。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要強(qiáng)調(diào)對(duì)已有數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用和對(duì)已有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的結(jié)合。教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念類知識(shí)教學(xué)時(shí)，應(yīng)該努力創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的原有認(rèn)知，讓學(xué)生在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中引入新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)與基礎(chǔ)概念，思考新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，順利參與數(shù)學(xué)概念類知識(shí)學(xué)習(xí)。教師還需要思考如何在公理化視域下呈現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容，如何將公理化與新課程改革要求有機(jī)結(jié)合。公理化思想就是借助數(shù)學(xué)基本概念、基本命題展開的數(shù)學(xué)邏輯推理過程，側(cè)面提出了對(duì)學(xué)生邏輯思維、推理能力、問題分析與解決能力的要求，這與《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不謀而合。因此，需要選取數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容化，以一種較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓砘绞綐?gòu)建數(shù)學(xué)概念、命題的邏輯思考空間，逐漸讓學(xué)生在推理中接觸公理化方法思想內(nèi)核，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。

以初中數(shù)學(xué)《直線、射線、線段》的教學(xué)為例。這節(jié)課的數(shù)學(xué)概念類知識(shí)包括：線段、直線、射線特征概念，線段、直線、射線之間的區(qū)別概念。在原本的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要通過“畫一畫、比一比”的方式引導(dǎo)學(xué)生觀察、對(duì)比與分析，歸納提煉概念知識(shí)，還需要通過“一點(diǎn)出發(fā)畫無數(shù)條射線”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，輔助學(xué)生體會(huì)“兩點(diǎn)確定一條直線”的道理。為了讓學(xué)生體會(huì)公理化思想，逐漸掌握公理化方法，教師梳理本節(jié)課及本單元的知識(shí)點(diǎn)與概念，引入“希爾伯特公理體系”，借助其中的基本概念——點(diǎn)、線、面基本元素、結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系、合同關(guān)系，借助其中的基本公理——過兩點(diǎn)有一條直線、過兩點(diǎn)至多有一條直線、直線上至少有兩點(diǎn)且至少三點(diǎn)不在一條直線上等。在列出公理體系之后，教師借助多媒體視頻播放這些公理的動(dòng)態(tài)演示圖，提出問題：借助基本公理進(jìn)行推演，如何證明“過兩點(diǎn)有一條直線”“過兩點(diǎn)至多有一條直線”。學(xué)生會(huì)在原本對(duì)“線段”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中進(jìn)行擴(kuò)大與延伸，發(fā)現(xiàn)其與曾經(jīng)學(xué)習(xí)的“線段”屬于同一知識(shí)體系，進(jìn)一步拓展學(xué)生已有知識(shí)體系。之后學(xué)生結(jié)合“兩點(diǎn)之間線段最短”論證“過兩點(diǎn)至多有一條直線”這一基本公理，這一過程中學(xué)生經(jīng)歷了“畫出過一點(diǎn)的直線”“嘗試畫出過兩點(diǎn)的多條直線”的動(dòng)手操作與思考過程，這一過程是學(xué)生利用線段公理論證直線公理的過程，能夠進(jìn)一步梳理學(xué)生的思考路徑，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維。

二、以公理演繹論證過程，培養(yǎng)學(xué)生論證推理能力

公理化思想的運(yùn)用能夠幫助學(xué)生合理推理數(shù)學(xué)關(guān)系，論證數(shù)學(xué)猜想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)論證推理能力。推理就是學(xué)生根據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在主觀思想影響下，運(yùn)用觀察、分析、實(shí)驗(yàn)、歸類、類比、直覺等思維形式，構(gòu)建出符合客體的認(rèn)知過程，而這一過程的正確性是需要證明的，其結(jié)論是受到主觀思想影響的。論證推理則不同，它是不受主觀情感影響的，是完全基于客觀條件，根據(jù)數(shù)學(xué)基本公理，在一步步的證明過程中推理出來的，具有更強(qiáng)的說服力。在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，一些情況并不能夠直接達(dá)到論證推理?xiàng)l件，這就需要合理利用數(shù)學(xué)公理、基本概念、基本命題演繹論證過程，驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想與命題，得到較為準(zhǔn)確的答案。

比如，在初中數(shù)學(xué)《角》的教學(xué)中，教師可以引入關(guān)于角的數(shù)學(xué)公理——“兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的兩角及其夾邊相等，兩個(gè)三角形全等”，“角邊角”公理是證明兩三角形全等的重要公理之一。在黑板上畫出一個(gè)△A'B'C'，提出論證推理要求：使用何種公理可以論證三角形的類型、角大小問題，運(yùn)用這一公理的推理過程是什么？學(xué)生此時(shí)紛紛根據(jù)已有的三角形學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、三角形知識(shí)儲(chǔ)備，提出：使用角邊角公理（ASA）可以對(duì)其進(jìn)行論證，具體過程為“△A'B'C'，A'B'=AB，∠A'=∠A，∠B'=∠B，作A'B'=AB，在A'B'的同旁作∠DA'B'=∠A，∠EB'A'=∠B，A'D，B'E交C”，此時(shí)可以得到△A'B'C'的三個(gè)角大小相等。之后，教師還可以結(jié)合學(xué)生對(duì)“線”部分概念的學(xué)習(xí)情況，提出要求：之前我們?cè)趯W(xué)習(xí)“線段、直線、射線”時(shí)已經(jīng)開始嘗試驗(yàn)證基本命題與公理，今天可以利用量尺，分別測(cè)量你身邊的直角、鈍角、銳角，驗(yàn)證“角的公理”。學(xué)生借助角的公理與定理——“同角或等角的余角相等”“同角或等角的補(bǔ)角相等”“三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”，一邊測(cè)量一邊驗(yàn)證與推理，得到結(jié)論：這些公理在實(shí)際測(cè)量與計(jì)算過程中都是正確的，在幫助學(xué)生掌握“角的大小比較方法”的同時(shí)發(fā)展學(xué)生的論證推理能力，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握公理方法。

三、以公理梳理解題思路，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，演繹推理是解決數(shù)學(xué)問題的主要方法之一，學(xué)生開始嘗試?yán)脭?shù)學(xué)公理、概念、定理等內(nèi)容分析數(shù)學(xué)題目條件，演繹推理數(shù)學(xué)問題，導(dǎo)出證明數(shù)學(xué)猜想，得到數(shù)學(xué)答案。這種方法雖然能夠幫助學(xué)生形成良好的問題解決能力，但是學(xué)生掌握這一方法的過程仍需要教師給予指導(dǎo)與提點(diǎn)。初中數(shù)學(xué)問題的演繹推理，其本質(zhì)思想與公理化方法是相一致的，就是借助基本概念、基本命題進(jìn)行邏輯思考，能夠發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力、論證推理能力，鍛煉學(xué)生的問題解決能力。因此，教師仍舊要將公理化思想作為主要指導(dǎo)，在學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，讓學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到“解題方法與公理化方法是一致的”，從而梳理學(xué)生的解題思路，讓學(xué)生將公理化論證過程作為主要解題過程。

在初中數(shù)學(xué)“運(yùn)算”部分的學(xué)習(xí)中，數(shù)的幾條運(yùn)算性質(zhì)可以看作是簡(jiǎn)單的公理，學(xué)生可以運(yùn)用這幾條性質(zhì)解決數(shù)學(xué)運(yùn)算中的多種問題。比如：實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、加法結(jié)合律、乘法序性質(zhì)等。在《不等式》教學(xué)中，根據(jù)性質(zhì)①“不等式兩邊都加（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變”，性質(zhì)②“不等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變”，性質(zhì)③“不等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變”，教師提出數(shù)學(xué)問題：當(dāng)a>0時(shí)，3a>2a;當(dāng)a<0時(shí)，3a<2a這一命題是否準(zhǔn)確？學(xué)生將不等式的三個(gè)性質(zhì)作為基本公理，利用教師提出的問題假設(shè)“a”的數(shù)分別為“1”“0”“-1”，分別驗(yàn)證3a與2a的計(jì)算結(jié)果，將結(jié)果進(jìn)行大小比較，發(fā)現(xiàn)“-1×3”小于“-1×2”，“1×3”大于“1×2”，符合基本公理描述，從而得到結(jié)論為命題正確，進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的公理化思想方法運(yùn)用能力，發(fā)展學(xué)生的問題解決能力。

綜上所述，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中結(jié)合公理化思想，可以使學(xué)生更好地理清數(shù)學(xué)概念、辨別命題與定理之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)邏輯思維能力、推理論證能力的發(fā)展。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用公理化方法，是一個(gè)漫長且艱巨的過程，需要教師結(jié)合初中數(shù)學(xué)知識(shí)特點(diǎn)，借助數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)概念，為學(xué)生提供公理化方法使用環(huán)境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)基本概念知識(shí)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)論證推理、數(shù)學(xué)問題解決的過程中逐漸掌握公理化方法。

（作者單位：江蘇省南通市海門經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)中學(xué)）

（責(zé)任編輯? 曉寒）