白凌曉

數(shù)學(xué)學(xué)科在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面承擔(dān)著“不可替代的作用”?！半p減”政策下，如何提高小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量？筆者圍繞抽象、推理、模型三種數(shù)學(xué)基本思想在課堂教學(xué)中的落實，做了一些探索。

一、從兒童立場出發(fā)，在積累活動經(jīng)驗中培養(yǎng)抽象能力

抽象思想是將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，而直觀、有趣的事物能促進學(xué)生學(xué)習(xí)行為的發(fā)生。這兩者在客觀上要求教師設(shè)計教學(xué)時，要符合學(xué)生的認知規(guī)律，把知識與技能的學(xué)習(xí)融入游戲、活動中，使學(xué)生通過實踐積累基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，培養(yǎng)抽象思維能力。

例如，在教學(xué)“11～20的認識”時，筆者首先安排“10張笑臉卡換1張金星卡”的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生直觀感知“10個一”與“1個十”的關(guān)系;接著用PPT播放學(xué)生在超市中尋找10個捆成一捆或裝成一盒的商品的畫面，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的“以十計數(shù)”;然后組織學(xué)生動手捆小棒，親身體驗“以十計數(shù)”;最后引導(dǎo)學(xué)生歸納發(fā)現(xiàn)10個一捆的小棒，再加1根小棒，就是11根小棒，依次加2根、3根、4根……直到和為19。以上教學(xué)使學(xué)生理解了十進制，掌握了數(shù)序。

至此，教學(xué)就結(jié)束了嗎？學(xué)生抽象思維能力的提高從何體現(xiàn)呢？筆者隨后拋出這樣一個問題：用同樣大小、同樣顏色的兩顆珠子，能不能表示“11”？這個問題引起了學(xué)生的思維沖突，在辨析過程中，學(xué)生進一步明確了“數(shù)、數(shù)值、數(shù)位”的含義，得出“用同樣大小、同樣顏色的兩顆珠子，能夠表示‘11’”的結(jié)論。這個討論過程，讓學(xué)生的思維從淺表性思考轉(zhuǎn)向深度思考，使他們的抽象思維能力得到了鍛煉。

二、從思維訓(xùn)練入手，在尋找規(guī)律中發(fā)展推理能力

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等方法推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，法則、性質(zhì)、公式、定律、規(guī)律等的學(xué)習(xí)都能體現(xiàn)合情推理（歸納推理）的思維過程。歸納的前提是能夠憑借數(shù)學(xué)直觀發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，因此培養(yǎng)學(xué)生有序觀察的能力，教會學(xué)生同中見異、異中見同，系統(tǒng)中見聯(lián)系，變化中見不變，透過現(xiàn)象看本質(zhì)等觀察方法，是學(xué)生歸納推理能力發(fā)展的重要保障。如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級上冊第89頁的題目“9+1=? 9+2=? 9+3=…9+9=”，如果教師不深入挖掘，這道題就是簡單的計算題，如果教師能引導(dǎo)學(xué)生豎著觀察這些算式及其結(jié)果，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：這串算式的得數(shù)十位上的數(shù)字都是“1”，個位上的數(shù)字比第二個加數(shù)少1。少的這個“1”到哪兒去了呢？筆者引導(dǎo)學(xué)生借助實物演示用“湊十”法計算的過程，并加以分析，得出這個“1”跟9湊成了10。此后，學(xué)生再解決“9加幾”的問題，就能很快算出得數(shù)了。

觀察、比較、聯(lián)想是類比的基礎(chǔ)。學(xué)生通過觀察、比較、聯(lián)想，溝通新舊知識之間的聯(lián)系，進行猜想，再舉例驗證，得出結(jié)論，是運用類比推理解決問題的方法。如學(xué)習(xí)小數(shù)、分數(shù)的運算順序及運算定律時，可以將整數(shù)運算順序及運算定律作為類比對象，在學(xué)習(xí)正方形的周長和面積計算時，可以將長方形的周長和面積計算作為類比對象，而長方形的面積計算又是平行四邊形、三角形、梯形面積計算的基礎(chǔ)。

小學(xué)階段雖然不需要進行嚴格的演繹推理訓(xùn)練，但小學(xué)數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)和演繹推理密不可分。演繹推理有多種不同的表現(xiàn)形式，常見的有“三段論”模式、選言推理、假言推理、關(guān)系推理等。如“2、5、3的倍數(shù)的特征”，教材一般采用歸納推理的方法來呈現(xiàn)。雖然學(xué)生知道了它們的倍數(shù)特征，但往往無法深入理解“為什么”。這對培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力不利。

歸納推理的準(zhǔn)確性往往需要演繹推理來證明，教材在思考題中做了安排。人教版五年級數(shù)學(xué)下冊第8頁安排了如下習(xí)題：14、21都是7的倍數(shù)，14和21的和是7的倍數(shù)嗎？18、27都是9的倍數(shù)，18和27的和是9的倍數(shù)嗎？學(xué)生通過歸納可以發(fā)現(xiàn)：如果兩個自然數(shù)都能被a整除，那么它們的和也能被a整除。教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考：如果三個自然數(shù)都能被a整除，它們的和會怎樣呢？四個呢？至此，學(xué)生通過進一步分析得到一個很重要的數(shù)論原理：如果n個自然數(shù)都能被a整除，那么它們的和也能被a整除。此外，教材在練習(xí)三中安排了“你知道嗎”欄目，對這一節(jié)內(nèi)容做了補充：為什么判斷一個數(shù)是不是2或5的倍數(shù)，只要看個位數(shù)？為什么判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，要看各位上數(shù)的和？教材對于2或5的倍數(shù)的特征推理如下：24=20+（4），而20和4都能被2整除，所以24也能被2整除;2485=2480+（5），而2480和5都能被5整除，所以2485也能被5整除;整十?dāng)?shù)總是能被2或5整除，因此看一個數(shù)是不是2或5的倍數(shù)，只要看這個數(shù)的個位數(shù)。3的倍數(shù)特征的推理過程也是分解自然數(shù)的過程，并運用了乘法分配律，如24=2×10+4=2×（9+1）+4=2×9+（2）+（4），因為2×9能被3整除，所以判斷24能否被3整除，只需看2+4能否被3整除，即看十位上和個位上的數(shù)字之和能否被3整除即可，然后又舉了“2485”的例子再次說明。這個過程就是假言推理的運用過程，它使學(xué)生既掌握了2、3、5的倍數(shù)的特征是什么，又深入理解了為什么是這樣。

三、從發(fā)現(xiàn)和解決問題入手，在探索中提高數(shù)學(xué)建模能力

數(shù)學(xué)模型是對實際問題的一種數(shù)學(xué)表達，是采用形式化的數(shù)學(xué)語言或符號，概括或近似表達系統(tǒng)規(guī)律的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模的過程是對實際問題進行抽象、簡化、確立、求解、驗證、解釋、應(yīng)用和拓展的過程。

《方程的意義》以數(shù)學(xué)建模為主線，給學(xué)生提供了5幅天平稱重的直觀圖。這5幅圖緊扣學(xué)生的認知實際，層層遞進地幫助學(xué)生建構(gòu)方程模型。第一幅圖提供的是2個50g的砝碼與1個100g的砝碼之間建立的等式關(guān)系，這是由算術(shù)思維入手的。第二幅圖用1個空杯子替換了2個50g的砝碼，這個空杯子的克數(shù)由天平右邊的100g砝碼給出答案，此中隱藏了含有一個未知數(shù)的等式關(guān)系，這是由算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡。第三幅圖在空杯子里注入了水，這時天平兩邊失去了平衡。注入了多少克水呢？問題至此出現(xiàn)了。第四幅圖呈現(xiàn)了兩種情景，一種是在失衡的天平右邊再加一個100g的砝碼，結(jié)果是重100g的杯子和注入的水比2個100g的砝碼重，用數(shù)學(xué)語言表示為100+x>200;另一種是在失衡的天平右邊再加兩個100g的砝碼，結(jié)果是重100g的杯子和注入的水比3個100g的砝碼輕，用數(shù)學(xué)語言表示為100+x<300。這兩個情境意圖啟發(fā)學(xué)生：如果想找到解決“到底注入了多少克水”的問題，必須在已知條件與未知問題之間建立能促使問題解決的某種關(guān)系式。教學(xué)中按此思路引導(dǎo)學(xué)生探索，學(xué)生必然會通過觀察、猜測，嘗試著調(diào)整自己對天平兩邊物體質(zhì)量關(guān)系的預(yù)設(shè)，這在客觀上提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力。第五幅圖顯示在重新調(diào)整砝碼的過程中，天平找到了平衡，即把第3次加上去的100g的砝碼替換成50g的砝碼。這時100g的杯子和注入的未知多少克的水與250g的砝碼建立了等量關(guān)系，用數(shù)學(xué)語言表示為100+x=250。學(xué)生在找等量關(guān)系的過程中深入理解了等號與等式的內(nèi)涵，明確了方程的含義，注入多少克水的問題也迎刃而解。

為了進一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，筆者在鞏固拓展環(huán)節(jié)給出了三個新的問題情境，讓學(xué)生自主尋找解決問題的路徑。這三個問題雖然內(nèi)容各異，要解決的問題也不同，但都能通過建立3x=240這個方程來解決。

（作者單位：襄陽市教育科學(xué)研究院）