鄭雪靜 黃東蘭 王逸勤

（1，2.泉州師范學院數(shù)學與計算機科學學院，福建 泉州 362000；3.福建教育學院，福建 福州 350025）

“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，開放共享的互聯(lián)網(wǎng)思想，對教育觀念、教學方式和學習方式產(chǎn)生著深刻的影響，推動了育人理念的重塑、教育生態(tài)的重構、教學資源的重組［1］。“互聯(lián)網(wǎng)+”時代是信息時代教學范式變革發(fā)展進程的拐點［2］，在教育領域發(fā)揮了巨大作用，已從融合階段進入創(chuàng)新階段。信息（化）時代，數(shù)學已不僅僅是一門學科，數(shù)學承載著思想和文化的傳播，是自然科學的重要基礎，在社會科學中發(fā)揮越來越大的作用，是一個現(xiàn)代人應該具有的基本素養(yǎng)。高等數(shù)學課程是高等學校理工類、經(jīng)管類專業(yè)學生必修的一門公共基礎課，肩負著培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)、數(shù)學應用意識和能力，引導學生用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界，促進學生數(shù)學品格及健全人格的養(yǎng)成，同時為各專業(yè)后續(xù)課程的學習奠定堅實必要的基礎。然而，高等教育大眾化背景下，大學生學力水平下降已成為高等教育領域內專家學者的共識；大學課程越來越多，而“高等數(shù)學的課時”是一個“定值”，甚至被壓縮；高等數(shù)學因自身高度的抽象性、嚴密的邏輯性和較強的理論性特點，在高等數(shù)學教育教學實踐中形成極大張力，紓解這種張力需要在教育教學方式革新上不斷努力。再者，大學生學習高等數(shù)學的現(xiàn)狀不容樂觀，學生缺乏學習高等數(shù)學的興趣和動力，這與很多因素有關，但與教師的教育教學方式存在直接聯(lián)系。本文基于“互聯(lián)網(wǎng)+”的高等數(shù)學教學模式的重構研究，對高等數(shù)學教與學方式的轉變，提高高等數(shù)學教育教學質量進行了探索與實踐，以期對高等數(shù)學的教育教學提供參考和借鑒。

一、基于“互聯(lián)網(wǎng)+”高等數(shù)學教學模式重構

高等數(shù)學的教學模式主要有三種：第一種是傳統(tǒng)的線下教師課堂講授；第二種是提供線上資源學生自學，輔以教師答疑討論；第三種是基于“互聯(lián)網(wǎng)+”的線上線下混合式教學。目前，比較流行的是第三種教學模式。然而，在實踐中出現(xiàn)了線上線下混合式教學模式簡單疊加的現(xiàn)象，線上與線下教學成為兩條平行線，未能充分發(fā)揮線上線下教學的功能，未能實現(xiàn)線上線下教學優(yōu)勢互補。幾年來，泉州師范學院高等數(shù)學教學團隊從參加首屆（2015）全國高校數(shù)學微課程教學設計競賽獲得華東賽區(qū)特等獎1 項、一等獎5 項、二等獎5 項的成績積淀開始，不斷對基于“互聯(lián)網(wǎng)+”的高等數(shù)學課程教學模式進行探索與實踐研究，2017 年自編的《高等數(shù)學》教材由電子科技大學出版社出版［3］，2019 年建設的在線開放課程《高等數(shù)學》通過省精品在線開放課程認定?；诮滩暮驮诰€開放課程重構高等數(shù)學教學模式（見圖1），在轉變教與學的方式、提高高等數(shù)學教育教學質量方面發(fā)揮了積極作用。

圖1 基于“互聯(lián)網(wǎng)+”的高等數(shù)學教學模式

重構的高等數(shù)學教學模式，采用線上線下混合式教學，具體包括：精心教學設計、課前線上自學、課中線下教學、課后鞏固提升四個環(huán)節(jié)。問題討論貫穿于整個教學環(huán)節(jié)，并且各個環(huán)節(jié)不是孤立的，而是一個有機整體的閉環(huán)。

（一）精心教學設計

教學設計是教學模式實施的前提條件，也是重要環(huán)節(jié)，它貫穿于整個教學過程的始終。精心的教學設計，包括篩選優(yōu)質教學資源（教師自制視頻或優(yōu)選中國大學MOOC、雨課堂、智慧樹、超星平臺的資源），圍繞教學目標設置能夠激發(fā)學生思考、驅動學生學習的導學問題，開發(fā)課前課后檢測試題，整合或重組教學內容，滲透數(shù)學文化，融合課程思政元素等方面。

（二）課前線上自學

課前，教師借助網(wǎng)絡平臺（校內教學平臺、QQ群、微信群等媒介）發(fā)布學習任務，以導學問題和學習目標驅動學生進行自學，要求學生完成課前檢測。自學期間，學生可以通過網(wǎng)絡平臺，以小組的形式進行生生之間的交流、討論。這一環(huán)節(jié)，教師做好督促和引導，通過課前檢測、小組討論和反饋情況收集學生自學后的疑難問題，但教師不過多干預，以提高學生自主學習能力、合作探究能力和分析問題、解決問題的能力。

（三）課中線下教學

課中，學生帶著問題進入課堂，教師根據(jù)學生的疑難問題及課前檢測情況，在線下課堂教學中進行重點講解、難點分析、答疑解惑。教師還可以根據(jù)教學內容和學生自學情況，適當采用小組匯報，以教師組織和引導的形式開展教學，提高學生的學習積極性和參與度。同時，讓學生帶著問題走出課堂，進一步追問和反思導學問題，以及教師設置的延伸性問題。

（四）課后鞏固提升

課后，學生對線上自學和線下學習進行反思總結，完成鞏固性、提升性的作業(yè)和課后檢測，教師及時跟蹤學生線上線下學習數(shù)據(jù)，實時監(jiān)測學生個性化學習軌跡，對學生的學習進行動態(tài)的評估和及時反饋，通過QQ 群、微信群等媒介為學生提供個性化的學習指導，開展因材施教，推動因材施學。

二、基于“互聯(lián)網(wǎng)+”高等數(shù)學教學模式重構意義

重構的高等數(shù)學教學模式，對發(fā)揮線上線下教學的功能，培養(yǎng)學生的自學能力，提高高等數(shù)學的教學質量，提升數(shù)學學科的育人價值，構建多元考核的評價方式等方面具有重要的意義。

（一）實現(xiàn)線上線下優(yōu)勢互補

集中授課的線下教學方式，教學效率比較高，數(shù)學嚴謹?shù)倪壿嬐评磉\算過程可以通過板演示范，教師能夠根據(jù)學生的反映情況及時調整教學進程，開展更有效的課堂溝通與互動，這是線上教學較難實現(xiàn)的效果，但線下教學課堂時間有限，教師較難及時跟蹤和反饋每個學生的學習情況，較難開展個性化學習指導和因材施教。線上學習難以進行有效交流和互動，較難把握學生的學習效率，但線上學習不受空間和時間限制，互聯(lián)網(wǎng)的共享性和實時性，不僅使學生有機會進入名校名師的課堂，同時有助于教師根據(jù)在線學習數(shù)據(jù)關注到每個學生的具體學習狀態(tài)，有效開展因材施教和因材施學。因此，重構的線上線下混合式教學模式，可以實現(xiàn)線上線下教學的優(yōu)勢互補，有效開展個性化教學、分層教學和過程化教與學的管理。

（二）培養(yǎng)學生自主學習能力

自主性是學生學習的內在動力，教師授人以魚，不如授人以“漁”?；凇盎ヂ?lián)網(wǎng)+”的高等數(shù)學教學模式，要求學生在課前進行自主學習，課后進行鞏固提升，都有助于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，使學生養(yǎng)成善于思考和反思的思維習慣，提高學生學習的自主性，促進學生從“學會”向“會學”轉變，從“要我學”向“我要學”改變，培養(yǎng)學生的自主學習能力。

（三）提高高等數(shù)學教學質量

應對課時緊、內容多且抽象難懂的高等數(shù)學教學現(xiàn)狀，通過整合教材，優(yōu)選資源，以問題驅動教學，融知識學習、素養(yǎng)培養(yǎng)為一體，以產(chǎn)出為導向，從以教師為主體向以學生為中心轉變，這樣的線上線下混合式教學，調動了學生學習的主動性和積極性，架構了課內外教與學的聯(lián)通性，滿足了學生個性化學習的需求，推動了因材施教的實施，因此能夠有效地提高高等數(shù)學教學質量。

（四）提升數(shù)學學科育人價值

日本數(shù)學教育家米山國藏在他的著作《數(shù)學的精神、思想與方法》序言中說道：“在學校學的數(shù)學知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學精神、數(shù)學思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益?！保?］然而，高等數(shù)學教學有限的課時限制了課堂講授的內容，教學只能圍繞重點講解，而課程思政、數(shù)學文化、數(shù)學思想方法滲透的空間和時間受限?；ヂ?lián)網(wǎng)的實時性和時間、空間的靈活性，便于學生在課前、課后通過QQ 或微信等媒介與教師交流、討論，討論交流的問題并不僅限于學習內容，也可以是生活、為人處事等方面的問題，不僅作為學生的良師，也能成為學生的益友；不僅教書，而且育人?；凇盎ヂ?lián)網(wǎng)+”重構的高等數(shù)學教學模式，教師可以隨時在網(wǎng)絡平臺推送前沿性研究成果，能夠給優(yōu)秀的學生創(chuàng)造更多施展才華的機會，也助力基礎薄弱的學生重拾信心［5］，因此提升了高等數(shù)學的育人價值。

（五）構建多元考核評價方式

通過課前課后生生、師生交流討論，課前課后檢測、作業(yè)等多種方式對學生的學習進行過程性數(shù)據(jù)記錄，構建多元的考核評價方式，既有教師對學生的評價，也有學生對教師的評價，還有學生對學生的評價；既有期末的終結性評價，更有突出課前、課內和課后三階段的過程性綜合評價，發(fā)揮了以評促教、以評促學、教學相長的作用。

三、基于“互聯(lián)網(wǎng)+”高等數(shù)學教學模式實施案例

下文以“無窮小”的教學為例，闡述教學模式的具體實施。

（一）“無窮小”的教學設計

“無窮小”是高等數(shù)學中重要而又較難理解的概念之一，關于無窮小的教學內容，同濟版高等數(shù)學教材主要在“無窮小與無窮大”“極限運算法則”“無窮小的比較”這三節(jié)中介紹無窮小的概念和運算性質［6］。教材展現(xiàn)的是無窮小“冰冷美麗”的一面，未能將其背后“火熱思考”揭示出來。因此，教師的教學設計理念是以史為鏡，將這些內容進行整合，融入數(shù)學文化和課程思政元素，讓學生全面了解到人類對無窮小的認識經(jīng)歷了一個漫長、曲折的歷史過程，在追隨歷史腳步的過程中準確理解無窮小的概念，領略為何無窮小是人類智慧的結晶，以此讓學生明白自己對數(shù)學概念的理解也是一樣的，需要一個從了解、理解、掌握再到靈活應用的過程［7］。希望學生在數(shù)學學習中能養(yǎng)成善于對數(shù)學“冰冷美麗”進行“火熱思考”的習慣［8］。

“問題是數(shù)學的心臟”“思維從問題開始”。教學設計中教師注重以問題驅動教學，將問題討論貫穿于整個教學過程。圍繞無窮小的教學目標，教師精心設計了13 個問題：什么是無窮小？無窮小是一個數(shù)嗎？很小很小的數(shù)是無窮小嗎？0 是無窮小嗎？牛頓提出了“無窮小”，他所指的“無窮小”是什么？第二次數(shù)學危機是怎么產(chǎn)生的？我國古代學者是怎么認識無窮小的？無窮小概念經(jīng)歷了哪些曲折的發(fā)展過程？一個變化的量要視為無窮小量，與什么條件有關？無窮小的四則運算結果還是無窮小嗎？兩個無窮小，如何比較它們趨于無窮小的速度差異？如何從幾何角度理解當x 趨于0 時，sinx 與x 等價？無窮小在極限求解過程中有什么作用？學生在整個學習閉環(huán)中圍繞這些問題不斷追問和反思，通過追問和反思，不斷深化對“無窮小”的認識，獲得對“無窮小”更深層次的理解，拓展學科知識。

（二）“無窮小”教學的閉環(huán)模式

根據(jù)圖1 教學模式，我們構建了“無窮小”教學閉環(huán)模式（如圖2）。課前，教師根據(jù)教學設計錄制了“無窮小”微課，設置導學檢測，連同13 個問題通過網(wǎng)絡平臺發(fā)布給學生，要求學生圍繞問題進行微課和教材的自學。通過導學檢測可以看出，學生基本都認識到無窮小是通過極限來定義，0 是唯一的無窮小常數(shù)，有限個無窮小的加、減、乘的運算還是無窮小。但從小組討論反饋的問題來看，學生并沒有真正理解無窮小，認為無窮多個無窮小的和與積應該還是無窮小，也無法理解兩個無窮小可以進行除法的運算。因此，課中的線下教學，教師主要講解為何無窮多個無窮小的和與積不一定是無窮小，分析兩個無窮小的除法運算是如何進行的，指出在同一自變量的變化過程中，兩個無窮小趨于零的速度可能是不一樣的，探討兩個無窮小商的五種情況（高階無窮小、低階無窮小、同階無窮小、K 階無窮小、等價無窮?。⑶彝ㄟ^例子分析了等價無窮小在極限求解中的作用。課后，除了通過作業(yè)讓學生對所學內容進行鞏固，教師還進一步讓學生反思關于無窮小概念的歷史發(fā)展過程：教材的邏輯體系與歷史的發(fā)生順序是否一樣？認真思考的學生會發(fā)現(xiàn)，無窮小概念產(chǎn)生的歷史順序正好與教材的邏輯體系相反，先是微積分的初步建立，再到無窮小概念的準確定義，然后才是研究實數(shù)理論的完備性。讓學生認識到無窮小概念在嚴格化過程中，正是數(shù)學家們以包容、自信的態(tài)度在探索中不斷推進數(shù)學的發(fā)展，微積分的產(chǎn)生、發(fā)展、完善過程就是人們對無窮小思想的再認識過程，對無窮的認識也是一個無窮的過程。同時，讓學生課后進一步思考：有限與無限有什么本質區(qū)別？有限與無限有什么辯證關系？研究無限的思想方法是什么？無窮大的學習是否可以類比無窮?。康鹊?。

圖2 “無窮小”教學的閉環(huán)模式

（三）教學效果與反思

以此教學設計為素材錄制的微課，獲得第三屆全國高校數(shù)學微課程教學設計競賽華東賽區(qū)一等獎。同時，通過線上線下閉環(huán)式開展“無窮小”的教學實踐，收到了很好的教學效果。學生在課前、課中和課后的表現(xiàn)，以及與學生的訪談交流表明，大部分學生都能比較深刻地理解和掌握無窮小的概念、無窮小的運算性質，并能進行靈活運用。從最初對無窮小靜態(tài)的認識向動態(tài)的認識轉變；從最初以有限的角度認識無窮小，向從無限的角度理解發(fā)展；從對無窮小的感性認識向理性認識升華。學生感嘆原來數(shù)學知識背后有那么多需要思考的東西，并不只是教科書中那些冰冷的定義、定理、公式，而是有著活生生的歷史，需要進行火熱的思考；數(shù)學概念的產(chǎn)生不是憑空想象的，數(shù)學概念從產(chǎn)生、發(fā)展到成熟再到運用，有著深刻的思辨過程。學生從中深刻領悟到要養(yǎng)成善于對數(shù)學“冰冷美麗”進行“火熱思考”的習慣。

四、結語

基于“互聯(lián)網(wǎng)+”重構的高等數(shù)學教學模式的實施，對教師和學生都提出了更高的要求：一方面，教師需要轉變教學觀念和角色定位，從授課型教師的角色轉向知識的引導者、活動的設計者、過程的組織者等多元角色，這也就要求教師要投入更多的精力和時間，不論是課前的問題設計、導學檢測，還是課中的重難點分析、答疑解惑，以及課后的鞏固提升，都需要教師進行精心的設計。同時，教師還需要關注每個學生，對動態(tài)的過程數(shù)據(jù)進行整理分析和及時反饋，成為學生學習的促進者和分析師，為學生提供個性化的學習指導，有效開展因材施教，因材施學。另一方面，學生需要轉變學習觀念和角色認知，提升自我規(guī)劃學習的能力，養(yǎng)成善于思考和反思的學習習慣，增強學習的自覺性、積極性和主動性，提升學習力?？傊挥薪處熀蛯W生雙邊共同努力，使教師有效的教和學生自主的學有機結合起來，才能真正實現(xiàn)高等數(shù)學的育人價值和目標。