楊汝東，孫測世，鄧正科

（重慶交通大學土木工程學院，重慶 400074）

引言

斜拉橋已經成為最流行的橋梁類型之一，特別是在跨越寬闊的河流或山谷時。據不完全統(tǒng)計，世界范圍內已建成158座主跨在400 m 及以上的斜拉橋，而我國就有97座，全球在建及擬建的主跨400 m 以上斜拉橋約60 余座，其中超過70%在中國［1］。然而，由于索的輕柔性以及低阻尼性，且隨著跨度的增大，索的整體剛度顯著降低，因此在環(huán)境激勵下會產生不同機理的振動［2-5］，引起各種危害?？肆_地亞Dubrovnik 斜拉橋拉索2次發(fā)生嚴重的振動，多根長索出現(xiàn)約180°的相位差（反相）從而引發(fā)了碰撞［6］。我國楊浦大橋、法國布魯東橋、泰國Rama IX橋、日本名港西大橋等橋的拉索也均曾發(fā)生碰撞［7］。這種相鄰索之間的碰撞可造成PE護套破裂，雨罩損壞，高強螺栓斷裂等多種破壞［2-3］。

碰撞的原因：一是索在環(huán)境激勵下產生較大幅值的振動；二是索振動有較大相位差。因此，研究相頻特性是深入了解這類問題的關鍵之一。在單模態(tài)方面，Bossens 等［8］進行了大尺寸的主動控制模型試驗，發(fā)現(xiàn)給予拉索的主動端部振動與拉索索力的相位差也隨激勵頻率變化。Liu等［9］建立斜拉索的非線性運動方程，研究了超長跨徑斜拉橋的拉索在軸向激勵下的穩(wěn)定性及其面內參數振動的特性，探明了相位受外部激勵幅值和頻率的影響，相頻曲線與幅頻曲線具有相同的跳躍特性。在多模態(tài)方面，結構不同模態(tài)之間的相位差也與激勵頻率有關［10-12］。文獻［13］通過斜拉橋全橋模型試驗驗證了當激勵頻率達到一定值時，多根索發(fā)生大幅振動，相鄰索的振動間均存在一定相位差，導致鄰索之間產生碰撞。趙珧冰等［14］通過考慮4組垂跨比及4 種溫度變化工況下探究了懸索受多頻激勵組合聯(lián)合共振響應特性及其受溫度變化的影響，證明了聯(lián)合共振響應相位與溫度變化密切相關。

以上研究表明，相位差的產生與激勵頻率有關。然而，目前各項研究中的響應相位均是指線性解中的相移值，并未考慮漂移項和倍頻成分對相位的影響。同時，內共振是索結構中極為常見的振動現(xiàn)象，故文中主要研究1：1 內共振對拉索面內主共振響應與激勵的瞬時相位差的變化特性及其成因影響，分析了面外引起的漂移項和兩倍頻成分對瞬時相位差的影響規(guī)律，研究了瞬時相位差在不同索力下的變化規(guī)律。

1 力學模型及控制方程

圖1 給出兩端鉸接且受面內分布外激勵的斜拉索簡化模型，并建立如圖1 所示直角坐標系。O為坐標原點，x為斜拉索弦線方向、y為索面內垂直弦線的方向、z為側向（即面外），x、y、z方向對應位移分別用u、w、v表示。為了體現(xiàn)問題的本質作如下假設：（1）斜拉索的抗彎剛度足夠地小以至于可以忽略不計；（2）斜拉索只承受拉力；（3）斜拉索在振動過程中的軸向應變足夠??；（4）只考慮幾何非線性，而不考慮其它非線性。

圖1 分布面內外激勵下斜拉索振動簡化模型Fig.1 Simplified vibration model of stay cable under distributed in-plane excitation

考慮拉索初始垂度與幾何非線性，通過利用Hamilton 原理得到面內分布外激勵下斜拉索非線性振動力學方程［15］：

式中：m為拉索單位長度質量；cu，cw和cv分別為u，w和v方向的阻尼系數；T為拉索索力；E為拉索彈性模量；A為拉索截面面積；（）＇表示對x導數；y為拉索的靜態(tài)構型，其方程為：

設拉索以擬靜態(tài)方式進行軸向振動，略去高階無窮小量，拉索無量綱控制方程如下：

式（3a）、式（3b）和采用的無量綱變換有：

為了方便書寫，式中（3a）和式（3b）省去了“*”號。

2 多尺度求解

2.1 離散化模型

在分布外激勵作用下，拉索振動位移被認為是純模態(tài)振動，因此令：

取面內振型函數為［16］：

式中：ε=mglsinθ/T；h為附加索力軸向分力。

面外振型函數為：

利用Galerkin方法得到：

2.2 攝動分析

2.2.1 不計入內共振

一般情況下，斜拉索高階頻率出現(xiàn)較少，由式（8a）進行退化，可得僅在面內分布外激勵作用下面內一階無量綱離散運動方程：

基于多尺度法對式（9）求得近似解，從而引入無量綱小參數ε，設q=εq，A1=ε3A1。并取阻尼系數項和面內激勵項為O（ε2）階，并設解的形式為：

式中，Tn=εnt（n=0，1，2，3，…），將式（10）代入式（9），并按照ε的冪次進行整理，可以得到下列方程：

此時幅頻響應方程的表達式為：

對應的斜拉索面內振動近似解為：

2.2.2 計入面內外1∶1內共振

在式（3a）和式（3b）的基礎上同樣引入面內分布外激勵，可得僅在分布面內外激勵作用下面內外一階耦合無量綱離散運動方程：

并引入無量綱小參數ε，設qw=εqw，qv=εqv，Awi=ε3Awi，Avi=ε3Avi。并取阻尼系數項和面內激勵項為O（ε2）階，并設解的形式為：

同樣將式（16a）和式（16b）代入式（15a）和式（15b）中，并按照ε的冪次進行整理，可以得到下列方程：

3 算例分析與討論

3.1 響應對比

在下面進行結果分析和討論過程中，選取Pont de Normandie橋［18］的典型索參數進行研究，其基本參數如表1所示。

表1 斜拉橋典型索參數Table 1 Typical cable parameters of cable stayed bridge

考慮拉索需滿足小變形假設，即垂跨比小于0.1，故取索力范圍為［6 900 kN，10 000 kN］。因此在面內分布外激勵條件下，通過獨立改變拉索的索力T，并采用雅可比矩陣法對方程（13）和方程（18）進行求解，同時利用MATLAB 軟件進行數值分析，從而得出每個索力下的幅頻曲線圖。文中以索力7 000 kN 為例，給出其幅頻曲線如圖2所示。

圖2 幅頻曲線Fig.2 Frequency-response curves

圖2 中（a）描述了根據頻響方程計算出的索不計入內共振時面內振動的幅頻曲線，圖2 中（b）描述了根據方程組計算出的索計入內共振時的幅頻曲線，圖2（a）和（b）中粗實線表示面內穩(wěn)定，粗虛線表示面內不穩(wěn)定，細實線表示面外穩(wěn)定，細虛線表示面外不穩(wěn)定，并且響應僅考慮面內外的一階對稱模態(tài)幅值。由圖2（a）和（b）中對比可以看出，位于幅頻曲線a點時，2種振動只含有面內響應；在b點時，計入內共振的幅頻曲線出現(xiàn)了面外振動，且面內振動響應未達到跳躍點；在c 點時，2 種振動的幅頻曲線中的面內響應都已超過跳躍點，且計內共振時的幅頻曲線仍存有面外振動響應。綜上所述，不計內共振時的面內主共振響應和計內共振時的面內主共振響應在不同的點處存在差異。因此為了研究內共振對拉索瞬時相頻特性的影響，需要對幅頻曲線圖（2）中a、b、c這3點分別進行分析。

把圖2 中a、b、c這3 個點所代表的值代入式（14）和式（20a）中得到不同索力下的時程曲線，以索力7 000 kN 為例，給出時程曲線圖，如圖3 所示。

圖3 時程曲線對比圖Fig.3 Comparison of time history curves

由圖3的時程曲線圖可知，在a點位置處，不計入內共振的面內振動響應時程曲線和計入內共振的面內振動響應時程曲線基本重合；在b點和c點位置處，計入內共振時面內振動響應的時程曲線和不計入內共振時面內振動相比都有一定程度的向下偏移，但c點處時程曲線的線型發(fā)生了較大的變化。由此可以看出，式（20a）中的面外振動引起的2倍頻項和漂移項對面內時程曲線都有一定程度的影響，前者會改變時程曲線的線型，后者引起時程曲線向下偏移。因此可以推測瞬時相頻特性受內共振的影響在3個點位置處亦有較大區(qū)別。

3.2 響應與激勵的瞬時相位差

將未計入內共振的面內振動響應和計入內共振的面內振動響應以及面內分布外激勵三者的時程曲線，分別進行Hilbert變換得到其瞬時相位，再把2種振動產生的響應瞬時相位分別與激勵瞬時相位做差，分別得到兩者響應與激勵的瞬時相位差值?？紤]差值在［-π，π］間變化，為便于分析和比較，故定義兩者相位差的歸一化參數：

式中：ΔPw為拉索未計入內共振面內振動響應瞬時相位與激勵瞬時相位之差；ΔPwv為拉索計入內共振面內振動響應瞬時相位與激勵瞬時相位之差，以7 000 kN 索力為例，繪制a、b、c 這3 處無量綱瞬時相位差的時程曲線，如圖4所示。

圖4 相位差時程曲線對比圖Fig.4 Comparison of phase difference time history curves

由圖4可知，Pw和Pwv兩者的時程曲線在3個點處都呈現(xiàn)周期性。在a點處，Pw和Pwv兩者的時程曲線基本一致；在b和c點處，Pwv的時程曲線和Pw的時程曲線相比，都有一定程度的向上偏移。在b點處，兩者的線型基本一致，但在c點處，Pwv的時程曲線的線型發(fā)生了較大的變化，從而使得無量綱相位差達到最大0.858。由此也可以看出內共振對拉索的瞬時相位差有較大的影響。

因此，為了便于進一步對Pw和Pwv進行研究，后續(xù)分別選取兩者最大幅值Pwmax和Pwvmax進行分析，用以討論未計入內共振的面內振動和計入內共振的面內振動在不同索力下兩者的瞬時相頻特性的影響規(guī)律。在索力［6 900 kN，10 000 kN］范圍內，取變化間隔為100 kN，從而提取不同索力T下的相位差時程曲線在同一個周期內的最大幅值Pwmax和Pwvmax，并且繪制出a、b、c這3點處Pw和Pwv兩者的最大幅值隨索力T變化的曲線圖，如圖5所示。

圖5 Pwmax、Pwvmax隨T的變化曲線圖Fig.5 Curves of Pwmax and Pwvmax varying with T

由圖5 可知，當響應處于a點時，Pwmax和Pwvmax隨T變化的趨勢一致，且兩者幅值相差較小；當響應處于b點時，Pwmax和Pwvmax都隨著T增大而減小，在6 900 kN 處兩者最大值分別為0.21 和0.29；當響應處于c點時，Pwmax和Pwvmax也都隨著T增大而減小，在6 900 kN處兩者最大值分別為0.43和0.90，兩者的差值達到最大。由此可知，無論響應處于a、b、c哪個點時，Pwmax和Pwvmax隨著索力變化引起的變化趨勢基本相同，但在b、c兩點時，計內共振時最大相位差都要大于未計內共振時的最大相位差，且在c點處兩者差值最大。

3.3 成因分析

為了解這種差異產生的成因，把a、b、c這3 點處時程曲線進行Hilbert 變換后求出的q(t)和～(t)（qw(t)和w(t)）分別作為橫坐標和縱坐標，可繪制截取7 000 kN 索力幅頻曲線a、c處的三維曲線中一個振動周期在復平面上的投影曲線對其進一步分析，且復平面投影曲線中曲線上任一點到原點的連線與橫坐標正方向的夾角為該點的瞬時相位。

由圖6中（a）和（c）兩圖相比可知，在a點處，計入內共振時面內響應的投影曲線線型為圓形，受到漂移項和兩倍頻的影響很小，且結合圖4 可知在a點處計內共振時的復平面圖中響應與激勵的無量綱相位差達到最大時的時刻為21.4；在c點處，計入內共振時，投影曲線線型受兩倍頻的影響變成非圓形，且整體向左偏移，結合圖4 可知此狀態(tài)下復平面中響應與激勵的無量綱相位差達到最大時的時刻為24.2。由圖6 中（b）和（c）兩圖對比可知，在c點處，計入內共振后，響應投影曲線向左偏移變大，使得響應曲線整體平移至二三象限，因此響應與激勵的相位差會接近π。由此可見，相位差的變化與面內引起漂移項有關，同時也受有內共振時面外引起的漂移項的影響。同時受兩倍頻的影響響應投影曲線在1/2 周期處出現(xiàn)向右的凹角，但未影響到響應瞬時相位大小發(fā)生改變。由此可知，凹角僅影響Pw和Pwv兩者時程曲線的線型，不改變Pwmax和Pwvmax數值大小，但考慮內共振時，面外引起的兩倍頻會使凹角變大。

圖6 復平面投影曲線Fig.6 Projection curvesin complex plane

可見Pw和Pwv的變化主要取決于漂移項，同時當計入內共振時，面外引起的漂移項會增大面內響應的整體漂移值，從而使得相位差發(fā)生變化。因此為了解內共振中面外引起的漂移項對其的影響關系，進一步展開定性分析。

3.4 漂移項影響的定性分析

由式（14）和式（20a）相比可知，考慮內共振時，面內振動響應近似解中不僅存在面內引起的漂移項，還存在面外引起的漂移項。又結合圖6中（b）和（c）可知，考慮內共振時，近似解中面外引起漂移項對拉索的相頻特性影響較大。為此，通過將面內外振動引起的漂移項都分離出來進行分析，令式中（20a）面內、外振動引起的漂移項分別為：

式中：Kw為面內引起的漂移項；Kwv為面外引起的漂移項，同時繪制c點處Kw、Kwv隨T的變化曲線圖，如圖7所示。

圖7 Kw、Kwv隨T的變化曲線圖Fig.7 Curves of Kw and Kwvvarying with T

由圖7可以看出，Kw和Kwv曲線變化趨勢與圖5中c點處曲線變化趨勢一致，在索力［6 900 kN，10 000 kN］范圍內，Kw和Kwv均隨著索力的增大而減小，且在6 900 kN索力處兩者均達到最大。由此可見，當考慮內共振時，面外引起的漂移項需要著重進一步分析面外引起的漂移項在整體漂移項中的占比，故令面外引起的漂移項在整體漂移項所占比為：

由式（23）可知β與C1、C2、a2以及a3有關，且四者都與索力和激勵頻率有關，因此繪制出β隨T和調諧參數σ2變化的三維曲面，如圖8（a）所示，同時分別繪制其在σ2和T兩個軸方向的曲線圖如圖8（b）和（c）所示。

圖8 β隨T和調諧參數σ2變化的曲線Fig.8 Curves of β varying with T and σ2

由圖8（a）和（b）可知，當激勵頻率沒有引起內共振時，β一直為零值。此時，面內響應與激勵的瞬時相位差只受面內漂移項的影響；當發(fā)生內共振時，β值先急劇增大到一定程度后變?yōu)榫徛龃?，最后變?yōu)槠骄徻呌谝粋€定值。同時根據公式（23）知，β值的大小與面內響應幅值a2和面外響應幅值a3的大小有關，結合圖2（b）可知，隨著激勵頻率的增大，面內外響應幅值都在增大，由此可以推斷當激勵頻率到達一定程度，面內外響應幅值的比值趨于一個定值。由此可知，發(fā)生內共振時，面內響應與激勵的瞬時相位差還受到面外振動的漂移項的影響。結合圖8（c）可知β值隨索力逐漸增大呈先增大后減小的趨勢。當在d點（σ2=0.3，T=7 700 kN）時，β值達到最大值0.22。因此，內共振的影響不容忽略。綜上所述，從定性的角度可以采用參數β衡量內共振對響應與激勵的瞬時相位差的影響，β越大其影響越大。

4 結語

（1）在特定區(qū)域內，斜拉索索力的變化會引起響應與激勵的瞬時相位差急劇變化，且考慮內共振時這一影響更顯著。

（2）內共振使面內響應近似解析解中存在由面外響應引起的兩倍頻成分和漂移項。前者會改變面內響應時程曲線的形狀，使瞬時相位差稍有變化；后者會增大響應時程曲線的偏移值，使瞬時相位差顯著變大。

（3）考慮內共振時，面外響應引起的漂移項在整體漂移項中的占比β是衡量內共振影響程度的關鍵參數，該參數與面內、外響應幅值呈平方關系。