盛亞鵬， 段玥晨， 謝 鑫

(鄭州大學 機械與動力工程學院，鄭州 450001)

1 引 言

格柵是一種輕型周期性結(jié)構(gòu)，具有隔熱、吸能和可設(shè)計性強等特點，在航空航天及高鐵和汽車等領(lǐng)域有著廣泛應用。王世勛等[1]對格柵的制備工藝、分析設(shè)計、性能測試及工程應用做了概述。李旌豪[2]對不同材料格柵結(jié)構(gòu)進行了大量平壓實驗，探究了格柵夾芯板面內(nèi)和面外的抗壓性能。

在格柵力學性能研究中，常見的分析方法有實驗分析和仿真分析兩種。實驗分析方法更加切合實際情況，但對某些大體積多層級格柵部件，實驗分析難度大且成本高，往往需建立力學模型進行仿真分析[3]。對周期性格柵結(jié)構(gòu)進行力學仿真分析時，為了減少運算量，可以從格柵周期性單胞尺度出發(fā)，推導其宏觀性能[4,5]?，F(xiàn)階段的普遍方式是在單胞邊界面建立綁定約束[6，7]，但采用該方法會形成邊界過約束。代表體元法(RVE)是一種在周期性結(jié)構(gòu)中選取能代表整體特征的體積單元進行研究的方法。該方法過程簡潔，但受限于宏觀結(jié)構(gòu)行為約束[8]。Whitcomb等[9]在研究織物性能時，提出了周期性邊界理論。沿用該理論，張潔皓等[10]對復合材料編織板進行了多尺度性能研究。20世紀70年代，Bensousson等[11]提出了均勻化方法，該方法可將非均勻材料用一種等效的均勻材料來代替[12]，馬曉龍等[13]采用均勻化方法對平紋機織復合材料進行等效處理，并將均勻化模型損傷過程與試驗結(jié)果對比，驗證了該方法在機織材料仿真分析中的可靠性。

為此，本文以ABAQUS有限元軟件作為分析平臺，將周期性邊界條件應用于多孔格柵周期性單胞，從單胞尺度建立格柵均勻化模型。通過不同模型的平壓仿真結(jié)果，來分析該均勻化模型在格柵準靜態(tài)力學性能仿真分析中的精度和效率。

2 多孔格柵周期性邊界條件

2.1 三維周期性邊界條件建立

本文研究的格柵結(jié)構(gòu)是一種通過3D打印得到的新型三維周期性多孔格柵結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)可作為夾芯層應用于輕型構(gòu)件中。其沿坐標軸方向?qū)ΨQ，格柵單胞面心處均有一方形通孔，圖1展示了該格柵結(jié)構(gòu)形態(tài)。M，N和K是沿坐標軸方向的單胞數(shù)量。周期性單胞長度為l，格柵單胞各分段長度為a和b，各方向壁厚均為t，材料是激光熔融的316L不銹鋼。

圖1 格柵形態(tài)及周期性單胞參數(shù)

首先對格柵單胞建立周期性邊界約束。為滿足三維格柵邊界條件的建立，本文將編織板二維周期性邊界條件[14]進行了拓展，探究了一種通用型的三維周期性格柵單胞邊界約束方法。

本文圍繞格柵單胞邊界上的點、線和面分別建立節(jié)點型約束。首先將單胞外圍虛擬出一個六面體外框，在外框頂部建立8個參考點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G和H來虛擬單胞頂點位置。然后再對12條棱內(nèi)的單胞節(jié)點和6個面所對應的單胞節(jié)點建立節(jié)點集L1～L12和F1～F6。其中L1～L4是與y軸平行的四條棱內(nèi)節(jié)點，L5～L8是上表面四條棱內(nèi)節(jié)點，L9～L12是下表面四條棱內(nèi)節(jié)點；F1是單胞上表面不包含棱的面內(nèi)節(jié)點，F(xiàn)2是單胞下表面不包含棱的面內(nèi)節(jié)點，F(xiàn)3～F6是單胞側(cè)面不包含棱的面內(nèi)節(jié)點。

圖2 單胞六面體外框各參數(shù)

格柵六面體外框的8個頂點不在圖2所示周期性單胞上，所以對于復合材料編織板常采用的頂點約束方式不適用該類型單胞。本文采用面約束的方式，其約束方程可表示為

(1)

式中λ，ξ和ν分別為坐標系x，y和z三個方向的位移，下標為對應的面。

以式(1)的面F5，F(xiàn)2和F3作為主面，棱L4，L11和L12作為主棱，參考點A,C，D和H作為主頂點。單胞的其他邊界面內(nèi)節(jié)點和棱內(nèi)節(jié)點以此為基礎(chǔ)進行三維周期邊界約束方程的建立。

面內(nèi)節(jié)點的約束方程為

WF 1-WF 2-WH=0

(2)

WF 4-WF 3-WH=0

(3)

WF 6-WF 5-WC=0

(4)

式中W為節(jié)點位移，下標是對應的面內(nèi)節(jié)點和主頂點。

式(2～4)建立了單胞六個外表面節(jié)點之間的約束關(guān)系，該約束方程保證了單胞相對邊界面內(nèi)節(jié)點運動的一致性。由于需保證節(jié)點位移沿坐標軸三個方向上均一致，所以W=λ，ξ，ν。

對于一個六面體來說，棱是兩個面的交集。如果將12條棱包含在6個面內(nèi)一起建立約束，就會產(chǎn)生過約束。所以需要將單胞外圍12條棱單獨建立約束。其棱內(nèi)節(jié)點約束方程為式(5～13)。

對于棱L1，L3，L7，L8，L9和L10內(nèi)節(jié)點，只需一個主頂點與其對應建立節(jié)點位移約束方程，就可實現(xiàn)其棱內(nèi)節(jié)點約束。

WL 1-WL 4-WA=0

(5)

WL 9-WL 11-WA=0

(6)

WL 10-WL 12-WC=0

(7)

WL 3-WL 4-WC=0

(8)

WL 8-WL 12-WH=0

(9)

WL 7-WL 11-WH=0

(10)

棱L2，L5和L6與主棱不相鄰，分別與主棱L4，L11和L12沿對角線共面，需兩個主頂點位移約束才能使方程位移差為0。

WL 2-WL 4-WA-WC=0

(11)

WL 5-WL 11-WA-WH=0

(12)

WL 6-WL 12-WH-WC=0

(13)

參考點之間約束關(guān)系可表示為

WB-WA-WC=0

(14)

WG-WC-WH=0

(15)

WE-WH-WA=0

(16)

WF-WH-WA-WC=0

(17)

將式(2～17)通過編程輸入ABAQUS中，可建立任意三維對稱模型的周期性邊界條件。

2.2 三維周期邊界條件可靠性驗證

對格柵單胞做準靜態(tài)平壓分析，并與文獻實驗結(jié)果[15]對比來驗證所建立的周期性邊界條件是否可靠。在面F4內(nèi)任一節(jié)點處施加集中力Fz來求z方向位移變化量ΔL，通過式(18)進行名義應力和名義應變數(shù)值轉(zhuǎn)換。

(18)

式中SA B F E是指參考點ABFE圍成的面積，LD A是DA之間的距離。

圖3 三類單胞的應力應變曲線

表1 三類單胞平壓數(shù)據(jù)對比

3 均勻化模型建立及驗證

3.1 彈性階段數(shù)值分析

本文將格柵單胞的等效力學性能分為彈性和塑性兩部分研究，均勻化模型的建立過程圍繞這兩個階段進行。其彈性階段的工程彈性常數(shù)可用格柵柔度矩陣(19)表示。

(19)

式中E為彈性模量，μ為泊松比，G為剪切模量。1，2和3對應x，y和z軸的方向。該格柵單胞是各向同性結(jié)構(gòu)，其沿坐標軸各方向的等效彈性模量、泊松比和剪切模量數(shù)值相等。對單胞y方向進行剪切分析，對z方向進行平壓分析，施加載荷均為20 N,其結(jié)果如圖4所示。

圖4 周期性邊界條件下的單胞準靜態(tài)位移云圖

利用變形量和施加載荷之間的關(guān)系[14]可得到格柵α的等效彈性參數(shù)。采用同樣的方法分析格柵單胞β和γ，三個模型的等效彈性參數(shù)列入表2。

表2 三類格柵等效彈性參數(shù)

3.2 塑性階段數(shù)值分析及結(jié)果驗證

塑性階段應力應變數(shù)值通過式(20)求得。將圖3應力應變數(shù)據(jù)代入，可得到均勻化模型塑性階段應力應變值。

(20)

式中σm為塑性階段應力值，σn為彈性階段應力值，σt為模型總應力值。

將等效彈性參數(shù)輸入ABAQUS建立的六面體均勻化模型的彈性欄，將塑性參數(shù)以樣本點的形式輸入塑性欄。再將格柵密度通過式(21)做等效處理。即為本文求得的均勻化模型。

(21)

采用式(1～17)對均勻化模型建立周期性邊界約束，并對均勻化模型平壓，可得到圖5所示的力位移曲線。對比格柵單胞模型和單胞層面的均勻化模型的平壓仿真結(jié)果，兩種分析方法的曲線近乎重疊，表明該方法在單胞尺度具有良好的準確性。

圖5 格柵單胞與均勻化模型力位移曲線

4 均勻化模型平壓性能分析

均勻化模型的建立過程是從格柵單胞出發(fā)，然后由單胞尺度向宏觀層面延伸。這一過程會有誤差產(chǎn)生。為避免模型誤差對后文結(jié)論造成影響，首先對宏觀層面的格柵均勻化模型精確度進行判定。

選用格柵β作為精細模型，單胞數(shù)M*N*K設(shè)定為3*5*3。將均勻化模型在尺寸上拓展，保證與精細模型外輪廓尺寸一致。采用準靜態(tài)平壓對兩類模型均勻下壓10 mm，將平壓過程中壓板對模型的作用力和模型變形量通過式(18)轉(zhuǎn)換成名義應力和名義應變，可得到圖6所示曲線。對比發(fā)現(xiàn)，兩種模型的名義應力和名義應變曲線表現(xiàn)出一致性，兩類模型最大誤差不到2.8%。說明本文所建的均勻化模型精確度較高，不會因模型初始誤差對后文推導出的結(jié)論產(chǎn)生較大影響。

圖6 均勻化模型和精細模型應力對比

同條件下對兩類格柵模型下壓10 mm，得到圖7所示的精細模型和均勻化模型Mises應力云圖。由于格柵均勻化模型的結(jié)構(gòu)和材料屬性在均勻化處理之后均發(fā)生了改變，所以圖示均勻化模型反映的應力情況和精細模型所展示的實際內(nèi)部應力情況不符。說明本文所建的均勻化模型不適用于研究模型內(nèi)部應力情況。

圖7 精細模型與均勻化模型應力結(jié)果對比

本文著重對比分析不同格柵層數(shù)下精細模型和均勻化模型的外部受力和整體吸能情況。同樣選用格柵β進行準靜態(tài)平壓分析，單胞數(shù)M*K設(shè)為定值3*3，格柵層數(shù)N分別設(shè)為1層、3層、5層和7層，平壓位移和層數(shù)對應，分別為1 mm，3 mm，5 mm和7 mm。記錄模型受力情況和開始分析到分析結(jié)束所消耗的時間。

格柵精細模型和均勻化模型平壓受力情況如圖8所示，兩種模型在3*1*3芯層時的平壓分析誤差為24.8%，說明該均勻化模型處理1層格柵芯層時效果偏差。到3*3*3時誤差迅速降低至3.1%，層數(shù)繼續(xù)增加，兩種分析方法計算結(jié)果趨于一致。這說明均勻化模型對多層級格柵，尤其是芯層達到5層以后的格柵結(jié)構(gòu)，整體受力分析時的效果很理想。

圖8 均勻化模型和精細模型平壓受力對比

模型分析時間如圖9所示。隨著格柵層數(shù)不斷增加，模型分析時間也不斷遞增。M*N*K從 3*1*3到3*7*3，精細模型分析時間分別是均勻化模型的0.67倍，2.5倍，4.29倍和5.37倍，并且這種趨勢在擴大。這表明格柵層數(shù)越多，均勻化模型比精細模型處理得越快，相比精細模型，均勻化模型計算優(yōu)勢會隨芯層數(shù)增加而越發(fā)明顯。

圖9 均勻化模型和精細模型平壓分析時間對比

均勻化模型和精細模型的吸能情況列入表3。表中，S表示平壓位移，Dm表示格柵精細模型吸能值，Hm表示格柵均勻化模型吸能值。格柵選用3*3*3，3*5*3和3*7*3三種類別，均從 1 mm 平壓到7 mm，對比不同芯層和不同平壓位移下的吸能值，發(fā)現(xiàn)均勻化模型吸能值和精細模型吸能值最大誤差均未超過6%。說明本文建立的均勻化模型可很好地代替精細模型進行吸能性能分析。

表3 精細模型和均勻化模型吸能對比Tab.3 Comparison of energy absorption between detailed model and homogenization model

5 結(jié) 論

本文針對多孔格柵結(jié)構(gòu)，開展了格柵周期性邊界條件與均勻化模型的研究工作。通過有限元方法，對周期性邊界條件下的格柵單胞彈塑性性能進行仿真分析，建立了具有等效彈塑性性能的格柵均勻化模型。將格柵均勻化模型與精細模型平壓性能對比，得出以下結(jié)論。

(1) 格柵層數(shù)增加，精細模型的計算時間隨之成倍增加，而均勻化模型的計算成本低，所以不會隨格柵層數(shù)增加而消耗大量計算時間。且層數(shù)越多，均勻化模型相比精細模型的計算速率越高。

(2) 格柵均勻化模型可替代精細模型進行平壓整體受力和吸能分析。

(3) 均勻化方法可作為周期性結(jié)構(gòu)仿真分析時節(jié)省計算量而采取的一種手段。