鐘昌廷， 李 剛

(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024)

1 引 言

結(jié)構(gòu)可靠性分析是衡量結(jié)構(gòu)不確定性和保證結(jié)構(gòu)安全的重要手段?，F(xiàn)有的可靠性分析方法主要包括抽樣方法[1]、一階可靠性方法[2]、代理模型[3]和矩方法[4]等。一階可靠性方法簡(jiǎn)單高效，依照是否需要梯度信息，可分為梯度類方法和非梯度類方法。梯度類優(yōu)化方法中，HL-RF迭代方法最具代表性[5,6]，但在求解強(qiáng)非線性問題時(shí)會(huì)導(dǎo)致收斂困難。為了克服這一缺陷，研究者們提出了諸多改進(jìn)策略。Yang等[7]提出了基于混沌理論的可靠度指標(biāo)求解方法，并分析了HL-RF方法在尋優(yōu)過程中出現(xiàn)震蕩和分叉現(xiàn)象的機(jī)理。Gong等[8]提出了改進(jìn)的有限步長方法。李剛等[9]提出了一種基于多目標(biāo)優(yōu)化策略的逆可靠度分析方法。夏雨等[10]提出了基于曲面搜索的方法求解結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)。上述基于梯度的方法取得了較大進(jìn)展，但高維非線性隱式問題仍然是一大挑戰(zhàn)，仍然可能面臨不收斂的問題。

在非梯度類方法中，基于群智能算法的尋優(yōu)策略逐漸受到研究者的關(guān)注。群智能優(yōu)化算法是一類具有隨機(jī)搜索能力的優(yōu)化方法，具有無須梯度信息、多候選解和并行計(jì)算等特性，在工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化中得到了廣泛的應(yīng)用[11,12]。目前，研究者已開發(fā)了多種群智能優(yōu)化算法，用于改善一階可靠性方法的尋優(yōu)能力，如粒子群算法[13]、差分進(jìn)化算法[14]、蛙跳算法[15]和碰撞體優(yōu)化算法[16]等。鐘昌廷等[17]提出了基于樽海鞘群優(yōu)化算法和哈里斯鷹優(yōu)化算法[18]的改進(jìn)一次二階矩法，對(duì)高維可靠度問題取得了一定的效果，但對(duì)高維工程算例的研究較少。因此需要考慮結(jié)構(gòu)可靠度分析的特點(diǎn)，對(duì)現(xiàn)有群智能優(yōu)化算法的搜索機(jī)制進(jìn)行改進(jìn)，提高其在高維非線性結(jié)構(gòu)可靠度問題中的收斂能力。

海鷗優(yōu)化算法是一種新型群智能優(yōu)化算法[19]，具有較好的求解優(yōu)化問題的能力。Li等[20]將海鷗優(yōu)化算法用于求解冷熱電聯(lián)供系統(tǒng)優(yōu)化問題，Dhiman提出了[21]多目標(biāo)海鷗優(yōu)化算法求解多目標(biāo)優(yōu)化問題。然而，海鷗優(yōu)化算法在結(jié)構(gòu)可靠性分析中存在早熟和局部收斂等現(xiàn)象。本文引入生物地理優(yōu)化算法中的遷移和變異策略[22]，提出生物地理-海鷗群混合優(yōu)化算法迭代求解結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)，可有效求解高維非線性可靠度問題，并通過框架和網(wǎng)架工程結(jié)構(gòu)驗(yàn)證了所提方法的有效性。本文提出基于生物地理-海鷗群優(yōu)化的改進(jìn)一階可靠度方法，研究生物地理-海鷗群混合優(yōu)化策略處理高維結(jié)構(gòu)可靠度問題和搜索全局可靠度指標(biāo)的性能，并采用兩個(gè)高維工程算例驗(yàn)證了所提方法的有效性。

2 基于生物地理-海鷗群優(yōu)化的改進(jìn)一階可靠度方法

2.1 一階可靠度方法

結(jié)構(gòu)可靠性分析的目標(biāo)是評(píng)估結(jié)構(gòu)在不確定性下的失效概率，其表達(dá)式為

(1)

式中Pf為失效概率，fX(x1,…,xn)為基本隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)，g(x) 為極限狀態(tài)函數(shù)，小于0時(shí)的區(qū)域定義為失效域。由于式(1)為多維積分，難以直接求解，通常采用近似方法進(jìn)行失效概率評(píng)估。一階可靠度方法的主要任務(wù)為搜索最可能失效點(diǎn)，確定最優(yōu)可靠度指標(biāo)，在尋優(yōu)過程中需要求解一個(gè)約束優(yōu)化問題[5]，

s.t.g(u)=0

(2)

式中u為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)最可能失效點(diǎn)的位置向量，β為可靠度指標(biāo)，定義為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)極限狀態(tài)面上離原點(diǎn)最近的距離。當(dāng)隨機(jī)變量不服從正態(tài)分布時(shí)，可采用當(dāng)量正態(tài)化方法處理非正態(tài)隨機(jī)變量[6]，得到隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差?？梢钥闯?，式(2)是一個(gè)約束優(yōu)化問題，其可靠度指標(biāo)的求解質(zhì)量受優(yōu)化算法性能的影響很大。隨著問題復(fù)雜程度的增加，對(duì)于優(yōu)化算法的性能要求也越來越高，需要進(jìn)一步開發(fā)具有更高性能的優(yōu)化算法來求解高維非線性可靠度問題。

2.2 海鷗優(yōu)化算法

Dhiman等[19]提出一種新型的群智能優(yōu)化算法,即海鷗優(yōu)化算法SOA(Seagull optimization algorithm)，其靈感來源于海鷗群體的遷徙和覓食行為。海鷗的遷徙行為主要包括躲避碰撞、朝最優(yōu)位置方向和接近最優(yōu)位置三種。在遷徙過程中,海鷗成群結(jié)伴地移動(dòng),為了防止海鷗之間碰撞誤傷，海鷗相互保持一定距離，直至到達(dá)最佳位置。在攻擊獵物時(shí)，空中飛行呈螺旋式運(yùn)動(dòng)，且盤旋半徑逐漸減小直至捕食成功。根據(jù)上述行為，建立了海鷗優(yōu)化算法的粒子位置更新機(jī)制。

海鷗在遷徙過程中，位置更新表達(dá)式為

Ds(t)=|AXi-2rA2(Xbest-Xi)|

(3)

式中Ds(t)為海鷗的更新位置，Xbest和Xi分別為海鷗群最優(yōu)位置和海鷗當(dāng)前位置，r為(0,1)的隨機(jī)數(shù)，A為與迭代步t和最大迭代步Tmax相關(guān)的調(diào)節(jié)參數(shù)，計(jì)算式為A=2(1-t/Tmax)。

海鷗在攻擊過程中，位置更新表達(dá)式為

Xi=Ds(t)exp(-2bL)cos(2πL)+Xbest

(4)

式中b為螺旋形狀相關(guān)常數(shù)，L通過調(diào)節(jié)參數(shù)A計(jì)算得到，計(jì)算式為L=r(A-1)-1。

海鷗優(yōu)化算法概念簡(jiǎn)單，易于執(zhí)行，但求解結(jié)構(gòu)可靠度問題時(shí)存在早熟和陷入局部最優(yōu)的現(xiàn)象。其原因在于，海鷗優(yōu)化算法的探索能力較差，一旦種群中的最優(yōu)解陷入局部最優(yōu)，其他個(gè)體解也跟隨種群內(nèi)最優(yōu)解方向進(jìn)行移動(dòng)，其變異性較差。

2.3 生物地理-海鷗群優(yōu)化算法

為了改善海鷗優(yōu)化算法的缺陷，本文引入生物地理優(yōu)化算法BBO(Biogeography-based optimization)[22]的棲息地物種遷移和變異策略來改進(jìn)海鷗優(yōu)化算法的尋優(yōu)能力。生物地理學(xué)優(yōu)化算法中，棲息地視為候選解，而棲息地適應(yīng)度指數(shù)視為適應(yīng)度值。其位置更新策略如下。

在遷移過程中，遷入率和遷出率為描述棲息地變化過程中的兩個(gè)參數(shù)，其計(jì)算公式為

λi=λmax(1-si/smax),μi=μmax(si/smax)

(5)

式中λi和μi分別為第i個(gè)棲息地的遷入率和遷出率，λmax和μmax分別為遷入率和遷出率的最大值。si和smax分別為棲息地的物種數(shù)量和最大值。通過計(jì)算遷移過程中的參數(shù)來確定解集更新分量，融合解集信息。

在變異過程中，其棲息地的突變概率與物種概率為反向關(guān)系，物種概率Pk計(jì)算公式為

(6)

式中棲息地Hk突變概率mk為

mk=mmax(1-Pk/Pmax)

(7)

式中mmax為棲息地的最大突變概率，Pmax為物種概率的最大值。

生物地理學(xué)優(yōu)化算法的探索能力較強(qiáng)，可以彌補(bǔ)海鷗群優(yōu)化算法探索能力的不足。本文結(jié)合兩者算法的特點(diǎn)，提出了生物地理-海鷗群優(yōu)化算法BBSOA(Biogeography-based seagull optimization algorithm)，引入棲息地物種遷移和變異策略來增加種群的隨機(jī)搜索能力，同時(shí)利用海鷗優(yōu)化算法中較強(qiáng)的開發(fā)能力，對(duì)種群中每個(gè)個(gè)體生成隨機(jī)數(shù)，并根據(jù)概率值判斷更新策略，從而進(jìn)行位置和適應(yīng)度值更新。在混合群智能優(yōu)化算法中，生物地理優(yōu)化作為探索階段，海鷗群優(yōu)化作為開發(fā)階段，因此平衡了優(yōu)化算法的探索與開發(fā)能力，改善了其求解高維可靠性問題的收斂性能。

2.4 算法流程

本文提出了基于生物地理-海鷗群優(yōu)化的一階可靠度方法BBSOA-FORM，其執(zhí)行步驟為, (1) 基于一階可靠性理論，建立可靠性分析中的優(yōu)化列式； (2) 設(shè)置改進(jìn)海鷗優(yōu)化算法的種群數(shù)量和迭代步等參數(shù)； (3) 生成初始種群，并計(jì)算其適應(yīng)度； (4) 更新算法參數(shù)與隨機(jī)數(shù)，并根據(jù)概率值判斷位置更新策略； (5) 若rand

圖1 所提方法總流程

3 算例驗(yàn)證

采用兩個(gè)高維工程算例來驗(yàn)證本文算法，以蒙特卡洛(106次抽樣)結(jié)果為參考解，將本文算法與粒子群算法、哈里斯鷹算法和海鷗群算法進(jìn)行比較。所有算法種群數(shù)量取100，最大迭代步為500，本文算法Rd=0.6；統(tǒng)計(jì)20次獨(dú)立運(yùn)行結(jié)果。

3.1 高維框架結(jié)構(gòu)

考慮一個(gè)7層3跨的框架結(jié)構(gòu)，各層層高3 m，柱間距7 m，如圖2所示。該高維問題包含106個(gè)隨機(jī)變量，其分布信息列入表1。極限狀態(tài)函數(shù)為g(x)=0.08-d(x)。

圖2 框架結(jié)構(gòu)

表1 框架結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量分布

蒙特卡洛抽樣得到的可靠度指標(biāo)和失效概率分別為β=3.8787和Pf=5.36×10-5。各群智能優(yōu)化算法經(jīng)過20次獨(dú)立運(yùn)行的可靠度指標(biāo)統(tǒng)計(jì)結(jié)果列入表2，其中CPU時(shí)間為算法單次運(yùn)行時(shí)間的平均值。結(jié)果表明，在500次迭代后，粒子群算法和海鷗群算法誤差很大，沒有收斂到正確結(jié)果；哈里斯鷹算法和本文方法與蒙特卡洛法結(jié)果相比，誤差分別為5.78%和4.59%，而且本文方法的計(jì)算時(shí)間僅為哈里斯鷹算法的43%。另外，本文方法的標(biāo)準(zhǔn)差僅為0.0134，體現(xiàn)了良好的魯棒性。需要指出的是，由于功能函數(shù)為高維非線性，隨機(jī)變量正態(tài)分布，會(huì)導(dǎo)致蒙特卡洛法得到的失效概率轉(zhuǎn)化為可靠指標(biāo)有一定誤差。各方法的收斂曲線如 圖3 所示，本文所提方法的收斂速度與性能明顯優(yōu)于海鷗群算法和粒子群算法。

表2 框架結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

圖3 框架結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)收斂曲線

3.2 高維空間網(wǎng)架結(jié)構(gòu)

考慮一個(gè)空間網(wǎng)架穹頂結(jié)構(gòu)，包含31個(gè)節(jié)點(diǎn)，75個(gè)桿件，平面最大跨度為20.153 m，高度為 6.448 m，其結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 網(wǎng)架結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)受到作用于頂部1號(hào)節(jié)點(diǎn)的豎向垂直荷載。該高維結(jié)構(gòu)可靠度問題包括77個(gè)隨機(jī)變量，其隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)信息列入表3。極限狀態(tài)函數(shù)定義為g(x)=0.035-d(x)。

表3 網(wǎng)架結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量分布

基于蒙特卡洛抽樣的可靠度指標(biāo)和失效概率計(jì)算結(jié)果為β=2.3325和Pf=0.00984。表4統(tǒng)計(jì)了各算法獨(dú)立運(yùn)行20次的計(jì)算結(jié)果。結(jié)果表明，其余三種算法的可靠度指標(biāo)誤差較大，本文方法的計(jì)算誤差最小，且標(biāo)準(zhǔn)差僅為0.0109，具有良好的精度和魯棒性。圖5的收斂曲線表明，本文方法的收斂速度優(yōu)于其他三種群智能優(yōu)化算法。

表4 網(wǎng)架結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

圖5 網(wǎng)架結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)收斂曲線

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于生物地理-海鷗群優(yōu)化的改進(jìn)一階可靠度方法，并采用高維框架結(jié)構(gòu)和網(wǎng)架結(jié)構(gòu)算例驗(yàn)證了所提方法的有效性。其結(jié)論如下。

(1) 在混合優(yōu)化算法中，采用生物地理優(yōu)化中物種遷移和變異策略對(duì)海鷗優(yōu)化算法進(jìn)行改善，平衡了優(yōu)化算法的探索與開發(fā)能力，使海鷗優(yōu)化算法尋找全局最優(yōu)可靠度指標(biāo)的能力增強(qiáng)，可有效避免局部最優(yōu)。計(jì)算過程中不需要梯度信息，便于處理梯度信息難以獲取的可靠性問題。

(2) 本文方法在高維框架結(jié)構(gòu)和高維網(wǎng)架結(jié)構(gòu)可靠度算例進(jìn)行了驗(yàn)證，并與粒子群算法、哈里斯鷹算法和海鷗群算法進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，本文提出的生物地理-海鷗群優(yōu)化算法在計(jì)算精度、計(jì)算效率和魯棒性等方面均有優(yōu)勢(shì)。