仇樹(shù)茂， 楊海峰， 吳子燕， 李夢(mèng)瑩， 悅 峰

(西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院，西安 710129)

1 引 言

隨著服役周期的增長(zhǎng)，工程結(jié)構(gòu)必然會(huì)有結(jié)構(gòu)性能和功能的退化，并且大多表現(xiàn)在局部區(qū)域[1,2]。結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)是其固有屬性，而損傷就意味著模態(tài)參數(shù)的改變。相較于頻率和位移模態(tài)，應(yīng)變模態(tài)對(duì)局部損傷更加敏感[3]，具有更好的損傷識(shí)別能力。Cui等[4]利用從實(shí)際結(jié)構(gòu)中獲取的應(yīng)變模態(tài)構(gòu)建了三種指標(biāo)，識(shí)別出梁式結(jié)構(gòu)的裂紋和腐蝕損傷位置。Zhao等[5]采用損傷前后的應(yīng)變模態(tài)差對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別，并結(jié)合統(tǒng)計(jì)趨勢(shì)分析和置信概率來(lái)提高方法的魯棒性。上述方法充分發(fā)揮了應(yīng)變模態(tài)計(jì)算簡(jiǎn)單且損傷定位能力強(qiáng)的特點(diǎn)，但是構(gòu)造的損傷檢測(cè)指標(biāo)不含任何結(jié)構(gòu)性意義，難以定量計(jì)算損傷程度。

通過(guò)用表征結(jié)構(gòu)單元損傷程度的損傷系數(shù)對(duì)剛度矩陣進(jìn)行折減，結(jié)合相關(guān)模態(tài)參數(shù)，可以對(duì)損傷程度進(jìn)行定量分析[6-9]。在實(shí)際應(yīng)用中，模態(tài)數(shù)據(jù)的測(cè)量受到環(huán)境和傳感器布置等因素的影響，存在很多不確定因素，可以采用貝葉斯方法來(lái)準(zhǔn)確和恰當(dāng)?shù)亓炕瘏?shù)的不確定性[10,11]。結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法主要思路是，首先將單元?jiǎng)偠葥p傷系數(shù)作為目標(biāo)參數(shù)，利用結(jié)構(gòu)損傷通常具有空間分布稀疏性的特點(diǎn)，建立多層次稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)模型。通過(guò)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)建立實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和損傷系數(shù)之間的關(guān)系，利用貝葉斯推理方法求解損傷系數(shù)關(guān)于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的后驗(yàn)概率密度分布，最后利用迭代優(yōu)化算法估算出最大后驗(yàn)概率(Maximum a posteriori)密度處的損傷系數(shù)值，從而實(shí)現(xiàn)單元級(jí)別的損傷定量識(shí)別。Huang等[1]將其應(yīng)用于含有16個(gè)子結(jié)構(gòu)的鋼支撐框架結(jié)構(gòu)，取得了滿意的效果。崔健[12]將該方法應(yīng)用于含有24個(gè)單元的6層框架結(jié)構(gòu)，并利用吉布斯采樣的方法提高了算法的魯棒性。

由于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法需要對(duì)結(jié)構(gòu)每個(gè)單元進(jìn)行迭代計(jì)算，對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言，存在計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)、效率低和對(duì)振型完備性要求高等問(wèn)題，現(xiàn)有研究也主要針對(duì)結(jié)構(gòu)單元較少或者簡(jiǎn)化模型的情況。本文針對(duì)一個(gè)128桿的空間網(wǎng)架結(jié)構(gòu)，首先利用單元應(yīng)變模態(tài)差進(jìn)行初步損傷定位，找出疑似損傷單元，只對(duì)這些單元進(jìn)行稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)迭代計(jì)算。在發(fā)揮應(yīng)變模態(tài)計(jì)算簡(jiǎn)單和損傷定位能力強(qiáng)等特點(diǎn)的同時(shí)，僅利用一個(gè)方向的振型信息成功識(shí)別出了損傷的位置以及程度。本文所提損傷定位及損傷程度識(shí)別兩步法的流程如圖1所示。

圖1 損傷定位及損傷程度識(shí)別兩步法流程

2 基于單元應(yīng)變模態(tài)差的損傷定位

應(yīng)變模態(tài)能反映結(jié)構(gòu)的固有特征，且對(duì)損傷較為敏感，利用結(jié)構(gòu)損傷前后單元應(yīng)變模態(tài)的差值，便可以判斷損傷位置。為了方便比較，將單元應(yīng)變模態(tài)差按最大值歸一化，定義單元應(yīng)變模態(tài)差指標(biāo)，

(1)

3 含損傷系數(shù)的有限元模型及貝葉斯網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

對(duì)于擁有n個(gè)單元，d個(gè)自由度的目標(biāo)結(jié)構(gòu)，其具有已知質(zhì)量矩陣M和基于子結(jié)構(gòu)單元?jiǎng)偠染仃嚲€性組合的整體剛度矩陣K。使用低振幅振動(dòng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)的模態(tài)識(shí)別，采用經(jīng)典的線性動(dòng)力學(xué)模型，則無(wú)需對(duì)阻尼矩陣進(jìn)行建模。

假設(shè)質(zhì)量矩陣M在損傷前后不發(fā)生改變，主要考慮結(jié)構(gòu)的剛度損傷，使用剛度損傷系數(shù)θ=[θ1,…,θn]來(lái)表征各單元的損傷程度。此時(shí)結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣可以表示為

(2)

對(duì)于多自由度系統(tǒng)，在不考慮阻尼矩陣時(shí)，特征方程為

(3)

式中i=1,…,m。通過(guò)特征方程可以建立剛度損傷系數(shù)與系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的關(guān)系。

特征方程是一種理想模型，實(shí)際問(wèn)題中，存在不可避免的模型誤差，該等式并不能完全滿足。針對(duì)這種情況，對(duì)每一階模態(tài)的特征方程右邊加入一個(gè)誤差變量ei(i=1,…,m)。定義該變量服從均值為0，方差為β-1的高斯分布，則式(3)可改寫(xiě)為

(4)

右端項(xiàng)ei∈d(i=1,…,m)。

圖2 各參數(shù)的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)

4 貝葉斯推理模型

4.1 剛度損傷系數(shù)和模態(tài)參數(shù)的先驗(yàn)密度分布函數(shù)

由式(4)可得目標(biāo)參數(shù)θ,ω2和φ基于β的聯(lián)合先驗(yàn)概率密度分布函數(shù)為

p(ω2,φ,θ|β)=c0(2πβ-1)-d m /2exp

(5)

式中c0為歸一化常數(shù)，m為實(shí)測(cè)模態(tài)階數(shù)，d為模型自由度數(shù)。因?yàn)棣拢篏amma(a,b)，所以有

(6)

為了方便處理式(5)，引入矩陣H,F,b,c和G，可表示為

(7a)

(7b)

(7c)

(7d)

(7e)

此時(shí)，會(huì)有

‖F(xiàn)φ‖2=‖Hθ-b‖2

(8)

將式(8)代入式(5)，并對(duì)參數(shù)θ積分，可得關(guān)于ω2和φ的邊緣先驗(yàn)概率函數(shù)

(9)

又由式p(θ|ω2,φ,β)=p(ω2,φ,θ|β)/p(ω2,φ|β)可得

(10)

4.2 系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的似然函數(shù)

(11)

(12)

(i=1,…,m)(13)

(14)

這樣，系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的似然函數(shù)可以寫(xiě)為

(15)

4.3 各參數(shù)的聯(lián)合后驗(yàn)概率密度函數(shù)

將以上貝葉斯模型的各部分結(jié)合起來(lái)，由貝葉斯公式可以構(gòu)造出以測(cè)量數(shù)據(jù)為條件的所有不確定參數(shù)的聯(lián)合后驗(yàn)概率密度函數(shù)，如式(16)所示。其中p(τ)∝1，p(ν)∝1，故在此沒(méi)有列出。

(16)

4.4 貝葉斯推理

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

θnew=(HTH)-1HTb

(24)

(25)

對(duì)于本文最關(guān)心的剛度損傷系數(shù)θ，其后驗(yàn)協(xié)方差由式(25)獲得，當(dāng)未對(duì)θ設(shè)置先驗(yàn)信息時(shí)，先驗(yàn)協(xié)方差矩陣A取為方差非常大的對(duì)角矩陣[1,11]。

(26)

在執(zhí)行迭代步驟前，設(shè)置損傷單元的初始值θ0為1附近的隨機(jī)數(shù)。最終各參數(shù)的MAP值按照式(18～25)的順序不斷迭代獲得，當(dāng)損傷系數(shù)θ前后兩次迭代值之差的無(wú)窮范數(shù)足夠小時(shí)(本文取10-3)，迭代終止。

5 算 例

5.1 空間網(wǎng)架模型

選取某空間網(wǎng)架結(jié)構(gòu)驗(yàn)證本文所提方法的準(zhǔn)確性。該結(jié)構(gòu)的網(wǎng)架尺寸為2.12 m×2.12 m×0.33 m，下層三跨，上層四跨。具有40根上弦桿，24根下弦桿，64根腹桿，桿件為Φ10 mm×2 mm的空心桿，節(jié)點(diǎn)采用螺栓球節(jié)點(diǎn)。結(jié)構(gòu)共計(jì)128根桿和41個(gè)節(jié)點(diǎn)。網(wǎng)架各部位均采用鋼材制成，彈性模量206 GPa，密度7850 kg/m3，泊松比為0.3。網(wǎng)架上層四個(gè)角點(diǎn)處采用固定約束。

根據(jù)網(wǎng)架模型的設(shè)計(jì)方案加工構(gòu)件，在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行實(shí)體網(wǎng)架模型的組裝。使用有限元軟件ANSYS建立上述結(jié)構(gòu)仿真模型，其中假定節(jié)點(diǎn)為鉸接，采用Link180單元模擬桿件，Mass21單元模擬鉸節(jié)點(diǎn)，該結(jié)構(gòu)的總自由度數(shù)d=111。

將網(wǎng)架的每一根桿件視作一個(gè)單元。本文擬選取兩種損傷工況，工況1為60號(hào)桿件發(fā)生100%損傷(θ60=0)；工況2為60號(hào)和68號(hào)桿件分別發(fā)生100%和50%損傷(θ60=0，θ68=0.5)。其中60號(hào)桿為下弦桿，68號(hào)桿為腹桿。網(wǎng)架結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?、仿真模型以及定義損傷工況的桿件位置如圖3所示。

圖3 網(wǎng)架結(jié)構(gòu)及損傷位置

5.2 結(jié)果和分析

實(shí)驗(yàn)測(cè)量了所有桿件的應(yīng)變和所有節(jié)點(diǎn)豎直方向上的加速度數(shù)據(jù)，用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)仿真模型進(jìn)行了模型修正。在結(jié)構(gòu)損傷階段，用砂輪在桿件局部制造斷口來(lái)模擬定量損傷，以截面切割程度大致刻畫(huà)損傷程度，由于僅用于損傷位置的判斷，所以無(wú)需深究切割的準(zhǔn)確程度。根據(jù)前述方法用測(cè)量的應(yīng)變數(shù)據(jù)構(gòu)造應(yīng)變模態(tài)差指標(biāo)進(jìn)行損傷位置的初判，結(jié)果如圖4所示。

從圖4可以看出，單損傷工況1時(shí)，在損傷單元60處，第一階應(yīng)變模態(tài)差指標(biāo)明顯高于未損傷單元；多損傷工況2時(shí)，在單元60處和68處，該指標(biāo)同樣高于未損傷單元。分別選取指標(biāo)最大的前十個(gè)單元作為疑似損傷單元，其余單元?jiǎng)t視為未損傷。對(duì)于工況1，選取31，50，59，60，61，63，74，108，115，124單元；對(duì)于工況2，選取31，57，59，60，61，63，68，92，95，127單元。

圖4 不同工況下疑似桿件識(shí)別結(jié)果

為上述疑似桿件單元賦予剛度損傷系數(shù)，其余桿件對(duì)整體剛度矩陣的貢獻(xiàn)記作K0。利用修正后的ANSYS有限元模型，以彈性模量的折減來(lái)反映單元損傷，提取損傷后前5階豎直方向的質(zhì)量歸一化振型以及相應(yīng)頻率，利用稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法在疑似桿件單元之間進(jìn)行迭代計(jì)算，進(jìn)一步判別損傷位置以及程度。為了模擬環(huán)境噪聲的影響，為振型添加均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為振型測(cè)量值均方根3%的高斯噪聲，以此來(lái)生成15組結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)仿真數(shù)據(jù)。最終識(shí)別結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5 工況1疑似桿件識(shí)別結(jié)果

圖6 工況2疑似桿件識(shí)別結(jié)果

對(duì)于損傷工況1，從圖5可以看出，在60號(hào)桿件完全截?cái)鄷r(shí)，其剛度損傷系數(shù)從初始值逐漸趨向于0，其余疑似桿件趨于1附近，60號(hào)桿件損傷程度識(shí)別結(jié)果為98.62%，與實(shí)際較為符合。

對(duì)于損傷工況2，從圖6可以看出，60號(hào)和68號(hào)桿件單元的剛度損傷系數(shù)分別收斂于0和0.5附近，其余疑似桿件收斂于1附近，60號(hào)和68號(hào)相應(yīng)的損傷程度最終識(shí)別結(jié)果分別為98.42%和49.33%，其余桿件認(rèn)為沒(méi)有損傷。未損傷桿件的θ值最終收斂于1附近，有可能產(chǎn)生θ略大于1的情況，從而損傷程度1-θ的識(shí)別結(jié)果為負(fù)數(shù)，當(dāng)損傷桿件的識(shí)別結(jié)果遠(yuǎn)大于其余桿件時(shí)，可以認(rèn)為本文所提方法能有效識(shí)別損傷的位置以及程度。

如圖7所示，若不事先對(duì)疑似損傷桿件進(jìn)行預(yù)判，僅基于前五階豎向振型及相應(yīng)的頻率值對(duì)每個(gè)單元計(jì)算，會(huì)使迭代次數(shù)顯著增加，計(jì)算效率降低，出現(xiàn)大量損傷誤判甚至是不收斂的情況，并不能有效識(shí)別損傷。在這種情況下，需要更多其他方向的振型測(cè)量數(shù)據(jù)，對(duì)于網(wǎng)架結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，在節(jié)點(diǎn)處布置多個(gè)方向的傳感器并不是一件容易的事情，工程中難以實(shí)現(xiàn)。

圖7 不同工況下所有桿件識(shí)別結(jié)果

由以上結(jié)果可知，無(wú)論是單損傷還是涉及網(wǎng)架不同桿件種類(lèi)的多損傷，基于一階應(yīng)變模態(tài)差指標(biāo)完成初步損傷定位，再者利用稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法對(duì)疑似桿件進(jìn)一步驗(yàn)證，可以精確識(shí)別結(jié)構(gòu)的損傷位置以及程度。

6 結(jié) 論

針對(duì)傳統(tǒng)稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法在復(fù)雜結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)中存在的計(jì)算效率低和振型完備性要求高等問(wèn)題，提出了損傷識(shí)別的兩步法，首先利用損傷前后應(yīng)變模態(tài)差初步判定損傷范圍，然后利用稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法，以單一方向振型值作為輸入進(jìn)行精確的損傷定位定量分析。以一個(gè)空間網(wǎng)架結(jié)構(gòu)為對(duì)象，分別針對(duì)單位置損傷和多位置損傷進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明，在振型測(cè)量數(shù)據(jù)量減少2/3的情況下仍能成功識(shí)別損傷的位置以及程度，所需總計(jì)算時(shí)間約為不采用兩步法的1/12。本文研究結(jié)果為大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法的實(shí)用化提供了一種新思路。

后續(xù)工作將探尋僅使用一次測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)完成損傷的定位以及精確識(shí)別的可行性。