李海鵬, 馮大政, 周永偉, 董普靠, 張 軍

(1. 西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗室, 陜西 西安 710071; 2. 西安電子工程研究所, 陜西 西安 710100)

0 引 言

在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)(wireless sensor networks,WSNs)中柵欄覆蓋已廣泛應(yīng)用于區(qū)域監(jiān)控、國防安全等領(lǐng)域,為了能夠檢測到以任意路徑入侵的目標(biāo),需要利用傳感器的覆蓋區(qū)域構(gòu)成一個連續(xù)的柵欄覆蓋。隨著雷達(dá)技術(shù)的發(fā)展,基于收發(fā)分置雷達(dá)的WSNs引起了廣泛關(guān)注。相比于發(fā)射器和接收器共置的單基地雷達(dá),收發(fā)分置雷達(dá)是由空間上分開的多個發(fā)射器和接收器組成的雷達(dá)系統(tǒng),其具有抗干擾能力強(qiáng)、抗反輻射導(dǎo)彈能力強(qiáng)、反隱身能力強(qiáng)、反低空突防能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。因此,收發(fā)分置雷達(dá)傳感器在工程上、性能上和成本上相比于單基地雷達(dá)具有明顯的優(yōu)勢。對于領(lǐng)海、無人區(qū)、污染區(qū)等區(qū)域的內(nèi)部,由于人員和設(shè)備不易到達(dá)或者環(huán)境不適合工作,因此需要在這些區(qū)域邊界上構(gòu)建柵欄覆蓋,對于具有不規(guī)則邊界的區(qū)域,用其最小外接圓代替其自身邊界,在外接圓邊界上利用雷達(dá)構(gòu)建圓周柵欄覆蓋,用以檢測以任意路徑通過區(qū)域的目標(biāo)。文獻(xiàn)[23]針對監(jiān)控區(qū)域內(nèi)隨機(jī)分布的多個靜態(tài)目標(biāo)優(yōu)化傳感器布站位置,以使用盡可能少的傳感器在目標(biāo)周圍構(gòu)建環(huán)形柵欄覆蓋,但是當(dāng)目標(biāo)移動后傳感器構(gòu)成的柵欄不能包圍該目標(biāo),因此該方法不適用于覆蓋區(qū)域內(nèi)的動態(tài)目標(biāo)。文獻(xiàn)[24-25]將布站總成本最小作為優(yōu)化準(zhǔn)則,分別針對多層和單層圓周的情況,采用收發(fā)分置雷達(dá)構(gòu)建圓周柵欄覆蓋。并且均先采用盡可能多的同構(gòu)布站模式構(gòu)建覆蓋區(qū)域,僅在最后剩余未覆蓋區(qū)域部署一個異構(gòu)模式,這樣的解一般只是局部最優(yōu)解,而非全局最優(yōu)解;同時采用窮舉算法求解優(yōu)化問題以及確定最優(yōu)布站中發(fā)射器和接收器的個數(shù)與位置,并未給出如何確定部署模式中接收器個數(shù)上限閾值的方法,而從本文仿真實(shí)驗可知,當(dāng)圓周半徑與探測閾值比較大時,窮舉法的搜索范圍很大,導(dǎo)致算法計算量大幅增加。

鑒于已有方法的不足,針對收發(fā)分置雷達(dá)圓周柵欄覆蓋的優(yōu)化布站問題,本文首先在理論證明的基礎(chǔ)上,建立該問題的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,進(jìn)而給出一種計算量更小、優(yōu)化結(jié)果更好的求解算法。最后通過仿真結(jié)果驗證了本文方法的有效性。

1 基本概念與記號

由1個發(fā)射器和若干個接收器(=1,2,…,)組成的收發(fā)分置雷達(dá)記為=(,,,…,),這種類型的收發(fā)分置雷達(dá)可以看成由多組雙基地雷達(dá)構(gòu)成,即雙基地雷達(dá)是其基本單元。因此，單發(fā)多收的收發(fā)分置雷達(dá)的覆蓋區(qū)域是多組雙基地雷達(dá)覆蓋區(qū)域的組合。如圖1所示,對于其中一組雙基地雷達(dá),位于點(diǎn)的目標(biāo)到發(fā)射器和接收器的斜距分別記作()和(),簡記為和,為雙基地雷達(dá)的基線,矩形代表發(fā)射器,圓代表接收器,星形代表目標(biāo)。

圖1 收發(fā)分置雷達(dá)幾何結(jié)構(gòu)Fig.1 Geometry configuration of bistatic radar

由相干脈沖雷達(dá)的基本雷達(dá)方程可得雙基地雷達(dá)的最大距離積,即

(1)

式中:是在干擾和雜波的環(huán)境中,接收器天線接收機(jī)的靈敏度,即最小的信干噪比(signal to interference plus noise ratio,SINR);表示發(fā)射機(jī)的平均功率;表示相干積累時間;()表示個脈沖的累積效率;和分別表示發(fā)射天線和接收天線的增益;表示信號波長;表示目標(biāo)的雷達(dá)散射截面積;和分別表示發(fā)射方向圖傳播因子和接收方向圖傳播因子;是玻爾茲曼常數(shù),=138eJ/K;表示系統(tǒng)噪聲溫度;表示系統(tǒng)損耗。

圖2 不同參數(shù)下雙基地雷達(dá)的覆蓋區(qū)域Fig.2 Coverage area of bistatic radar under different parameters

將待覆蓋區(qū)域的邊界用其最小外接圓替代,并把收發(fā)分置雷達(dá)的發(fā)射器和接收器都部署在圓周上,同時假定在圓周上不存在信號遮擋,若外接圓半徑為,以圓心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖3所示。

圖3 收發(fā)分置雷達(dá)圓周柵欄覆蓋布站Fig.3 Placement of btistatic radar for perimeter barrier coverage

由于在圓周上要部署多組收發(fā)分置雷達(dá),因此在本文中,假設(shè)所有的發(fā)射器均以相互正交的頻率來發(fā)射工作信號,接收器通過改變工作頻率來與不同的發(fā)射器進(jìn)行匹配,即接收器只處理與其配對使用的發(fā)射器的信號,避免了其他發(fā)射器的影響。當(dāng)目標(biāo)位于點(diǎn)時,其相對各雙基地雷達(dá)的空間位置不一樣,因此各雙基地雷達(dá)接收的SINR也不會都一樣。用能獲得的最大SINR來衡量收發(fā)分置雷達(dá)對點(diǎn)目標(biāo)的覆蓋能力。記該最大SINR為(),則

(2)

由于目標(biāo)檢測概率是SINR和虛警概率的函數(shù),因此本文假設(shè)在給定恒虛警概率和所需檢測概率的情況下,若SINR()≥,則目標(biāo)就處于收發(fā)分置雷達(dá)的覆蓋范圍內(nèi);反之,目標(biāo)在雷達(dá)覆蓋區(qū)域以外。

又由式(1)可知,SINR與距離積成反比,因此定義目標(biāo)易損性為

(3)

易損性反映了目標(biāo)對雷達(dá)系統(tǒng)探測的敏感程度,目標(biāo)易損性越大,目標(biāo)越早處于雷達(dá)覆蓋區(qū)域內(nèi),越容易受到損失。

為了便于說明,做以下定義。

圖4 布站模式Fn覆蓋角Fig.4 Coverage angle of placement pattern Fn

本文研究的問題為:在給定的圓周上如何部署發(fā)射器及接收器,構(gòu)建圓周柵欄覆蓋,即覆蓋序列中需要多少個發(fā)射器與接收器,其位置如何放置,并使得總布站成本最小。

2 基礎(chǔ)理論與優(yōu)化模型

2.1 基礎(chǔ)理論

由文獻(xiàn)[25]可知,模式中相鄰節(jié)點(diǎn)的站點(diǎn)覆蓋角如下。

(1) 若為奇數(shù),則=+1=,==,…,(+1)2=(+3)2=(+1)2;

(2) 若為偶數(shù),則=+1=,==,…,2=2+2=2,…,2+1=2+1。

(4)

式中:=。

模式覆蓋角()計算公式為

(5)

由式(5)可知,在模式中使用的接收器數(shù)量越多,則模式的覆蓋角越大。但是通過引理1可知,隨著接收器數(shù)量增加,覆蓋角增加的幅度在減小,即效費(fèi)比在減小。

證畢

設(shè)為自然數(shù),且≤4,那么,

(6)

當(dāng)=1時,式(6)顯然成立。假設(shè)當(dāng)=-1時式(6)成立,即

而當(dāng)=時,

由歸納假設(shè),有:

因此可得

進(jìn)一步由式(5)和式(6)可知:

模式的覆蓋圓心角為

證畢

(1) 若+=2,為偶數(shù),則()+()≤2()當(dāng)且僅當(dāng),均為偶數(shù)且=,或,均為奇數(shù),且|-|=2時等式成立。

(2) 若+=2,為奇數(shù),則()+()≤2()當(dāng)且僅當(dāng)=時等式成立。

(3) 若+=2+1,則()+()≤()+(+1)當(dāng)且僅當(dāng)|-|=1時等式成立。

(1) 不妨設(shè)=-,=+,先證明,為偶數(shù),此時為偶數(shù),于是由式(5)有：

于是有:

(7)

由式(7)及序列{}的遞減性可知,()+()≤2(),且當(dāng)且僅當(dāng)=0,即=時等式成立。

再證明,均為奇數(shù),此時為奇數(shù),類似地推導(dǎo)有:

(8)

由式(8)有()+(,)≤2(),當(dāng)且僅當(dāng)=1,即=-1,=+1時等式成立。

(2) 同樣不妨設(shè)=-,=+,先證明,為偶數(shù),此時為奇數(shù),于是,由式(5)有:

(9)

由式(9)可知,()+()<2()。

再證明,均為奇數(shù),此時為偶數(shù),類似地推導(dǎo)有:

(10)

由式(10)有()+()≤2(),當(dāng)且僅當(dāng)=0,即=時等式成立。

(3)+=2+1,不妨設(shè),=+,=+1-,為奇數(shù),為偶數(shù)。首先證明若為奇數(shù),此時,為奇數(shù),于是由式(5)有：

于是有:

()+()=()+(+1)-

(11)

由式(11)可知，()+()≤()+(+1),當(dāng)且僅當(dāng)=1,即=+1,=時,等式成立。

下面再證明若為偶數(shù),此時,為偶數(shù),同理可得

于是有：

()+()=()+(+1)-

(12)

由式(12)可知,()+()≤()+(+1),當(dāng)且僅當(dāng)=0,即=,=+1時,等式成立。

證畢

由引理3(1)易得(2+1)+(2-1)=2(2),這表明用兩個模式2-1與2+1覆蓋的和可用兩個相同的模式2等量替代。

由引理3(2)易得(2)+(2+2)<2(2+1),這表明模式2與2+2的覆蓋和不可用兩個相同的模式2+1等量替代。

2.2 優(yōu)化模型與算法

由引理3可知圓周上的最優(yōu)覆蓋序列中最多只有兩種覆蓋模式,且這兩種覆蓋模式中接收器的個數(shù)相差為1,即最優(yōu)圓周覆蓋序列是由個模式與個+1模式構(gòu)成。于是最優(yōu)布站問題轉(zhuǎn)化為如下數(shù)學(xué)模型：

(13)

且∈,為自然數(shù)。式(13)是一個含有3個變量的非線性整數(shù)規(guī)劃問題,直接求解難度較大,且考慮到變量的可行解取值范圍一般較大(特別是在實(shí)際問題中),且變量的最優(yōu)解往往取值較小,因此采用如下算法。

首先,對{|≤4}進(jìn)行循環(huán)。即對給定的自然數(shù)≤4,考慮如下子優(yōu)化問題:

(14)

但是,以上算法中(≤4)的循環(huán)范圍往往很大,比如圓周半徑=40,=2時,=1 600。

為了縮小循環(huán)范圍,減少計算開銷及計算量,為此,給出引理4如下。

(15)

即有:

證畢

(16)

由引理2可知，接收器上限確定方法可以由下式確定:

=4-1

(17)

將式(16)和式(17)確定模式中接收器上限的方法分別稱之為“方法2”與“方法1”。下面給出不同實(shí)驗條件下的仿真結(jié)果:已知=2,=30,圓周半徑變化;已知=2,=40,而發(fā)射器與接收器費(fèi)用比變化;以及已知=50,=50,探測閾值變化時的仿真結(jié)果,結(jié)果分別如圖5～圖7所示。

圖5 接收器數(shù)量上限隨半徑變化情況(α=30,Lmax=2)Fig.5 Variation of upper limit of receiver number with radius (α=30,Lmax=2)

圖6 接收器數(shù)量上限隨費(fèi)用比變化情況(r=40,Lmax=2)Fig.6 Variation of upper limit of receiver number with cost ratio (r=40,Lmax=2)

圖7 接收器數(shù)量上限隨探測閾值變化情況(α=50,r=50)Fig.7 Variation of upper limit of receiver number with detection threshold (α=50,r=50)

由圖5～圖7可以看出,由方法2確定的上限要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于方法1確定的上限,由此也就顯著減小了計算開銷。

根據(jù)以上分析,下面給出圓周柵欄覆蓋最優(yōu)布站算法。

探測閾值,發(fā)射器與接收器成本之比,圓周半徑。

輸入,,,計算=,并由公式(16)計算布站模式中接收器個數(shù)上限。初始化集合=?。

for=1:

對求解子優(yōu)化問題式(14),該問題是含有兩個變量的整數(shù)線性規(guī)劃問題,直接求解得到局部最優(yōu)圓周覆蓋模式,+1及對應(yīng)的個數(shù),。

=∪{(+)+(+1+)}

end for

3 仿真實(shí)驗

本節(jié)通過仿真實(shí)驗比較本文所提方法與文獻(xiàn)[25]方法的優(yōu)化結(jié)果,實(shí)驗的基本條件同文獻(xiàn)[25],其他參數(shù)假設(shè)為:探測閾值=2 km,發(fā)射器與接收器費(fèi)用之比分別為5,10,20,50。定義兩種優(yōu)化方法所得布站參數(shù)的變化率為

(18)

圖8 不同費(fèi)用比下部署成本變化率Fig.8 Change rate of deployment cost under different cost ratios

圖9 不同費(fèi)用比下發(fā)射器改變量Fig.9 Variation of transmitter number under different cost ratios

圖10 不同費(fèi)用比下接收器改變量Fig.10 Variation of receiver number under different cost ratios

由圖8可知,在大多數(shù)情況下,成本變化率大于零,這說明本文方法的部署成本通常小于文獻(xiàn)[25]方法的優(yōu)化結(jié)果。特別地,當(dāng)較小時,比如分別為5和10時本文方法有較明顯的優(yōu)勢,這是因為本文方法與文獻(xiàn)[25]相比采用了多種布站模式,進(jìn)一步優(yōu)化了布站的效費(fèi)比。本文實(shí)際討論的是單層圓周柵欄覆蓋,當(dāng)采用多重圓周覆蓋時,成本降低優(yōu)勢會更加明顯。

值得注意的是，當(dāng)較大時,比如=50,優(yōu)化結(jié)果的提升不如較小時明顯。其原因是為了減少布站成本,應(yīng)盡可能多用低成本的接收器而少用發(fā)射器,所以當(dāng)=50時布站序列的長度較小,如圖11所示,同時布站模式的長度較大,導(dǎo)致布站模式中接收器的平均費(fèi)效比較小。比如=50,=33時,兩種方法均用了5個布站模式,其中本文方法用了3個模式及2個模式,即最優(yōu)的覆蓋序列是{,,,,};文獻(xiàn)[25]方法使用了4個模式及1個模式,不管哪種方法每個模式中接收器的個數(shù)均多達(dá)50多個,而由引理3可知,覆蓋序列{,,,,}不是最優(yōu)布站方式,由于模式中接收器個數(shù)較多(50以上),從而接收器的平均費(fèi)效比較小,加之模式個數(shù)又少(僅有5個),因此改變最優(yōu)覆蓋序列中部分布站模式的接收器數(shù)量也能達(dá)到覆蓋圓周的要求。實(shí)際上,布站序列{,,,,}的覆蓋角為36032°,而最優(yōu)覆蓋序列{,,,,}覆蓋角為360329 1°。當(dāng)=33,=5時,本文方法共使用了18個布站模式,其中使用15個模式及3個模式,而文獻(xiàn)[25]中的方法共使用了19個模式,其中18個模式及1個模式,每個模式中接收器的個數(shù)最多4個。此時,模式中接收器的平均效費(fèi)比較大,改變最優(yōu)覆蓋序列中部分布站模式的接收器數(shù)量就不能達(dá)到覆蓋圓周的要求了。

由圖9和圖10可知,本文方法與文獻(xiàn)[25]方法相比:使用的發(fā)射器更多,使用的接收器更少,當(dāng)較小時情況更明顯。由前文分析可知，這樣做可以提高接收器的效費(fèi)比。

圖11 不同費(fèi)用比下最優(yōu)布站覆蓋序列長度Fig.11 Optimal coverage sequence length under different cost ratios

下面給出了最優(yōu)覆蓋序列中發(fā)射器、接收器及總成本隨發(fā)射器與接收器成本之比的變化情況,如圖12～圖14所示。

圖12 發(fā)射器數(shù)量隨α變化圖(r=30)Fig.12 Variation of transmitter number with α(r=30)

圖13 接收器數(shù)量隨α變化圖(r=30)Fig.13 Variation of receiver number with α(r=30)

圖14 布站成本隨α變化圖(r=30)Fig.14 Variation of placement cost with α (r=30)

從圖12～圖14可以看出,在圓周半徑不變的條件下,隨著的增大,布站所需的發(fā)射器數(shù)量與接收器數(shù)量在較小時(2～20)變化快,周期短;而在較大時(20～50),相應(yīng)的變化慢,周期長;布站成本也隨之增加。其根本的原因是:越大,布站模式的長度就越大,覆蓋序列的長度越小,導(dǎo)致平均效費(fèi)比降低,換而言之,接收器的效用變低。因此,要減少布站成本,需要盡可能地降低發(fā)射器的成本,使之與接收器的成本接近。

4 結(jié)束語

本文首先從理論上證明了收發(fā)分置雷達(dá)圓周柵欄覆蓋序列中,最優(yōu)覆蓋序列應(yīng)具備的條件。接著通過最小化布站成本,優(yōu)化發(fā)射器與接收器的數(shù)量和位置。并提出最優(yōu)覆蓋序列中接收器數(shù)量的取值上限,縮小算法的取值范圍,減少算法計算開銷。由于本文針對單條圓周柵欄覆蓋進(jìn)行優(yōu)化,在圓周上會存在柵欄寬度很小的點(diǎn),當(dāng)目標(biāo)快速穿越這些點(diǎn)時,就有檢測不到的風(fēng)險,因此,在實(shí)際應(yīng)用中往往采用多條圓周柵欄覆蓋。這種情況下,相比已有文獻(xiàn),本文優(yōu)化方法的優(yōu)勢會更加顯著。

本文假設(shè)目標(biāo)處于雷達(dá)覆蓋范圍時檢測概率為1,實(shí)際中檢測概率是SINR和虛警概率的函數(shù),因此將檢測概率作為影響優(yōu)化的一個因素是今后研究的一個重要方向。