張?zhí)糜?龍祖強

(衡陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，湖南 衡陽 421008)

1 引言

溫度是影響果酒發(fā)酵品質(zhì)的重要因素。傳統(tǒng)溫度接觸器具有響應(yīng)速度慢、控溫精度低等特點，而智能模糊算法控制溫度具有響應(yīng)速度快、穩(wěn)態(tài)性能好等優(yōu)點，因而模糊算法是果酒發(fā)酵溫度控制系統(tǒng)中的較優(yōu)選擇。

果酒發(fā)酵控制的主要任務(wù)是對發(fā)酵罐內(nèi)的溫度控制。針對果酒發(fā)酵溫度控制系統(tǒng)存在大慣性和純滯后等特點，研究者們提出了不同的算法來解決相應(yīng)的問題。方良材等將PID 算法和模糊PID 算法分別應(yīng)用于果酒發(fā)酵溫度控制系統(tǒng)中[1-2]。由于溫控對象通常具有大慣性和純滯后等特點，采用傳統(tǒng)PID算法難以達到理想效果，于是提出了將模糊算法和PID算法相結(jié)合的控制方法來減少系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間。呂寧等在模糊PID算法的基礎(chǔ)上加入了變論域的思想，實現(xiàn)動態(tài)調(diào)整模糊控制器的論域范圍以減少系統(tǒng)的超調(diào)量[3]。楊娜等針對傳統(tǒng)PID 控制需要操作人員反復(fù)調(diào)整參數(shù)的問題，提出雙模糊PID 控制分別對偏差進行精調(diào)和粗調(diào)以實現(xiàn)參數(shù)自動整定并提高了控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度[4]。高錦等針對溫控對象具有純滯后的特點，提出了Smith 預(yù)估以解決溫控系統(tǒng)的滯后問題[5]。上述研究都取得了較佳的控制效果，研究者們從“將不同的控制算法相結(jié)合”到“改變論域”等著力點去改善系統(tǒng)的性能?；诖?，本文從“量化因子”出發(fā)，提出了一種限幅模糊PID算法。該算法與傳統(tǒng)模糊算法的不同之處在于量化因子模塊不再是一個線性函數(shù)，而是一個反正切非線性函數(shù)，以實現(xiàn)對果酒溫度的精準(zhǔn)快速控制。

2 系統(tǒng)總體設(shè)計

本文果酒發(fā)酵溫度控制系統(tǒng)的期望值設(shè)定為30℃，系統(tǒng)總體設(shè)計框圖如圖1所示。將溫度傳感器采集到的溫度通過A/D轉(zhuǎn)換后送到控制系統(tǒng)中并與期望值進行比較。當(dāng)采集到發(fā)酵罐內(nèi)的溫度比期望值高時，會得到一個反向誤差值e。將誤差值e通過模糊化、模糊推理、去模糊化處理后輸出一個精確值u，然后通過D/A 轉(zhuǎn)換后輸出模擬信號用于加大電磁閥的開啟度，以加快流入發(fā)酵罐外壁的冷水流量從而使溫度降到期望值。當(dāng)采集到發(fā)酵罐內(nèi)的溫度比期望值低時，此時會得到一個正向誤差值e。同樣將誤差值e通過模糊化、模糊推理、去模糊化處理后輸出一個精確值u，再通過D/A 轉(zhuǎn)換后輸出模擬信號用于減小電磁閥的開啟度，以減少流入發(fā)酵罐外壁的冷水流量從而使溫度升到期望值。

圖1 系統(tǒng)總體設(shè)計框圖

3 量化因子的設(shè)計

量化因子的選擇需要滿足對誤差收斂的快速性和對誤差變化率收斂的穩(wěn)定性。誤差收斂的快速性減少了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間，誤差變化率收斂的穩(wěn)定性抑制了誤差的變化狀態(tài)從而提高了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。因此本文選擇滿足這兩者特性的arctan x 函數(shù)作為量化因子，下面將對arctan x函數(shù)的性能進行具體分析。

3.1 誤差和誤差變化率的收斂性

已知有公式可證明：

因此，我們可知arctan x在定義域中是收斂的，將它作為量化因子可對誤差和誤差變化率進行限幅。誤差和誤差變化率的模糊論域分別被限制在[0，1．6]和[-0．7，0]之間，限幅后的誤差和誤差變化率的波形如圖2、3所示。

圖2 限幅后誤差波形圖

圖3 限幅后誤差變化率波形圖

3.2 誤差收斂的快速性和誤差變化率收斂的穩(wěn)定性

令f(x)=arctanx，其中：函數(shù)的定義域為全體實數(shù)集R，值域為。函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的圖像分別如圖4、5所示。由上式可知：

圖4 反正切函數(shù)圖像

圖5 反正切函數(shù)導(dǎo)數(shù)圖像

由式(2)可知f'(x)≥0在定義域內(nèi)恒成立。當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，f'(x)=1成立。因此arctan x在定義域中是一個單調(diào)遞增的奇函數(shù)。

量化因子是影響模糊控制器輸出性能的重要因素。增大Ke可以提高控制誤差的靈敏度以實現(xiàn)對誤差收斂的快速性，但Ke過大會增加系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間，而Ke過小會降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度；增大Kec可以降低誤差的變化率從而提高系統(tǒng)的動態(tài)性能，但Kec過大會增加系統(tǒng)的過渡時間，而Kec過小會使系統(tǒng)產(chǎn)生超調(diào)和震蕩。因此我們需要在一定的范圍內(nèi)增大Ke和Kec，從而保證誤差收斂的快速性和誤差變化率收斂的穩(wěn)定性。令Ke=Kec=arctanx。在誤差和誤差變化率的模糊論域[0，1．6]和[-0．7，0]之間(即在一定的范圍內(nèi))，arctan x單調(diào)遞增的特性加快了誤差收斂的速度并且也降低了誤差的變化率從而保證了系統(tǒng)收斂的快速穩(wěn)定性。

4 限幅模糊PID算法

本文針對果酒發(fā)酵溫度控制系統(tǒng)，提出一種限幅模糊PID 控制算法。該算法是在傳統(tǒng)模糊PID 算法的基礎(chǔ)上引入反正切函數(shù)以減小誤差和誤差變化率的基本論域，使系統(tǒng)能快速穩(wěn)定地消除偏差以達到溫度期望值。針對溫度控制系統(tǒng)存在純滯后的問題，本文采用Smith預(yù)估實現(xiàn)非線性延時的補償。Smith預(yù)估補償?shù)脑硎峭ㄟ^引入一個和被控對象并聯(lián)的補償器對系統(tǒng)延時進行補償和消除。

量化因子將誤差和誤差變化率的基本論域映射到模糊論域后進行模糊化、模糊推理和去模糊處理后將Kp、Ki和Kd輸出至PID控制器[6]。限幅模糊PID系統(tǒng)框圖如圖6所示。

圖6 限幅模糊PID系統(tǒng)框圖

本文設(shè)計的模糊控制器采用雙輸入三輸出結(jié)構(gòu)，首先將溫度誤差e和誤差變化率ec作為模糊控制器的輸入，再通過模糊化、模糊推理、去模糊化得到三個精確輸出值。

(1)模糊化

給定溫度期望值為30℃，取量化因子Ke=Kec=arctan x，量化因子將誤差e和誤差變化率ec的模糊論域分別限制在[0，1．6]、[-0．7，0]之間。取比例因子K1=0．2，K2=0．004，K3=6，輸出ΔKp、ΔKi、ΔKd的模糊論域分別都為[-1，+1]。各變量的模糊子集分別都為{NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}。通過經(jīng)驗試湊法得到PID控制器的初值分別為6、0．004、40。

(2)模糊推理及模糊規(guī)則

本文采用Mamdani合成推理法，推理出如下規(guī)則：當(dāng)|e|較大時，Kp取較大值，Kd取較小值，令Ki為0；當(dāng)|e|、|ec|處于中等值時，Kp取較小值，Ki和Kd應(yīng)取適中的值；當(dāng)|e|較小時，增大Ki 和Kd 的值；當(dāng)|ec|較小時，增大Kd的值；當(dāng)|ec|較大時，減小Kd的值。

(3)去模糊化

去模糊化是指通過模糊推理后產(chǎn)生的輸出模糊集合轉(zhuǎn)換為精確輸出值的方法。本文采用加權(quán)平均法進行去模糊化：

限幅模糊PID規(guī)則表如表1。

表1 限幅模糊PID規(guī)則表

由公式(3)計算出u(t)，其中ui和ωi分別表示第i條規(guī)則輸出的結(jié)果和在總輸出中所占分類的權(quán)重。

5 實驗仿真

結(jié)合實踐經(jīng)驗，果酒發(fā)酵溫度控制系統(tǒng)的被控制對象傳遞函數(shù)可以表示為[7-8]

其中K表示放大倍數(shù)，T1表示慣性時間常數(shù)，表示滯后時間。將參數(shù)K=6．51，=48，T1=1325代入(5)式，可得

限幅模糊PID 系統(tǒng)仿真模型如圖7所示。其中期望溫度值由一個階躍模塊實現(xiàn)，目標(biāo)溫度設(shè)為30℃，在0時刻發(fā)生階躍跳變。反正切函數(shù)模塊作為量化因子以對誤差和誤差變化率進行限幅。子系統(tǒng)模塊內(nèi)部是由傳統(tǒng)模糊PID 系統(tǒng)封裝而成的。Smith預(yù)估補償模塊是由傳遞函數(shù)子模塊、延時子模塊和sum子模塊組成，其原理是通過引入一個和被控對象并聯(lián)的Smith預(yù)估補償器對系統(tǒng)的純滯后進行補償和消除。

圖7 限幅模糊PID系統(tǒng)仿真模型

同一受控對象，本文分別使用傳統(tǒng)模糊PID 算法和限幅模糊PID 算法進行仿真對比。在限幅模糊PID 算法下，arctan x 對誤差具有快速收斂性的同時也降低了誤差的變化率，保證了系統(tǒng)收斂的穩(wěn)定性。Smith預(yù)估控制可以對系統(tǒng)的滯后進行預(yù)估補償，使系統(tǒng)能快速達到最佳狀態(tài)。在兩種算法下，得到實驗結(jié)果如圖8和表2所示。

表2 兩種控制方法結(jié)果對比

圖8 兩種控制方法效果對比

6 結(jié)束語

在傳統(tǒng)模糊PID 算法的基礎(chǔ)上，本文通過引入反正切函數(shù)作為量化因子，對誤差和誤差變化率進行限幅。對誤差和誤差變化率，反正切函數(shù)具有快速穩(wěn)定的收斂性，使得系統(tǒng)能快速消除偏差以達到溫度期望值。采用Smith 預(yù)估補償溫控對象的延時解決了溫度系統(tǒng)的滯后問題。仿真實驗表明，限幅模糊PID 算法的調(diào)節(jié)時間比傳統(tǒng)模糊PID算法的調(diào)節(jié)時間更短，性能更佳。因此，本文的限幅模糊PID算法對于工業(yè)上的溫度控制系統(tǒng)具有很好的應(yīng)用價值。