徐登明，李非亞

（中國(guó)民航大學(xué)a.中歐航空工程師學(xué)院；b.理學(xué)院，天津 300300）

近年來(lái)，隨著量子信息學(xué)的興起，無(wú)偏基（MUB）逐漸被人們廣泛關(guān)注。無(wú)偏基在量子信息理論中起著舉足輕重的作用，為量子態(tài)的測(cè)量提供了一組最優(yōu)測(cè)量基[1]，使得量子測(cè)量過(guò)程變得簡(jiǎn)潔高效。另外，無(wú)偏基在量子狀態(tài)層析、量子密碼、量子糾錯(cuò)等方面也發(fā)揮著重要作用[2]。

在有限維復(fù)向量空間CK中，確定無(wú)偏基的最大組數(shù)N（K）是無(wú)偏基的主要研究?jī)?nèi)容。1989年，Wootters等[3]證明CK中最多存在K+1 組無(wú)偏基，即N（K）≤K+1，當(dāng)K是素?cái)?shù)冪時(shí)，N（K）=K+1，而當(dāng)K是非素?cái)?shù)冪時(shí)，確定無(wú)偏基的最大組數(shù)仍是一個(gè)尚未解決的問(wèn)題，許多學(xué)者為此做了大量工作。如：Weiner[4]證明了N（K）≠K；Song 等[5]利用拉丁方的性質(zhì)證明了在CK（K=n2，n為正整數(shù)）中N（K）≥K+1；文獻(xiàn)[6-7]利用張量積的性質(zhì)給出了K=K1K2維空間中幾類無(wú)偏基的構(gòu)造。

一般情況下，構(gòu)造CK上的無(wú)偏基非常困難。2005年，Klappenecker 等[8]提出了近似無(wú)偏基（AMUB）的概念，將無(wú)偏基的內(nèi)積條件進(jìn)行弱化，對(duì)非素?cái)?shù)冪維K=p-1 的情形，構(gòu)造了K+1 組近似無(wú)偏基。此后，王威揚(yáng)等[9]和Li 等[10]利用有限域及有限環(huán)上的高斯（Gauss）和及雅克比（Jacobi）和，對(duì)非素?cái)?shù)冪維K=q-1 或K=q+1 等情形構(gòu)造了CK中的K+1 組及K+2組近似無(wú)偏基。

文中利用有限域上的兩類指數(shù)和，對(duì)K=（q1-1）×（q2- 1）（q1，q2為素?cái)?shù)冪）的情形，分別構(gòu)造了CK中min{q1，q2}及min{q1，q2}+1 組近似無(wú)偏基。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 無(wú)偏基（MUB）與近似無(wú)偏基（AMUB）

定義1設(shè)B1= {|v1〉，|v2〉，…，|vK〉}和B2= {|u1〉，|u2〉，…，|uK〉}分別是復(fù)向量空間CK的一組單位正交基，若任意|vi〉∈B1與|uj〉∈B2都有

則稱B1和B2為CK的兩組無(wú)偏基（MUB）。

若CK中的m 組單位正交基B1，B2，…，Bm兩兩無(wú)偏，則稱為一組無(wú)偏基集。

定義2設(shè)B1={|v1〉，|v2〉，…，|vK〉}和B2={|u1〉，|u2〉，…，|uK〉} 分別是復(fù)向量空間CK的一組單位正交基，若任意|vi〉∈B1與|uj〉∈B2都有

則稱B1和B2為CK的兩組近似無(wú)偏基（AMUB）。

若CK中的m 組單位正交基B1，B2，…，Bm兩兩近似無(wú)偏，則稱為一組近似無(wú)偏基集。

1.2 指數(shù)和

設(shè)Fq是一個(gè)有限域，F(xiàn)q*表示該有限域不含元素。f（x）為Fq上的一個(gè)置換多項(xiàng)式，滿足f（0）=0，并且對(duì)任意1≠α∈Fq，f（αx）-f（x）都是Fq上的置換多項(xiàng)式。設(shè)φ是Fq上的乘法特征，χ是Fq上的加法特征。定義指數(shù)和

由文獻(xiàn)[11]有

詳細(xì)證明過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[11]。容易看出，當(dāng)f（x）=x 時(shí)，指數(shù)和S（φ，χ）即為有限域Fq上的Gauss 和。

設(shè)λ也是Fq上的一個(gè)乘法特征。設(shè)g∈Aut（Fq*）是Fq*上的一個(gè)自同構(gòu)，且對(duì)任意1≠α∈Fq，都是Fq*上的一個(gè)置換，令g（0）=0。定義指數(shù)和

由文獻(xiàn)[12]有

詳細(xì)證明過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[12]。

1.3 有限域的直積

設(shè)Fq1，F(xiàn)q2是兩個(gè)有限域，qi=pmii （i=1，2）是素?cái)?shù)冪。設(shè)R=Fq1×Fq2，則R 是一個(gè)環(huán)且|R|=q1q2。設(shè)R 上的乘法群

則|R*|=（q1-1）（q2-1）。

設(shè)χ(1)，χ(2)是Fq1，F(xiàn)q2上的典范加法特征，λ(1)，λ(2)是Fq1，F(xiàn)q2上的乘法特征，U 是模為1 的復(fù)數(shù)乘法群。

設(shè)（R，+）為R 上的加法群，定義映射

其中χ（α）=χ(1)（α1）χ(2)（α2），易證χ是環(huán)R 上的典范加法特征[7]。

設(shè)R*是乘法群，定義映射

其中λ（α）=λ(1)（α1）λ(2)（α2），則λ是環(huán)R 上的乘法特征。

2 近似無(wú)偏基構(gòu)造

設(shè)K=（q1-1）（q2-1）（qi為素?cái)?shù)冪），利用1.2 節(jié)中指數(shù)和S（φ，χ）與T（λ，φ）的模的值以及1.3 節(jié)中環(huán)R 上加法特征和乘法特征的定義，本文給出兩類近似無(wú)偏基的構(gòu)造。

2.1 構(gòu)造I

設(shè)Fq1，F(xiàn)q2是兩個(gè)有限域，不妨設(shè)q1≤q2。令R=Fq1×Fq2，根據(jù)1.3 節(jié)，。

因此，由L的定義知，對(duì)任意μi≠μj∈L，都有且。

設(shè)α=（α1，α2）∈R-R*，根據(jù)補(bǔ)充定義，當(dāng)μ(1)與μ(2)中有一個(gè)是非平凡特征時(shí)，μ（α）=μ(1)（α1）μ(2)（α2）=0。

保持上述記號(hào)不變，給出如下定理。

定理1設(shè)，z=（1-x，1-y）∈R}。

令K=|D|=（q1-1）（q2-1）。對(duì)任意以及μ∈L，定義向量

對(duì)每一個(gè)μ∈L，令

則Bμ是CK的一組單位正交基。記B*={|e1〉，|e2〉，…，|eK〉}為CK的標(biāo)準(zhǔn)正交基。令，則是CK中的基數(shù)為q1的近似無(wú)偏基集。

證明首先證明Bμ是一組單位正交基，設(shè)|v(λ，φ，μ)〉∈Bμ，由于

故|v(λ，φ，μ)〉為單位向量。

設(shè)|v(λ1，φ1，μ)〉∈Bμ，|v(λ2，φ2，μ)〉∈Bμ，其中（λ1，φ1）≠（λ2，φ2），則

因此，Bμ是CK上的一組單位正交基。

對(duì)每個(gè)|v(λ，φ，μ)〉∈Bμ及|ei〉∈B*，顯然有|〈v(λ，φ，μ)|ei〉=。

設(shè)|v(λ1，φ1，μ1)〉∈Bμ1，|v(λ2，φ2，μ2)〉∈Bμ2，其中μ1≠μ2∈L，且，則

由于

又μ(1)，μ(2)均為非平凡特征，由補(bǔ)充定義可知，μ(1)（0）=0，μ(2)（0）=0。所以

根據(jù)式（2）得

證畢。

2.2 構(gòu)造Ⅱ

設(shè)Fq1，F(xiàn)q2是兩個(gè)有限域，q1≤q2。類似于2.1 節(jié)，令R=Fq1×Fq2。

設(shè)f1（x），f2（x）分別是Fq1，F(xiàn)q2上的一個(gè)置換多項(xiàng)式，fi滿足：fi（0）=0 以及對(duì)任意α≠1，fi（αx）-fi（x）都是Fqi（i=1，2）上的置換多項(xiàng)式。

設(shè)c=（a，b）∈R，由1.3 節(jié)，對(duì)任意α=（α1，α2）∈R，有

記Fq1={a1，a2，…，aq1}，F(xiàn)q2={b1，b2，…，bq2}。因?yàn)閝1≤q2，取子集{b1，b2，…，bq}?Fq2。令S={（a1，b1），（a2，b2），…，（aq1，bq）}。若記ci=（ai，bi），則S= {c1，c2，…，cq1}。由S的定義知，對(duì)任意ci≠cj∈S，都有ai≠aj且bi≠bj成立。也即，若ci≠cj∈S，由χci≠χcj都有且成立。

保持上述記號(hào)不變，給出如下定理。

定理2設(shè)，f2（y））∈R}。

令K=|D|=（q1-1）（q2-1）。對(duì)任意，φ∈以及χc∈，其中c∈S，定義向量

對(duì)每一個(gè)c∈S，令

則Bc是CK中的一組單位正交基。記B*={|e1〉，|e2〉，…，|eK〉}為CK的標(biāo)準(zhǔn)正交基。令，則是CK中的基數(shù)為q1+1 的近似無(wú)偏基集。

證明首先證明Bc是一組單位正交基。

設(shè)|v(λ1，φ1，χc)〉∈Bc，|v(λ2，φ2，χc)〉∈Bc，其中（λ1，φ1），，由于

故Bc是CK上的一組單位正交基。

由c1≠c2知，a1≠a2且b1≠b2，故與均非平凡。根據(jù)式（1）得

證畢。

3 結(jié)語(yǔ)

文中設(shè)K=（q1-1）（q2-1），利用有限域上的指數(shù)和S（φ，χ）及T（λ，φ），在CK中分別構(gòu)造了min{q1，q2}及min{q1，q2}+1 組近似無(wú)偏基，這豐富了非素?cái)?shù)冪維復(fù)向量空間中近似無(wú)偏基的構(gòu)造。但構(gòu)造的近似無(wú)偏基組數(shù)有限，進(jìn)一步希望能找到更有效的方法在非素?cái)?shù)冪維復(fù)向量空間中構(gòu)造更大基數(shù)的近似無(wú)偏基集。