李志俊 西藏山南市第一高級中學(xué) 匡東梅 西藏拉薩市第三高級中學(xué)

2022年西藏自治區(qū)高考數(shù)學(xué)命題采用的是全國甲卷，命題全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務(wù)，遵循課程標(biāo)準(zhǔn)，加強(qiáng)教考銜接，優(yōu)化命題呈現(xiàn)方式，加強(qiáng)對高中數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的考查，充分發(fā)揮教育評價育人功能和積極導(dǎo)向作用。

一、理科數(shù)學(xué)命題分析

（一）突出時代主題

命題堅持思想性與科學(xué)性的統(tǒng)一，發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛、聯(lián)系實際的學(xué)科特點，設(shè)置真實情境，具有教育意義和引導(dǎo)作用。命題設(shè)置優(yōu)秀傳統(tǒng)文化情境，第8題取材于我國古代科學(xué)家沈括的杰作《夢溪筆談》，以沈括研究的圓弧長計算方法“會圓術(shù)”為背景，讓學(xué)生直觀感受我國古代科學(xué)家探究問題和解決問題的過程，領(lǐng)略中華民族的智慧和數(shù)學(xué)研究成果，培育學(xué)生愛國主義情感。第2題以社區(qū)環(huán)境建設(shè)中的“垃圾分類”為背景考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，突出生態(tài)環(huán)境建設(shè)主題，緊密結(jié)合“五位一體”總體布局，契合我區(qū)抓好穩(wěn)定、發(fā)展、生態(tài)、強(qiáng)邊四件大事的要求，強(qiáng)化學(xué)生生態(tài)環(huán)境意識。第19題以學(xué)校體育比賽活動為背景，聯(lián)系學(xué)生日常學(xué)習(xí)生活實際，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，落實數(shù)學(xué)生活化的理念。

（二）命題結(jié)構(gòu)分析

2022年全國甲卷理科數(shù)學(xué)命題共分為選擇題、填空題、解答題三種題型，包括12 個選擇題、4 個填空題、7個解答題（含選做題）。卷面總分150分，選擇題60分，填空題20分，解答題60分。在四條主線中，考查幾何與代數(shù)59分，分值約占全卷總分的39%，函數(shù)49 分，分值約占全卷總分的33%，概率與統(tǒng)計22 分，分值約占全卷總分的15%，數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動5 分，分值約占全卷總分的3%，還包括預(yù)備知識5 分和選做題10 分。按照知識模塊細(xì)化之后，各模塊分值為：復(fù)數(shù)5分，統(tǒng)計5分，集合5分，立體幾何初步和空間向量27 分，函數(shù)概念與性質(zhì)5 分，一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用22 分，數(shù)學(xué)建模5 分，平面解析幾何22 分，三角函數(shù)5 分，平面向量及其應(yīng)用10 分，概率17 分，數(shù)列12分，選做題10分。

（三）命題變化分析

命題整體非常穩(wěn)重，難度稍有提高，尤其對于我區(qū)考生來講更加明顯。對于線性規(guī)劃、程序框圖、二項式定理等往年的?？贾R點沒有進(jìn)行考查，對于復(fù)數(shù)、平面向量數(shù)量積的運算、集合等高頻考點進(jìn)行了考查。在復(fù)數(shù)模塊，考查了共軛復(fù)數(shù)、四則運算。在統(tǒng)計模塊，設(shè)置生活情境，考查學(xué)生從圖表中讀取信息的能力。在集合模塊，考查集合的并集、補(bǔ)集關(guān)系，涉及一元二次方程。在立體幾何初步和空間向量模塊，考查比重進(jìn)一步上升，共涉及到3 個選擇題、1 道解答題，總共27分。另外在填空題第15題中，將立體幾何圖形與概率計算結(jié)合起來考查。在函數(shù)概念與性質(zhì)模塊，考查判斷函數(shù)的大致圖像，涉及指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)的基本性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)。在一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用模塊，考查內(nèi)容較全面，涉及最值、極值，在選擇題的壓軸題上需要構(gòu)造函數(shù)求解，解答題第1小題含有參數(shù)，難度卻不大。另外沒有考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程。在數(shù)學(xué)建模模塊，設(shè)置中國優(yōu)秀數(shù)學(xué)文化，研究了計算圓弧長的“會圓術(shù)”。在平面解析幾何模塊，雙曲線一如既往位于選擇題、填空題的位置，解答題同去年一樣還是考查了拋物線，即連續(xù)兩年解答題沒有考查橢圓。在三角函數(shù)模塊，主要與其它知識綜合考查。在平面向量及其應(yīng)用模塊，考查了平面向量數(shù)量積的運算，解三角形出現(xiàn)在填空題的壓軸題上，難度上升。在概率模塊，填空題考查古典概型，解答題考查獨立事件，難度中等。在數(shù)列模塊，以解答題形式出現(xiàn)，第1小題證明等差數(shù)列，加大了學(xué)生解答的難度，第2 小題考查等比中項、等差數(shù)列的求和，難度中等。在選做題模塊，第22題要化參數(shù)方程為普通方程，消去參數(shù)相對容易，第23題相對不好做一些。

二、學(xué)生答題情況分析

（一）得分情況

1.選擇題部分。得分率在90%以上的是第3題，考查兩個集合的并集、補(bǔ)集。得分率在80%至89%之間的是第1題，考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算。得分率在50%至79%之間的有第2題，考查在圖表中提取數(shù)據(jù)信息，分析數(shù)據(jù)。得分率在40%至49%之間的有第4題和第5題，考查棱柱的三視圖、體積和利用函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的大致圖象。得分率在30%至39%之間的有第6 題、第8 題和第10 題，分別考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值、“會圓術(shù)”探索三角形邊長與角度的關(guān)系、求橢圓的離心率。得分率在20%至29%之間的有第7題、第9題、第11題，分別考查直線與平面所成的角、圓錐的展開圖和體積、三角函數(shù)圖象平移伸縮變換。第12題得分率最低，考查構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷數(shù)值大小。

2.填空題部分。得分率在60%以上的只有第13題，考查平面向量的數(shù)量積運算。第14題（考查雙曲線的漸近線、直線與圓相切關(guān)系）和第15 題（考查古典概型）得分率都在10%以下。得分率最低的是第16題，綜合考查解三角形、基本不等式等知識，難度較大，大部分學(xué)生不能解答出來。

3.解答題部分。選考題第22 題的得分率最高，為44.07%，考查參數(shù)方程和普通方程的互化、求曲線交點坐標(biāo)，難度較小。第17、18、19、20題得分率均在10%至20%之間，第17題考查證明數(shù)列的等差關(guān)系和等比中項、等差數(shù)列的求和，第18題考查證明線線垂直和求直線與平面所成角的正弦值，第19 題考查結(jié)合古典概型，利用獨立性計算概率，求離散型隨機(jī)變量分布列及其期望，第20 題考查求解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)。第21 題得分率最低，考查利用導(dǎo)數(shù)求解含參函數(shù)的最小值和雙零點問題，難度較大。

（二）失分原因分析

1.基礎(chǔ)知識不扎實。在復(fù)數(shù)題解答中，部分學(xué)生基礎(chǔ)知識不扎實，對共軛復(fù)數(shù)的形式不敏感，不能正確使用平方差公式簡化計算，導(dǎo)致錯選。在平面向量數(shù)量積的運算中，部分學(xué)生對數(shù)量積公式及其性質(zhì)掌握不牢，代入公式忽略向量夾角的余弦值乘積，導(dǎo)致算錯。在集合題解答中，部分學(xué)生對一元二次方程解法掌握不牢，混淆并集運算和交集運算，對補(bǔ)集概念理解不清，導(dǎo)致錯誤。

2.解答書寫不規(guī)范。尤其在填空題的第15題的答案中，有的考生對分?jǐn)?shù)不進(jìn)行約分化簡，有的考生對簡單的組合數(shù)不計算結(jié)果，有的考生寫出的數(shù)字答案字跡潦草、似是而非、不易辨認(rèn)，諸此種種導(dǎo)致失分。因為書寫不規(guī)范的原因還重點反映在第19 題（考查古典概型、獨立事件的概率）中，書寫不規(guī)范，將甲乙概率值代反，自相矛盾，導(dǎo)致錯誤。

3.提取題目信息的能力不足。在第2題關(guān)于“垃圾分類”知識解答中，考查數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差等數(shù)字特征，本身難度不大，但是學(xué)生看到這類題目，不能準(zhǔn)確地提煉題目中的數(shù)學(xué)信息，不能理解題目的實際意義，通過圖表提取數(shù)字信息的能力不足，不能準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，導(dǎo)致失分。

4.空間想象能力不足。命題考查立體幾何的比重較大，涉及到三視圖、直線與平面所成的角、圓錐的體積、異面直線的垂直等，部分學(xué)生的空間想象能力不足，致使無法根據(jù)三視圖還原出幾何體，對于需要通過作出輔助線解題的方面則更加欠缺。第18題考查立體幾何內(nèi)容，至少有三種解法，但是部分學(xué)生得分很低，部分學(xué)生憑借直觀感覺用非兩兩垂直的三個向量建系，導(dǎo)致題目解答無法正確進(jìn)行下去。

5.運算基礎(chǔ)能力不足。因為運算能力不足導(dǎo)致的失分現(xiàn)象很嚴(yán)重。對于選做題第22 題，解答過程比較容易，部分學(xué)生在去掉根號的計算中一開始就解錯，部分學(xué)生在消參代入的過程中錯誤百出，導(dǎo)致這么容易的題目失分。同樣在第19 題中，部分學(xué)生對于簡單的三個小數(shù)相乘，式子正確列出來了，結(jié)果仍然算錯，導(dǎo)致失分。在第17 題證明等比數(shù)列題目的解答中，部分學(xué)生在去分母的過程中出現(xiàn)了丟掉某項的情況。

6.邏輯推理能力欠缺。在考查數(shù)列的第17題解答中，有的考生先入為主，直接認(rèn)為所證數(shù)列為等差數(shù)列，導(dǎo)致邏輯混亂，有的考生運用數(shù)學(xué)歸納法，證明過程不完整，甚至在毫無理論依據(jù)的支撐下亂寫。在第20 題考查拋物線題目的解答中，缺乏對于拋物線基本概念理解，把簡單問題復(fù)雜化。在第21 題考查導(dǎo)數(shù)的題目中，有的考生遇到參數(shù)就不知所措，在關(guān)鍵的邏輯推理步驟上無法進(jìn)行下去，導(dǎo)致失分。

三、教學(xué)及備考建議

（一）注重基礎(chǔ)，全面復(fù)習(xí)

在復(fù)習(xí)備考中要注重回歸基礎(chǔ)知識，在教學(xué)中精選習(xí)題，精講精練，在學(xué)生能夠得分的基礎(chǔ)知識部分進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練。教師可以按照高考原題的考點，自行編制一些適合學(xué)生、適合高考的配套練習(xí)題，加強(qiáng)訓(xùn)練的針對性、有效性。同時，練習(xí)要講究“度”，不需要在過于簡單的題目上過多重復(fù)，應(yīng)該努力在中等難度題目上力求突破。高考數(shù)學(xué)題目已經(jīng)顯現(xiàn)出考查的全面性，我們要認(rèn)真研習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)，增強(qiáng)考試與教學(xué)的銜接，不要隨意地對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行刪減，以應(yīng)對不斷更新的命題趨勢。

（二）注重引導(dǎo)，規(guī)范解題

高考解答題的作答要求是：寫出文字說明、證明過程或演算步驟。規(guī)范答題包括：數(shù)學(xué)符號使用要規(guī)范、數(shù)學(xué)表達(dá)要規(guī)范、步驟書寫要規(guī)范、數(shù)學(xué)作圖要規(guī)范等。在解題步驟中，一定要計算過程明確，推理過程嚴(yán)謹(jǐn)，不可跨度太大而漏掉必要得分點。我們在日常教學(xué)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在課前預(yù)習(xí)、課堂上課、課后復(fù)習(xí)和課后作業(yè)等方面養(yǎng)成良好的書寫習(xí)慣，讓規(guī)范書寫貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個環(huán)節(jié)，從而逐步養(yǎng)成良好的作答習(xí)慣。

（三）精挑細(xì)選，精講精練

傳統(tǒng)上簡單的機(jī)械刷題、大搞題海戰(zhàn)術(shù)的做法，已不能適應(yīng)高考改革要求，往往學(xué)生不能對知識舉一反三，尤其對知識交匯的題目缺乏綜合解決能力。教學(xué)中應(yīng)該避免機(jī)械刷題、題海戰(zhàn)術(shù)的現(xiàn)象，精選一些學(xué)生學(xué)得會、高考經(jīng)?？嫉念}型，熟練掌握通用方法，開展一題多解探討，讓學(xué)生掌握原理、內(nèi)化方法、舉一反三，注重作業(yè)題、練習(xí)題減量提質(zhì)，在深刻理解的基礎(chǔ)上融會貫通、靈活運用，提升學(xué)習(xí)效果。

（四）高頻考點，心中有數(shù)

學(xué)生應(yīng)該熟練掌握復(fù)數(shù)、集合、線性規(guī)劃、程序框圖、平面向量數(shù)量積運算、二項式定理等知識點，雖然今年命題沒有考查二項式定理、程序框圖、線性規(guī)劃等，但是在正式采用新高考卷之前，備考仍應(yīng)該對這些知識點引起重視。另外，諸如立體幾何模塊分值比重提高，今年理科數(shù)學(xué)沒有考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，解三角形內(nèi)容連續(xù)兩年考查難度呈現(xiàn)加大趨勢，數(shù)列連續(xù)兩年出現(xiàn)在解答題部分，拋物線連續(xù)兩年出現(xiàn)在解答題部分等考點變化情況，應(yīng)加強(qiáng)分析研判，為備考工作提供參考。