黃國忠

基于對核心素養(yǎng)教學(xué)實踐與反思，我國教育界引入了國外流行的“大概念”教育理論，這無疑為落實學(xué)科育人提供了一條新的路徑，由此引發(fā)了小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的變化?；凇按蟾拍睢钡臄?shù)學(xué)課程設(shè)置與實施，指導(dǎo)進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計，也必將推動小學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容和模式的變化，這樣一系列由上及下的教學(xué)變革，以幫助學(xué)生形成用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)思維習(xí)慣，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也更能凸顯數(shù)學(xué)育人價值。

一、準(zhǔn)確把握“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的“大概念”

學(xué)科“大概念”能反映學(xué)科的本質(zhì)，是指具有較為廣泛的適用性和解釋力的原理、思想和方法。數(shù)學(xué)“大概念”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的重要載體，是把各種數(shù)學(xué)理解聯(lián)系成一個連貫整體的一個個節(jié)點，從而使數(shù)學(xué)課程內(nèi)容形成一個“大概念”集合，而“大概念”成為數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的一個個樞紐?！敖Y(jié)構(gòu)”“聯(lián)系”和“遷移”是“大概念”內(nèi)涵的本質(zhì)?！袄斫狻笔恰敖Y(jié)構(gòu)”“聯(lián)系”和“遷移”的基礎(chǔ)，理解可以促進(jìn)高通路的“遷移”?！敖Y(jié)構(gòu)”和“聯(lián)系”是“大概念”實現(xiàn)“遷移”的必要基礎(chǔ)?！靶「拍睢敝竷H運用于特定情況的概念。比如，“異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分，然后分母不變分子相加減”的認(rèn)識是“小概念”，“加減法就是相同計數(shù)單位相加減”的認(rèn)識則是相對的“大概念”（或“中概念”）?！按蟾拍睢敝饕腔诟拍畋旧韽木唧w到抽象、從細(xì)節(jié)到整體的邏輯建構(gòu)，因此，“小概念”“中概念”等成為“大概念”表達(dá)形式，且這些概念共同形成了自成一體的科學(xué)教育知識或觀念體系?！皵?shù)與運算就是相同的計數(shù)單位的累積”是數(shù)學(xué)體系中的一個“大概念”。從“大概念”統(tǒng)領(lǐng)的角度來看，“數(shù)與運算”具有整體性和一致性。數(shù)與運算是相互聯(lián)系的，完全可以用計數(shù)的方法理解加法。4=3+1，1、2、3往后數(shù)一個就是4;3+1=4，前面3和1和起來就是4。認(rèn)識數(shù)的關(guān)鍵是10個數(shù)字符號和數(shù)位。認(rèn)數(shù)的一致性體現(xiàn)在“不管整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，在同樣的數(shù)位上才能比大小”“不管整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，在同樣的數(shù)位上才能加減運算。減法是加法的逆運算（算減法想加法），乘法是加法的簡便運算?！闭J(rèn)數(shù)的整體性把計數(shù)單位從整數(shù)拓展到分?jǐn)?shù)和小數(shù)。比如，分?jǐn)?shù)[23]的計數(shù)單位是[13];0.1的計數(shù)單位是[110];0.01的計數(shù)單位是[1100]。小數(shù)和分?jǐn)?shù)都有計數(shù)單位。整數(shù)、小數(shù)是十進(jìn)制的，分?jǐn)?shù)不是十進(jìn)制的，但是它們的計算本質(zhì)是相同的。運算的整體性體現(xiàn)在“不管整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，需要相同計數(shù)單位的數(shù)相加減?！彼哉麛?shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減法的具體運算思路和方法都是“小概念”，基于此而抽象出的“數(shù)與數(shù)的運算就是相同的計數(shù)單位的累積”這是相對的“大概念”，也就是說“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的“大概念”是“數(shù)與數(shù)的運算就是相同的計數(shù)單位的累積”。

二、圍繞“大概念”組織“異分母分?jǐn)?shù)加減法”課堂教學(xué)

使用“大概念”統(tǒng)整小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科課程內(nèi)容，構(gòu)建“大概念”視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計是落實數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，凸顯數(shù)學(xué)育人價值的有效途徑。圍繞“大概念”進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計解決了“以課時為單位的教學(xué)導(dǎo)致知識碎片化”的問題。然而無論以何種理念、何種目標(biāo)為取向?qū)卧虒W(xué)進(jìn)行重組與整合，都繞不開“學(xué)校教學(xué)主要是以課為時間單位進(jìn)行組織”的現(xiàn)實，最終必須將重組的內(nèi)容按照課時進(jìn)行教學(xué)。因此，解決知識碎片化問題的出路并非教學(xué)設(shè)計所需要的時長，而是揭示教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系，這就要求教師必須看到具體知識背后的“大概念”，進(jìn)而圍繞“大概念”組織教學(xué)。下面就以“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的教學(xué)為例，說一說“大概念”背景下具體的課堂教學(xué)的變化。

（一）課前導(dǎo)學(xué)——尋找概念建構(gòu)基點

1.導(dǎo)學(xué)單（前測）

（1）計算

[156+84=] ;[0.5m+25dm=] ;[15+35=] ;[1.84-0.9=]

（2）想一想：三題解答共同之處？

2.交流想法

課堂上展示學(xué)生完成的導(dǎo)學(xué)單，讓學(xué)生交流自己的想法。適時引導(dǎo)：第二題與其他兩題有什么不一樣？（單位不一樣，需要先統(tǒng)一單位。）你們想過嗎？為什么單位相同就可以計算了？計算時為什么相同數(shù)位的數(shù)相加？

揭示課題：今天這節(jié)課研究“異分母分?jǐn)?shù)加減法”。

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生是有來源的，各數(shù)學(xué)知識之間內(nèi)在必然存在關(guān)聯(lián)。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種基于已有經(jīng)驗的自主建構(gòu)，通過進(jìn)一步理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減法都是相同計數(shù)單位的運算，找準(zhǔn)本節(jié)課的概念建構(gòu)基點，為“遷移”小數(shù)加減法做好充分的準(zhǔn)備。

（二）課中研學(xué)——形成概念遷移

1.自主研究“[12+14]”體現(xiàn)方法的多樣性。（1）讓學(xué)生嘗試用學(xué)過的知識或方法得出[12+14]的結(jié)果。

學(xué)生作品類型一：畫示意圖。

學(xué)生作品類型二：畫線段圖。

學(xué)生作品類型三：化為小數(shù)或同分母分?jǐn)?shù)。

（2）理性思考。

①畫的幾種類型的圖有什么相同的地方？（[12]都想辦法用[24]來表示。）為什么這樣做？（統(tǒng)一計數(shù)單位，把不同單位轉(zhuǎn)化成相同單位。）

②用畫圖和化為小數(shù)（同分母分?jǐn)?shù)）方法上有什么相同點？（目的都是統(tǒng)一計數(shù)單位，把不同單位轉(zhuǎn)化成相同單位。）

小結(jié)：“萬變不離其宗”，計數(shù)單位相同的數(shù)才能直接相加減，所以所有的方法都在做同一件事情：統(tǒng)一計數(shù)單位，把不同單位轉(zhuǎn)化成相同單位。

2.自主檢驗，方法拓展到減法，用減法檢驗[34-12]是不是等于[14]或檢驗[34-14]是不是等于[12]。

展示學(xué)生檢驗的過程，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都用通分計算。隨機(jī)提交流：為什么不畫圖驗證？（畫圖麻煩）

小結(jié)：異分母分?jǐn)?shù)加減法可以把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)再計算。

3.自主練習(xí)，感受通分對“異分母分?jǐn)?shù)加減法”計算的優(yōu)越性。

[18+23=] ;[12+13=] ;[13-15=] ;[12-14=] ;[1-34=]

交流：為什么不先化成小數(shù)計算？（有些分?jǐn)?shù)不能化成有限小數(shù)，化成小數(shù)的方法有一定的局限性。）

設(shè)計意圖：給學(xué)生提供充分的探索空間，利用已有知識和經(jīng)驗自主探索，通過個性化的表達(dá)進(jìn)行多元表征，讓學(xué)生在交流互動中突破異分母分?jǐn)?shù)的表象看透分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，也讓學(xué)生能在反思和回顧中收獲更多的解題方法和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，并在理性反思中溝通不同算法之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而深刻理解算理“計數(shù)單位相同的數(shù)能直接相加減”。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自主選擇方法驗算和計算，并通過比較和交流凸顯“先通分再計算”這一方法的普遍適用性，達(dá)到優(yōu)化算法的目的。從中可以看出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是學(xué)習(xí)一個個數(shù)學(xué)知識點，更重要的是在學(xué)習(xí)中實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的聯(lián)結(jié)，建立知識結(jié)構(gòu)，遷移數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和學(xué)科素養(yǎng)。

（三）課尾延學(xué)——打通概念的聯(lián)系

課件出示知識樹，呈現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法的算式，如下圖。

觀察四個算式的計算過程，想一想。

1.整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法在計算方法上有什么相同的地方？（計算整數(shù)和小數(shù)加減法的時候要求相同數(shù)位對齊，計算分?jǐn)?shù)加減法時要先統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位，再計算。）

2.你覺得怎樣情況可以直接相加減？（只有計數(shù)單位相同的數(shù)才能直接相加減。）

小結(jié)：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減法，其本質(zhì)是相通的，計算的算理一脈相承。如果學(xué)生能深入理解數(shù)學(xué)的知識和方法，能理清它們之間的聯(lián)系，就可以讓知識和智慧之樹越長越高。

設(shè)計意圖：通過梳理，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)知識是相互聯(lián)系，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生把握知識的整體性，形成全局的數(shù)學(xué)知識體系。兩個問題的思考，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，建構(gòu)起數(shù)的加減法的知識體系，使數(shù)的加減計算教學(xué)更豐滿、更立體。

三、“大概念”推動課堂變化，凸顯育人價值

（一）變化一：從“知識覆蓋”到“觀念統(tǒng)領(lǐng)”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加理性

以前在教學(xué)中覆蓋盡可能多的知識的做法，其實并不能保證學(xué)生對知識的理解和應(yīng)用，也不能保證學(xué)生遷移能力的形成?！按蟾拍睢币暯窍碌恼n堂，將圍繞核心內(nèi)容開展深度的探究，從而促進(jìn)學(xué)生理解意義并有效組織知識，建立知識之間的聯(lián)系，促進(jìn)新情境下的遷移。

由“知識覆蓋”到“觀念統(tǒng)領(lǐng)”的模式，以少而精的觀念促進(jìn)學(xué)生達(dá)成對數(shù)學(xué)學(xué)科的深度理解，將使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加理性?！皵?shù)與運算”中的“數(shù)”可以理解為計數(shù)單位的累積，“運算”的基礎(chǔ)是計數(shù)單位相同，計數(shù)單位相同才能運算?；趯Α皵?shù)與運算”的“大概念”，那么“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的計算，只需要統(tǒng)一計數(shù)單位，把不同的單位轉(zhuǎn)化為相同的單位，就自然而然地解決了“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的運算?；凇按蟾拍睢钡恼麛?shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)甚至有理數(shù)、無理數(shù)等的運算中的算理是相通的，“一通百通”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得“簡約”而富有理性。

（二） 變化二：從“低通路遷移”到“高通路遷移”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更抽象

“低通路遷移”常常是從“具體問題”到“具體問題”，依靠的是具體問題之間的相似性;“高通路遷移”經(jīng)歷了從“具體問題”到“抽象原理”再到“具體問題”的路徑，需要通過“抽象原理”聯(lián)結(jié)不相似的具體問題。高通路遷移不斷形成“具體與抽象”以及“抽象與抽象”交錯的復(fù)雜認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而能聯(lián)結(jié)不相似的“具體與具體”。在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)加減法”前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“整數(shù)加減法”和“小數(shù)加減法”等運算，經(jīng)歷了從“具體問題”到“抽象原理”的過程。引導(dǎo)學(xué)生思考“整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法在計算方法上有什么相同之處”，進(jìn)一步將算理理解引向深入，并透過現(xiàn)象探尋本質(zhì)，溝通并構(gòu)建整個小學(xué)階段數(shù)學(xué)運算的知識系統(tǒng)。

“整數(shù)加減法”和“小數(shù)加減法”的計算方法，可以遷移到“分?jǐn)?shù)加減”的學(xué)習(xí)中，同時對“整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法”進(jìn)行理性思考，打通抽象的“大概念”與“具體問題”的聯(lián)系，是從“抽象原理”到“具體問題”的拓展應(yīng)用。以后其他運算的學(xué)習(xí)就是運算“大概念”的不斷拓展與抽象。甚至“數(shù)與運算”的“大概念”也能與其他數(shù)學(xué)知識（如圖形與幾何）建立起聯(lián)系，真正打通“大概念”的“高通路遷移”，從而使數(shù)學(xué)更加抽象，從而走向數(shù)學(xué)知識的統(tǒng)一。

（三）變化三：從“教授專家結(jié)論”到“培養(yǎng)專家思維”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加有創(chuàng)造性

“教授專家結(jié)論”就是把知識分學(xué)科挑選和濃縮，然后由學(xué)科專家整理編制成教材，再通過教師教授給學(xué)生?！皩＜医Y(jié)論”的時代已被淘汰，當(dāng)今社會是信息時代，有人工智能的挑戰(zhàn)，工作對人的要求在不斷提高，那就需要一種更加“精準(zhǔn)”的教育，換言之就是需要人做人工智能做不到的事，而人工智能不具備的恰恰是以創(chuàng)新為特征的專家思維?！爱惙帜阜?jǐn)?shù)加減法”的教學(xué)，不是只是讓學(xué)生學(xué)會如何計算，而是讓學(xué)生經(jīng)歷研究的過程，通過自主探索、獨立思考、合作交流，弄明白計算背后的真正算理和方法、途徑，讓學(xué)生學(xué)會像專家一樣研究，像專家一樣思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的一種專家思維。

四、結(jié)語

基于“大概念”的課堂教學(xué)，將更加有“數(shù)學(xué)味”，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)形結(jié)合、理性思維等將充斥課堂，學(xué)生將會始終感受數(shù)學(xué)的特有的魅力，也就是理性感受世界的魅力、智力自由的魅力、創(chuàng)造自由的魅力。有魅力、有“數(shù)學(xué)味”的數(shù)學(xué)課堂，更能凸顯數(shù)學(xué)所特有的育人價值。

（吳淑媛）

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