漆發(fā)輝,王天林,郭長青

(南華大學(xué) 土木工程學(xué)院,湖南 衡陽 421001)

0 引 言

在流固耦合研究領(lǐng)域中，輸流管道的振動(dòng)與穩(wěn)定性是一個(gè)經(jīng)典問題，在水利、海洋、核能、航空航天和石油運(yùn)輸?shù)葘?shí)際領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。由于其展現(xiàn)出來的豐富的動(dòng)力學(xué)特性，越來越多的學(xué)者注意到了這個(gè)問題，并對其進(jìn)行了研究[1-4]。

輸流管道的黏彈性作為影響輸流管道穩(wěn)定性的內(nèi)在因素之一吸引了許多學(xué)者的目光，使得他們對其展開了研究。王忠民等[5]對非守恒黏彈性輸流管道系統(tǒng)的動(dòng)力特性和穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，并得到了松弛時(shí)間對黏彈性輸流管道的穩(wěn)定性有顯著影響的結(jié)論。張戰(zhàn)午[6]對黏彈性輸流管道的動(dòng)力穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。趙鳳群等[7]對簡支黏彈性輸流管道受分布隨從力作用下的動(dòng)力特性進(jìn)行了分析。B.A.Khudayarov等[8]通過建立數(shù)學(xué)模型來研究黏彈性輸流管道的非線性振動(dòng)問題，并利用Bubnov-Galerkin方法，將該數(shù)學(xué)模型簡化為一個(gè)以時(shí)間作自變量的常積分微分方程組的研究。最后的結(jié)果表明，管道的黏彈性會使其振動(dòng)的頻率和振幅均降低。Q.X.Huang等[9]研究了黏彈性輸流管道在正弦流作用下的動(dòng)力學(xué)特性，旨在改善此類流體相互作用系統(tǒng)的性能。劉穎[10]分析了黏彈性懸臂輸流管道的穩(wěn)定性。A.R.Askarian等[11]對具有Zener分?jǐn)?shù)階本構(gòu)關(guān)系的黏彈性輸流管道在不同邊界條件下的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。

在實(shí)際的工程應(yīng)用中，由于各種原因，輸流管道的約束條件也會大不相同。輸流管道在不同的約束條件下就會表現(xiàn)出各異的動(dòng)力學(xué)特性。金基鐸等[12]用實(shí)驗(yàn)研究的方法分析了兩端固定的輸流管道在脈動(dòng)流作用下的參數(shù)共振問題。包日東等[13]研究了端部約束懸臂輸流管道的分岔與混沌響應(yīng)。J.D.Jin等[14]通過使用Galerkin方法離散運(yùn)動(dòng)微分方程，研究了支撐管道輸送流體的穩(wěn)定性。顏雄等[15]對兩端彈性支承條件下的輸流管道進(jìn)行了研究，著重分析了非對稱彈性支承下系統(tǒng)的固有特性。分析的結(jié)果表明，對稱支承的剛度越大，系統(tǒng)的一階固有頻率下降越快；對于非對稱彈簧支承的系統(tǒng)而言，流體流速越大，其對系統(tǒng)固有頻率的影響越顯著。

輸流管道的穩(wěn)定性除了受內(nèi)在因素的影響之外，還與輸流管道受到的外在因素的影響有關(guān)。分布隨從力便是影響輸流管道穩(wěn)定性的外部因素之一，其可能來源于管道外流的黏滯力。

郭長青等[16]分析了分布隨從力作用下的簡支輸流管道的穩(wěn)定性。許鋒等[17]研究了含裂紋輸流管道在分布隨從力作用下的振動(dòng)與穩(wěn)定性。J.H.Huang等[18]通過推導(dǎo)雙參數(shù)地基上受分布隨從力作用的輸流管道的運(yùn)動(dòng)微分方程，研究了基礎(chǔ)襯板剛度對固有頻率和速度的影響。

本文在文獻(xiàn)[10,16]的研究基礎(chǔ)上綜合考慮了輸流管道的黏彈性和分布隨從力兩個(gè)因素，研究了黏彈性懸臂輸流管道在分布隨從力作用下的穩(wěn)定性。分析了管道黏彈性系數(shù)、分布隨從力大小以及輸流管道和流體的質(zhì)量比變化對輸流管道振動(dòng)特性和穩(wěn)定性的影響。

1 運(yùn)動(dòng)方程

1.1 模型及運(yùn)動(dòng)微分方程建立

受分布隨從力作用的黏彈性懸臂輸流管道模型如圖1所示，輸流管道內(nèi)流體的流速恒定，分布隨從力與輸流管道撓曲線始終保持相切。

管道采用Kelvin黏彈性模型和Euler梁模型，位置x處任意時(shí)刻t的撓度記為w(x,t)。運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(1)

式中：E*為黏彈性系數(shù)，Pa·s；E為管道彈性模量，N/m2；I為管道截面慣性矩，m4；w為管道橫向位移，m；L為管道長度，m；q為沿管道切線方向的分布隨從力，N/m；M和m分別為流體和管道的單位長度質(zhì)量，kg/m；U為管道內(nèi)流體的運(yùn)動(dòng)速度，m/s。

圖1 受分布隨從力作用的黏彈性懸臂管道Fig.1 Viscoelastic cantilever pipe subject to distributed follower force

1.2 運(yùn)動(dòng)微分方程無量綱化

在式(1)中引入以下無量綱參數(shù)：

(2)

將式(1)無量綱化為：

(3)

2 數(shù)值求解方法

運(yùn)用Galerkin方法求解無量綱化運(yùn)動(dòng)微分方程式(3)。令：

(4)

其中φi(ξ)為梁的第i階振型函數(shù)。

懸臂管道的振型函數(shù)為：

(5)

其中λi滿足特征方程：

coshλicosλi=-1

(6)

系數(shù)ci由式(7)給出：

(7)

將式(4)代入式(3)，同時(shí)在方程左右兩邊乘以φj(ξ)，然后在[0,1]區(qū)間對ξ積分，并利用振型函數(shù)的正交性可得：

(j=1,2,…,N)

(8)

為了求解方便，令

(9)

將二階線性微分方程組式(9)化為一階線性微分方程組：

(10)

其中系數(shù)矩陣B中的非零元素為：

(11)

3 計(jì)算結(jié)果與分析

通過采用不同的黏彈性系數(shù)α、分布隨從力γ、流速μ和質(zhì)量比β，從而可以求出B的特征值D。

特征值D可以用無量綱復(fù)頻率Ω來代替表示：

Ω=-iD=ω-αi=ΩR+iΩI

(12)

當(dāng)q=0時(shí)，問題退化為文獻(xiàn)[10]的情況，這里取截取項(xiàng)數(shù)N=10時(shí)計(jì)算的結(jié)果與文獻(xiàn)[10]基本吻合，故本文的截取項(xiàng)數(shù)取N=10。

3.1 臨界流速隨質(zhì)量比、黏彈性系數(shù)和分布隨從力的變化

圖2給出了黏彈性系數(shù)α=0.01時(shí)，不同分布隨從力γ作用下臨界流速μc與質(zhì)量比β的關(guān)系。從圖2可以看出：在分布隨從力作用下黏彈性懸臂輸流管道的無量綱臨界流速μc大致隨分布隨從力γ的增大而減小。在γ=50這條曲線上，流速為0時(shí)已經(jīng)發(fā)生失穩(wěn)，但當(dāng)β>0.59時(shí)，系統(tǒng)可以在達(dá)到一定流速后再次獲得穩(wěn)定，如果流速繼續(xù)增加，則系統(tǒng)又會變?yōu)槭Х€(wěn)狀態(tài)(穩(wěn)定區(qū)域的劃分：在臨界流速曲線以內(nèi)的為穩(wěn)定區(qū)域，在臨界流速曲線以外的為不穩(wěn)定區(qū)域)。

圖2 黏彈性懸臂輸流管道臨界流速隨質(zhì)量比的變化(α=0.01)Fig.2 Variation of critical velocity with mass ratio in viscoelastic cantilever pipeline(α=0.01)

圖3給出了黏彈性系數(shù)α=0.01時(shí)，不同質(zhì)量比β作用下臨界流速μc與分布隨從力γ的變化關(guān)系。從圖3可以看出：所有的曲線都匯聚相交在橫軸上γ=22.41這個(gè)點(diǎn)，也即是分布隨從力γ獨(dú)自作用時(shí)的失穩(wěn)臨界值；在分布隨從力γ<22.41時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)低流速穩(wěn)定區(qū)，而當(dāng)分布隨從力γ>22.41時(shí)，流速為零時(shí)就已經(jīng)發(fā)生失穩(wěn)，但是系統(tǒng)在增大到一定流速后會再次穩(wěn)定。從圖2和圖3中均可以發(fā)現(xiàn)：隨著質(zhì)量比β的增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域也會進(jìn)一步擴(kuò)大。

圖4給出了質(zhì)量比β=0.2時(shí)，不同黏彈性系數(shù)α作用下臨界流速μc與分布隨從力γ的變化關(guān)系。從圖4可以看出：當(dāng)黏彈性系數(shù)α=0，臨界流速μc隨分布隨從力γ單調(diào)遞減；而當(dāng)黏彈性系數(shù)α>0，分布隨從力γ大于一定值時(shí)，隨著流速的增加，系統(tǒng)則會經(jīng)歷失穩(wěn)、穩(wěn)定和再失穩(wěn)三個(gè)階段。說明黏彈性的從無到有使得系統(tǒng)有一個(gè)質(zhì)變的過程。從整個(gè)圖形來看，分布隨從力γ<-41.71時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域會隨黏彈性系數(shù)α的增大而減小，此時(shí)黏彈性系數(shù)α不利于系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)分布隨從力γ>-41.71時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域會隨黏彈性系數(shù)α的增大而增大，此時(shí)黏彈性系數(shù)α有利于系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖3 黏彈性懸臂輸流管道臨界流速隨分布隨從力的變化(α=0.01)Fig.3 Variation of critical velocity with distributed dependent force in viscoelastic cantilever pipeline(α=0.01)

圖4 黏彈性懸臂輸流管道臨界流速隨分布隨從力的變化(β=0.2)Fig.4 Variation of critical velocity with distribution and follower force in viscoelastic cantilever pipeline(β=0.2)

3.2 復(fù)頻率隨流速的變化

圖5給出了質(zhì)量比β=0.2，黏彈性系數(shù)α=0時(shí)，懸臂輸流管道在不同分布隨從力γ作用下的一、二階復(fù)頻率隨流速μ的變化情況。從圖5可以看出：當(dāng)分布隨從力γ=10時(shí)，系統(tǒng)一階模態(tài)的實(shí)部在流速μ=5.93的位置等于零，但是此時(shí)它虛部的兩個(gè)分支都為正值，因此一階模態(tài)并不會發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)。在流速μ=4.68時(shí)，二階模態(tài)的虛部由正變?yōu)樨?fù)，且其實(shí)部始終為正值，所以二階模態(tài)發(fā)生顫振失穩(wěn)。分布隨從力γ取0和5時(shí)的情況與分布隨從力γ取10時(shí)的情況基本一致。綜合來看，隨著分布隨從力γ的增加，系統(tǒng)二階模態(tài)顫振失穩(wěn)的臨界流速會隨之減小。

圖5 不同分布隨從力下懸臂輸流管道前兩階復(fù)頻率與流速的關(guān)系Fig.5 Relationship between the first two order complex frequencies and the flow velocity of a cantilever pipeline under different distributed follower force

圖6給出了質(zhì)量比β=0.2，黏彈性系數(shù)α=0.01時(shí)，黏彈性懸臂輸流管道在不同分布隨從力γ作用下的一、二階復(fù)頻率隨流速的變化情況。從形狀上來看，圖6和圖5大致是類似的。圖6的一階模態(tài)同樣存在著一個(gè)復(fù)頻率實(shí)部為0的區(qū)間，相應(yīng)的虛部上也有兩個(gè)分支，且這兩個(gè)分支都為正，所以系統(tǒng)的一階模態(tài)仍然是穩(wěn)定的。系統(tǒng)二階模態(tài)的虛部隨著流速的增加由正值變?yōu)樨?fù)值，而其實(shí)部一直為正值，所以系統(tǒng)二階模態(tài)也同樣會發(fā)生顫振失穩(wěn)。由圖6和圖5比較可知，隨著分布隨從力γ的增加，系統(tǒng)的失穩(wěn)臨界流速會跟著減小，但是系統(tǒng)整體的穩(wěn)定特性不會隨之改變。

圖6 不同分布隨從力下黏彈性懸臂輸流管道前兩階復(fù)頻率與流速的關(guān)系Fig.6 Relationship between the first two order complex frequencies and the flow velocity of a viscoelastic cantilever pipeline under different distributed follower force

圖7給出了黏彈性懸臂輸流管道在不同質(zhì)量比β作用下的一、二階復(fù)頻率隨流速μ的變化情況。圖7相較于圖5和圖6，出現(xiàn)了兩個(gè)一階復(fù)頻率實(shí)部為0的區(qū)間。當(dāng)質(zhì)量比β=0.6時(shí)，這兩個(gè)區(qū)間分別是流速為3.24≤μ≤4.90和8.74≤μ≤10.49。與之對應(yīng)的一階模態(tài)的虛部都為正值，所以系統(tǒng)的一階模態(tài)沒有發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)，處于穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)的二階模態(tài)虛部在流速μ=8.98時(shí)由正值變?yōu)樨?fù)值，且其實(shí)部為正值，所以二階模態(tài)此時(shí)發(fā)生顫振失穩(wěn)。總的來說，二階模態(tài)顫振失穩(wěn)的臨界流速隨質(zhì)量比β的增大而增大。

圖7 不同質(zhì)量比下黏彈性懸臂輸流管道前兩階復(fù)頻率與流速的關(guān)系Fig.7 Relationship between the first two order complex frequencies and the flow velocity of a viscoelastic cantilever pipeline with different mass ratios

圖8給出了黏彈性懸臂輸流管道在不同黏彈性系數(shù)α作用下的一、二階復(fù)頻率隨流速μ的變化情況。從圖8可以看出：當(dāng)黏彈性系數(shù)α=0.03時(shí)，系統(tǒng)一階模態(tài)實(shí)部在流速為4.88≤μ≤6.17的區(qū)間內(nèi)為零，此時(shí)一階模態(tài)的虛部為正值，因此系統(tǒng)一階模態(tài)處于穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)的二階模態(tài)虛部在流速μ=6.05時(shí)由正值變?yōu)樨?fù)值，但其實(shí)部為正值，所以二階模態(tài)此時(shí)會發(fā)生顫振失穩(wěn)。由圖8可以得出，黏彈性系數(shù)α取值增大時(shí)，系統(tǒng)二階模態(tài)顫振失穩(wěn)的臨界流速也會增大。

圖8 不同黏彈性系數(shù)下黏彈性懸臂輸流管道前兩階復(fù)頻率與流速的關(guān)系Fig.8 Relationship between the first two order complex frequencies and the flow velocity of a viscoelastic cantilever pipeline with different viscoelastic coefficients

4 結(jié) 論

1)對于黏彈性懸臂輸流管道，隨著分布隨從力的增加，系統(tǒng)的失穩(wěn)臨界流速會減小。

2)在分布隨從力作用下，黏彈性懸臂輸流管道失穩(wěn)的臨界流速會隨質(zhì)量比的增大而增大。

3)分布隨從力γ>-41.71時(shí)，黏彈性系數(shù)增加，黏彈性懸臂輸流管道的臨界流速會略微增大，影響不明顯。

4)分布隨從力和黏彈性系數(shù)不會改變懸臂輸流管道的穩(wěn)定性，系統(tǒng)的一階模態(tài)是穩(wěn)定的，而二階模態(tài)會發(fā)生顫振失穩(wěn)。懸臂輸流管道的失穩(wěn)方式主要是顫振失穩(wěn)，沒有發(fā)現(xiàn)發(fā)散失穩(wěn)的情況。