李明瑧,郭長(zhǎng)青

(1.南華大學(xué) 土木工程學(xué)院,湖南 衡陽(yáng) 421001;2.南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽(yáng) 421001)

0 引 言

質(zhì)量和剛度在豎直方向上變化很大的建筑結(jié)構(gòu)，在地震作用下可能發(fā)生鞭梢效應(yīng)，造成嚴(yán)重的后果，因此鞭梢效應(yīng)受到了廣泛的關(guān)注和研究。

鐘萬(wàn)勰和林家浩[1]是國(guó)內(nèi)最早開(kāi)始進(jìn)行建筑鞭梢效應(yīng)研究的學(xué)者，他們從耦合振子的動(dòng)力特性出發(fā)，建立一個(gè)雙質(zhì)點(diǎn)模型，用逐步積分法，指出增大頂部突出部分的剛度不一定有利于減小鞭梢效應(yīng)，應(yīng)在設(shè)計(jì)階段通過(guò)動(dòng)力計(jì)算來(lái)檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)是否容易產(chǎn)生鞭梢效應(yīng)，并按計(jì)算結(jié)果來(lái)調(diào)整結(jié)構(gòu)的剛度或質(zhì)量分布。武際可[2]以鞭子為例談到了鞭梢效應(yīng)，指出發(fā)生鞭梢效應(yīng)的原因在于，鞭梢部分的移動(dòng)速度遠(yuǎn)大于主體部分。劉鐵林[3]對(duì)雙自由度無(wú)阻尼體系進(jìn)行了動(dòng)力計(jì)算，指出當(dāng)突出物的固有頻率接近主體結(jié)構(gòu)的固有頻率，且其質(zhì)量遠(yuǎn)小于主體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量時(shí)，是該突出部分的結(jié)構(gòu)受震害破壞的原因之一，在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)給予注意，并指出建筑物的突出部分雖然自身容易受震害破壞，但它對(duì)主體結(jié)構(gòu)有一定的保護(hù)作用。閻石等[4]研究了僅考慮剪切變形時(shí)的雙自由度無(wú)阻尼體系的自由振動(dòng)和雙自由度體系在主體結(jié)構(gòu)上受一個(gè)簡(jiǎn)諧荷載時(shí)的受迫振動(dòng)，指出當(dāng)建筑物上部突出部分的質(zhì)量和剛度遠(yuǎn)小于主體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度，且其固有頻率與主體結(jié)構(gòu)固有頻率相接近時(shí)，突出部分的振動(dòng)反應(yīng)最為強(qiáng)烈。趙永生和賈栗[5]研究了在地面位移為簡(jiǎn)諧荷載的情況下，在只考慮地面運(yùn)動(dòng)的卓越頻率的情況下，得出當(dāng)上下兩部分的自振頻率接近且與地面卓越頻率相近時(shí)，鞭梢效應(yīng)最為強(qiáng)烈，當(dāng)上下兩部分自振頻率比值趨向于0或無(wú)窮大時(shí)，鞭梢效應(yīng)減弱或消失。曲淑英等[6]通過(guò)研究多自由度無(wú)阻尼體系在地面運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧荷載的受迫振動(dòng)，指出當(dāng)突出物某一自振頻率與整體結(jié)構(gòu)的固有頻率相同且與地面運(yùn)動(dòng)擾頻相近時(shí)，結(jié)構(gòu)最易發(fā)生鞭梢效應(yīng)。鄭以微和彭德喜[7]通過(guò)研究高層建筑在強(qiáng)風(fēng)作用下的鞭梢效應(yīng)，指出鞭梢效應(yīng)的強(qiáng)弱跟突出部分和主體部分的固有頻率比值有密切關(guān)系，當(dāng)其比值接近于1，并與強(qiáng)風(fēng)卓越頻率接近時(shí)，最易發(fā)生鞭梢效應(yīng)。近幾年的動(dòng)力鞭梢效應(yīng)研究主要以通用有限元軟件建模設(shè)計(jì)分析為主，且理論分析多采用無(wú)阻尼模型。G.Chen[8]對(duì)無(wú)阻尼多自由度系統(tǒng)進(jìn)行研究分析其自振頻率與鞭梢效應(yīng)的關(guān)系，結(jié)果表明，突出物的自振頻率影響著鞭梢效應(yīng)的強(qiáng)弱，當(dāng)突出物的自振頻率和主體頻率相近時(shí)，突出物的鞭梢效益最為明顯。Y.Su和E.L.Liu[9]采用有限離散單元法對(duì)冰川在地震作用下的動(dòng)力鞭梢效應(yīng)進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[10-13]以實(shí)際工程建筑為例建立有限元模型進(jìn)行分析，分別對(duì)進(jìn)水塔排架、吸熱塔、超高揚(yáng)程升船機(jī)頂部機(jī)房、某水電站進(jìn)水塔、混合結(jié)構(gòu)吸熱塔、高聳鋼結(jié)構(gòu)電視塔進(jìn)行抗震和鞭梢效應(yīng)分析，結(jié)果表明，當(dāng)突出物和主體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量與剛度差異較大時(shí)，鞭梢效應(yīng)對(duì)主體結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)影響較小。

盡管諸多學(xué)者對(duì)結(jié)構(gòu)的鞭梢效應(yīng)機(jī)理進(jìn)行了一定的分析，但是并未對(duì)眾多影響因素進(jìn)行深入的研究。本文以雙自由度體系的上部結(jié)構(gòu)與下部結(jié)構(gòu)絕對(duì)位移的振幅比作為鞭梢效應(yīng)的表征量，系統(tǒng)研究了外激勵(lì)頻率與上部結(jié)構(gòu)自振頻率之比、上部結(jié)構(gòu)與下部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比和剛度比、結(jié)構(gòu)阻尼比四種參數(shù)對(duì)其的影響。

1 無(wú)阻尼體系受迫振動(dòng)分析

圖1所示為雙自由度無(wú)阻尼體系的計(jì)算簡(jiǎn)圖。

圖1 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Structural calculation sketch

體系在地面簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)作用下的運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

其中m1，m2分別為下部結(jié)構(gòu)與上部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，k1，k2分別為它們的剛度。x1a、x2a分別為它們的絕對(duì)位移，xg為地面簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)位移：

xg=Agsinωt

(2)

方程(1)左右兩邊同時(shí)除以上部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量m2：

(3)

引入無(wú)量綱量質(zhì)量比cm和剛度比ck：

(4)

及下部結(jié)構(gòu)和上部結(jié)構(gòu)各自的自振頻率：

(5)

將式(4)、式(5)代入式(3)得：

(6)

假設(shè)：

(7)

將式(7)代入式(6)經(jīng)計(jì)算可得：

(8)

其中：

上部結(jié)構(gòu)與下部結(jié)構(gòu)的絕對(duì)位移振幅的比值：

(9)

由式(8)、式(9)可知，A1a、A2a與質(zhì)量比、剛度比和頻率比三者都有關(guān)，但它們的比值A(chǔ)2a/A1a僅與頻率比β有關(guān)；當(dāng)β→1時(shí)，A2a/A1a→∞，結(jié)構(gòu)發(fā)生劇烈的鞭梢效應(yīng)。

值得注意的是：式(8)與上部結(jié)構(gòu)作為單自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力放大系數(shù)公式在形式上完全相同，但有一個(gè)重要的不同點(diǎn)：當(dāng)β=1時(shí)，A2a是有限的，導(dǎo)致A2a/A1a→∞的原因是A1a→0，這是一個(gè)很奇特的現(xiàn)象：下部結(jié)構(gòu)自身不動(dòng)，只在地面與上部結(jié)構(gòu)之間起傳遞力的作用！可利用該現(xiàn)象對(duì)下部結(jié)構(gòu)進(jìn)行被動(dòng)隔振。

2 有阻尼體系受迫振動(dòng)分析

圖2所示為雙自由度有阻尼體系的計(jì)算簡(jiǎn)圖。

圖2 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.2 Structural calculation sketch

為了便于對(duì)阻尼矩陣進(jìn)行對(duì)角化處理，對(duì)有阻尼體系的分析先從相對(duì)運(yùn)動(dòng)入手，最后再疊加上地面運(yùn)動(dòng)求出結(jié)構(gòu)的絕對(duì)位移。

結(jié)構(gòu)在地面簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)作用下的受迫振動(dòng)方程為：

(10)

假設(shè)[φ]為雙自由度無(wú)阻尼體系自由振動(dòng)時(shí)的振型矩陣，令{x}=[φ]{q},代入式(10)得：

(11)

式(11)左乘[φ]T得：

(12)

其中：

振型矩陣取為：

(13)

結(jié)構(gòu)的兩階自振頻率與上部結(jié)構(gòu)自振頻率的比值分別為：

(14)

假設(shè)結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣可對(duì)角化：

(15)

則式(12)可轉(zhuǎn)化為：

(16)

其中：

則：

(17)

其中ζn為結(jié)構(gòu)的振型阻尼比。

假設(shè)：

qn(t)=Cnsinωt+Dncosωt

(18)

代入式(16)經(jīng)計(jì)算可得：

(19)

其中：

再由{x}=[φ]{q}求得結(jié)構(gòu)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)位移為：

(20)

結(jié)構(gòu)的絕對(duì)位移為：

(21)

最終結(jié)可表示為：

(22)

其中：

3 有阻尼體系幅頻特性分析

圖3為剛度比等于0.1，質(zhì)量比取不同值時(shí)的結(jié)構(gòu)幅頻特性曲線。圖4為質(zhì)量比等于0.1，剛度比取不同值時(shí)的結(jié)構(gòu)幅頻特性曲線。圖5為質(zhì)量比和剛度比相等且同步變化時(shí)的結(jié)構(gòu)幅頻特性曲線。

圖3 相同剛度比不同質(zhì)量比的幅頻特性曲線(剛度比為0.1)Fig.3 Amplitude-frequency characteristic curve with the same stiffness ratio and different mass ratio (The stiffness ratio is 0.1)

圖5 質(zhì)量比等于剛度比時(shí)的幅頻特性曲線Fig.5 Amplitude frequency characteristic curve when mass ratio is equal to stiffness ratio

綜合分析圖3、圖4和圖5，可總結(jié)出以下幾點(diǎn)規(guī)律：

2)當(dāng)結(jié)構(gòu)一階振型阻尼比與結(jié)構(gòu)二階振型阻尼比相等時(shí)(ζ1=ζ2)，隨著阻尼比的增大，鞭梢效應(yīng)得到減弱，在阻尼比較小時(shí)隨著剛度比ck、質(zhì)量比cm的增大可以減小振幅比的數(shù)值如圖5(d)，但從整體上來(lái)看對(duì)振幅比A2a/A1a的影響不大，規(guī)律并不明顯。

3)當(dāng)ck遠(yuǎn)大于cm(圖3(a)、圖3(b)，圖4(d))時(shí)，振型阻尼比組合ζ1=0.02，ζ2=0.05的曲線峰值位于阻尼比組合ζ1=0.05，ζ2=0.02的曲線峰值之下，說(shuō)明ζ2的影響比ζ1大，隨著ζ2的增大鞭梢效應(yīng)減弱；當(dāng)ck=cm或ck小于cm(其他各圖)時(shí)，則剛好相反，ζ2的影響比ζ1小，其中當(dāng)ck遠(yuǎn)小于cm(圖3(d)，圖4(a)、圖4(b))時(shí)，ζ1=0.02，ζ2分別取0.02，0.05時(shí)的曲線幾乎重合，ζ1=0.05的兩條曲線也幾乎重合，說(shuō)明此時(shí)ζ2的影響很小，幾乎可以忽略不計(jì)，隨著ζ1的增大鞭梢效應(yīng)減弱。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)雙自由度體系鞭梢效的影響因素進(jìn)行了系統(tǒng)的研究得出以下幾點(diǎn)結(jié)論：

1)對(duì)于無(wú)阻尼體系，鞭梢效應(yīng)僅與頻率比有關(guān)，當(dāng)外激勵(lì)頻率與上部結(jié)構(gòu)的自振頻率相等時(shí)，上部結(jié)構(gòu)與下部結(jié)構(gòu)絕對(duì)位移振幅的比值達(dá)到無(wú)窮大，引起強(qiáng)烈的鞭梢效應(yīng)。

2)對(duì)于有阻尼體系，當(dāng)結(jié)構(gòu)的兩階振型阻尼比相等時(shí)，增大阻尼比可減弱鞭梢效應(yīng)，剛度比和質(zhì)量比對(duì)鞭梢效應(yīng)影響不明顯；若結(jié)構(gòu)的兩階振型阻尼比不相等，當(dāng)剛度比遠(yuǎn)大于質(zhì)量比時(shí)，二階振型阻尼比比一階振型阻尼比對(duì)鞭梢效應(yīng)的影響大；當(dāng)剛度比小于質(zhì)量比或剛度比等于質(zhì)量比時(shí)，一階振型阻尼比比二階振型阻尼比對(duì)鞭梢效應(yīng)影響大。