陽 晃,陳會(huì)文,李家萌

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽 421001)

0 引 言

考慮下列四階橢圓型方程：

(1)

四階橢圓方程產(chǎn)生于研究懸橋周期振動(dòng)中的行波問題[1]和研究靜態(tài)偏轉(zhuǎn)的彈性板問題，大量應(yīng)用于物理、化學(xué)等現(xiàn)象中，因此受到了廣泛研究和關(guān)注。對于求解高階橢圓型方程，運(yùn)用變分法可以巧妙地將尋找方程解的問題化為尋找相應(yīng)能量泛函臨界點(diǎn)的問題。1973年A.Ambrosetti和P.H.Rabinowitz提出的山路引理為在變分框架下研究解的存在性及多重性提供了強(qiáng)有力的工具，隨后各類四階橢圓方程解的存在性和多重性等問題便成為學(xué)者們的研究熱點(diǎn)之一，其中就有許多學(xué)者研究了四階橢圓方程的解(參考文獻(xiàn)[1-11])。確切地來說，Y.L.Yin和X.Wu(參考文獻(xiàn)[4])研究了問題(1)，他們利用變分方法得到了下面定理。

定理1 若f滿足下列條件：

則問題(1)存在一個(gè)非平凡解。

定理2 若f滿足(V),(f1)和(f2)以及下列條件:

則問題(1)存在一個(gè)非平凡解。

注1：(f3)和(f4)暗示了(f5)和(f6)，則定理1推廣了定理2。

之后有學(xué)者引入?yún)?shù)λ研究了如下方程

例如J.Liu和S.X.Chen等人在文獻(xiàn)[9]中假設(shè)V，f(x,u)滿足類似文獻(xiàn)[4]中的假設(shè)條件，同樣利用變分方法得到了非平凡解的存在及多重性。

隨后，Zhang和Tang等人在文獻(xiàn)[10]中假設(shè)V滿足下列假設(shè)條件：

(V1′)存在一個(gè)常數(shù)d0>0，有

V(x)≤M}=0,?M>0

本文對一類四階橢圓方程非平凡解的存在性進(jìn)行了研究，并對f(x,u)作新的假設(shè)條件，故將使用以下條件：

?M>0

關(guān)于a.e.x∈G一致成立；

|t|≥R0且N>4

以及對一些κ∈(1,2/(1-σ)]

且N≤4。

定理3 假設(shè)滿足(V′),(f1)和(f7)～(f9)條件，則問題(1)有一個(gè)非平凡解。

注2：很容易看出，(V′),(f8)和(f9)弱于(V),(f3)和(f4)，其中(f8)是局部超線性條件，由此建立了一個(gè)新的存在性準(zhǔn)則。

例1：當(dāng)N>4且F(x,t)=[sin(2πx1)+ |sin(2πx1)|]t2ln(1+t2)，

則

1 預(yù)備知識

在希爾伯特空間

其中內(nèi)積表示為

相關(guān)范數(shù)為

‖u‖s≤γs‖u‖,?u∈E

(2)

(3)

故有下列引理：

(4)

此外，Ψ′:E→E*是緊性的，E*是E的對偶空間，其中

(1)Φ(0)=0；

(2)存在常數(shù)ρ,α>0，使得Φ|?Bρ≥α；

則Φ有一臨界值c≥α，且

其中

Γ={g∈C([0,1],E):g(0)=0,g(1)=e}。

注記1 文獻(xiàn)[16]的結(jié)果表明，從(C)條件下可以得到一個(gè)形變引理和一個(gè)指標(biāo)理論，這是得到臨界點(diǎn)定理的基礎(chǔ)。在文獻(xiàn)[15]中，可以證明如果采用(C)條件而不是(PS)條件，就可證明引理4仍然成立。故當(dāng)任意序列{un}滿足

I(un)→c,‖I′(un)‖(1+‖un‖)→0

(5)

2 定理3的證明

引理5 滿足假設(shè)(V′)，如果Aω=-Δ2ω-Δω+V(x)ω，且ω|G=0，則ω=0。

引理6 假設(shè)滿足(V′)，(f1)和(f7)～(f9)條件，{un}?E滿足Φ(un)→c，‖Φ′(un)‖(1+‖un‖)→0，n→∞，則{un}在E中有界。

(6)

對0≤a

(1)考慮N>4的情況。

(7)

由H?lder’s不等式，(f9)和式(6)，存在正常數(shù)C2，可得

o(1)

(8)

結(jié)合式(7)和式(8)，可得

o(1)

故矛盾。

得到

(9)

又因?yàn)?/p>

(10)

其中C3,C4和C5為正常數(shù)。結(jié)合式(9)和式(10)得

(11)

因?yàn)関n?v(n→∞)，由式(11)可知

(12)

這表明Av=-Δ2v-Δv+V(x)v=0。根據(jù)引理5，可知v|G≠0，由(f7),(f8)和Fatou’s引理得

故矛盾。

(2)考慮N≤4的情況。

(13)

根據(jù)H?lder’s不等式，(f9)和式(6)，對一些κ∈(1,2/(1-σ)]，取κ′=κ(σ+1)/(κ-1)，存在正常數(shù)C7，有

(14)

結(jié)合式(13)和式(14)，可得

(1)

故矛盾。

得到

(15)

又因?yàn)?/p>

(16)

其中C8,C9和C10為正常數(shù)。結(jié)合式(15)和式(16)得

(17)

因?yàn)関n?v(n→∞)，由式(17)可知

(18)

這表明Av=-Δ2v-Δv+V(x)v=0。根據(jù)引理5，可知v|G≠0，由(f7),(f8)和Fatou’s引理得

故矛盾。綜上所述，所以{un}在E中有界。

引理7 如果un?E滿足Φ′(un)→0，且是有界序列，則un?E有收斂子序列。

證明：由引理2可知，{un}有一個(gè){unj}子序列，且取點(diǎn)u∈E，使得‖Ψ′(unj)-Ψ′(u)‖E*→0，其中nj→∞，因此

〈Ψ′(unj)-Ψ′(uni),unj-uni〉≤

(‖Φ′(unj)‖E*+‖Φ′(ui)‖E*)×

‖unj-uni‖E+‖Ψ′(unj)-

Ψ′(uni)‖E*‖unj-uni‖E→0,

(i→∞,j→∞)

這就說明了{(lán)unj}是E中的柯西序列，由于E的完備性，可知{unj}在E中有收斂序列。

引理8 在滿足假設(shè)(V′),(f1)和(f7)下，存在常數(shù)ρ,α>0，使得Φ|?Bρ≥α。

|f(x,t)|≤ε|t|+C(ε)|t|p-1,

且

(19)

由(V′),式(2),式(3)和式(19)可知，得

證明：由(f8)可知，對任意的k1>0，存在T1>0，使得

F(x,u)≥k1|u|2,?x∈G,|u|≥T1

(20)

對任意ζ>0，存在一個(gè)閉集G1和一個(gè)開集G2，使得G1?G?G2，且

meas(G1)>0,meas(G2G1)<ζ,

meas(GG1)<ζ

(21)

選取k1足夠大的時(shí)候，則

定理3的證明：由引理6～引理9可知，Φ滿足引理4的所有條件，則Φ有一臨界值c≥α，且

其中Γ={g∈C([0,1],E):g(0)=0,g(1)=e}

因此，存在u*∈E，使得

Φ(u*)=c且Φ′(u*)=0

則u*是問題(1)的解。