李佳蔚 陳麗萍

摘 要：本文對(duì)因式分解的方法、解題思路等進(jìn)行了綜述。在此基礎(chǔ)上，為了拓展同學(xué)們的視野并更好地掌握多項(xiàng)式的因式分解，使大家能夠更熟練地進(jìn)行因式分解，筆者將有理系數(shù)多項(xiàng)式的兩個(gè)定理靈活地加以運(yùn)用，所述方法有時(shí)可以起到化繁為簡(jiǎn)的效果，使因式分解變得十分容易。本文所述方法對(duì)同學(xué)們學(xué)習(xí)因式分解有較強(qiáng)的實(shí)際意義。

關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式;有理系數(shù);因式分解;中學(xué);解法

因式分解在中學(xué)階段的學(xué)習(xí)中有非常重要的地位和作用，有些看似與因式分解無(wú)關(guān)的題目能否解出往往與學(xué)生的因式分解能力密切相關(guān)。有較強(qiáng)的因式分解能力在做題時(shí)可能會(huì)事半功倍，得心應(yīng)手。將一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式就是因式分解，因式分解是整式乘法的逆運(yùn)算。通過對(duì)因式分解的學(xué)習(xí)，我們應(yīng)該知道：1.因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式;2.因式分解最終結(jié)果的形式必須是整式乘積，如果還有加減之類的運(yùn)算則不行;3.一般來(lái)說(shuō)，在分解到最后如有相同因式，應(yīng)寫成冪的形式;4.中學(xué)教材中公式里的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式;5.分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止。事實(shí)上，什么叫作不可約多項(xiàng)式呢？如果一個(gè)次多項(xiàng)式，不能分解成兩個(gè)次數(shù)大于或等于1的多項(xiàng)式的乘積，那么這個(gè)多項(xiàng)式叫作不可約多項(xiàng)式。否則叫作可約多項(xiàng)式。一個(gè)多項(xiàng)式是否不可約與我們所研究的數(shù)域有關(guān)。在復(fù)數(shù)域中，只有一次因式是不可約的，任何次數(shù)高于一次的多項(xiàng)式都可以分解成一次因式的乘積。在實(shí)數(shù)域中，任何次數(shù)不小于3次的多項(xiàng)式都是可約的。除一次不可約因式外，還有二次不可約因式。如（其中）。在有理數(shù)域中，情況較復(fù)雜，除一次不可約因式外，可以有任意次數(shù)的不可約因式存在，艾森斯坦因判別法可以判別一部分不可約多項(xiàng)式。6.因式分解一定要在題目規(guī)定的范圍內(nèi)分解，范圍不同可能分解結(jié)果就不同。任意一個(gè)多項(xiàng)式的因式分解結(jié)果，在我們所定義的唯一性的意義之下是唯一的，這是指無(wú)論用什么方法分解，當(dāng)分解完成后，除了因式順序外，其結(jié)果都完全一樣，其實(shí)在大學(xué)數(shù)學(xué)中，因式分解的唯一性問題有系統(tǒng)的講解，有興趣的同學(xué)可以參見參考文獻(xiàn)[1]。

因式分解一般有一定的步驟：首先應(yīng)該看所分解的多項(xiàng)式的各項(xiàng)有無(wú)公因式，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都含有的因式就是該多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。如果將要分解的多項(xiàng)式的每一項(xiàng)有公因式，我們可以先把公因式提出來(lái)[2]。此時(shí)，多項(xiàng)式已經(jīng)化成了兩個(gè)因式之積的形式，當(dāng)然是否還要分解還需進(jìn)一步討論。上述分解因式的方法就是提公因式法。采用提公因式法時(shí)，如果多項(xiàng)式的項(xiàng)有分母，則可以先提所有分母最小公倍數(shù)分之一到多項(xiàng)式之前，然后對(duì)整系數(shù)多項(xiàng)式再提各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù);所提取的字母應(yīng)該是各項(xiàng)都有的字母，我們?nèi)∠嗤淖帜缸畹偷闹笖?shù)作為提出去的字母的指數(shù);如果有多項(xiàng)式整體是相同的則整體提出且多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的[3]。其次結(jié)合我們已經(jīng)學(xué)過的公式看能否直接利用乘法公式進(jìn)行分解，公式法的實(shí)質(zhì)其實(shí)就是把乘法公式反過來(lái)運(yùn)用。中學(xué)階段用到的乘法公式主要是平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式和完全立方公式，同學(xué)們必須將這些公式牢記并靈活加以運(yùn)用。

通常情況下，除非基礎(chǔ)題目，否則上述兩個(gè)步驟一般都不能完全解決問題，這個(gè)時(shí)候就應(yīng)該考慮其他的因式分解方法了。比如：可用分組分解法，在用分組分解法時(shí)要注意的是我們分組的原則是在分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)進(jìn)行分解，如果分組后無(wú)法進(jìn)行下一步則需要考慮重新分組;換元法，將多項(xiàng)式的某些項(xiàng)作為一個(gè)整體，然后用一個(gè)新的字母去代換就是換元，換元的目的是使得復(fù)雜的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)變成簡(jiǎn)單的和我們熟悉的多項(xiàng)式，使之可以進(jìn)行下一步的分解;轉(zhuǎn)化法，經(jīng)過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等變形將本身看起來(lái)無(wú)法利用我們熟悉的因式分解一般方法進(jìn)行分解的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為可以利用常見的因式分解的其他方法進(jìn)行分解的多項(xiàng)式就是轉(zhuǎn)化法;主元法，如果待分解的多項(xiàng)式含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母，一般無(wú)法直接分解，我們可以將其中一個(gè)字母為主元進(jìn)行變形整理，使多項(xiàng)式能夠用我們熟知的方法進(jìn)行因式分解;待定系數(shù)法，其基本思路是先按已知條件把原式假設(shè)成若干個(gè)因式的連乘積，使這些因式的連乘積與原式組成恒等式，在所假設(shè)的因式中，先用字母表示某些項(xiàng)的系數(shù)（字母的值是待定的），然后通過多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)（若兩多項(xiàng)式相等，則它們同次的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)一定相等），建立方程組，求出這些待定系數(shù)的值。除了上述提到的方法外，多項(xiàng)式的因式分解還有其他一些方法：配方法、試除法、類比法、十字相乘法、展開重組法、求根公式法等。

以上介紹了因式分解的一些常用方法，同學(xué)們可以根據(jù)具體的題目選擇合適的方法，多練習(xí)有助于因式分解技巧的掌握。其實(shí)，多項(xiàng)式在進(jìn)行因式分解時(shí)往往不止用某一種方法，而是多種方法先后交替運(yùn)用，這時(shí)就要根據(jù)題目的特點(diǎn)作出分析，靈活選擇方法。大家在學(xué)習(xí)因式分解時(shí)可能會(huì)碰到一些問題：利用十字相乘法時(shí)，如何湊成一次項(xiàng)的系數(shù)有困難;分組分解法不知如何分組，盲目地瞎湊。因此我們應(yīng)該通過大量練習(xí)搞清楚每一種方法的適應(yīng)形式及特點(diǎn)。在進(jìn)行因式分解時(shí)要有整體意識(shí)，要從全局出發(fā)考慮問題，而不是局限于一個(gè)個(gè)方法的死記硬背，要自我培養(yǎng)準(zhǔn)確選擇方法并且能靈活運(yùn)用方法的數(shù)學(xué)能力。

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，因式分解是一個(gè)重要且略帶技巧性的學(xué)習(xí)內(nèi)容。除了常見方法外，多學(xué)習(xí)一些解題技巧對(duì)我們掌握因式分解非常重要。我在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)就特別注意查詢相關(guān)解題知識(shí)。因?yàn)橐淮闻既唬医佑|到了大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)課程《高等代數(shù)》，發(fā)覺其中有兩個(gè)關(guān)于多項(xiàng)式的定理對(duì)我們求解多項(xiàng)式的因式分解很有用，下面分享給各位在讀的中學(xué)生朋友。

一、預(yù)備知識(shí)

二、主要結(jié)果

（一）定理應(yīng)用舉例

（二）綜合除法

在定理應(yīng)用舉例中，本文對(duì)定理一和二的應(yīng)用進(jìn)行了討論。其中有一個(gè)細(xì)節(jié)：在多項(xiàng)式可能的有理根找到后，還需要去判斷這些數(shù)哪些是多項(xiàng)式的根。同學(xué)們一般采取的方法是將C直接代入驗(yàn)算，看看是否等于0，但是這種做法很容易算錯(cuò)，且如果可以分解出多個(gè)的情況可能會(huì)被遺漏。下面我們接著介紹與定理應(yīng)用舉例緊密相關(guān)的綜合除法的知識(shí)。綜合除法可以很容易地判斷C是否是的根，是幾重根？

比較等式（1）中兩端同次項(xiàng)的系數(shù)，得到系數(shù)，這樣，欲求系數(shù)，只要把前一系數(shù)乘以C再加上對(duì)應(yīng)系數(shù)，而余式r也可以按照類似的規(guī)律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陸續(xù)求出商式的系數(shù)和余式：

也就是說(shuō)，在第一行把被除式的各項(xiàng)的系數(shù)（注意必須把符號(hào)一起帶上）按次數(shù)由高到低一一排好，缺項(xiàng)的系數(shù)用零代替。首先得到商式的最高次項(xiàng)系數(shù)——和被除式的最高次項(xiàng)系數(shù)相等，然后將其乘以C放于第二行，緊接著作加法得到商式的次高次項(xiàng)系數(shù)......如此方法算下去，直到得到。這樣我們就算出了商式的全部系數(shù)，從而得到商式。

注：1.如果，則C是的根，否則不是。

2.若C是的根，可以反復(fù)用綜合除法去判斷它是幾重根，從而知道可以分解出多少個(gè)。

由上面的分析我們可以發(fā)現(xiàn)，僅僅通過作加法和乘法兩種運(yùn)算便可以得到一元多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的商式與余式，這就是綜合除法的簡(jiǎn)便之所在。其實(shí)，綜合除法作為一種很靈活的方法，不僅這里使用起來(lái)簡(jiǎn)單明了，在其他一些涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算問題時(shí)使用起來(lái)也非常方便。以后同學(xué)們讀大學(xué)了會(huì)發(fā)現(xiàn)，綜合除法在計(jì)算多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式、有理函數(shù)的積分等問題中都有非常廣泛的應(yīng)用。 綜合除法的一大特點(diǎn)就是方便、直觀、易學(xué)，所以才具有其他方法不可替代的作用。

結(jié)束語(yǔ)

因式分解作為中學(xué)代數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，在后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)中有諸多應(yīng)用，同學(xué)們務(wù)必多多積累、熟練掌握。因式分解的方法如前文所言，這里不再贅述?？傊?，通過學(xué)習(xí)因式分解，能極大地提升同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，一些常用的數(shù)學(xué)思想方法在潛移默化中得以成為習(xí)慣。比如，因式分解往往要求我們解題必須有全局觀，要從整個(gè)多項(xiàng)式出發(fā)考慮問題，而非局部入手。我們還需學(xué)會(huì)將較難的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，不要“一條道走到黑，”這會(huì)有效地提高我們駕馭知識(shí)的能力。因式分解所采用的方法比較靈活，也有較強(qiáng)的技巧性，我們可以通過學(xué)習(xí)因式分解的知識(shí)培養(yǎng)自己的解題技能，這也對(duì)鍛煉發(fā)展同學(xué)們的思維能力非常有益。這部分的知識(shí)對(duì)大家以后的學(xué)習(xí)有著十分獨(dú)特的作用。通過學(xué)習(xí)因式分解，還會(huì)將大家的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高一大截，同學(xué)們分析問題解決問題的能力將極大增強(qiáng)。其實(shí)，通過對(duì)因式分解的學(xué)習(xí)，同學(xué)們還會(huì)對(duì)個(gè)人素質(zhì)的提高大有裨益。遇到簡(jiǎn)單的因式分解，往往要求我們更加細(xì)心，否則可能會(huì)不小心而功虧一簣。遇到較難的因式分解，要求同學(xué)們有勇于克服困難的決心，有靈活多變的思維方法，有不達(dá)目的決不收兵的勇氣，有迎難而上吃苦耐勞的精神，如此種種都是我們?cè)趯W(xué)習(xí)中所需要的。在因式分解的學(xué)習(xí)中，因式分解的題目有時(shí)會(huì)讓同學(xué)們一籌莫展，垂頭喪氣，但是當(dāng)我們努力思索終于找到正確的解題方法時(shí)，又會(huì)讓大家頓覺峰回路轉(zhuǎn)，柳暗花明又一村，由此而體會(huì)到數(shù)學(xué)的樂趣，欣賞到數(shù)學(xué)的美，因此讓我們更加喜愛數(shù)學(xué)。

因式分解的方法有很多技巧，我們平時(shí)應(yīng)該多練習(xí)、多積累，熟練地掌握多項(xiàng)式的因式分解。本文在綜述了中學(xué)因式分解方法的基礎(chǔ)上著重介紹了一種新的方法，所述新方法在中學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)上適度作了擴(kuò)展，不過內(nèi)容比較簡(jiǎn)單，完全適合中學(xué)生理解掌握。其實(shí)，大學(xué)數(shù)學(xué)下行到中學(xué)已經(jīng)不是偶然，比如：高中教材的行列式是線性代數(shù)中的內(nèi)容，更不用說(shuō)排列組合、概率與統(tǒng)計(jì)這些早已列入高中教材的內(nèi)容。因此，對(duì)于學(xué)有余力的同學(xué)，不妨多讀讀大學(xué)低年級(jí)的一些內(nèi)容，開闊自己的視野，說(shuō)不定會(huì)有意想不到的驚喜。本文只是提供了一種新思路，供教學(xué)參考。

參考文獻(xiàn)

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2019，（第五版）：21.

[2]蔣忠樟.整系數(shù)多項(xiàng)式因式分解的一種新方法[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2005，35（1）：219-221.

[3]趙杰玲.整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解[J].黑龍江科技信息，2016（30）：26.

[4]畢嚴(yán)河.因式分解的方法技巧匯總[J].科技視界，2014（1）：277-279.

作者簡(jiǎn)介：陳麗萍（1971— ），女，漢族，四川省宜賓市人，重慶市第六十八中學(xué)，本科，高級(jí)教師。研究方向：中學(xué)教育。

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