劉光宇 ，曹 禹 ，馮 偉 ，趙恩銘 ，邢傳璽

（1.大理大學(xué) 工程學(xué)院，云南 大理 671003；2.哈爾濱工程大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；3.云南民族大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，云南 昆明 650504）

1 引言

由于圖像在傳輸和獲取過程中會(huì)產(chǎn)生無法避免的噪聲，且主要為高斯噪聲，由此導(dǎo)致的圖像質(zhì)量下降，在后期處理圖像過程中會(huì)增加難度，所以圖像去噪是圖像處理的關(guān)鍵[1]。

因?yàn)樾〔ㄗ儞Q方法處理圖像具有多分辨率且能量集中的性質(zhì)[2]，可以很好的區(qū)分圖像中的噪聲部分和不同頻域的數(shù)據(jù)信息，很好的保留圖像的真實(shí)信息，所以小波變換去噪結(jié)果優(yōu)于一些傳統(tǒng)的去噪方法[3]。利用小波變換對(duì)含噪圖像處理得到對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)，處理小波系數(shù)需要選擇合適的閾值將噪聲信號(hào)和圖像信號(hào)進(jìn)行區(qū)分，重構(gòu)信號(hào)的連續(xù)性和精準(zhǔn)性對(duì)選擇不同的閾值所產(chǎn)生的結(jié)果差異性比較大，所以選擇合適的閾值來分離噪聲和有效信號(hào)非常重要[4]。Donoho等人提出了小波軟閾值估計(jì)方法和小波硬閾值估計(jì)方法[5]。然而，硬閾值法和軟閾值法本身存在一些不足之處，如硬閾值法的閾值函數(shù)具有不連續(xù)性，重構(gòu)所得的信號(hào)會(huì)產(chǎn)生偽吉布斯效應(yīng)，軟閾值方法估計(jì)后的小波系數(shù)和分解得到的小波系數(shù)總存在恒定的偏差，直接影響重構(gòu)信號(hào)與有效信號(hào)的逼近程度[6]。為了保證圖像的連續(xù)性和細(xì)節(jié)的保留，并提高圖像的峰值信噪比（PSNR），基于小波變換的自適應(yīng)閾值去噪技術(shù)可以通過噪聲在小波變換下的特性自適應(yīng)地確定小波分解的閾值，將PSNR作為濾波器參數(shù)的函數(shù)，采用縮小區(qū)間的搜索算法進(jìn)行尋優(yōu)，得到使PSNR最大的閾值函數(shù)參數(shù)，有效地去除了系統(tǒng)的噪聲并達(dá)到較好的去噪效果[7]。

因此實(shí)驗(yàn)采用基于小波變換的自適應(yīng)閾值去噪方法，與基于小波變換的軟閾值函數(shù)、硬值閾值函數(shù)去噪方法的結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證基于小波變換的自適應(yīng)閾值去噪技術(shù)的有效性。

2 小波變換圖像去噪技術(shù)

2.1 小波變換圖像去噪

基于小波變換的圖像去噪技術(shù)首先通過小波變換將含噪的圖像信號(hào)轉(zhuǎn)換為一系列相應(yīng)的小波系數(shù)。在這些小波系數(shù)中，有效信號(hào)對(duì)應(yīng)的系數(shù)較大，噪聲對(duì)應(yīng)的系數(shù)較小[8]，所以需要選擇合適的閾值對(duì)小波系數(shù)處理，將噪聲與有效信號(hào)分離，從而保留含有有效信號(hào)的小波系數(shù)，再通過小波逆變換得到去噪后圖像[9]。小波去噪流程圖如圖1所示。

圖1 基于小波轉(zhuǎn)換的圖像去噪技術(shù)流程圖

設(shè)含噪圖像模型 a（i，j）為：

公式中，a（i，j）為圖像被噪聲破壞后的含噪圖像，b（i，j）為初始無噪圖像；c（i，j）為遵從 N（0，σn2）的高斯噪聲。

通過小波轉(zhuǎn)換在等式兩邊同時(shí)進(jìn)行后得到經(jīng)過小波變換后的系數(shù)：

Wa為原始圖像在小波變換后得到的系數(shù)，Wb為原始無噪聲圖像小波變換后的系數(shù)，Wc為高斯白噪聲小波變換后的系數(shù)。

從（3）式可知，小波轉(zhuǎn)換是一種線性變換，在選擇閾值處理小波系數(shù)后，可以通過（4）式得到圖像去噪之后的小波系數(shù)，而在實(shí)際去噪過程中，則直接通過閾值將噪聲和有效信號(hào)分離。保留有效信號(hào)，舍棄噪聲信號(hào)。

最后對(duì)Wb進(jìn)行小波逆變換，就可以得到去噪之后重構(gòu)的圖像[10]。

2.2 閾值函數(shù)

在基于小波變換的閾值去噪方法中，閾值函數(shù)的選取主要有以下兩種[11]：

（2）軟閾值函數(shù)，函數(shù)如公式（5）所示。當(dāng)小波系數(shù)的絕對(duì)值小于給定閾值時(shí)，將數(shù)值置為0，小波系數(shù)大于閾值時(shí)，令小波系數(shù)的值減去閾值，就可以得到去噪之后的小波系數(shù)。

2.3 閾值選擇

因?yàn)樾〔ㄗ儞Q是將時(shí)空域上的信息變換到小波域上進(jìn)行處理，經(jīng)過小波變換產(chǎn)生的小波系數(shù)，將高頻部分的噪聲主要集中于小波系數(shù)較小的部分，而將低頻部分的有效圖像信號(hào)主要集中于小波系數(shù)較大的部分，因此需要選擇合適的閾值對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行分離。

（1）Donoho和Johnstone提出的全局閾值方法

計(jì)算方法如公式（6）所示。

其中δ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，N為信號(hào)的長度。由于圖像噪聲信息的不明確導(dǎo)致無法計(jì)算δ，但可以通過估計(jì)噪聲的方差σ，計(jì)算公式如（7）所示，median是求中值運(yùn)算。

（2）Birge-Massart策略所選擇的閾值[12]

計(jì)算方法如公式（8）所示。

首先設(shè)置一個(gè)分解層數(shù)x，針對(duì)所有大于x的層，我們不對(duì)其系數(shù)進(jìn)行改動(dòng)；對(duì)第y層（1≤y≤x），保留絕對(duì)值最大的ny個(gè)系數(shù)，ny由下式確定。

表達(dá)式內(nèi)，經(jīng)驗(yàn)系數(shù)可以通過Z和a表示。缺省的情況下，選用首層分解后的系數(shù)Z=L（1），a的大小在降噪時(shí)為：a=3。

2.4 自適應(yīng)閾值函數(shù)理論

雖然通過軟硬值閾值函數(shù)去噪結(jié)果相比較傳統(tǒng)的去噪方法效果好，但是由于閾值函數(shù)中的閾值不可改變，因此不能動(dòng)態(tài)調(diào)整閾值函數(shù)。而自適應(yīng)閾值函數(shù)去噪公式如式（9）所示。

P為調(diào)節(jié)因子，P可以根據(jù)不同的小波系數(shù)大小進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，達(dá)到自適應(yīng)選擇閾值的目的，這樣就可以解決軟閾值函數(shù)去噪和硬閾值函數(shù)去噪的缺點(diǎn)，能夠保證閾值函數(shù)的連續(xù)性，且避免閾值函數(shù)直接截?cái)喽鸬恼袷幮?yīng)，達(dá)到較好的閾值去噪結(jié)果表示通過自適應(yīng)閾值處理后的小波系數(shù)，T表示為所運(yùn)用的閾值[13-14]。

3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)過程

實(shí)驗(yàn)圖像為商洛學(xué)院校內(nèi)路燈圖像，首先將圖像尺寸改為300×300像素的圖像，并將圖像類型轉(zhuǎn)變?yōu)槎祷叶葓D像，對(duì)該圖像進(jìn)行矩陣歸一化處理，得到實(shí)驗(yàn)的原始圖像，如圖2所示。采用對(duì)比方法，對(duì)基于小波的自適應(yīng)閾值去噪、軟硬閾值去噪的結(jié)果進(jìn)行比較分析。

圖2 實(shí)驗(yàn)原始圖像

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證基于小波變換的軟閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)與自適應(yīng)閾值函數(shù)去噪技術(shù)的去噪效果，對(duì)原始圖像添加方差為0.01的高斯噪聲，得到含有噪聲的圖像，如圖3（a）所示為含噪圖像，再對(duì)含噪圖像去噪，并對(duì)比分析結(jié)果。具體通過軟閾值函數(shù)的Donoho全局閾值去噪方法，硬閾值函數(shù)的Donoho全局閾值去噪方法，軟閾值函數(shù)的Birge-Massart策略計(jì)算閾值去噪方法，硬閾值函數(shù)的Birge-Massart策略計(jì)算閾值去噪方法以及自適應(yīng)閾值函數(shù)的去噪方法進(jìn)行去噪，去噪結(jié)果如圖 3（b）到圖 3（f）所示。

圖3 去噪后圖像

觀察5種去噪結(jié)果，雖然圖像中大部分噪聲被濾除，圖像變得更加清晰，達(dá)到較好的去噪效果，但在細(xì)節(jié)方面有比較大的差異。其中軟閾值Donoho全局閾值、硬閾值Donoho全局閾值、軟閾值Birge-Massart策略計(jì)算閾值去噪都對(duì)過度平滑，對(duì)物體邊緣的輪廓不夠準(zhǔn)確，硬閾值Donoho全局閾值去噪和硬閾值Birge-Massart策略計(jì)算閾值去噪結(jié)果使圖像出現(xiàn)銳化，而基于小波的自適應(yīng)閾值去噪結(jié)果對(duì)物體邊緣定位更加準(zhǔn)確，清晰，且沒有銳化等現(xiàn)象，達(dá)到了最好的去噪效果。

3.3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

對(duì)含噪圖像去噪結(jié)果的客觀評(píng)價(jià)主要比較峰值信噪比、均方誤差和信噪比的數(shù)據(jù)，通過計(jì)算得到的數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 不同去噪方法的評(píng)價(jià)指標(biāo)結(jié)果

表1 不同去噪方法的評(píng)價(jià)指標(biāo)結(jié)果（續(xù)）

通過表1數(shù)據(jù)，得到自適應(yīng)閾值函數(shù)去噪方法的峰值信噪比和信噪比最大、均方誤差最小，與自適應(yīng)閾值函數(shù)去噪的圖像結(jié)果最佳結(jié)論一致，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證明了對(duì)高斯噪聲降噪效果最好的是基于小波變換的自適應(yīng)閾值函數(shù)去噪方法。

4 結(jié)語

對(duì)于圖像去噪問題，利用基于小波變換的閾值函數(shù)去噪技術(shù)，對(duì)經(jīng)過小波變換后的小波系數(shù)分別采用軟閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)和自適應(yīng)閾值函數(shù)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理，最后通過小波逆變換實(shí)現(xiàn)了對(duì)圖像的去噪。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于小波變換的自適應(yīng)閾值去噪方法對(duì)于圖像的去噪結(jié)果可以達(dá)到最優(yōu)，且峰值信噪比、均方誤差和信噪比等數(shù)據(jù)都達(dá)到最佳，能夠提升圖像的整體質(zhì)量，改善圖像的視覺效果。